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Étude des fréquences de résonance

Exercice: Résonance Corde Musicale

Étude des Fréquences de Résonance d'une Corde de Guitare

Contexte : L'Acoustique MusicaleLa branche de la physique qui étudie les sons produits par les instruments de musique..

Un luthier souhaite concevoir une nouvelle guitare. Pour s'assurer que l'instrument sonne juste, il doit comprendre comment les propriétés physiques d'une corde (longueur, tension, masse) influencent les notes produites. Cet exercice vous guidera à travers le calcul des fréquences de résonance, qui sont à la base de toutes les notes de musique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la formule des ondes stationnaires pour déterminer la fréquence fondamentale et les harmoniques d'une corde vibrante.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la relation entre les propriétés physiques d'une corde et la vitesse de l'onde.
Calculer la fréquence fondamentale ($f_1$) d'une corde.
Déterminer les fréquences des harmoniques (partiels) supérieurs.

Données de l'étude : Corde 'Mi' grave

Nous étudions une corde de guitare standard, fixée à ses deux extrémités (au niveau du chevalet et du sillet de tête).

Propriétés de la Corde

Caractéristique	Valeur
Type d'instrument	Guitare Classique
Matériau Corde	Nylon filé argent
Fixation	Fixe aux deux extrémités

Schéma de la Corde Vibrante

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur de la corde	$L$	65	cm
Tension appliquée	$T$	80	N
Masse linéiqueMasse de la corde par unité de longueur, souvent en g/m ou kg/m.	$\mu$	5	g/m

Questions à traiter

Calculer la vitesse de l'onde ($v$) sur la corde, après avoir converti les unités dans le Système International (SI).
Calculer la fréquence fondamentale ($f_1$) de la corde.
Calculer la fréquence du troisième harmonique ($f_3$).
Si le guitariste pose son doigt sur la 12ème frette (divisant la longueur vibrante par 2), quelle est la nouvelle fréquence fondamentale ?
Le luthier décide d'augmenter la tension. Quel sera l'effet sur la hauteur de la note ?

Les bases sur les Ondes Stationnaires

Une corde de guitare produit un son en vibrant selon des modes spécifiques appelés 'ondes stationnaires'. Ces modes ne peuvent exister qu'à certaines fréquences, appelées fréquences de résonance ou harmoniques. C'est la superposition de ces fréquences qui crée le "timbre" de l'instrument.

1. Vitesse et Fréquence Fondamentale
La note principale (fondamentale, $f_1$) dépend de la longueur de la corde ($L$), de sa tension ($T$) et de sa masse linéique ($\mu$). La vitesse de l'onde ($v$) est une étape intermédiaire clé. L'équation complète est :

\[ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]

2. Les Harmoniques (Partiels)
Les autres notes "cachées" qui forment le timbre du son sont les harmoniques. Ce sont des multiples entiers de la fondamentale : $f_2 = 2 \cdot f_1$, $f_3 = 3 \cdot f_1$, etc. Le nombre $n$ est le 'numéro' de l'harmonique ($n=1$ pour la fondamentale).

Correction : Étude des Fréquences de Résonance d'une Corde de Guitare

Question 1 : Calculer la vitesse de l'onde ($v$) sur la corde...

Principe

Cette section vise à comprendre que la vitesse de l'onde n'est pas la vitesse du son dans l'air, mais la vitesse de la perturbation qui court *le long de la corde*. Elle dépend de la tension (plus c'est tendu, plus c'est rapide) et de l'inertie de la corde (plus elle est lourde/dense, plus c'est lent).

Mini-Cours

La formule de Taylor, $v = \sqrt{T/\mu}$, régit ce phénomène. Elle relie la célérité de l'onde ($v$) à la force de tension ($T$) qui "tire" la corde et à sa masse linéique ($\mu$) qui "résiste" au mouvement.

Remarque Pédagogique

La plus grande source d'erreur dans ce calcul est la gestion des unités. Toute la physique fondamentale s'écrit dans le Système International (SI). Il est impératif de convertir toutes les données en (kg, m, s, N) *avant* de commencer le calcul.

Normes

Ce calcul est basé sur les principes fondamentaux de la mécanique ondulatoire (équation de d'Alembert), universellement appliqués en acoustique et en ingénierie.

Formule(s)

Nous aurons besoin des conversions d'unités et de la formule de Taylor.

Conversions d'unités

\begin{aligned} 1 \text{ g/m} &= 0.001 \text{ kg/m} \\ 1 \text{ cm} &= 0.01 \text{ m} \end{aligned}

Formule de Taylor (Vitesse de l'onde)

v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}

Hypothèses

Pour appliquer cette formule simple, nous posons les hypothèses suivantes :

La corde est parfaitement flexible (pas de raideur propre).
Les vibrations sont de faible amplitude (petits déplacements).
La tension $T$ est constante sur toute la longueur de la corde.

Donnée(s)

Nous extrayons les données pertinentes pour cette question :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
TensionLa force (en Newtons, N) qui étire la corde à ses deux extrémités.	$T$	80	N
Masse linéiqueMasse de la corde par unité de longueur, souvent en g/m ou kg/m.	$\mu$	5	g/m

Astuces

Un bon moyen de vérifier votre ordre de grandeur : la vitesse de l'onde sur une corde de guitare ou de piano est typiquement de plusieurs centaines de mètres par seconde. Si vous trouvez 3 m/s ou 10 000 m/s, il y a probablement une erreur d'unité.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisons les deux propriétés physiques qui déterminent la vitesse de l'onde.

Paramètres Physiques de la Corde

Calcul(s)

Nous procédons en deux étapes : la conversion des unités, puis l'application de la formule.

Étape 1 : Conversion de la masse linéique ($\mu$)

La formule nécessite des unités SI (kg, m, N). La tension $T$ est déjà en Newtons (N), mais la masse linéique $\mu$ est en grammes par mètre (g/m). Nous devons la convertir en kilogrammes par mètre (kg/m).

Comme $ 1 \text{ kg} = 1000 \text{ g}$, alors $ 1 \text{ g} = 10^{-3} \text{ kg} $.

\begin{aligned} \mu &= 5 \text{ g/m} \\ \mu &= 5 \times 10^{-3} \text{ kg/m} \\ \mu &= 0.005 \text{ kg/m} \end{aligned}

Nous avons maintenant notre masse linéique en unité SI ($0.005 \text{ kg/m}$), prête pour le calcul de la vitesse.

Étape 2 : Calcul de la vitesse (Formule de Taylor)

Maintenant, nous insérons nos valeurs SI ($T = 80 \text{ N}$ et $\mu = 0.005 \text{ kg/m}$) dans la formule de Taylor.

Nous calculons d'abord le rapport sous la racine : $ \frac{80}{0.005} = \frac{80}{5 / 1000} = \frac{80 \times 1000}{5} = \frac{80000}{5} = 16000 $.

\begin{aligned} v &= \sqrt{\frac{T}{\mu}} \\ v &= \sqrt{\frac{80}{0.005}} \\ v &= \sqrt{16000} \\ v &\approx 126.4911... \text{ m/s} \\ \Rightarrow v &\approx 126.49 \text{ m/s} \text{ (arrondi à 2 décimales)} \end{aligned}

Le résultat final, 126.49 m/s, est la vitesse à laquelle l'onde se propage le long de la corde. C'est cette valeur que nous utiliserons pour la question suivante.

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre l'onde (perturbation) se déplaçant le long de la corde à la vitesse calculée.

Propagation de l'Onde

Réflexions

Une vitesse de 126.49 m/s (soit environ 455 km/h) est bien de l'ordre de grandeur attendu pour une corde de guitare. Cette vitesse est bien inférieure à la vitesse du son dans l'air (environ 340 m/s), mais c'est elle qui dicte la fréquence de vibration de la corde.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier la racine carrée ! Une erreur fréquente est de calculer $T/\mu$ et d'oublier de prendre la racine. Également, ne pas confondre gramme (g) et kilogramme (kg). Une erreur de $10^3$ sur la masse mène à une erreur d'un facteur $\sqrt{1000} \approx 31.6$ sur la vitesse !

Points à retenir

La vitesse de l'onde sur une corde ne dépend que de ses propriétés mécaniques :

La vitesse $v$ est proportionnelle à $\sqrt{T}$ (plus c'est tendu, plus c'est rapide).
La vitesse $v$ est inversement proportionnelle à $\sqrt{\mu}$ (plus c'est lourd, plus c'est lent).
Formule Clé : $v = \sqrt{T/\mu}$.
Vigilance Clé : Conversion d'unités SI (N, kg/m) obligatoire.

Le saviez-vous ?

C'est en "tournant la clé" (mécanique) d'une guitare que le musicien ajuste la tension $T$. En tendant la corde, $T$ augmente, $v$ augmente, et donc la fréquence augmente : la note devient plus aiguë. C'est le principe de l'accordage.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La vitesse de l'onde sur la corde est de 126.49 m/s.

A vous de jouer

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Que se passerait-il si la corde était plus lourde, avec une masse linéique $\mu = 10 \text{ g/m}$ (et T=80 N) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Vitesse de l'onde (Taylor).
Formule Essentielle : $v = \sqrt{T/\mu}$.
Point de Vigilance Majeur : Cohérence des unités SI (N, kg/m).

Question 2 : Calculer la fréquence fondamentale ($f_1$) de la corde.

Principe

La fréquence fondamentale est la note la plus grave que la corde peut jouer. Elle correspond à une onde stationnaire où la corde vibre en *un seul* fuseau. La longueur de la corde $L$ doit correspondre exactement à une demi-longueur d'onde ($\lambda/2$).

Mini-Cours

La relation universelle des ondes est $v = \lambda \cdot f$. Pour le mode fondamental ($n=1$), la longueur d'onde est $\lambda_1 = 2L$. En remplaçant, on obtient $v = (2L) \cdot f_1$, ce qui donne la formule de la fréquence fondamentale.

Remarque Pédagogique

Cette fréquence $f_1$ est la "note" que l'on entend le plus. Toutes les autres fréquences (harmoniques) viennent "colorer" ce son de base.

Normes

Les formules $v = \lambda \cdot f$ et $\lambda_1 = 2L$ sont des principes de base de la physique ondulatoire pour les ondes stationnaires à extrémités fixes.

Formule(s)

Conversion d'unités

1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}

Fréquence fondamentale (n=1)

f_1 = \frac{v}{2L}

Hypothèses

Nous réutilisons les hypothèses de la Q1 (corde parfaitement flexible, etc.) et nous supposons que les supports sont des "nœuds" de vibration parfaits (amplitude nulle).

Supports = Nœuds de vibration.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q1 et une donnée de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse de l'onde	$v$	126.49	m/s
Longueur de la corde	$L$	65	cm

Astuces

Vous pouvez combiner les formules des Q1 et Q2 pour obtenir la formule complète : $f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$. Cela permet de calculer $f_1$ directement si $v$ n'est pas demandée.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du mode fondamental (n=1). La corde vibre en un seul fuseau.

Mode Fondamental (n=1)

Calcul(s)

Ici aussi, nous devons d'abord convertir la longueur en unité SI (mètres) avant d'appliquer la formule de la fréquence.

Étape 1 : Conversion de la longueur (L)

La longueur est donnée en centimètres (cm). Nous la convertissons en mètres (m).

Comme $ 1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$, alors $ 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m} $.

\begin{aligned} L &= 65 \text{ cm} \\ L &= 65 \times 0.01 \text{ m} \\ L &= 0.65 \text{ m} \end{aligned}

La longueur vibrante de la corde que nous utiliserons dans le calcul est donc de 0.65 mètres.

Étape 2 : Calcul de la fréquence $f_1$

Nous utilisons la vitesse $v$ de la Q1 ($126.49 \text{ m/s}$) et notre nouvelle longueur $L$ ($0.65 \text{ m}$).

On commence par calculer le dénominateur $2L$ : $ 2 \times 0.65 = 1.30 $.

\begin{aligned} f_1 &= \frac{v}{2L} \\ f_1 &= \frac{126.49}{2 \times 0.65} \\ f_1 &= \frac{126.49}{1.30} \\ f_1 &\approx 97.300... \text{ Hz} \\ \Rightarrow f_1 &\approx 97.30 \text{ Hz} \text{ (arrondi à 2 décimales)} \end{aligned}

Cette valeur de 97.30 Hz est la fréquence fondamentale, c'est-à-dire la note 'principale' que nous entendons.

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre la relation entre la longueur de la corde (L) et la longueur d'onde ($\lambda$) pour le mode fondamental (n=1).

Relation L et Longueur d'Onde (λ1)

Réflexions

Une fréquence de 97.30 Hz est très proche de la note Sol 2 (G2) sur un piano (98.00 Hz). C'est une fréquence typique pour une corde grave de guitare (la corde 'Mi' grave standard est à 82.4 Hz, nos données sont donc réalistes).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier le facteur '2' au dénominateur. La longueur d'onde $\lambda_1$ est $2L$, et non $L$.

Points à retenir

La fréquence est inversement proportionnelle à la longueur ($L$). Si $L$ augmente, $f_1$ diminue (son plus grave).
La fréquence est directement proportionnelle à la vitesse ($v$). Si $v$ augmente, $f_1$ augmente (son plus aigu).

Le saviez-vous ?

La longueur $L$ s'appelle le "diapason" de l'instrument. Sur une guitare électrique type Fender Stratocaster, elle est de 64.8 cm, tandis que sur une Gibson Les Paul, elle est de 62.9 cm. Cette petite différence change la tension nécessaire pour la même note, et donc la "sensation" de jeu.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La fréquence fondamentale (note principale) de la corde est de 97.30 Hz.

A vous de jouer

Quelle serait la fréquence si la corde faisait 1 mètre (100 cm) de long (avec v=126.49 m/s) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Fréquence fondamentale (n=1).
Formule Essentielle : $f_1 = v / 2L$.
Vigilance : Ne pas oublier le '2' et convertir $L$ en mètres.

Question 3 : Calculer la fréquence du troisième harmonique ($f_3$).

Principe

Les harmoniques sont les autres fréquences 'naturelles' de la corde. Le 3ème harmonique ($n=3$) signifie que la corde vibre en *trois* fuseaux simultanément. Sa fréquence est simplement un multiple entier de la fondamentale.

Mini-Cours

Pour une corde fixée aux deux bouts, toutes les harmoniques entières ($n=1, 2, 3, 4...$) sont possibles. Le son que nous entendons est une "recette" complexe (une superposition) de toutes ces harmoniques, avec des intensités différentes. C'est ce qui fait le *timbre*.

Remarque Pédagogique

Notez la terminologie : $f_1$ est la fondamentale (ou 1er harmonique). $f_2$ est le 2ème harmonique (ou 1er partiel). $f_3$ est le 3ème harmonique (ou 2ème partiel). C'est une source fréquente de confusion !

Normes

Ce principe de quantification ($f_n = n \cdot f_1$) est une conséquence directe de la résolution de l'équation d'onde avec des conditions aux limites (points fixes à $x=0$ et $x=L$).

Formule(s)

Relation des Harmoniques

f_n = n \cdot f_1

Hypothèses

Nous supposons que la corde est un "résonateur" idéal, c'est-à-dire que les fréquences harmoniques sont des multiples *parfaits* de la fondamentale. (Dans la réalité, la raideur de la corde les décale légèrement).

Corde idéale (pas de raideur).

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q2 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréq. Fondamentale	$f_1$	97.30	Hz
Numéro d'harmonique	$n$	3

Astuces

Sur une guitare, on peut "isoler" une harmonique en effleurant la corde (sans appuyer) à un point qui est un nœud de vibration pour cet harmonique. Pour $n=3$, il y a des nœuds à L/3 et 2L/3.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du mode harmonique n=3. La corde vibre en trois fuseaux.

Mode Harmonique n=3

Calcul(s)

Ce calcul est une simple multiplication. Nous prenons la fréquence fondamentale $f_1$ calculée à la question 2 et la multiplions par le numéro de l'harmonique, ici $n=3$.

Calcul de $f_3$

On utilise $f_1 \approx 97.30 \text{ Hz}$.

\begin{aligned} f_n &= n \cdot f_1 \\ f_3 &= 3 \cdot f_1 \\ f_3 &= 3 \times 97.30 \\ f_3 &= 291.90 \text{ Hz} \\ \Rightarrow f_3 &= 291.90 \text{ Hz} \end{aligned}

Cette fréquence est le 3ème harmonique (ou 2ème partiel), contribuant au timbre du son.

Schéma (Après les calculs)

Un spectre en barres est une bonne façon de visualiser les harmoniques et leur relation avec la fondamentale.

Spectre de Fréquences (théorique)

Réflexions

Cette fréquence (291.90 Hz) est la 'deuxième harmonique' (ou 'premier partiel' audible en plus de la fondamentale). Elle est proche de la note Ré 4 (D4). C'est ce mélange d'harmoniques ($f_1$, $f_2$, $f_3$, etc.) qui donne à la guitare son 'timbre' unique et la différencie d'un piano ou d'une flûte jouant la *même* note fondamentale.

Points de vigilance

Ne pas confondre 3ème harmonique ($f_3$) et 3ème octave. La 3ème harmonique est $f_1 \times 3$. La 3ème octave est $f_1 \times 2^3 = f_1 \times 8$.

Points à retenir

Le timbre d'un son est déterminé par la présence et l'amplitude relative des harmoniques.
Pour une corde vibrante, les harmoniques sont des multiples entiers simples de $f_1$.

Le saviez-vous ?

Certains instruments, comme les cloches, ont des partiels (fréquences de résonance) qui ne sont *pas* des multiples entiers de la fondamentale. On parle de son "inharmonique", ce qui leur donne ce timbre métallique et complexe.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La fréquence du 3ème harmonique est de 291.90 Hz.

A vous de jouer

Quelle est la fréquence du 2ème harmonique ($f_2$), qui correspond à la première octave ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Harmoniques = multiples de la fondamentale.
Formule Essentielle : $f_n = n \cdot f_1$.

Question 4 : ...pose son doigt sur la 12ème frette (divisant la longueur par 2)...

Principe

Poser un doigt sur une frette ne change ni la tension $T$ ni la masse linéique $\mu$, donc la vitesse $v$ reste la même. Par contre, cela change la *longueur* vibrante ($L$) de la corde. La 12ème frette est spécifiquement placée pour diviser la corde exactement en deux.

Mini-Cours

La fréquence est inversement proportionnelle à la longueur : $f_1 = v / (2L)$. Si on crée une nouvelle longueur $L' = L/2$, la nouvelle fréquence $f'_1$ sera $f'_1 = v / (2L') = v / (2(L/2)) = v / L$. En comparant les deux, on voit que $f'_1 = 2 \cdot f_1$.

Remarque Pédagogique

C'est le principe de base de tous les instruments à cordes "frettées" (guitare, basse, mandoline...). Chaque frette est placée à un endroit précis pour raccourcir $L$ d'un facteur qui correspond à une note de la gamme (un demi-ton).

Normes

Le calcul de l'emplacement des frettes suit une "règle du douzième" (la 12ème frette est au milieu) qui découle de la gamme tempérée occidentale, où une octave représente un rapport de fréquence de 2.

Formule(s)

Nouvelle longueur

\[ L' = L / 2 \]

Nouvelle fréquence fondamentale

f'_1 = \frac{v}{2L'} = \frac{v}{2(L/2)} = \frac{v}{L}

Hypothèses

On suppose que le doigt sur la frette agit comme un "point fixe" parfait, tout comme le sillet de tête.

La frette est un nœud de vibration parfait.

Donnée(s)

Nous pouvons réutiliser $f_1$ de la Q2 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréq. Fondamentale (base)	$f_1$	97.30	Hz
Rapport de longueur	$L/L'$	2

Astuces

Plutôt que de recalculer $L' = 0.65 / 2 = 0.325$ m, puis $f'_1 = 126.49 / (2 \times 0.325)$, utilisez simplement la proportionnalité : $f'_1 = 2 \cdot f_1$. C'est plus élégant et moins sujet aux erreurs d'arrondi.

Schéma (Avant les calculs)

Le doigt du guitariste crée un nouveau point fixe à L/2.

Jeu à la 12ème Frette (L/2)

Calcul(s)

Nous pouvons résoudre cela de deux façons, mais la plus rapide est d'utiliser la proportionnalité. Nous avons établi que $f'_1 = 2 \cdot f_1$.

Méthode 1 : Proportionnalité (Recommandée)

Nous utilisons $f_1 = 97.30 \text{ Hz}$ de la Q2.

\begin{aligned} f'_1 &= 2 \cdot f_1 \\ f'_1 &= 2 \times 97.30 \text{ Hz} \\ \Rightarrow f'_1 &= 194.60 \text{ Hz} \end{aligned}

Le calcul est direct et montre que la fréquence double, ce qui correspond à une octave.

Méthode 2 : Calcul complet (pour vérification)

1. Nouvelle longueur : $L' = L / 2 = 0.65 \text{ m} / 2 = 0.325 \text{ m}$
2. Vitesse (inchangée) : $v = 126.49 \text{ m/s}$
3. Nouvelle fréquence :

\begin{aligned} f'_1 &= \frac{v}{2L'} \\ f'_1 &= \frac{126.49}{2 \times 0.325} \\ f'_1 &= \frac{126.49}{0.65} \\ f'_1 &\approx 194.60 \text{ Hz} \end{aligned}

Comme on peut le voir, le calcul complet confirme le résultat de la méthode par proportionnalité.

Schéma (Après les calculs)

La nouvelle vibration fondamentale se produit sur la longueur L'.

Nouveau Mode Fondamental (sur L')

Réflexions

La nouvelle fréquence (194.60 Hz) est exactement le *double* de la fondamentale (97.30 Hz). En musique, doubler la fréquence équivaut à monter d'une *octave*. C'est pourquoi la 12ème frette donne toujours l'octave de la corde à vide, sur n'importe quelle guitare.

Points de vigilance

Ne pas refaire tout le calcul avec $v$ et $L'$. Utiliser la proportionnalité est plus rapide et moins risqué. Puisque $f_1$ est inversement proportionnel à $L$ ($f_1 \propto 1/L$), si on divise $L$ par 2, on multiplie $f_1$ par 2.

Points à retenir

Le rôle des frettes est de modifier la longueur vibrante $L$.
Raccourcir la corde augmente la fréquence (son plus aigu).

Le saviez-vous ?

Sur un violon, qui n'a pas de frettes, le musicien doit placer son doigt *exactement* au bon endroit sur la touche pour obtenir la bonne longueur $L'$ et donc la bonne note. C'est ce qui rend l'apprentissage de la justesse si difficile !

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La nouvelle fréquence fondamentale (à l'octave) est de 194.60 Hz.

A vous de jouer

La 5ème frette réduit la longueur vibrante à environ 3/4 de la longueur initiale ($L' \approx 0.75 L$). Quelle est la nouvelle fréquence ? (Indice: $f'_1 = f_1 \cdot (L / L')$)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Fréquence et longueur sont inversement proportionnelles ($f \propto 1/L$).
Application : Diviser L par 2 (12ème frette) = Multiplier f par 2 (Octave).

Question 5 : Le luthier augmente la tension. Quel sera l'effet ?

Principe

C'est l'action d'accorder un instrument. On analyse la relation qualitative entre la Tension ($T$) et la Fréquence ($f$) sans calcul numérique.

Mini-Cours

Toute la physique de l'instrument est dans l'équation $ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} $. En regardant cette formule, on voit que $f_1$ est "en haut" et $T$ est "en haut" (au numérateur). Cela signifie qu'ils varient dans le même sens : si l'un augmente, l'autre augmente.

Remarque Pédagogique

C'est l'une des deux façons principales de changer une note. L'autre est de changer $L$ (en jouant sur les frettes). Changer $\mu$ (la masse linéique) n'est pas possible pendant le jeu ; c'est un choix de conception (c'est pourquoi la corde de Mi grave est beaucoup plus épaisse que la corde de Mi aigu).

Normes

Ce principe est la base de l'accordage de tous les instruments à cordes, du piano (où la tension est réglée par un accordeur professionnel) à la guitare (où le musicien le fait lui-même). Le "La 440" (A4 = 440 Hz) est la norme de diapason internationale qui sert de référence pour régler la tension de base des instruments.

Formule(s)

Nous regardons la formule complète de la fondamentale :

f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}

Hypothèses

On suppose que $L$ et $\mu$ restent constants pendant que l'on tourne la mécanique d'accordage.

L = constant
$\mu$ = constant

Donnée(s)

C'est une question qualitative. Nous n'avons pas besoin de données numériques, nous étudions simplement la relation de proportionnalité $f_1 \propto \sqrt{T}$.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
...	...	...	...

Astuces

Pensez à un élastique. Si vous le tendez à peine et que vous le pincez, il fait un son "flap" grave. Si vous le tendez très fort, il fait un "twang" aigu. C'est la même physique !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'action d'augmenter la tension via la mécanique d'accordage.

Augmentation de la Tension

Calcul(s)

C'est une analyse qualitative. Nous n'avons pas besoin de chiffres, juste de comprendre le sens de la formule.

Analyse de la formule

La formule est : $ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} $.
Nous analysons la relation entre $f_1$ et $T$, en supposant que $L$ et $\mu$ sont constants.

f_1 \propto \sqrt{T}

Cette relation de proportionnalité est la clé pour comprendre l'accordage.

Donc, si la Tension $T$ augmente ($\uparrow$), alors la racine de $T$ ($\sqrt{T}$) augmente aussi ($\uparrow$).
Par proportionnalité, la fréquence $f_1$ doit aussi augmenter ($\uparrow$).

T \uparrow \implies \sqrt{T} \uparrow \implies f_1 \uparrow

Une augmentation de la tension force la corde à vibrer plus rapidement, produisant un son plus aigu.

Schéma (Après les calculs)

Ce graphique montre la relation non-linéaire (racine carrée) entre la tension et la fréquence. Pour doubler la fréquence, il faut quadrupler la tension.

Relation Fréquence-Tension

Réflexions

La formule $f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ montre que la fréquence $f_1$ est *proportionnelle à la racine carrée de la tension* ($f_1 \propto \sqrt{T}$).

Par conséquent :

Si la tension $T$ augmente...
...alors $\sqrt{T}$ augmente...
...et donc la fréquence $f_1$ augmente.

Une fréquence plus élevée est perçue par l'oreille humaine comme un son plus *aigu*.

Points de vigilance

La relation n'est pas linéaire ! Pour doubler la fréquence (monter d'une octave), il faut multiplier la tension par 4 (car $\sqrt{4} = 2$). Augmenter la tension "un peu" n'augmente la fréquence "qu'un petit peu".

Points à retenir

Voici les deux façons de "jouer" d'une guitare :

Changer L (Jouer) : Raccourcir la corde (frettes) $\rightarrow$ $L \downarrow$ $\rightarrow$ $f \uparrow$ $\rightarrow$ Note plus AIGUË.
Changer T (Accorder) : Tendre la corde (mécaniques) $\rightarrow$ $T \uparrow$ $\rightarrow$ $f \uparrow$ $\rightarrow$ Note plus AIGUË.

Le saviez-vous ?

Les "bends" (tirés de corde) que font les guitaristes de blues et de rock consistent à augmenter *temporairement* la tension $T$ en tirant la corde latéralement, ce qui fait monter la note (la rend plus aiguë) de façon expressive.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

Augmenter la tension $T$ augmente la vitesse de l'onde $v$, ce qui augmente la fréquence fondamentale $f_1$. Le son produit sera plus aigu.

A vous de jouer

Pour doubler la fréquence (monter d'une octave) en ne jouant que sur la tension, par combien faut-il multiplier la tension $T$ ? (Indice: $f \propto \sqrt{T}$)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Fréquence et tension sont liées.
Relation : $f \propto \sqrt{T}$.
Effet : Plus de tension = Son plus aigu.

Outil Interactif : Simulateur de Corde

Utilisez cet outil pour voir comment la longueur et la tension influencent la note fondamentale et les harmoniques. (La masse linéique est fixée à $\mu = 0.005 \text{ kg/m}$).

Paramètres d'Entrée

Longueur (L) (cm) 65 cm

Tension (T) (N) 80 N

Résultats Clés

Vitesse (v) (m/s) -

Fondamentale (f1) (Hz) -

Glossaire

Fréquence Fondamentale ($f_1$): La fréquence de résonance la plus basse d'un système vibrant (n=1). Elle détermine la 'hauteur' principale de la note perçue.
Harmonique: Une fréquence de résonance d'un système, qui est un multiple entier (n=1, 2, 3...) de la fréquence fondamentale. L'ensemble des harmoniques forme le timbre du son.
Masse Linéique ($\mu$): La masse de la corde par unité de longueur. Généralement mesurée en kilogrammes par mètre (kg/m) ou en grammes par mètre (g/m).
Tension ($T$): La force (en Newtons, N) qui étire la corde à ses deux extrémités. Elle est ajustée par les mécaniques d'accordage.
Vitesse de l'onde ($v$): Aussi appelée célérité. C'est la vitesse à laquelle une perturbation (l'onde) se propage le long de la corde. Elle n'est pas la vitesse du son dans l'air.

D’autres exercices d’acoustique musicale:

Étude des fréquences de résonance

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude : Corde 'Mi' grave

Propriétés de la Corde

Schéma de la Corde Vibrante

Questions à traiter

Les bases sur les Ondes Stationnaires

Correction : Étude des Fréquences de Résonance d'une Corde de Guitare

Question 1 : Calculer la vitesse de l'onde (\(v\)) sur la corde...

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Paramètres Physiques de la Corde

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Propagation de l'Onde

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer la fréquence fondamentale (\(f_1\)) de la corde.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Mode Fondamental (n=1)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Relation L et Longueur d'Onde (λ1)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer la fréquence du troisième harmonique (\(f_3\)).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Mode Harmonique n=3

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Spectre de Fréquences (théorique)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : ...pose son doigt sur la 12ème frette (divisant la longueur par 2)...

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)