ÉTUDE ACOUSTIQUE

Comparaison des Gammes

Acoustique Musicale : Comparaison des Gammes de Pythagore et Zarlino

Acoustique Musicale : Comparaison des Gammes de Pythagore et Zarlino

Contexte : La Quête de la Justesse Absolue

Depuis l'Antiquité, les musiciens et mathématiciens cherchent à construire des gammes "parfaites", où les intervalles entre les notes sont basés sur des rapports de fréquences simples et consonants. La gamme de PythagoreSystème de construction de gamme basé uniquement sur l'intervalle de quinte juste (rapport 3/2)., basée sur la pureté des quintes, a été la première tentative systématique. Cependant, elle produit des tierces qui sonnent "dures". Plus tard, Gioseffo Zarlino a proposé une gamme dite "juste" qui privilégie la pureté des tierces majeuresIntervalle de quatre demi-tons. Dans la gamme juste, son rapport est de 5/4., les rendant plus douces à l'oreille. Cet exercice explore les différences mathématiques et sonores entre ces deux systèmes fondateurs.

Remarque Pédagogique : Comprendre ces systèmes historiques permet de saisir le compromis fondamental de l'accordage : il est mathématiquement impossible d'avoir tous les intervalles parfaitement justes en même temps. C'est ce qui a mené à l'adoption du tempérament égalSystème actuel où l'octave est divisée en 12 demi-tons égaux. Tous les intervalles sont légèrement "faux", sauf l'octave, mais la modulation dans toutes les tonalités est possible..

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la construction d'une gamme par rapports de fréquences.
  • Calculer les fréquences des notes dans la gamme de Pythagore.
  • Calculer les fréquences des notes dans la gamme de Zarlino (juste).
  • Identifier et calculer le comma pythagoricienPetite différence entre 12 quintes justes et 7 octaves. C'est le problème fondamental de la gamme pythagoricienne..
  • Comparer auditivement et mathématiquement la "couleur" des tierces dans les deux systèmes.

Données de l'étude

Nous allons construire une gamme majeure de Do en partant d'une note de base \(\text{Do}_3 = 261.63 \, \text{Hz}\). Nous utiliserons les rapports de fréquences suivants :

  • Rapport de quinte justeIntervalle de sept demi-tons. Son rapport le plus simple et consonant est 3/2. (Pythagore) : \(3/2\)
  • Rapport de tierce majeureIntervalle de quatre demi-tons. Dans la gamme juste, son rapport est de 5/4. juste (Zarlino) : \(5/4\)
  • Rapport d'octave (pour ramener les notes dans la même octave) : \(2/1\)
Schéma de Construction par Quintes (Pythagore)
Do x 3/2 Sol x 3/2 Ré x 3/2 La x 3/2 Mi (Ré de l'octave supérieure, à diviser par 2)

Questions à traiter

  1. Gamme de Pythagore : Calculez les fréquences des notes Ré, Mi et Sol. (N'oubliez pas de diviser par 2 si la note sort de l'octave).
  2. Gamme de Zarlino : Calculez la fréquence du Mi en utilisant le rapport de tierce juste \(5/4\).
  3. Comparaison : Comparez la fréquence du Mi de Pythagore avec celle du Mi de Zarlino. Laquelle est la plus élevée ?
  4. Le Comma Pythagoricien : Calculez la fréquence de 12 quintes successives à partir de \(\text{Do}_3\) (\(F_{\text{Do}} \times (3/2)^{12}\)). Calculez la fréquence de 7 octaves (\(F_{\text{Do}} \times 2^7\)). Comparez ces deux valeurs.

Correction : Comparaison des Gammes

Question 1 : Fréquences dans la Gamme de Pythagore

Principe :

On génère les notes en montant de quinte en quinte (multiplication par 3/2). Si la fréquence obtenue dépasse l'octave supérieure (le double de la fréquence de départ), on la divise par 2 pour la ramener dans la bonne octave.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette méthode garantit des quintes parfaitement justes, ce qui était une priorité pour les Grecs. Cependant, les autres intervalles sont des conséquences de ce choix et ne sont pas nécessairement simples.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{\text{nouvelle}} = F_{\text{base}} \times \frac{3}{2} \]
\[ F_{\text{dans\_octave}} = \frac{F_{\text{hors\_octave}}}{2} \]
Donnée(s) :
  • Fréquence de base (\(\text{Do}_3\)) : \(261.63 \, \text{Hz}\)
  • Rapport de quinte : \(3/2\)
  • Rapport d'octave : \(2/1\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \text{Sol}_3 &= 261.63 \times \frac{3}{2} \\ &= 392.44 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Ré}_4 &= 392.44 \times \frac{3}{2} \\ &= 588.66 \, \text{Hz} \\ \text{Ré}_3 &= \frac{588.66}{2} \\ &= 294.33 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{La}_3 &= 294.33 \times \frac{3}{2} \\ &= 441.50 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Mi}_4 &= 441.50 \times \frac{3}{2} \\ &= 662.25 \, \text{Hz} \\ \text{Mi}_3 &= \frac{662.25}{2} \\ &= 331.12 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

L'Octave : N'oubliez jamais de vérifier si la nouvelle fréquence est supérieure au double de la fréquence de base (\(\text{Do}_3 \times 2 = 523.26 \, \text{Hz}\)). Si c'est le cas, il faut la diviser par 2 autant de fois que nécessaire pour la ramener dans l'octave de départ.

Le saviez-vous ?

Le "cycle des quintes" est la base de toute l'harmonie occidentale. En partant d'une note et en montant de quinte en quinte, on peut générer les 12 notes de la gamme chromatique.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la quinte est-elle si importante ?

Le rapport 3/2 est, après l'octave (2/1), le rapport le plus simple entre deux fréquences différentes. L'oreille humaine le perçoit comme extrêmement stable et consonant, ce qui en a fait la pierre angulaire de la théorie musicale pendant des siècles.

Résultats Pythagore : Sol ≈ 392.44 Hz, Ré ≈ 294.33 Hz, Mi ≈ 331.12 Hz.

Question 2 : Fréquence du Mi dans la Gamme de Zarlino

Principe :

La gamme de Zarlino (ou gamme juste) a pour but de simplifier les rapports pour les tierces et les sixtes. La tierce majeure (Do-Mi) est définie par le rapport simple et consonant de 5/4, considéré comme plus "pur" que celui de Pythagore.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le but de Zarlino était de rendre les accords majeurs (Do-Mi-Sol) aussi consonants que possible. Pour cela, il a utilisé les rapports les plus simples possibles : l'unisson (1/1), la tierce majeure (5/4) et la quinte juste (3/2).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{\text{Mi}} = F_{\text{Do}} \times \frac{5}{4} \]
Donnée(s) :
  • Fréquence de base (\(\text{Do}_3\)) : \(261.63 \, \text{Hz}\)
  • Rapport de tierce majeure juste : \(5/4\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \text{Mi}_3 &= 261.63 \times \frac{5}{4} \\ &= 327.04 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas confondre les tierces : La tierce pythagoricienne est le résultat de quatre quintes successives (\((3/2)^4\), ramené à l'octave, soit 81/64). La tierce juste de Zarlino est un rapport simple de 5/4. Il ne faut pas les intervertir.

Le saviez-vous ?

Zarlino était fasciné par le nombre 6, le "numero senario", car il est la somme (1+2+3) et le produit (1x2x3) de ses diviseurs. Les rapports de l'accord parfait majeur (Do-Mi-Sol) peuvent être exprimés avec les nombres 4, 5 et 6 (Do:4, Mi:5, Sol:6), ce qui renforçait sa conviction du caractère "divin" de ces proportions.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi le rapport 5/4 sonne-t-il bien ?

Lorsque deux sons ont des fréquences dans un rapport de 5/4, la 4ème harmonique du son le plus grave coïncide avec la 5ème harmonique du son le plus aigu. Cette coïncidence de partiels renforce la sensation de fusion et de consonance pour l'oreille.

Résultat Zarlino : Mi ≈ 327.04 Hz.

Question 3 : Comparaison des Tierces (Mi)

Principe :

On compare directement les deux fréquences calculées pour la note Mi. La différence, bien que faible en Hz, est perceptible et caractérise la "couleur" de chaque gamme. Le rapport entre ces deux fréquences est appelé le "comma syntonique" ou "comma de Didyme".

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Il n'y a pas de "bonne" ou de "mauvaise" tierce. Il s'agit de deux "couleurs" sonores différentes. La tierce de Pythagore est brillante et énergique, tandis que celle de Zarlino est douce et apaisante. Le choix dépend du contexte musical.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta f = f_{\text{Mi}_{\text{Pyth}}} - f_{\text{Mi}_{\text{Zar}}} \]
\[ \text{Comma syntonique} = \frac{f_{\text{Mi}_{\text{Pyth}}}}{f_{\text{Mi}_{\text{Zar}}}} = \frac{81/64}{5/4} = \frac{81}{80} \]
Donnée(s) :
  • Fréquence Mi Pythagore : \(331.12 \, \text{Hz}\)
  • Fréquence Mi Zarlino : \(327.04 \, \text{Hz}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta f &= 331.12 - 327.04 \\ &= 4.08 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Rapport} &= \frac{331.12}{327.04} \\ &\approx 1.0125 \quad (\text{ce qui correspond bien à } 81/80) \end{aligned} \]
Points de vigilance :

L'importance des petites différences : Une différence de 4 Hz peut sembler négligeable, mais en musique, elle change radicalement la perception d'un accord. C'est ce qui crée le phénomène de "battement" lorsque deux notes très proches sont jouées simultanément.

Le saviez-vous ?

Le comma syntonique (81/80) est la "monnaie d'échange" des tempéraments mésotoniques. Pour obtenir des tierces pures (5/4), les accordeurs de la Renaissance et du Baroque raccourcissaient légèrement les quintes d'une fraction de ce comma.

FAQ en rapport avec la question :
Quel système est le "meilleur" ?

Aucun. La gamme de Pythagore est parfaite pour la mélodie (quintes justes), tandis que celle de Zarlino est meilleure pour l'harmonie (accords parfaits). Cette contradiction est la raison pour laquelle les musiciens ont inventé les "tempéraments", des compromis entre les deux.

Conclusion : La tierce de Pythagore (Mi ≈ 331.12 Hz) est plus haute que la tierce juste de Zarlino (Mi ≈ 327.04 Hz).

Question 4 : Le Comma Pythagoricien

Principe :

Le cycle des quintes ne "reboucle" pas parfaitement sur un cycle d'octaves. On calcule la note obtenue après 12 quintes et on la compare à la note obtenue après 7 octaves. Elles devraient être identiques (un Do), mais elles ne le sont pas.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est la "faille" mathématique fondamentale de la musique occidentale. Si \( (3/2)^{12} \) était égal à \( 2^7 \), la musique serait beaucoup plus simple, mais peut-être moins riche. Tout l'art de l'accordage vise à "cacher" ou distribuer cette différence, le comma.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{\text{12 Quintes}} = F_{\text{base}} \times \left(\frac{3}{2}\right)^{12} \]
\[ F_{\text{7 Octaves}} = F_{\text{base}} \times 2^7 \]
Donnée(s) :
  • Fréquence de base (\(\text{Do}_3\)) : \(261.63 \, \text{Hz}\)
  • Nombre de quintes : 12
  • Nombre d'octaves : 7
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} F_{\text{12 Quintes}} &= 261.63 \times (1.5)^{12} \\ &\approx 261.63 \times 129.746 \\ &= 33945.6 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} F_{\text{7 Octaves}} &= 261.63 \times 2^7 \\ &= 261.63 \times 128 \\ &= 33488.64 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Rapport (Comma)} &= \frac{F_{\text{12 Quintes}}}{F_{\text{7 Octaves}}} \\ &= \frac{33945.6}{33488.64} \\ &\approx 1.0136 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Précision des calculs : En raison des puissances élevées, il est crucial de ne pas arrondir les valeurs intermédiaires. Utilisez une calculatrice avec une bonne précision pour voir apparaître clairement la différence.

Le saviez-vous ?

Certaines traditions musicales, notamment dans la musique indienne ou arabe, n'essaient pas de "résoudre" ce problème. Elles utilisent des micro-intervalles (des "commas") comme des notes à part entière, enrichissant ainsi leur palette mélodique bien au-delà des 12 demi-tons occidentaux.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi spécifiquement 12 quintes et 7 octaves ?

Parce que c'est le premier point où les deux cycles se rapprochent. Douze demi-tons forment une octave, et le cycle des quintes (Do-Sol-Ré-La...) est le moyen le plus naturel de générer ces douze demi-tons. On compare donc la fin du cycle des 12 quintes à la fin du cycle des 7 octaves, qui correspondent à la même note de départ (Do).

Conclusion : Après 12 quintes, on obtient une note environ 1.36% plus haute que celle obtenue après 7 octaves. Cet intervalle est le comma pythagoricien.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour comparer les fréquences (en Hz) des notes clés (base \(\text{Do}_3 = 261.63 \, \text{Hz}\)).

Note Fréquence Pythagore (Hz) Fréquence Zarlino (Hz)
Do 261.63 261.63
Ré Cliquez pour révéler Cliquez pour révéler
Mi Cliquez pour révéler Cliquez pour révéler
Sol Cliquez pour révéler Cliquez pour révéler

Simulation Interactive et Sonore

Choisissez une note et une fréquence de base pour comparer les deux gammes. Cliquez sur les boutons pour entendre la différence !

Paramètres de Simulation
Fréq. Pythagore
Fréq. Zarlino
Visualisation de la Différence

Pour Aller Plus Loin : Le Tempérament Égal

La solution moderne : Pour résoudre le problème du comma, le tempérament égalSystème actuel où l'octave est divisée en 12 demi-tons égaux. Tous les intervalles sont légèrement "faux", sauf l'octave, mais la modulation dans toutes les tonalités est possible. divise l'octave en 12 demi-tons parfaitement égaux. Le rapport de chaque demi-ton est de \( \sqrt[12]{2} \approx 1.05946 \). Dans ce système, seule l'octave est "juste" (rapport 2/1). Toutes les autres intervalles sont légèrement "faux" par rapport aux rapports simples, mais ils sont identiques dans toutes les tonalités, ce qui permet de moduler librement. C'est le système utilisé par la quasi-totalité de la musique occidentale aujourd'hui.

Le Saviez-Vous ?

La "quinte du loup" est le nom donné à la quinte qui sonne faux dans la gamme pythagoricienne. Pour boucler le cycle, une des douze quintes doit être raccourcie pour compenser le comma. Cette quinte "hurlait" tellement à l'oreille des musiciens qu'ils l'ont comparée à un loup, et les compositeurs évitaient soigneusement de l'utiliser.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la tierce de Pythagore sonne-t-elle "dure" ?

Son rapport de fréquences est de 81/64. C'est un rapport mathématiquement complexe comparé au rapport simple de 5/4 de la tierce juste. L'oreille humaine perçoit les rapports de petits nombres entiers (comme 3/2 ou 5/4) comme plus consonants et harmonieux.

Est-ce que des musiciens utilisent encore ces anciennes gammes ?

Oui ! Les ensembles de musique ancienne (baroque, médiévale) utilisent souvent des tempéraments historiques (mésotoniques, etc.) pour recréer la sonorité authentique des œuvres de l'époque. Le choix du tempérament était une partie intégrante de la composition et de l'interprétation.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel intervalle est privilégié dans la construction de la gamme de Pythagore ?

  • L'octave (2/1)

2. Le comma pythagoricien est la différence entre :

Glossaire

Rapport de Fréquence
Le ratio entre la fréquence de deux notes. Des rapports simples (ex: 3/2) sont perçus comme consonants.
Quinte Juste
Intervalle fondamental de la musique occidentale, correspondant à un rapport de 3/2. Base de la gamme pythagoricienne.
Tierce Majeure
Intervalle clé pour la couleur "majeure". Son rapport juste est 5/4 (gamme de Zarlino), mais il est plus complexe dans la gamme de Pythagore (81/64).
Comma Pythagoricien
Le petit écart (~1.36%) entre 12 quintes pures et 7 octaves pures. C'est l'incompatibilité fondamentale qui a mené aux tempéraments.
Tempérament Égal
Le système d'accordage standard aujourd'hui, qui résout le problème du comma en rendant tous les demi-tons égaux, au prix de quintes et tierces légèrement impures.
Fondamentaux de l'Acoustique Musicale - Exercice d'Application

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