ÉTUDE ACOUSTIQUE

Conception d’un Filtre Passe-Bas pour Caisson

Exercice : Filtre Passe-Bas pour Caisson de Basses

Conception d’un Filtre Passe-Bas pour Caisson

Contexte : L'électroacoustique et le traitement du signal.

Vous assemblez un système audio et souhaitez que votre caisson de basses (subwoofer) ne reproduise que les fréquences les plus graves, laissant les médiums et les aigus aux autres haut-parleurs. Pour cela, vous devez concevoir un filtre passe-basUn circuit électronique qui laisse passer les signaux dont la fréquence est inférieure à une certaine fréquence de coupure et qui atténue les signaux dont la fréquence est supérieure.. Cet exercice vous guidera dans le calcul et la compréhension d'un filtre passif RC du premier ordre, une solution simple et efficace pour cette application.

Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de lier des concepts théoriques fondamentaux de l'électronique (circuits RC, fonction de transfert, diagramme de Bode) à une application pratique et tangible dans le monde de l'audio.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le rôle et le fonctionnement d'un filtre passe-bas dans un système audio.
  • Savoir calculer la fréquence de coupureLa fréquence à laquelle le filtre commence à atténuer le signal. Pour un filtre du premier ordre, c'est la fréquence où la puissance du signal est réduite de moitié (-3 dB). d'un filtre RC.
  • Calculer l'atténuation en décibels (dB)Une unité logarithmique utilisée pour exprimer le rapport entre deux valeurs, très courante en acoustique et en électronique pour mesurer le gain ou l'atténuation. et le déphasageLe décalage temporel d'un signal sinusoïdal par rapport à un autre (ici, le signal de sortie par rapport à l'entrée), exprimé en degrés ou en radians..
  • Analyser l'influence de la valeur des composants sur la réponse en fréquence du filtre.

Données de l'étude

On souhaite réaliser un filtre passe-bas passif du premier ordre pour un caisson de basses. Le filtre sera placé avant l'amplificateur de puissance (au niveau "ligne").

Cahier des Charges
Caractéristique Valeur
Type de filtre Passif, RC, premier ordre
Application Filtrage de signal pour caisson de basses
Fréquence de coupure désirée \(f_c = 120 \, \text{Hz}\)
Schéma du Filtre Passe-Bas RC
Vin + - R Vout + - C
Paramètre Description Valeur Unité
\(R\) Résistance du filtre 8.2 kΩ
\(Z_{\text{charge}}\) Impédance de charge (amplificateur) \(\infty\) Ω (circuit ouvert)

Questions à traiter

  1. Calculer la valeur requise pour le condensateur \(C\) afin d'obtenir la fréquence de coupure de 120 Hz.
  2. Déterminer l'atténuation du filtre en décibels (dB) pour une fréquence de 1 kHz.
  3. Quel est le déphasage (en degrés) introduit par le filtre à sa fréquence de coupure ?
  4. Si la tension d'entrée est de 2V, quelle sera la tension de sortie (en V) à la fréquence de coupure ?
  5. On remplace le condensateur par une valeur normalisée de 220 nF. Quelle est la nouvelle fréquence de coupure du filtre ?

Les bases sur les Filtres Électroniques

Un filtre électronique est un circuit qui modifie l'amplitude et/ou la phase d'un signal en fonction de sa fréquence. Les filtres passifs, comme celui de cet exercice, sont construits uniquement avec des composants passifs (résistances, condensateurs, inductances).

1. Le Filtre Passe-Bas RC
Le filtre RC passe-bas est le plus simple des filtres. Il est constitué d'une résistance \(R\) en série avec le signal et d'un condensateur \(C\) en parallèle avec la sortie. À basses fréquences, le condensateur se comporte comme un circuit ouvert (son impédance est très élevée) et le signal passe presque intégralement. À hautes fréquences, il se comporte comme un court-circuit (son impédance est très faible), envoyant le signal à la masse et l'atténuant en sortie.

2. La Fréquence de Coupure (\(f_c\))
C'est la fréquence charnière qui délimite la bande passante (où le signal passe) de la bande atténuée. Pour un filtre du premier ordre, elle est définie comme la fréquence pour laquelle la tension de sortie est réduite à \(1/\sqrt{2}\) (soit environ 70.7%) de la tension d'entrée. En termes de puissance, cela correspond à une division par deux, soit une atténuation de -3 dB. Elle se calcule avec la formule : \[ f_c = \frac{1}{2 \pi R C} \]

Correction : Conception d’un Filtre Passe-Bas pour Caisson

Question 1 : Calculer la valeur du condensateur (C) pour obtenir fc = 120 Hz.

Principe

Le concept physique derrière cette question est la relation inverse entre la capacité d'un condensateur à "absorber" les hautes fréquences et la fréquence de coupure du filtre. En utilisant la formule qui lie R, C et fc, nous pouvons déterminer la capacité nécessaire pour que le filtre commence à atténuer les signaux précisément au-dessus de 120 Hz.

Mini-Cours

L'impédance d'un condensateur, \(Z_C\), est inversement proportionnelle à la fréquence : \(Z_C = 1 / (j \cdot 2\pi f C)\). Dans notre filtre, qui est un diviseur de tension, la tension de sortie est \(V_{\text{out}} = V_{\text{in}} \cdot Z_C / (R + Z_C)\). La fréquence de coupure est le point où la partie réelle et la partie imaginaire de l'impédance totale sont égales, c'est-à-dire quand \(R = |Z_C|\).

Remarque Pédagogique

La bonne pratique est de toujours commencer par isoler l'inconnue dans l'équation littérale avant de remplacer les valeurs par leurs chiffres. Cela limite les erreurs de calcul et permet de mieux comprendre la relation entre les variables.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire pour ce calcul, mais les composants électroniques sont fabriqués selon des séries de valeurs normalisées (E6, E12, E24...). Notre résultat devra être comparé à ces séries pour choisir un composant existant.

Formule(s)

Formule de base de la fréquence de coupure

\[ f_c = \frac{1}{2 \pi R C} \]

Formule réarrangée pour trouver C

\[ C = \frac{1}{2 \pi R f_c} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

  • Les composants (résistance et condensateur) sont considérés comme idéaux.
  • La source du signal a une impédance de sortie nulle.
  • La charge connectée en sortie (l'amplificateur) a une impédance d'entrée infinie (circuit ouvert).
Donnée(s)

Les données d'entrée pour cette question sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Fréquence de coupure\(f_c\)120Hz
Résistance\(R\)8.2kΩ
Astuces

Une astuce pour l'ordre de grandeur : dans les circuits audio, on travaille souvent avec des résistances en kΩ et des condensateurs en nF ou µF. Une combinaison de kΩ et nF donne généralement une fréquence de coupure dans la gamme des kHz. Pour des Hz, il faudra probablement des condensateurs plus grands.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Filtre RC avec Inconnue
Vin+-R = 8.2kΩVout+-C = ?
Calcul(s)

Conversion de la résistance

\[ \begin{aligned} R &= 8.2 \, \text{kΩ} \\ &= 8200 \, \text{Ω} \end{aligned} \]

Application numérique et calcul de C

\[ \begin{aligned} C &= \frac{1}{2 \pi \times (8200 \, \text{Ω}) \times (120 \, \text{Hz})} \\ &\approx \frac{1}{6181769} \\ &\approx 1.618 \times 10^{-7} \, \text{F} \\ &\Rightarrow C \approx 161.8 \, \text{nF} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Schéma du Filtre RC avec Valeur Calculée
Vin+-R = 8.2kΩVout+-C ≈ 162nF
Réflexions

La valeur calculée de 161.8 nF n'est pas une valeur standard de condensateur. En pratique, on choisirait la valeur normalisée la plus proche (par exemple 150 nF ou 180 nF de la série E12) et on accepterait une légère variation de la fréquence de coupure, ou on ajusterait la valeur de la résistance pour compenser.

Points de vigilance

La principale source d'erreur dans ce type de calcul est une mauvaise conversion des unités. Assurez-vous de bien convertir les kilo-ohms (kΩ) en ohms (Ω) avant de lancer le calcul.

Points à retenir

La relation fondamentale à maîtriser est \(f_c = 1 / (2 \pi R C)\). Il faut comprendre que \(f_c\) est inversement proportionnelle à \(R\) et à \(C\) : si l'un d'eux augmente, \(f_c\) diminue.

Le saviez-vous ?

Le Farad, unité de capacité, a été nommé en l'honneur de Michael Faraday, un scientifique britannique pionnier dans les domaines de l'électromagnétisme et de l'électrochimie. C'est une unité très grande, c'est pourquoi on utilise presque toujours ses sous-multiples : le microfarad (µF), le nanofarad (nF) et le picofarad (pF).

FAQ
Pourquoi avoir choisi une résistance de 8.2 kΩ au départ ?

Cette valeur est un bon compromis. Une résistance trop faible pourrait surcharger la source du signal, tandis qu'une résistance trop élevée pourrait introduire du bruit thermique et être sensible aux impédances des autres appareils.

Que se passe-t-il si je n'ai pas la valeur exacte du condensateur ?

Vous obtiendrez une fréquence de coupure légèrement différente. Par exemple, avec la valeur normalisée de 150 nF, la fréquence de coupure serait d'environ 130 Hz, ce qui est souvent un compromis acceptable.

Résultat Final
La valeur théorique du condensateur requise est d'environ 162 nF.
A vous de jouer

Si vous décidez d'utiliser une résistance de 10 kΩ, quelle serait la nouvelle valeur de condensateur nécessaire pour garder la même fréquence de coupure de 120 Hz ?

Question 2 : Déterminer l'atténuation du filtre en dB pour une fréquence de 1 kHz.

Principe

On cherche à quantifier à quel point le filtre affaiblit un signal dont la fréquence (1 kHz) est bien au-dessus de la fréquence de coupure (120 Hz). Pour cela, on calcule le rapport des tensions de sortie sur l'entrée (le gain) et on l'exprime en décibels, une échelle plus représentative de la perception humaine.

Mini-Cours

La fonction de transfert \(H(j\omega)\) d'un système décrit comment il répond à différentes fréquences. Pour notre filtre, son module |H(jω)|, ou G(f), représente le gain en amplitude. Au-delà de \(f_c\), ce gain diminue. Pour un filtre du premier ordre, cette diminution tend vers une pente de -20 dB par décade (chaque fois que la fréquence est multipliée par 10, le gain diminue de 20 dB).

Remarque Pédagogique

Avant tout calcul, on peut anticiper le résultat. 1 kHz est presque une décade au-dessus de 120 Hz (120 Hz -> 1200 Hz). On s'attend donc à une atténuation proche de -20 dB. Cette estimation rapide est un excellent moyen de vérifier son calcul final.

Normes

Le décibel (dB) est une unité standardisée internationalement (IEC 60027-3) pour représenter des rapports sur une échelle logarithmique, particulièrement en acoustique et en télécommunications.

Formule(s)

Formule du gain en tension

\[ G(f) = \left| \frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} \right| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f}{f_c}\right)^2}} \]

Formule de conversion en décibels

\[ G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}(G(f)) \]
Hypothèses

Nous supposons que le filtre opère en régime sinusoïdal établi, c'est-à-dire que le signal d'entrée est une sinusoïde pure de 1 kHz depuis un temps suffisamment long pour que les transitoires soient négligeables.

Donnée(s)

Les données pour cette question sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Fréquence du signal\(f\)1000Hz
Fréquence de coupure\(f_c\)120Hz
Astuces

Lorsque la fréquence \(f\) est beaucoup plus grande que la fréquence de coupure \(f_c\), on peut simplifier la formule du gain : \(G(f) \approx 1 / (f/f_c) = f_c/f\). Cela rend le calcul mental plus rapide. Ici, \(120/1000 = 0.12\), et \(20 \log_{10}(0.12) \approx -18.4\) dB, ce qui est très proche du résultat exact.

Schéma (Avant les calculs)
Position des Fréquences sur l'Axe
Bande PassanteBande Coupée (atténuation)f (log)101001k10kfc=120Hzf=1kHz
Calcul(s)

Calcul du gain et conversion en dB

\[ \begin{aligned} G(1000 \, \text{Hz}) &= \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{1000}{120})^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1 + (8.333)^2}} \\ &\approx \frac{1}{\sqrt{70.44}} \\ &\approx 0.119 \\ G_{\text{dB}} &= 20 \log_{10}(0.119) \\ &\Rightarrow G_{\text{dB}} \approx -18.48 \, \text{dB} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Bode - Réponse en Gain
Diagramme de Bode - Réponse en GainFréquence (Hz) - Échelle LogGain (dB) 0 -10 -20 -30 100 1k 10k-3dBfc=120Hz(-18.5dB)
Réflexions

Une atténuation de -18.5 dB signifie que la tension du signal à 1 kHz est réduite à environ 12% de sa valeur d'origine. C'est une réduction significative, qui assure que le caisson de basses ne tentera pas de reproduire des fréquences médiums qui ne sont pas de son ressort.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le carré dans la formule du gain \(\sqrt{1 + (f/f_c)^2}\). De plus, veillez à utiliser la fonction \(\log_{10}\) et non le logarithme népérien (ln) pour la conversion en dB.

Points à retenir

La pente d'atténuation d'un filtre du premier ordre est de -20 dB/décade. C'est une caractéristique clé à mémoriser pour estimer rapidement la performance d'un filtre.

Le saviez-vous ?

Le concept du décibel a été développé dans les Laboratoires Bell pour quantifier la perte de signal dans les lignes téléphoniques. Son échelle logarithmique correspond bien à la perception non-linéaire de l'oreille humaine, que ce soit pour le volume sonore ou la hauteur des notes.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on "20 log" pour la tension et "10 log" pour la puissance ?

Parce que la puissance est proportionnelle au carré de la tension (\(P \propto V^2\)). La formule en dB pour la puissance est \(10 \log_{10}(P_{\text{out}}/P_{\text{in}})\). Si on remplace P par V², on obtient \(10 \log_{10}((V_{\text{out}}/V_{\text{in}})^2)\), ce qui, par propriété des logarithmes, devient \(20 \log_{10}(V_{\text{out}}/V_{\text{in}})\).

Résultat Final
À 1 kHz, le signal est atténué d'environ -18.5 dB.
A vous de jouer

En utilisant la même méthode, quelle serait l'atténuation (en dB) à une fréquence de 240 Hz (une octave au-dessus de fc) ?

Question 3 : Quel est le déphasage (en degrés) introduit par le filtre à sa fréquence de coupure ?

Principe

Le déphasage représente le "retard" de la tension de sortie par rapport à la tension d'entrée. Ce retard varie avec la fréquence. La question porte sur la valeur spécifique et remarquable que prend ce déphasage exactement à la fréquence de coupure, point où le comportement résistif et capacitif du circuit s'équilibre.

Mini-Cours

La fonction de transfert complexe \(H(j\omega)\) a une amplitude (le gain) et une phase (le déphasage \(\phi\)). La phase est l'argument du nombre complexe \(H(j\omega)\). Pour notre filtre, \(H(j\omega) = 1 / (1 + j\omega RC)\). L'argument de ce nombre est \(\phi = -\arg(1 + j\omega RC) = -\arctan(\omega RC)\). En remplaçant \(\omega\) par \(2\pi f\) et en utilisant \(\omega_c RC = 1\), on retrouve la formule \(\phi = -\arctan(f/f_c)\).

Remarque Pédagogique

Il est utile de se souvenir des valeurs de déphasage aux trois points clés : à très basse fréquence (\(f \rightarrow 0\)), le déphasage est de 0°. À très haute fréquence (\(f \rightarrow \infty\)), il tend vers -90°. Et exactement à la fréquence de coupure, il est à mi-chemin : -45°.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique, mais la convention en électronique est de représenter la phase en degrés, variant de -180° à +180°.

Formule(s)

Formule du déphasage en radians

\[ \phi(f) = -\arctan\left(\frac{f}{f_c}\right) \]

Formule de conversion en degrés

\[ \phi_{\text{deg}} = \phi_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi} \]
Hypothèses

Aucune hypothèse supplémentaire n'est requise par rapport à celles déjà énoncées.

Donnée(s)

La seule donnée est que nous évaluons le déphasage à la fréquence de coupure, donc \(f = f_c\).

Astuces

La valeur du déphasage à la fréquence de coupure pour tout filtre du premier ordre est une constante à connaître par cœur : -45° pour un passe-bas, +45° pour un passe-haut. Cela vous évite de refaire le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Illustration du Déphasage
φ = ?VinVout
Calcul(s)

Calcul du déphasage et conversion

\[ \begin{aligned} \phi(f_c) &= -\arctan\left(\frac{f_c}{f_c}\right) \\ &= -\arctan(1) \\ &= -\frac{\pi}{4} \, \text{radians} \\ \phi_{\text{deg}} &= -\frac{\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} \\ &= -45^\circ \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Bode - Réponse en Phase
Diagramme de Bode - Réponse en PhaseFréquence (Hz) - Échelle LogPhase (°) 0° -45° -90° 100 1k 10kfc=120Hz
Réflexions

Un déphasage de -45° signifie que le sommet de l'onde de tension en sortie apparaît un huitième de période (45° / 360°) après le sommet de l'onde d'entrée. Pour un signal à 120 Hz, cela correspond à un retard temporel de (1/120 s) / 8 ≈ 1 milliseconde.

Points de vigilance

Le signe est important : un déphasage négatif signifie un retard, ce qui est physiquement attendu pour un filtre passe-bas. Assurez-vous aussi que votre calculatrice est bien en mode "degrés" pour la conversion finale si vous calculez arctan(1).

Points à retenir

Point fondamental à retenir : Pour n'importe quel filtre du premier ordre (passe-bas ou passe-haut), le déphasage à la fréquence de coupure est toujours de \(\pm 45^\circ\). Il est de -45° pour un passe-bas et de +45° pour un passe-haut.

Le saviez-vous ?

Les effets audio comme le "Phaser", très populaires dans la musique des années 70, sont créés en utilisant des filtres (dits "décaleurs de phase") qui modifient le déphasage d'un signal et le recombinent avec le signal original, créant des interférences constructives et destructives qui balayent le spectre de fréquences.

FAQ
Ce déphasage est-il audible ?

L'oreille humaine est assez peu sensible au déphasage d'une fréquence unique. Cependant, des déphasages variables sur une plage de fréquences (ce que fait un filtre) peuvent altérer la forme d'onde d'un son complexe (comme une note de musique) et devenir audibles, modifiant légèrement le "timbre" du son.

Résultat Final
Le déphasage à la fréquence de coupure est de -45°.
A vous de jouer

Quel serait approximativement le déphasage (en degrés) pour une fréquence très élevée, par exemple 100 kHz ?

Question 4 : Si la tension d'entrée est de 2V, quelle sera la tension de sortie (en V) à la fréquence de coupure ?

Principe

Cette question est une application directe de la définition de la fréquence de coupure en termes de tension. Nous savons que, par définition, le gain en tension à \(f_c\) est de \(1/\sqrt{2}\). Il suffit donc d'appliquer ce facteur à la tension d'entrée donnée pour trouver la tension de sortie.

Mini-Cours

Le circuit RC agit comme un diviseur de tension fréquentiel. La tension de sortie est prise aux bornes du condensateur. Selon la loi d'Ohm généralisée, \(V_{\text{out}} = I \cdot Z_C\). Le courant total est \(I = V_{\text{in}} / (R + Z_C)\). En combinant les deux, on obtient la fonction de diviseur de tension : \(V_{\text{out}} = V_{\text{in}} \cdot Z_C / (R + Z_C)\). À la fréquence de coupure, la magnitude de \(Z_C\) est égale à \(R\), ce qui mène au fameux rapport \(1/\sqrt{2}\).

Remarque Pédagogique

Il n'est pas nécessaire de refaire tout le calcul de la fonction de transfert. Le point "à -3 dB" (fréquence de coupure) signifie que la tension est à 70.7% de la tension d'entrée. C'est une valeur à connaître.

Normes

Aucune norme n'est directement applicable, mais la définition de la fréquence de coupure à -3 dB est une convention universelle en électronique et en traitement du signal.

Formule(s)

Relation Tension-Gain

\[ V_{\text{out}} = G \times V_{\text{in}} \]

Gain à la fréquence de coupure

\[ G(f_c) = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \]
Hypothèses

Nous supposons que la tension d'entrée de 2V est une valeur efficace (RMS) ou une amplitude, et que la tension de sortie sera du même type.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Tension d'entrée\(V_{\text{in}}\)2V
Fréquence\(f\)\(f_c\)Hz
Astuces

Pour un calcul rapide, retenez que diviser par \(\sqrt{2}\) est équivalent à multiplier par \(\sqrt{2}/2 \approx 0.707\). Multiplier par 0.7 est une bonne approximation mentale (2 * 0.7 = 1.4).

Schéma (Avant les calculs)
Schéma fonctionnel
Vin = 2VFiltre Passe-BasVout = ?
Calcul(s)

Calcul de la tension de sortie

\[ \begin{aligned} V_{\text{out}}(f_c) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \times 2 \, \text{V} \\ &\approx 0.7071 \times 2 \, \text{V} \\ &\Rightarrow V_{\text{out}}(f_c) \approx 1.414 \, \text{V} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Signaux d'Entrée et de Sortie à \(f_c\)
tV2V-2V1.41V-1.41VVinVoutΔt (-45°)
Réflexions

Cette atténuation de la tension à environ 70.7% de la valeur d'entrée est la caractéristique principale qui définit la fréquence de coupure. C'est le fameux "point à -3 dB". Si l'entrée était de 10V, la sortie serait de 7.07V.

Points de vigilance

Il ne faut pas confondre le gain en tension (facteur \(1/\sqrt{2}\)) et le gain en puissance (facteur \(1/2\)). La question porte sur la tension, il faut donc utiliser le bon rapport.

Points à retenir

À la fréquence de coupure \(f_c\), la tension de sortie d'un filtre du premier ordre est toujours la tension d'entrée divisée par la racine carrée de 2.

Le saviez-vous ?

Le rapport \(1/\sqrt{2}\) est omniprésent en électricité. C'est par exemple le rapport entre la valeur efficace (RMS) et la valeur maximale d'une tension alternative sinusoïdale. La tension de 230V de nos prises est une valeur efficace ; la tension maximale atteint en réalité \(230 \times \sqrt{2} \approx 325V\).

FAQ
Pourquoi la puissance est-elle divisée par 2 si la tension n'est divisée que par \(\sqrt{2}\) ?

La puissance est proportionnelle au carré de la tension (\(P \propto V^2\)). Si la tension est multipliée par \(1/\sqrt{2}\), la puissance est alors multipliée par \((1/\sqrt{2})^2 = 1/2\). Une puissance divisée par deux correspond bien à une atténuation de -3 dB.

Résultat Final
À la fréquence de coupure, la tension de sortie sera d'environ 1.414 V.
A vous de jouer

Si la tension d'entrée est de 5V RMS, quelle sera la tension de sortie (en V RMS) à la fréquence de coupure ?

Question 5 : On remplace le condensateur par une valeur normalisée de 220 nF. Quelle est la nouvelle fréquence de coupure ?

Principe

Il s'agit d'une application directe de la formule de la fréquence de coupure. On recalcule \(f_c\) en utilisant la nouvelle valeur de capacité, ce qui simule une situation réelle où le concepteur doit utiliser un composant disponible sur le marché plutôt que la valeur théorique exacte.

Mini-Cours

Les condensateurs et résistances sont fabriqués en suivant des séries de valeurs préférentielles, comme la série E12 (10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68, 82). La valeur de 220 nF (ou 0.22 µF) est une valeur très commune de cette série. Cet exercice illustre le passage de la conception théorique au choix pratique des composants.

Remarque Pédagogique

Cet exercice est important car il montre l'impact d'un choix de composant réel sur les performances théoriques. En ingénierie, on doit souvent faire des compromis entre la performance idéale et ce qui est pratiquement réalisable et économique.

Normes

Les séries de valeurs normalisées (EIA E6, E12, E24, etc.) sont définies par des normes internationales comme la norme IEC 60063.

Formule(s)

Formule de la fréquence de coupure

\[ f_c = \frac{1}{2 \pi R C} \]
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Résistance\(R\)8.2kΩ
Nouveau Condensateur\(C\)220nF
Astuces

Puisque la nouvelle valeur de C (220 nF) est plus grande que la valeur théorique calculée (~162 nF), et que \(f_c\) est inversement proportionnelle à C, on peut prédire sans calcul que la nouvelle fréquence de coupure sera plus basse que 120 Hz.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma du Filtre avec Nouvelle Valeur
Vin+-R = 8.2kΩVout+-C = 220nF
Calcul(s)

Conversion des valeurs

\[ \begin{aligned} R &= 8.2 \, \text{kΩ} = 8200 \, \text{Ω} \\ C &= 220 \, \text{nF} = 220 \times 10^{-9} \, \text{F} \end{aligned} \]

Calcul de la nouvelle fréquence de coupure

\[ \begin{aligned} f_c &= \frac{1}{2 \pi R C} \\ &= \frac{1}{2 \pi \times (8200) \times (220 \times 10^{-9})} \\ &\approx \frac{1}{0.011341} \\ &\Rightarrow f_c \approx 88.17 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Fréquences de Coupure
f (Hz)fc (C=220nF) ≈ 88Hzfc (Objectif) = 120HzDécalage
Réflexions

La nouvelle fréquence de coupure est d'environ 88 Hz. C'est un écart notable par rapport à l'objectif initial de 120 Hz. Pour une application de caisson de basses, cela signifie que la coupure sera plus basse, coupant une partie des "basses hautes" (kick de batterie par exemple) que l'on souhaitait peut-être conserver. Le concepteur devrait alors évaluer si cet écart est acceptable ou s'il doit changer la résistance pour se rapprocher de 120 Hz.

Points de vigilance

Encore une fois, l'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les nanofarads (nF) en Farads (F) en utilisant le facteur \(10^{-9}\).

Points à retenir

La conception électronique est un jeu de compromis. Le choix de composants réels et disponibles force souvent à s'écarter légèrement des calculs théoriques. Il est essentiel de savoir recalculer l'impact de ces choix.

Le saviez-vous ?

Les résistances aussi ont des tolérances (souvent 5% ou 1%). Une résistance de 8.2 kΩ avec 5% de tolérance peut en réalité avoir une valeur entre 7.79 kΩ et 8.61 kΩ. Les ingénieurs doivent tenir compte de ces variations (analyse "pire cas") pour garantir que le circuit fonctionnera correctement, quels que soient les composants exacts utilisés.

FAQ
Comment aurais-je pu me rapprocher de 120 Hz ?

Vous auriez pu choisir une autre valeur de résistance. Par exemple, avec le condensateur de 220 nF, pour obtenir 120 Hz, il faudrait une résistance de \(R = 1 / (2\pi \cdot 220\,\text{nF} \cdot 120\,\text{Hz}) \approx 6.03\) kΩ. La valeur normalisée la plus proche est 6.2 kΩ ou 5.6 kΩ.

Cet écart de 120 Hz à 88 Hz est-il très audible ?

Oui, c'est un écart significatif dans les basses fréquences. Il serait clairement audible, changeant le "point de raccordement" entre le caisson et les enceintes principales. Le son pourrait paraître moins percutant ou manquer d'une partie du message dans les basses.

Résultat Final
La nouvelle fréquence de coupure est d'environ 88 Hz.
A vous de jouer

Si vous aviez choisi l'autre valeur normalisée proche, 150 nF, quelle aurait été la fréquence de coupure (avec R=8.2 kΩ) ?

Outil Interactif : Simulateur de Filtre Passe-Bas

Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs de la résistance et du condensateur, et observez en temps réel l'impact sur la fréquence de coupure et la courbe de réponse du filtre.

Paramètres du Filtre
8.2 kΩ
162 nF
Résultats Calculés
Fréquence de coupure (-3dB) - Hz
Atténuation à 1kHz - dB

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la fonction principale d'un filtre passe-bas ?

2. Quelle est la pente d'atténuation typique pour un filtre passif du premier ordre au-delà de sa fréquence de coupure ?

3. Dans un filtre passe-bas RC, si on augmente la valeur de la résistance (R), comment évolue la fréquence de coupure (fc) ?

4. À la fréquence de coupure, la puissance du signal de sortie est...

5. Quel est le déphasage d'un filtre passe-bas RC pour des fréquences très basses (proches de 0 Hz) ?

Glossaire

Filtre Passe-Bas
Un circuit électronique qui laisse passer les signaux dont la fréquence est inférieure à une certaine fréquence de coupure et qui atténue les signaux dont la fréquence est supérieure.
Fréquence de Coupure (\(f_c\))
La fréquence à laquelle le filtre commence à atténuer le signal. Pour un filtre du premier ordre, c'est la fréquence où la puissance du signal est réduite de moitié (-3 dB).
Décibel (dB)
Une unité logarithmique utilisée pour exprimer le rapport entre deux valeurs, très courante en acoustique et en électronique pour mesurer le gain ou l'atténuation.
Déphasage
Le décalage temporel d'un signal sinusoïdal par rapport à un autre (ici, le signal de sortie par rapport à l'entrée), exprimé en degrés ou en radians.
Octave / Décade
Termes désignant un intervalle de fréquence. Une octave est un doublement de la fréquence (p. ex. de 100 Hz à 200 Hz). Une décade est une multiplication par dix (p. ex. de 100 Hz à 1000 Hz).
Conception d’un Filtre Passe-Bas pour Caisson

D’autres exercices d’électroacoustique:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *