ÉTUDE ACOUSTIQUE

Comparaison des modes de propagation

Acoustique : Comparaison des modes de propagation dans un tuyau ouvert et fermé

Comparaison des modes de propagation dans un tuyau ouvert et fermé

Contexte : L'Importance des Extrémités

Les instruments à vent, de la flûte à l'orgue, fonctionnent en faisant entrer en résonance une colonne d'air contenue dans un tuyau. Cependant, le son produit dépend radicalement de la nature des extrémités du tuyau. Un tuyau ouvertTuyau dont les deux extrémités sont ouvertes à l'air libre. Il impose un ventre de déplacement de l'air à chaque extrémité. (comme une flûte traversière) ne se comporte pas du tout comme un tuyau ferméTuyau ouvert à une extrémité (l'embouchure) et fermé à l'autre. Il impose un ventre de déplacement à l'ouverture et un nœud à l'extrémité fermée. (comme une clarinette ou une flûte de pan). Les "conditions aux limites" — ce qui se passe aux bouts du tuyau — dictent quels modes de vibration sont possibles. Cela change non seulement la hauteur de la note fondamentale pour une même longueur, mais aussi, et surtout, la composition de son spectre harmonique, et donc son timbre.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un concept fondamental de la physique des ondes : les conditions aux limites déterminent les solutions possibles. En comparant directement les deux cas pour un même tuyau, on peut comprendre pourquoi une flûte et une clarinette de même longueur ne produisent ni la même note, ni le même son.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier les conditions aux limites (nœuds/ventres de déplacement) pour un tuyau ouvert et un tuyau fermé.
  • Calculer la fréquence fondamentale pour les deux types de tuyaux.
  • Comparer la hauteur de la note fondamentale produite par les deux tuyaux pour une même longueur.
  • Déterminer la série d'harmoniques produite par chaque type de tuyau.
  • Analyser l'impact de la série harmonique sur le timbre perçu.

Données de l'étude

On considère un tuyau d'orgue de longueur \(L = 1.31 \, \text{m}\). On étudie son comportement acoustique dans deux configurations :

  • Cas 1 : Le tuyau est ouvert à ses deux extrémités.
  • Cas 2 : Le tuyau est fermé à une de ses extrémités.

On prendra la célérité du son dans l'air comme étant \(v = 340 \, \text{m/s}\).

Modes Fondamentaux (Déplacement de l'air)
Tuyau Ouvert L = λ₁ / 2 V V N Tuyau Fermé L = λ₁ / 4 V N V = Ventre de déplacement, N = Nœud de déplacement

Questions à traiter

  1. Calculer la fréquence fondamentale \(f_{1, \text{ouvert}}\) du tuyau ouvert.
  2. Calculer la fréquence fondamentale \(f_{1, \text{fermé}}\) du tuyau fermé. De quel intervalle musical le son a-t-il baissé ?
  3. Pour chaque cas, calculez les fréquences des deux premiers harmoniques audibles (\(f_2, f_3\) pour l'ouvert ; \(f_3, f_5\) pour le fermé). Comparez les deux spectres et décrivez la différence de timbre.

Correction : Comparaison des modes de propagation

Question 1 : Fréquence Fondamentale du Tuyau Ouvert

Principe :
V V N L = λ / 2

Un tuyau ouvert aux deux extrémités permet à l'air de vibrer librement à chaque bout. Cela impose un ventre de déplacement (amplitude maximale) à chaque extrémité. Le mode de vibration le plus simple (la plus basse fréquence, ou mode fondamental) est celui qui s'insère parfaitement dans cette contrainte, soit une demi-longueur d'onde. La longueur du tuyau \(L\) est donc égale à la moitié de la longueur d'onde fondamentale \(\lambda_1\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La condition "ventre-ventre" est la même que celle d'une corde de guitare "nœud-nœud". Dans les deux cas, le son produit est riche et contient tous les harmoniques (pairs et impairs), ce qui est caractéristique de nombreux instruments mélodiques comme la flûte ou le violon.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L = \frac{\lambda_1}{2} \Rightarrow \lambda_1 = 2L \]
\[ f_1 = \frac{v}{\lambda_1} \]
Donnée(s) :
  • Célérité du son : \(v = 340 \, \text{m/s}\)
  • Longueur du tuyau : \(L = 1.31 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \lambda_{1, \text{ouvert}} &= 2 \times L \\ &= 2 \times 1.31 \\ &= 2.62 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{1, \text{ouvert}} &= \frac{v}{\lambda_{1, \text{ouvert}}} \\ &= \frac{340}{2.62} \\ &\approx 129.77 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités : Assurez-vous que la longueur \(L\) est bien en mètres pour être cohérente avec la célérité \(v\) en m/s. Une erreur de conversion est vite arrivée si la longueur est donnée en centimètres.

Le saviez-vous ?

Une fréquence de 130 Hz correspond à la note Do3 (le Do juste en dessous du Do central du piano). C'est une note de basse typique pour les grands tuyaux d'orgue ouverts.

FAQ en rapport avec la question :
Est-ce que le diamètre du tuyau a une influence ?

Oui, légèrement. Un tuyau plus large a une "correction d'extrémité" plus importante, ce qui signifie que son ventre de déplacement se forme un peu à l'extérieur de l'ouverture. Sa longueur acoustique effective est donc un peu plus grande que sa longueur physique, ce qui abaisse légèrement la fréquence. Notre calcul est une approximation pour un tuyau fin.

Résultat : La fréquence fondamentale du tuyau ouvert est d'environ \(129.8 \, \text{Hz}\).

Question 2 : Fréquence Fondamentale du Tuyau Fermé

Principe :
V N L = λ / 4

Un tuyau fermé à une extrémité force l'air à être immobile à ce bout (un nœud de déplacement), tandis que l'extrémité ouverte reste un ventre. La plus simple onde stationnaire pouvant satisfaire ces conditions est un quart de longueur d'onde. La longueur du tuyau \(L\) est donc égale au quart de la longueur d'onde fondamentale \(\lambda_1\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Pour la même longueur \(L\), la longueur d'onde dans un tuyau fermé est deux fois plus grande que dans un tuyau ouvert (\(4L\) contre \(2L\)). Comme la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur d'onde, la note fondamentale sera deux fois plus basse, soit une octave en dessous.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L = \frac{\lambda_1}{4} \Rightarrow \lambda_1 = 4L \]
\[ f_1 = \frac{v}{\lambda_1} \]
Donnée(s) :
  • Célérité du son : \(v = 340 \, \text{m/s}\)
  • Longueur du tuyau : \(L = 1.31 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \lambda_{1, \text{fermé}} &= 4 \times L \\ &= 4 \times 1.31 \\ &= 5.24 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{1, \text{fermé}} &= \frac{v}{\lambda_{1, \text{fermé}}} \\ &= \frac{340}{5.24} \\ &\approx 64.89 \, \text{Hz} \end{aligned} \]

La nouvelle fréquence est la moitié de celle du tuyau ouvert, ce qui correspond à une baisse d'une octave.

Points de vigilance :

Le facteur 4 : C'est la différence fondamentale. Pour un tuyau fermé, la longueur d'onde est quatre fois la longueur du tuyau, ce qui change radicalement le résultat.

Le saviez-vous ?

Les tuyaux d'orgue "à bourdon" ou "à cheminée" sont des tuyaux fermés. Ils permettent aux facteurs d'orgues d'obtenir des notes très graves avec des tuyaux deux fois moins longs (et donc moins coûteux et encombrants) que les tuyaux ouverts correspondants.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la clarinette est-elle considérée comme un tuyau fermé ?

Bien que le musicien souffle dans une extrémité, l'anche (la lamelle de roseau qui vibre) agit comme une porte qui se ferme et s'ouvre. En moyenne, elle impose une pression maximale et un déplacement d'air quasi nul, ce qui est la définition d'un nœud de déplacement. L'autre extrémité étant ouverte (un ventre), la clarinette se comporte acoustiquement comme un tuyau fermé.

Résultat : La fréquence fondamentale du tuyau fermé est d'environ \(64.9 \, \text{Hz}\), soit une octave plus bas que le tuyau ouvert.

Question 3 : Comparaison des Spectres et du Timbre

Principe :

Le timbre est déterminé par la série d'harmoniques présents dans le son. Un tuyau ouvert produit tous les harmoniques (multiples entiers de \(f_1\)). Un tuyau fermé, à cause de ses conditions aux limites asymétriques, ne peut produire que les harmoniques impairs (multiples impairs de sa propre fondamentale \(f_1\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La différence de timbre est spectaculaire. Le son du tuyau ouvert est riche et complet. Celui du tuyau fermé est plus "creux", "boisé" ou "carré", car il lui manque toute une partie de son spectre (les harmoniques pairs). C'est cette différence de "recette" qui fait la personnalité de chaque instrument.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Tuyau ouvert: } f_n = n \times f_{1, \text{ouvert}} \quad (n=1, 2, 3, ...) \]
\[ \text{Tuyau fermé: } f_n = n \times f_{1, \text{fermé}} \quad (n=1, 3, 5, ...) \]
Donnée(s) :
  • \(f_{1, \text{ouvert}} \approx 129.8 \, \text{Hz}\)
  • \(f_{1, \text{fermé}} \approx 64.9 \, \text{Hz}\)
Calcul(s) :

Pour le tuyau ouvert :

\[ f_2 = 2 \times 129.8 = 259.6 \, \text{Hz} \]
\[ f_3 = 3 \times 129.8 = 389.4 \, \text{Hz} \]

Pour le tuyau fermé :

\[ f_2 \text{ est absent.} \]
\[ f_3 = 3 \times 64.9 = 194.7 \, \text{Hz} \]
\[ f_4 \text{ est absent.} \]
\[ f_5 = 5 \times 64.9 = 324.5 \, \text{Hz} \]
Points de vigilance :

Base de calcul : Chaque série d'harmoniques est calculée à partir de sa propre fondamentale. Ne pas utiliser la fondamentale du tuyau ouvert pour calculer les harmoniques du tuyau fermé.

Le saviez-vous ?

Le son de la voix humaine est produit par la vibration des cordes vocales (la source) filtrée par le conduit vocal (le résonateur). En changeant la forme de notre bouche, de notre langue et de notre pharynx, nous modifions les résonances du conduit pour former les différentes voyelles. Chaque voyelle a une "signature" spectrale unique.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi l'harmonique 3 du tuyau fermé (194.7 Hz) est-il plus grave que l'harmonique 2 du tuyau ouvert (259.6 Hz) ?

Parce que la fondamentale du tuyau fermé est beaucoup plus basse (une octave en dessous). Même si le rang de l'harmonique est plus élevé (3 contre 2), il est multiplié par une fréquence de base plus petite, ce qui donne une fréquence absolue plus faible.

Résultat : Le tuyau ouvert produit un spectre complet (129.8, 259.6, 389.4 Hz...). Le tuyau fermé produit un spectre lacunaire (64.9, 194.7, 324.5 Hz...), ce qui lui donne un timbre plus creux.

Simulation des Modes d'un Tuyau

Ajustez la longueur du tuyau et son type (ouvert ou fermé) pour voir l'impact sur la note fondamentale et sur le spectre harmonique produit.

Paramètres du Tuyau
Fréquence Fondamentale
Note la plus proche
Spectre des Harmoniques

Pour Aller Plus Loin : Les Tuyaux Coniques

La forme qui change tout : Il existe une troisième grande famille de tuyaux : les tuyaux coniques (comme le saxophone, le hautbois, le basson). Bien qu'ils soient fermés à une extrémité par une anche (comme la clarinette), leur forme conique modifie complètement les conditions de propagation des ondes. Un cône complet se comporte acoustiquement comme un tuyau ouvert de même longueur : il produit tous les harmoniques (pairs et impairs) et "octavie" normalement. C'est l'une des subtilités les plus fascinantes de l'acoustique des instruments à vent.

Le Saviez-Vous ?

Le Didgeridoo, instrument à vent des Aborigènes d'Australie, est un exemple de tuyau complexe. Il est approximativement cylindrique mais avec une géométrie interne irrégulière. Il se comporte principalement comme un tuyau ouvert, mais le musicien peut modifier radicalement le son en changeant la forme de ses lèvres et de sa cavité buccale, agissant comme un filtre variable sur le spectre produit.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi un tuyau fermé ne produit que les harmoniques impairs ?

Parce que pour former une onde stationnaire, il faut un nombre entier de "fuseaux" entre deux points identiques (nœud-nœud ou ventre-ventre). Dans un tuyau fermé (nœud-ventre), il faut un nombre impair de quarts de longueur d'onde pour respecter les conditions. Une onde avec un nombre pair de quarts de longueur d'onde aurait soit deux nœuds, soit deux ventres, ce qui est impossible.

Est-ce que le son sort par l'extrémité fermée ?

Non, par définition, l'extrémité fermée est une barrière rigide. Le son est rayonné uniquement par l'extrémité ouverte où l'air vibre avec une amplitude maximale.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un tuyau d'orgue ouvert et un tuyau fermé ont la même longueur. Lequel produit la note la plus grave ?

2. Quel instrument a un timbre caractérisé par l'absence d'harmoniques pairs ?

Glossaire

Tuyau Ouvert
Tuyau dont les deux extrémités sont ouvertes à l'air libre. Il impose un ventre de déplacement de l'air à chaque extrémité et produit tous les harmoniques.
Tuyau Fermé
Tuyau ouvert à une extrémité (l'embouchure) et fermé à l'autre. Il impose un ventre de déplacement à l'ouverture et un nœud à l'extrémité fermée, et ne produit que les harmoniques impairs.
Nœud de Déplacement
Point d'une onde stationnaire où l'amplitude du déplacement des particules du milieu (l'air) est toujours nulle.
Ventre de Déplacement
Point d'une onde stationnaire où l'amplitude du déplacement des particules du milieu est maximale.
Série Harmonique
L'ensemble des fréquences (fondamentale + harmoniques) qui composent un son musical. La présence ou l'absence de certains harmoniques détermine le timbre.
Comparaison des modes de propagation dans un tuyau ouvert et fermé

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