ÉTUDE ACOUSTIQUE

Étude des fréquences de résonance

Acoustique : Fréquences de Résonance d'un Tuyau d'Orgue

Étude des fréquences de résonance d'un tuyau d'orgue

Contexte : Le Souffle qui Devient Musique

Contrairement aux instruments à cordes, un orgue produit du son en faisant vibrer une colonne d'air contenue dans un tuyau. Lorsqu'on souffle de l'air à la base du tuyau (au niveau du biseau), on crée une turbulence qui contient une multitude de fréquences. La colonne d'air, de par sa longueur et ses extrémités (ouvertes ou fermées), entre en résonancePhénomène par lequel un système se met à osciller avec une amplitude maximale lorsqu'il est excité par une fréquence égale à l'une de ses fréquences propres. avec certaines de ces fréquences, les amplifiant pour créer une note de musique audible. Le type de tuyau, ouvert aux deux bouts ou fermé à un bout, change radicalement les conditions de résonance et donc le son produit. Cet exercice vise à explorer ces différences fondamentales.

Remarque Pédagogique : La physique des tuyaux sonores est essentielle pour comprendre le fonctionnement de tous les instruments à vent, des flûtes aux cuivres en passant par l'orgue. Le concept de conditions aux limites (ce qui se passe aux extrémités du tuyau) est un principe clé en physique des ondes qui détermine quelles vibrations sont "autorisées" et lesquelles ne le sont pas.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la formation d'ondes stationnaires dans une colonne d'air.
  • Distinguer les conditions aux limites pour un tuyau ouvert et un tuyau fermé.
  • Calculer la fréquence fondamentale et les harmoniques pour un tuyau ouvert.
  • Calculer la fréquence fondamentale et les harmoniques pour un tuyau fermé.
  • Comparer le timbre et la hauteur des sons produits par les deux types de tuyaux.

Données de l'étude

On étudie un tuyau d'orgue de longueur \(L = 2.62 \, \text{m}\). On prendra la célérité du son dans l'air comme étant \(v = 340 \, \text{m/s}\).

Modes Fondamentaux (Déplacement de l'air)
Tuyau Ouvert L = lambda1 / 2 V V N Tuyau Fermé L = lambda1 / 4 V N V = Ventre de déplacement, N = Nœud de déplacement

Questions à traiter

  1. Calculer la fréquence fondamentale \(f_{1, \text{ouvert}}\) du tuyau s'il est ouvert aux deux extrémités.
  2. Calculer la fréquence fondamentale \(f_{1, \text{fermé}}\) du tuyau s'il est fermé à une extrémité. Quelle est la différence de hauteur perçue par rapport au tuyau ouvert ?
  3. Déterminer les fréquences des deux premiers harmoniques audibles pour chaque type de tuyau. Qu'observe-t-on sur la composition du son ?

Correction : Étude des fréquences de résonance d'un tuyau d'orgue

Question 1 : Fréquence Fondamentale du Tuyau Ouvert

Principe :
Ventre Ventre Nœud

Dans un tuyau ouvert aux deux extrémités, l'air peut vibrer librement. Cela impose un ventre de déplacement (amplitude maximale) à chaque extrémité. Pour le mode fondamental (la plus basse fréquence), l'onde stationnaire la plus simple possible est celle qui ne possède qu'un seul nœud de déplacement au centre. La longueur du tuyau \(L\) correspond alors exactement à une demi-longueur d'onde (\(\lambda/2\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Il est crucial de visualiser cette condition. Un tuyau ouvert est "ouvert" à la vibration. Imaginez une corde qui ne serait pas attachée aux bouts : elle pourrait bouger au maximum à ses extrémités. C'est la même idée pour la colonne d'air. Cette condition \(L = \lambda/2\) est la même que pour une corde vibrante fixée à ses deux bouts.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L = \frac{\lambda_1}{2} \Rightarrow \lambda_1 = 2L \]
\[ f_1 = \frac{v}{\lambda_1} \]
Donnée(s) :
  • Célérité du son \(v = 340 \, \text{m/s}\)
  • Longueur du tuyau \(L = 2.62 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \lambda_{1, \text{ouvert}} &= 2 \times L \\ &= 2 \times 2.62 \\ &= 5.24 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{1, \text{ouvert}} &= \frac{v}{\lambda_{1, \text{ouvert}}} \\ &= \frac{340}{5.24} \\ &\approx 64.89 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Nœuds de pression vs. Nœuds de déplacement : Attention à ne pas confondre. Un ventre de déplacement (là où l'air bouge le plus) correspond à un nœud de pression (là où la variation de pression est nulle). Inversement, un nœud de déplacement (air immobile) est un ventre de pression. Les schémas montrent ici le déplacement de l'air.

Le saviez-vous ?

La fréquence de \(65 \, \text{Hz}\) est très grave, elle correspond à la note Do₂ (C2), le deuxième Do le plus grave sur un piano. C'est la note fondamentale d'un très grand tuyau d'orgue, appelé "8 pieds" dans le jargon des organistes.

FAQ en rapport avec la question :
La température de l'air a-t-elle un impact ?

Oui, absolument. La célérité du son \(v\) augmente avec la température de l'air. Un orgue dans une église froide ne sonnera pas à la même hauteur que dans une église chauffée. Les fréquences seront plus basses quand il fait froid, ce qui oblige à ré-accorder l'instrument.

Résultat : La fréquence fondamentale du tuyau ouvert est \(f_{1, \text{ouvert}} \approx 64.9 \, \text{Hz}\).

Question 2 : Fréquence Fondamentale du Tuyau Fermé

Principe :
Ventre Nœud

Dans un tuyau fermé à une extrémité, l'air ne peut pas bouger au fond : il y a un nœud de déplacement. L'autre extrémité, ouverte, est toujours un ventre. L'onde stationnaire la plus simple pouvant exister avec ces conditions est un quart de longueur d'onde. La longueur du tuyau \(L\) correspond donc à \(\lambda/4\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette condition \(L = \lambda/4\) est la différence fondamentale avec le tuyau ouvert. Pour une même longueur \(L\), la longueur d'onde du fondamental est deux fois plus grande dans un tuyau fermé que dans un tuyau ouvert. Comme la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur d'onde, la fréquence fondamentale du tuyau fermé sera beaucoup plus basse.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L = \frac{\lambda_1}{4} \Rightarrow \lambda_1 = 4L \]
\[ f_1 = \frac{v}{\lambda_1} \]
Donnée(s) :
  • Célérité du son \(v = 340 \, \text{m/s}\)
  • Longueur du tuyau \(L = 2.62 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \lambda_{1, \text{fermé}} &= 4 \times L \\ &= 4 \times 2.62 \\ &= 10.48 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{1, \text{fermé}} &= \frac{v}{\lambda_{1, \text{fermé}}} \\ &= \frac{340}{10.48} \\ &\approx 32.44 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Rapport des fréquences : On remarque que \(f_{1, \text{fermé}} \approx \frac{1}{2} f_{1, \text{ouvert}}\). Un tuyau fermé produit une note fondamentale une octave plus bas qu'un tuyau ouvert de même longueur. C'est une astuce économique pour les facteurs d'orgues pour produire des sons graves avec des tuyaux plus courts !

Le saviez-vous ?

La flûte de Pan est un excellent exemple d'une série de tuyaux fermés de différentes longueurs. Chaque tuyau est fermé par le bas et produit une seule note, plus grave que ce que sa petite taille pourrait laisser penser.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la hauteur perçue est-elle une octave plus basse ?

En musique, une octave correspond à un doublement ou une division par deux de la fréquence. Comme la fréquence fondamentale du tuyau fermé (\(\approx 32.4 \, \text{Hz}\)) est la moitié de celle du tuyau ouvert (\(\approx 64.9 \, \text{Hz}\)), notre oreille perçoit un son qui est exactement une octave plus grave.

Résultat : La fréquence fondamentale du tuyau fermé est \(f_{1, \text{fermé}} \approx 32.4 \, \text{Hz}\), soit une octave plus bas que le tuyau ouvert.

Question 3 : Fréquences des Harmoniques

Principe :
Tuyau Ouvert f1 f2=2f1 f3=3f1 Tuyau Fermé f1 f3=3f1

La nature des harmoniques dépend crucialement du type de tuyau. Un tuyau ouvert peut supporter tous les multiples entiers de la fondamentale (\(f_n = n \times f_1\)). Un tuyau fermé, à cause de la contrainte du nœud à une extrémité, ne peut supporter que les harmoniques impairs (\(f_n = n \times f_1\) avec \(n = 1, 3, 5, ...\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette absence des harmoniques pairs dans un tuyau fermé est la raison principale de son timbre si différent. Le son est souvent décrit comme plus "doux", "creux" ou "flûté" car il lui manque la richesse des harmoniques pairs. C'est une différence de timbre fondamentale en acoustique musicale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Tuyau ouvert: } f_n = n \times f_{1, \text{ouvert}} \quad (n=1, 2, 3, ...) \]
\[ \text{Tuyau fermé: } f_n = n \times f_{1, \text{fermé}} \quad (n=1, 3, 5, ...) \]
Donnée(s) :
  • \(f_{1, \text{ouvert}} \approx 64.89 \, \text{Hz}\)
  • \(f_{1, \text{fermé}} \approx 32.44 \, \text{Hz}\)
Calcul(s) :

Pour le tuyau ouvert :

\[ \begin{aligned} f_{2, \text{ouvert}} &= 2 \times 64.89 \approx 129.78 \, \text{Hz} \\ f_{3, \text{ouvert}} &= 3 \times 64.89 \approx 194.67 \, \text{Hz} \end{aligned} \]

Pour le tuyau fermé :

\[ \begin{aligned} \text{L'harmonique } f_2 &\text{ n'existe pas.} \\ f_{3, \text{fermé}} &= 3 \times 32.44 \approx 97.32 \, \text{Hz} \\ f_{5, \text{fermé}} &= 5 \times 32.44 \approx 162.20 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas oublier les harmoniques manquants : L'erreur classique est de calculer \(f_2\) pour un tuyau fermé. Il faut se souvenir que seuls les multiples impairs sont possibles. Le premier harmonique après le fondamental n'est pas \(f_2\) mais \(f_3\).

Le saviez-vous ?

La clarinette se comporte acoustiquement comme un tuyau fermé. C'est pourquoi elle a un son si caractéristique et pourquoi elle "quintoie" : son premier harmonique est la quinte (rapport de fréquence de 3/2, soit \(f_3\)) et non l'octave (\(f_2\)). Le saxophone, bien que conique, se comporte comme un tuyau ouvert et "octavie" normalement.

FAQ en rapport avec la question :
Qu'est-ce qui constitue le "premier harmonique" ?

Le vocabulaire peut être ambigu. En physique, on parle de modes de rang n=1, 2, 3... En musique, le son de fréquence \(f_1\) est le fondamental. Le son de fréquence \(f_2\) est le 1er harmonique, \(f_3\) le 2ème, etc. Pour un tuyau fermé, le 1er harmonique est donc \(f_3\).

Résultat : Tuyau ouvert : \(f_2 \approx 129.8 \, \text{Hz}\), \(f_3 \approx 194.7 \, \text{Hz}\). Tuyau fermé : \(f_2\) est absent, \(f_3 \approx 97.3 \, \text{Hz}\).

Simulation Interactive d'un Tuyau d'Orgue

Modifiez la longueur et le type de tuyau pour voir et entendre l'effet sur la note et ses harmoniques.

Paramètres du Tuyau
Fréquence Fondamentale
Note la plus proche
Spectre des Harmoniques

Pour Aller Plus Loin : La Correction d'Extrémité

L'air ne s'arrête pas net : Notre modèle suppose que le ventre de déplacement se situe exactement à l'extrémité ouverte du tuyau. En réalité, l'air vibre un peu au-delà de l'ouverture. La longueur acoustique "efficace" du tuyau est donc légèrement plus grande que sa longueur physique. Pour un tuyau cylindrique, on ajoute une "correction d'extrémité" d'environ \(0.6\) fois le rayon du tuyau à chaque extrémité ouverte. Cela a pour effet de baisser légèrement toutes les fréquences de résonance par rapport à notre calcul idéal.

Le Saviez-Vous ?

Pour accorder un tuyau d'orgue, l'organier ajuste finement sa longueur acoustique. Pour les tuyaux en métal, il utilise un outil pour légèrement ouvrir ou refermer une fente sur le haut du tuyau. Pour les tuyaux en bois, un tampon mobile permet d'ajuster la longueur de la colonne d'air. C'est un travail d'une extrême précision.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi un tuyau fermé n'a que des harmoniques impairs ?

Parce que les conditions aux limites (un nœud à un bout, un ventre à l'autre) imposent une contrainte géométrique. L'onde stationnaire doit "rentrer" dans le tuyau. Seules les ondes qui ont un nombre impair de quarts de longueur d'onde (\(L = n\lambda/4\) avec n impair) peuvent satisfaire cette condition. Une onde avec un nombre pair de quarts de longueur d'onde (comme \(L=\lambda/2\)) nécessiterait soit deux nœuds, soit deux ventres, ce qui est impossible pour un tuyau fermé.

Est-ce que la forme du tuyau (carré, conique) change quelque chose ?

Oui, énormément. Notre exercice traite du cas simple d'un tuyau cylindrique. Un tuyau conique (comme un saxophone ou un hautbois) se comporte acoustiquement comme un tuyau ouvert, même s'il est physiquement fermé à une extrémité par l'anche. Il produit donc tous les harmoniques, ce qui lui donne un timbre beaucoup plus riche et brillant qu'un tuyau cylindrique fermé comme la clarinette.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. On prend un tuyau ouvert de fréquence fondamentale 200 Hz. Si on bouche une de ses extrémités, sa nouvelle fréquence fondamentale sera :

2. Un tuyau fermé a une fondamentale de 150 Hz. Quelle est la fréquence de son deuxième harmonique audible ?

Glossaire

Résonance
Phénomène par lequel un système (ici, une colonne d'air) se met à osciller avec une amplitude maximale lorsqu'il est excité par une fréquence égale à l'une de ses fréquences propres.
Nœud de Déplacement
Point d'une onde stationnaire où l'amplitude du déplacement des particules du milieu (l'air) est toujours nulle.
Ventre de Déplacement
Point d'une onde stationnaire où l'amplitude du déplacement des particules du milieu est maximale.
Tuyau Ouvert
Tuyau ouvert aux deux extrémités. Il possède des ventres de déplacement à chaque bout et produit tous les harmoniques.
Tuyau Fermé
Tuyau ouvert à une extrémité et fermé à l'autre. Il possède un ventre à l'ouverture et un nœud au fond, et ne produit que les harmoniques impairs.
Étude des fréquences de résonance d'un tuyau d'orgue

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