ÉTUDE ACOUSTIQUE

Application de l’Équation d’Onde à une Corde Vibrante

Équation d'Onde 1D et Corde Vibrante

Application de l'Équation d'Onde à une Corde Vibrante

Comprendre les Modes Propres d'une Corde

L'équation d'onde unidimensionnelle (1D) est un modèle mathématique fondamental qui décrit comment les ondes, comme les vibrations sur une corde de guitare, se propagent. En appliquant des conditions aux limites (par exemple, des extrémités fixes), on découvre que la corde ne peut vibrer durablement qu'à certaines fréquences spécifiques, appelées fréquences propres ou harmoniques. Cet exercice vise à calculer la célérité de l'onde et les fréquences des premiers modes de vibration d'une corde tendue.

Données de l'étude

On étudie une corde de guitare en acier, tendue entre deux points fixes.

Caractéristiques de la corde :

  • Longueur de la corde (\(L\)) : \(65 \, \text{cm}\)
  • Masse linéique (\(\mu\)) : \(0.005 \, \text{kg/m}\) (masse par unité de longueur)
  • Tension appliquée à la corde (\(T\)) : \(80 \, \text{N}\)
Schéma : Corde Vibrante et Mode Fondamental
L = 65 cm

Une corde tendue entre deux points fixes. Le schéma montre la forme du premier mode de vibration (fondamental).

Questions à traiter

  1. Calculer la célérité (\(c\)) de l'onde se propageant sur la corde.
  2. Déterminer la longueur d'onde (\(\lambda_1\)) du mode de vibration fondamental (n=1).
  3. Calculer la fréquence (\(f_1\)) du mode fondamental.
  4. Calculer la fréquence du troisième harmonique (\(f_3\), pour n=3).

Correction : Application de l'Équation d'Onde à une Corde Vibrante

Question 1 : Calcul de la Célérité de l'Onde (\(c\))

Principe :

La célérité d'une onde transversale sur une corde tendue ne dépend que des propriétés physiques de la corde : sa tension (\(T\)) et sa masse linéique (\(\mu\)). Une plus grande tension augmente la célérité, tandis qu'une corde plus lourde (masse linéique plus élevée) la diminue.

Formule(s) utilisée(s) :
\[c = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} c &= \sqrt{\frac{80 \, \text{N}}{0.005 \, \text{kg/m}}} \\ &= \sqrt{16000 \, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \\ &= 126.49 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La célérité de l'onde sur la corde est d'environ \(126.5 \, \text{m/s}\).

Question 2 : Longueur d'Onde du Mode Fondamental (\(\lambda_1\))

Principe :

Pour une corde fixée à ses deux extrémités, les modes de vibration stationnaires doivent avoir des nœuds (points immobiles) à chaque extrémité. Le mode fondamental (n=1) est le plus simple : il correspond à une seule demi-longueur d'onde qui s'inscrit sur la longueur totale de la corde.

Formule(s) utilisée(s) :
\[L = n \frac{\lambda_n}{2} \Rightarrow \lambda_n = \frac{2L}{n}\]
Données spécifiques et conversion :
  • \(L = 65 \, \text{cm} = 0.65 \, \text{m}\)
  • \(n = 1\) (pour le mode fondamental)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda_1 &= \frac{2 \times 0.65 \, \text{m}}{1} \\ &= 1.3 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La longueur d'onde du mode fondamental est de \(1.3 \, \text{m}\).

Question 3 : Fréquence du Mode Fondamental (\(f_1\))

Principe :

La fréquence d'une onde est liée à sa célérité et à sa longueur d'onde par la relation fondamentale de l'acoustique. En utilisant la célérité et la longueur d'onde du mode fondamental, nous pouvons calculer sa fréquence, qui est la note la plus grave que la corde peut produire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[c = f \lambda \Rightarrow f_n = \frac{c}{\lambda_n} = \frac{n c}{2L}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_1 &= \frac{c}{\lambda_1} \\ &= \frac{126.49 \, \text{m/s}}{1.3 \, \text{m}} \\ &\approx 97.3 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La fréquence fondamentale de la corde est d'environ \(97.3 \, \text{Hz}\).

Question 4 : Fréquence du Troisième Harmonique (\(f_3\))

Principe :

Les fréquences propres d'une corde vibrante sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale. Le n-ième harmonique a une fréquence \(f_n = n \times f_1\). Le troisième harmonique (n=3) correspond donc à trois fois la fréquence fondamentale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_n = n \cdot f_1\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_3 &= 3 \times f_1 \\ &= 3 \times 97.3 \, \text{Hz} \\ &\approx 291.9 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La fréquence du troisième harmonique est d'environ \(291.9 \, \text{Hz}\).

Quiz Intermédiaire : Si on raccourcit la longueur de la corde (en appuyant sur une frette) sans changer la tension, la fréquence fondamentale...

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. La célérité de l'onde sur une corde dépend de :

2. Le deuxième harmonique (\(f_2\)) d'une corde est aussi appelé :

Glossaire

Équation d'Onde 1D
Équation aux dérivées partielles qui gouverne la propagation d'ondes dans un milieu à une dimension, comme une corde. Elle relie la dérivée seconde spatiale du déplacement à sa dérivée seconde temporelle.
Célérité (\(c\))
Vitesse de propagation de l'énergie de l'onde le long du milieu (ici, la corde).
Masse Linéique (\(\mu\))
Masse de la corde par unité de longueur. Une corde plus "épaisse" ou plus dense a une masse linéique plus élevée. Unité : kg/m.
Mode Propre (ou Harmonique)
Modèle de vibration stationnaire spécifique qu'une corde peut maintenir, caractérisé par une fréquence propre et un nombre entier de fuseaux (demi-longueurs d'onde).
Fréquence Fondamentale (\(f_1\))
La plus basse fréquence propre d'un système vibrant (pour n=1). Elle correspond au son le plus grave que l'instrument peut produire.
Onde Stationnaire
Onde résultant de la superposition de deux ondes de même fréquence se propageant en sens opposés (par exemple, par réflexion aux extrémités). Elle présente des points fixes appelés nœuds et des points d'amplitude maximale appelés ventres.
Équation d'Onde - Exercice d'Application sur une Corde Vibrante

D’autres exercices d’acoustique fondamentale:

Interférence de Deux Sources Sonores
Interférence de Deux Sources Sonores

Modélisation de l'Interférence de Deux Sources Sonores Modélisation de l'Interférence de Deux Sources Sonores Comprendre l'Interférence Acoustique Lorsque les ondes sonores provenant de deux ou plusieurs sources se rencontrent en un point de l'espace, leurs amplitudes...

Fréquence de Coupure d’un Guide d’Ondes
Fréquence de Coupure d’un Guide d’Ondes

Calcul de la Fréquence de Coupure d'un Guide d'Ondes Calcul de la Fréquence de Coupure d'un Guide d'Ondes Comprendre la Fréquence de Coupure Un guide d'ondes est une structure qui contraint les ondes (acoustiques ou électromagnétiques) à se propager dans une direction...

Coefficients de Réflexion et de Transmission
Coefficients de Réflexion et de Transmission

Détermination des Coefficients de Réflexion et Transmission Détermination des Coefficients de Réflexion et de Transmission Comprendre la Réflexion et la Transmission Lorsqu'une onde sonore voyageant dans un premier milieu rencontre l'interface avec un second milieu,...

Sommation de Niveaux Sonores Incohérents
Sommation de Niveaux Sonores Incohérents

Sommation de Niveaux Sonores Incohérents Sommation de Niveaux Sonores Incohérents Comprendre l'Addition des Décibels En raison de la nature logarithmique de l'échelle des décibels, on ne peut pas simplement additionner arithmétiquement les niveaux sonores. Tenter...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *