Modélisation de l'Atténuation d'un Écran

Comprendre l'Atténuation par un Écran

Les écrans acoustiques sont couramment utilisés pour protéger les zones résidentielles du bruit des infrastructures de transport. Leur efficacité ne provient pas de l'absorption ou de l'isolation (bien que cela puisse jouer un rôle mineur), mais principalement de la diffraction. Le son, pour atteindre l'auditeur, doit contourner le sommet de l'écran. Ce trajet "diffracté" est plus long que le trajet direct que le son aurait pris sans l'écran. Cette différence de marche, comparée à la longueur d'onde du son, est la clé pour déterminer l'atténuation. Plus la différence de marche est grande, plus l'atténuation est importante.

Données de l'étude

On évalue la performance d'un écran anti-bruit installé le long d'une autoroute.

Données géométriques et acoustiques :

Hauteur de la source (camion) par rapport au sol (\(h_S\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
Hauteur du récepteur (fenêtre d'une maison) par rapport au sol (\(h_R\)) : \(4.0 \, \text{m}\)
Hauteur de l'écran acoustique par rapport au sol (\(H\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
Distance horizontale de la source à l'écran (\(d_{SE}\)) : \(10 \, \text{m}\)
Distance horizontale de l'écran au récepteur (\(d_{ER}\)) : \(25 \, \text{m}\)
Fréquence du son à analyser (\(f\)) : \(500 \, \text{Hz}\)
Célérité du son dans l'air (\(c\)) : \(340 \, \text{m/s}\)

Schéma : Atténuation par Diffraction

Le son doit parcourir le chemin bleu (diffracté), plus long que le chemin direct (pointillé) qui est bloqué par l'écran.

Questions à traiter

Calculer la longueur du trajet direct (\(d_{direct}\)) que le son parcourrait en l'absence de l'écran.
Calculer la longueur du trajet diffracté (\(d_{diff}\)) par le sommet de l'écran.
En déduire la différence de marche (\(\delta\)).
Calculer l'atténuation par diffraction (\(A_{diff}\)) à 500 Hz en utilisant la formule simplifiée de Maekawa.

Correction : Modélisation de l'atténuation d'un écran acoustique en bord de route

Question 1 : Longueur du Trajet Direct

Principe :

Le trajet direct est l'hypoténuse d'un grand triangle rectangle. La base de ce triangle est la distance horizontale totale entre la source et le récepteur, et sa hauteur est la différence de hauteur entre eux.

Calcul :

\begin{aligned} d_{direct} &= \sqrt{(d_{SE} + d_{ER})^2 + (h_R - h_S)^2} \\ &= \sqrt{(10 + 25)^2 + (4.0 - 1.5)^2} \\ &= \sqrt{35^2 + 2.5^2} \\ &= \sqrt{1225 + 6.25} \\ &= \sqrt{1231.25} \approx 35.09 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 1 : La longueur du trajet direct serait de \(35.09 \, \text{m}\).

Question 2 : Longueur du Trajet Diffracté

Principe :

Le trajet diffracté est la somme des longueurs de deux segments : de la source au sommet de l'écran, et du sommet de l'écran au récepteur. Chacun de ces segments est l'hypoténuse d'un petit triangle rectangle.

Calcul :

Segment Source-Écran (\(d_1\)) :

\begin{aligned} d_1 &= \sqrt{d_{SE}^2 + (H - h_S)^2} = \sqrt{10^2 + (5.0 - 1.5)^2} \\ &= \sqrt{100 + 3.5^2} = \sqrt{100 + 12.25} = \sqrt{112.25} \approx 10.59 \, \text{m} \end{aligned}

Segment Écran-Récepteur (\(d_2\)) :

\begin{aligned} d_2 &= \sqrt{d_{ER}^2 + (H - h_R)^2} = \sqrt{25^2 + (5.0 - 4.0)^2} \\ &= \sqrt{625 + 1^2} = \sqrt{626} \approx 25.02 \, \text{m} \end{aligned}

Trajet total diffracté :

d_{diff} = d_1 + d_2 \approx 10.59 + 25.02 = 35.61 \, \text{m}

Résultat Question 2 : La longueur du trajet diffracté est de \(35.61 \, \text{m}\).

Question 3 : Calcul de la Différence de Marche (\(\delta\))

Principe :

La différence de marche est simplement la différence de longueur entre le trajet que le son doit emprunter (diffracté) et le trajet qu'il aurait pris en ligne droite (direct).

Calcul :

\begin{aligned} \delta &= d_{diff} - d_{direct} \\ &= 35.61 \, \text{m} - 35.09 \, \text{m} \\ &= 0.52 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Question 3 : La différence de marche est de \(0.52 \, \text{m}\).

Question 4 : Calcul de l'Atténuation par Diffraction (\(A_{diff}\))

Principe :

L'atténuation due à un écran dépend de la différence de marche \(\delta\) et de la longueur d'onde \(\lambda\) du son. Ces deux grandeurs sont combinées dans le nombre de Fresnel \(N\). Une formule simplifiée de Maekawa permet d'estimer l'atténuation en dB à partir de \(N\).

Formule(s) utilisée(s) :

\lambda = \frac{c}{f} \quad ; \quad N = \frac{2\delta}{\lambda} \quad ; \quad A_{diff} \approx 10 \log_{10}(20N)

Note : La formule d'atténuation est une approximation valable pour \(N > 0\).

Calcul :

1. Longueur d'onde :

\lambda = \frac{340 \, \text{m/s}}{500 \, \text{Hz}} = 0.68 \, \text{m}

2. Nombre de Fresnel :

N = \frac{2 \times 0.52 \, \text{m}}{0.68 \, \text{m}} \approx 1.53

3. Atténuation :

\begin{aligned} A_{diff} &\approx 10 \log_{10}(20 \times 1.53) \\ &= 10 \log_{10}(30.6) \\ &\approx 10 \times 1.486 \\ &\approx 14.86 \, \text{dB} \end{aligned}

Résultat Question 4 : L'atténuation théorique de l'écran à 500 Hz est d'environ \(14.9 \, \text{dB}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Pour un son grave (basse fréquence), un écran de même hauteur sera...

Plus efficace, car le son a moins d'énergie.
Identiquement efficace qu'pour un son aigu.
Efficace seulement si l'écran est absorbant.
Moins efficace, car la longueur d'onde est plus grande et contourne plus facilement l'obstacle.

2. Pour maximiser l'efficacité d'un écran acoustique, il faut idéalement :

Le placer exactement à mi-distance entre la source et le récepteur.
Le placer le plus près possible de la source ou le plus près possible du récepteur.
Le construire avec un matériau très léger.
Le peindre en noir.

Glossaire

Écran Acoustique: Obstacle solide interposé entre une source de bruit et un récepteur dans le but de réduire le niveau sonore perçu en créant une "zone d'ombre" acoustique.
Diffraction: Phénomène par lequel une onde est capable de contourner un obstacle ou de s'étaler après avoir franchi une ouverture. C'est le principe de fonctionnement de base d'un écran anti-bruit.
Différence de Marche (\(\delta\)): Dans le cas d'un écran, c'est la longueur supplémentaire que le son doit parcourir en passant par-dessus le sommet de l'écran par rapport au trajet en ligne droite.
Nombre de Fresnel (\(N\)): Nombre sans dimension qui quantifie l'importance de la diffraction. Il est proportionnel à la différence de marche et inversement proportionnel à la longueur d'onde.

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