Analyse d’une onde de choc

Analyse d'une Onde de Choc Droite

Contexte : L'Onde de ChocUne discontinuité quasi-instantanée des propriétés d'un fluide (pression, température, densité) se propageant à une vitesse supersonique. en acoustique non linéaire.

En acoustique fondamentale, lorsque l'amplitude d'une onde devient très grande, les effets non linéaires ne peuvent plus être négligés. Ces effets provoquent une déformation de l'onde jusqu'à la formation d'une discontinuité : une onde de choc. Ce phénomène est au cœur d'applications telles que les bangs supersoniques des avions ou les ondes de souffle des explosions. Cet exercice applique les lois de conservation fondamentales pour analyser les propriétés d'un fluide de part et d'autre d'un choc stationnaire.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie (connues sous le nom de Relations de Rankine-HugoniotEnsemble d'équations qui relient les états (P, T, $\rho$, u) d'un fluide avant et après une onde de choc.) pour quantifier les sauts de pression, de température et de densité à travers un choc droit dans un gaz parfait.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la définition physique d'une onde de choc droite.
Appliquer les relations de Rankine-Hugoniot pour un gaz parfait.
Calculer le nombre de Mach en aval du choc.
Déterminer les sauts de pression, de température et de densité à travers le choc.
Calculer les vitesses du fluide et du son en amont et en aval.

Données de l'étude

On étudie une onde de choc droite, stationnaire, dans un écoulement d'air. L'air est considéré comme un gaz parfait. Les conditions en amont (non perturbées) sont connues.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Gaz	Air (considéré comme Gaz Parfait)
Indice adiabatique ($\gamma$)Rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant ($C_p / C_v$). Pour l'air, $\gamma \approx 1.4$.	1.4
Constante des gaz parfaits (R)	287 J/(kg·K)

Modélisation de l'Onde de Choc Stationnaire

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Mach AmontRapport de la vitesse du fluide $u_1$ à la vitesse du son $c_1$ avant le choc. Il doit être supérieur à 1.	$M_1$	2.0	(adimensionnel)
Pression Statique Amont	$P_1$	101325	Pa
Température Statique Amont	$T_1$	288.15	K

Questions à traiter

Calculer le nombre de Mach en aval du choc ($M_2$).
Calculer le rapport de pression statique ($P_2 / P_1$) et la pression en aval ($P_2$).
Calculer le rapport de densité ($\rho_2 / \rho_1$).
Calculer le rapport de température statique ($T_2 / T_1$) et la température en aval ($T_2$).
Calculer la vitesse du son et la vitesse du fluide en amont ($c_1$, $u_1$) et en aval ($c_2$, $u_2$).

Les bases sur les Ondes de Choc

Pour analyser un choc, on modélise celui-ci comme une discontinuité fine et on applique les lois de conservation de la physique à un volume de contrôle qui traverse le choc.

1. Relations de Rankine-Hugoniot
Ce sont les équations fondamentales qui décrivent un choc. Elles proviennent de :

Conservation de la masse : $\rho_1 u_1 = \rho_2 u_2$
Conservation de la quantité de mouvement : $P_1 + \rho_1 u_1^2 = P_2 + \rho_2 u_2^2$
Conservation de l'énergie (pour un gaz parfait) : $h_1 + \frac{1}{2}u_1^2 = h_2 + \frac{1}{2}u_2^2$, où $h = C_p T$ est l'enthalpie.

2. Propriétés d'un Gaz Parfait
Les relations clés pour l'air sont :

Loi des gaz parfaits : $P = \rho R T$
Vitesse du son : $c = \sqrt{\gamma R T}$
Nombre de Mach : $M = u / c$

Correction : Analyse d'une Onde de Choc Droite

Question 1 : Calculer le nombre de Mach en aval du choc ($M_2$)

Principe

Cette section explique l'idée fondamentale : le passage à travers une onde de choc dissipe de l'énergie (l'entropie augmente), ce qui ralentit le fluide. Un écoulement supersonique ($M_1 > 1$) devient subsonique ($M_2 < 1$). La valeur de $M_2$ ne dépend que de $M_1$ et de $\gamma$.

Mini-Cours

Ici, on rappelle les connaissances théoriques spécifiques : la relation pour $M_2$ est dérivée de la combinaison des équations de conservation (Rankine-Hugoniot). C'est une étape clé car les autres rapports (température, densité) peuvent être exprimés en fonction de $M_1$ et $M_2$.

Remarque Pédagogique

Conseil stratégique : c'est souvent la première valeur calculée. Assurez-vous d'utiliser les valeurs au carré ($M_1^2$) dans la formule pour simplifier les calculs, puis prenez la racine carrée à la toute fin.

Normes

Les calculs de mécanique des fluides fondamentaux comme celui-ci ne se réfèrent généralement pas à des normes de construction spécifiques, mais aux lois physiques établies.

Formule(s)

On présente clairement la formule mathématique utilisée pour cette étape : la relation liant le Mach amont et aval est :

M_2^2 = \frac{M_1^2 + \frac{2}{\gamma - 1}}{\frac{2\gamma}{\gamma - 1}M_1^2 - 1}

Hypothèses

On liste les simplifications faites pour pouvoir appliquer la formule : les hypothèses sous-jacentes à cette formule incluent : choc droit (perpendiculaire à l'écoulement), stationnaire (le choc ne bouge pas), gaz parfait (l'air suit $P=\rho RT$), écoulement adiabatique (pas d'échange de chaleur avec l'extérieur).

Donnée(s)

On regroupe les valeurs numériques nécessaires pour ce calcul spécifique :

$M_1 = 2.0$
$\gamma = 1.4$

Astuces

Conseil pratique pour faciliter le calcul : pré-calculez les termes constants pour $\gamma = 1.4$ :
$\frac{2}{\gamma - 1} = \frac{2}{1.4 - 1} = \frac{2}{0.4} = 5$
$\frac{2\gamma}{\gamma - 1} = \frac{2 \times 1.4}{0.4} = \frac{2.8}{0.4} = 7$
La formule devient alors plus simple : $ M_2^2 = (M_1^2 + 5) / (7M_1^2 - 1) $

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du problème : Le schéma général montre un écoulement supersonique ($M_1 > 1$) rencontrant le choc et devenant subsonique ($M_2 < 1$) après celui-ci.

Évolution du Mach à travers le choc

Calcul(s)

Application numérique détaillée, étape par étape :

Étape 1 : Insérer $M_1 = 2.0$ (donc $M_1^2 = 4$) dans la formule simplifiée

M_2^2 = \frac{4 + 5}{7 \times 4 - 1}

Étape 2 : Calculer le numérateur et le dénominateur

\begin{aligned} \text{Numérateur} &= 9 \\ \text{Dénominateur} &= 28 - 1 = 27 \end{aligned}

Étape 3 : Calculer $M_2^2$ puis $M_2$

\begin{aligned} M_2^2 &= \frac{9}{27} = \frac{1}{3} \\ M_2 &= \sqrt{\frac{1}{3}} \approx 0.57735 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du résultat : Le schéma ci-dessus illustre bien le résultat : le niveau $M_2$ est nettement inférieur à $M_1$ et est passé sous la barre de Mach 1.

Résultat: $M_1$ vs $M_2$

Réflexions

Analyse critique du résultat : comme attendu, le Mach en aval ($M_2 \approx 0.577$) est subsonique (inférieur à 1), alors que le Mach en amont était supersonique ($M_1 = 2.0$). Ceci confirme la nature du choc comme mécanisme de ralentissement et de dissipation.

Points de vigilance

Erreurs courantes à éviter : ne pas oublier de prendre la racine carrée à la fin pour obtenir $M_2$ et non $M_2^2$. Toujours vérifier que le résultat $M_2$ est bien inférieur à 1.

Points à retenir

Concepts clés à mémoriser : le choc ralentit l'écoulement de supersonique à subsonique. La formule reliant $M_1$ et $M_2$ est fondamentale pour l'analyse des chocs.

Le saviez-vous ?

Contexte historique ou technique : les relations de Rankine-Hugoniot ont été développées indépendamment par l'ingénieur écossais Rankine et l'ingénieur français Hugoniot à la fin du 19ème siècle pour étudier les ondes de choc dans les fluides.

FAQ

Réponses aux questions fréquentes : non applicable pour cette première question simple.

Résultat Final

Réponse concise et claire : Le nombre de Mach en aval est $M_2 = \sqrt{1/3} \approx 0.577$.

A vous de jouer

Exercice d'application pour l'utilisateur : la meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Que deviendrait $M_2$ si le Mach en amont était $M_1 = 3.0$ ? (Utilisez la formule simplifiée avec $\gamma=1.4$)

Mini Fiche Mémo

Résumé ultra-condensé :
Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Le choc transforme un flux supersonique en flux subsonique.
Formule Essentielle ($\gamma=1.4$) : $ M_2^2 = (M_1^2 + 5) / (7M_1^2 - 1) $.

Question 2 : Calculer le rapport de pression statique ($P_2 / P_1$) et la pression en aval ($P_2$)

Principe

L'idée clé : l'onde de choc est un phénomène de compression extrêmement rapide. La pression statique augmente très fortement et quasi-instantanément à travers le choc.

Mini-Cours

Bases théoriques : cette relation découle directement de la conservation de la quantité de mouvement combinée aux autres lois de conservation (Rankine-Hugoniot). L'augmentation de pression est d'autant plus forte que le Mach amont $M_1$ est élevé.

Remarque Pédagogique

Conseil stratégique : une fois le rapport $P_2/P_1$ calculé (qui est adimensionnel), il suffit de le multiplier par la pression amont $P_1$ (qui a une unité, ici Pa) pour obtenir la pression aval $P_2$.

Normes

Non applicable.

Formule(s)

L'équation utilisée : le rapport de pression statique est donné par :

\frac{P_2}{P_1} = 1 + \frac{2\gamma}{\gamma + 1}(M_1^2 - 1)

Hypothèses

Simplifications admises : mêmes hypothèses que pour la Q1 (choc droit, stationnaire, gaz parfait, adiabatique).

Donnée(s)

Valeurs numériques nécessaires :

$M_1 = 2.0$ ($M_1^2 = 4$)
$\gamma = 1.4$
$P_1 = 101325 \text{ Pa}$ (Pression atmosphérique standard au niveau de la mer)

Astuces

Conseil pratique : pré-calculez le terme constant pour $\gamma = 1.4$ :
$\frac{2\gamma}{\gamma + 1} = \frac{2 \times 1.4}{1.4 + 1} = \frac{2.8}{2.4} = \frac{28}{24} = \frac{7}{6}$
La formule devient plus simple : $ P_2/P_1 = 1 + \frac{7}{6}(M_1^2 - 1) $

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du problème : Le schéma général montre les pressions $P_1$ et $P_2$ de part et d'autre du choc.

Pressions avant et après le choc

Calcul(s)

Application numérique détaillée :

Étape 1 : Calculer le rapport $P_2 / P_1$ en utilisant la formule simplifiée

\begin{aligned} \frac{P_2}{P_1} &= 1 + \frac{7}{6}(2.0^2 - 1) \\ &= 1 + \frac{7}{6}(4 - 1) \\ &= 1 + \frac{7}{6}(3) \\ &= 1 + \frac{21}{6} = 1 + 3.5 = 4.5 \end{aligned}

Étape 2 : Calculer la pression aval $P_2$ en multipliant par $P_1$

\begin{aligned} P_2 &= 4.5 \times P_1 \\ &= 4.5 \times 101325 \text{ Pa} \\ &= 455962.5 \text{ Pa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du résultat : Le schéma montre l'augmentation significative de la pression.

Résultat: Saut de Pression

Réflexions

Analyse du résultat : la pression a été multipliée par 4.5 en traversant le choc. C'est cette augmentation brutale de pression qui est responsable du "bang" sonique [Image d'un avion de chasse créant un bang supersonique] entendu au sol lors du passage d'un avion supersonique.

Points de vigilance

Erreurs courantes : bien utiliser $M_1^2$ et non $M_1$ dans la formule. S'assurer que le rapport $P_2/P_1$ est bien supérieur à 1.

Points à retenir

Concepts clés : le choc augmente fortement la pression statique. L'augmentation dépend de $M_1^2$.

Le saviez-vous ?

Contexte : l'étude des ondes de choc a été cruciale pour le développement de l'aviation supersonique et des moteurs à réaction performants dans ces régimes de vol.

FAQ

Non applicable.

Résultat Final

Réponse concise : Le rapport de pression est $P_2 / P_1 = 4.5$.
La pression en aval est $P_2 = 455962.5 \text{ Pa} \approx 456 \text{ kPa}$.

A vous de jouer

Exercice d'application : que deviendrait le rapport de pression $P_2/P_1$ si $M_1 = 3.0$ ?

Mini Fiche Mémo

Résumé :
Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Le choc est un phénomène de compression (Pression augmente).
Formule Essentielle ($\gamma=1.4$) : $ P_2/P_1 = 1 + \frac{7}{6}(M_1^2 - 1) $.

Question 3 : Calculer le rapport de densité ($\rho_2 / \rho_1$)

Principe

Idée clé : puisque le fluide est fortement comprimé (la pression augmente), sa densité ($\rho$, masse par unité de volume) doit également augmenter. La conservation de la masse à travers le choc ($\rho_1 u_1 = \rho_2 u_2$) implique que $\rho_2 / \rho_1 = u_1 / u_2$, montrant que l'augmentation de densité est liée au ralentissement du fluide.

Mini-Cours

Bases théoriques : comme pour la pression, le rapport de densité est directement lié à $M_1$ et $\gamma$. La formule est obtenue en combinant les lois de conservation de Rankine-Hugoniot.

Remarque Pédagogique

Conseil stratégique : cette formule est également fondamentale et souvent utilisée conjointement avec celle du rapport de pression pour trouver ensuite le rapport de température via la loi des gaz parfaits.

Normes

Non applicable.

Formule(s)

L'équation utilisée : le rapport de densité est donné par :

\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{(\gamma+1)M_1^2}{(\gamma-1)M_1^2 + 2}

Hypothèses

Simplifications admises : mêmes hypothèses que pour la Q1.

Donnée(s)

Valeurs numériques nécessaires :

$M_1 = 2.0$ ($M_1^2 = 4$)
$\gamma = 1.4$

Astuces

Conseil pratique : pré-calculez les termes constants pour $\gamma = 1.4$ :
$\gamma + 1 = 2.4$
$\gamma - 1 = 0.4$
La formule devient plus simple : $ \rho_2/\rho_1 = (2.4 \times M_1^2) / (0.4 \times M_1^2 + 2) $

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du problème : Le schéma général montre les densités $\rho_1$ et $\rho_2$ de part et d'autre du choc.

Densités avant et après le choc

Calcul(s)

Application numérique détaillée :

Étape 1 : Calculer le numérateur et le dénominateur avec la formule simplifiée

\begin{aligned} \text{Numérateur} &= 2.4 \times 4 = 9.6 \\ \text{Dénominateur} &= (0.4 \times 4) + 2 = 1.6 + 2 = 3.6 \end{aligned}

Étape 2 : Calculer le rapport

\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{9.6}{3.6} = \frac{96}{36} = \frac{24 \times 4}{9 \times 4} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3} \approx 2.667

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du résultat : Le schéma illustre l'augmentation de la densité ($\rho_2 \approx 2.67 \rho_1$).

Résultat: Saut de Densité

Réflexions

Analyse du résultat : la densité a augmenté d'un facteur 8/3 (environ 2.67). Notez que pour un choc infiniment fort ($M_1 \rightarrow \infty$), le rapport de densité tend vers une limite finie : $\frac{\gamma+1}{\gamma-1}$, qui vaut 6 pour l'air ($\gamma=1.4$). Un choc ne peut donc pas comprimer un gaz indéfiniment, contrairement à ce qu'on pourrait intuitivement penser.

Points de vigilance

Erreurs courantes : s'assurer que le rapport $\rho_2 / \rho_1$ est supérieur à 1 (le gaz est comprimé) et qu'il reste inférieur à la limite théorique $\frac{\gamma+1}{\gamma-1}$.

Points à retenir

Concepts clés : le choc augmente la densité du gaz, mais cette augmentation a une limite physique même pour des chocs très intenses.

Le saviez-vous ?

Contexte : la densité de l'air après le choc à Mach 2 est environ 2.7 fois celle de l'air ambiant. Cette augmentation de densité est très importante car elle affecte directement les forces aérodynamiques (portance, traînée) exercées sur un objet volant à vitesse supersonique.

FAQ

Non applicable.

Résultat Final

Réponse concise : Le rapport de densité est $\rho_2 / \rho_1 = 8/3 \approx 2.667$.

A vous de jouer

Exercice d'application : que deviendrait le rapport de densité $\rho_2/\rho_1$ si $M_1 = 3.0$ ?

Mini Fiche Mémo

Résumé :
Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Le choc comprime le gaz (Densité augmente).
Formule Essentielle ($\gamma=1.4$) : $ \rho_2/\rho_1 = (2.4 M_1^2) / (0.4 M_1^2 + 2) $.

Question 4 : Calculer le rapport de température statique ($T_2 / T_1$) et la température en aval ($T_2$)

Principe

Idée clé : la température (qui mesure l'agitation thermique des molécules) augmente également fortement à travers le choc. Cette augmentation est due à la compression (augmentation de P) mais est modérée par l'augmentation de la densité ($\rho$). On peut la trouver facilement en combinant les rapports de P et $\rho$ avec la loi des gaz parfaits.

Mini-Cours

Bases théoriques : la loi des gaz parfaits $P = \rho R T$ reste valable de part et d'autre du choc (zones 1 et 2), même si elle ne décrit pas ce qui se passe *dans* le choc lui-même. En prenant le ratio des états 1 et 2, $P_2/P_1 = (\rho_2 R T_2) / (\rho_1 R T_1)$, on obtient une relation simple entre les rapports de pression, densité et température car R est constant.

Remarque Pédagogique

Conseil stratégique : c'est une méthode indirecte mais efficace pour trouver le rapport de température, car elle utilise les résultats des Q2 et Q3, qui sont des formules directes issues de Rankine-Hugoniot. Il existe aussi une formule directe pour $T_2/T_1$ mais elle est plus complexe.

Normes

Non applicable.

Formule(s)

L'équation utilisée : de la loi des gaz parfaits $P = \rho R T$, on tire $T = P / (\rho R)$. En ratio :

\frac{T_2}{T_1} = \frac{P_2 / (\rho_2 R)}{P_1 / (\rho_1 R)} = \frac{P_2}{P_1} \times \frac{\rho_1}{\rho_2} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right) \left( \frac{\rho_1}{\rho_2} \right)

Hypothèses

Simplifications admises : mêmes hypothèses que pour la Q1, notamment celle du gaz parfait.

Donnée(s)

Valeurs numériques nécessaires :

$P_2 / P_1 = 4.5 = 9/2$ (calculé en Q2)
$\rho_2 / \rho_1 = 8/3$ (calculé en Q3), donc $\rho_1 / \rho_2 = 3/8$
$T_1 = 288.15 \text{ K}$ (donnée initiale)

Astuces

Conseil pratique : utiliser les formes fractionnaires exactes ($9/2$ pour $P_2/P_1$ et $3/8$ pour $\rho_1/\rho_2$) pour le calcul du rapport $T_2/T_1$ permet d'obtenir une valeur fractionnaire exacte ($27/16$) avant de passer à l'application numérique pour $T_2$.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du problème : Le schéma général montre les températures $T_1$ et $T_2$ de part et d'autre du choc.

Températures avant et après le choc

Calcul(s)

Application numérique détaillée :

Étape 1 : Calculer le rapport $T_2 / T_1$ en multipliant les rapports P et $\rho^{-1}$

\begin{aligned} \frac{T_2}{T_1} &= \left( \frac{P_2}{P_1} \right) \left( \frac{\rho_1}{\rho_2} \right) \\ &= \left( \frac{9}{2} \right) \times \left( \frac{3}{8} \right) \\ &= \frac{27}{16} = 1.6875 \end{aligned}

Étape 2 : Calculer la température aval $T_2$ en multipliant par $T_1$

\begin{aligned} T_2 &= 1.6875 \times T_1 \\ &= 1.6875 \times 288.15 \text{ K} \\ &= 486.253125 \text{ K} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation des résultats : ce diagramme illustre les sauts relatifs des propriétés statiques (Pression, Densité, Température) à travers le choc pour le cas $M_1=2.0$. On voit bien que toutes ces grandeurs augmentent, mais dans des proportions différentes.

Sauts des Propriétés à travers le Choc

Réflexions

Analyse du résultat : la température augmente (d'un facteur 1.6875), mais proportionnellement moins que la pression (facteur 4.5). C'est logique, car la densité a elle-même augmenté (facteur 2.667), et comme $T \propto P / \rho$, l'augmentation de $\rho$ "atténue" l'effet de l'augmentation de P sur T. Le gaz est néanmoins significativement chauffé par cette compression dissipative.

Points de vigilance

Erreurs courantes : attention à bien inverser le rapport de densité ($\rho_1/\rho_2$ et non $\rho_2/\rho_1$) dans la formule. Toujours vérifier que la température $T_2$ est supérieure à $T_1$.

Points à retenir

Concepts clés : la loi des gaz parfaits relie les variations de P, T et $\rho$ à travers le choc, permettant de déduire l'une si les deux autres sont connues.

Le saviez-vous ?

Contexte : l'augmentation très importante de température à travers le choc est responsable de l'échauffement intense subi par les véhicules spatiaux [Image d'une navette spatiale rentrant dans l'atmosphère] lors de leur rentrée dans l'atmosphère à vitesse hypersonique (Mach >> 5), nécessitant des boucliers thermiques très performants.

FAQ

Non applicable.

Résultat Final

Réponse concise : Le rapport de température est $T_2 / T_1 = 27/16 = 1.6875$.
La température en aval est $T_2 \approx 486.25 \text{ K}$ (soit $213.1^\circ\text{C}$).

A vous de jouer

Exercice d'application : que deviendrait le rapport de température $T_2/T_1$ si $M_1 = 3.0$ ?

Mini Fiche Mémo

Résumé :
Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Le choc chauffe le gaz (Température augmente).
Formule Essentielle : $ T_2/T_1 = (P_2/P_1) / (\rho_2/\rho_1) $.

Question 5 : Calculer les vitesses du son ($c$) et du fluide ($u$)

Principe

Idée clé : les vitesses (vitesse du son et vitesse du fluide) sont calculées à partir des propriétés locales du fluide. La vitesse du son $c$ dépend uniquement de la température locale ($c = \sqrt{\gamma R T}$), et la vitesse du fluide $u$ est simplement le produit du Mach local et de la vitesse du son locale ($u = M \cdot c$).

Mini-Cours

Bases théoriques : la vitesse du son $c$ est une propriété thermodynamique du milieu, représentant la vitesse de propagation des petites perturbations de pression. Elle varie avec la racine carrée de la température absolue. La vitesse du fluide $u$ est la vitesse macroscopique de l'écoulement par rapport à un référentiel donné (ici, le référentiel où le choc est stationnaire).

Remarque Pédagogique

Conseil stratégique : il faut impérativement calculer $c_1$ (avec $T_1$) et $c_2$ (avec $T_2$) séparément car les températures sont différentes. Ensuite, on utilise les Mach $M_1$ et $M_2$ (calculé en Q1) correspondants pour trouver les vitesses de fluide $u_1 = M_1 c_1$ et $u_2 = M_2 c_2$.

Normes

Non applicable.

Formule(s)

Les équations utilisées :

Vitesse du son

c = \sqrt{\gamma R T}

Vitesse du fluide

u = M \cdot c

Hypothèses

Simplifications admises : gaz parfait. Utilisation des températures statiques $T_1$ et $T_2$ calculées précédemment.

Donnée(s)

Valeurs numériques nécessaires (connues ou calculées) :

Paramètre	Amont (1)	Aval (2)	Unité
$M$	2.0	0.57735	-
$T$	288.15	486.25	K
$\gamma$	1.4	1.4	-
$R$	287	287	J/(kg·K)

Astuces

Conseil pratique : vérifier la cohérence des unités. Si R est en J/(kg·K) qui équivaut à m²/(s²·K), alors $\gamma R T$ a bien l'unité m²/s², et sa racine carrée $c$ sera en m/s. Ensuite $u = M \cdot c$ sera aussi en m/s car M est sans dimension.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation : Le schéma général montre les vitesses $u_1$ et $u_2$. On s'attend à $u_1 > c_1$ et $u_2 < c_2$.

Vitesses avant et après le choc

Calcul(s)

Application numérique détaillée :

Étape 1 : Calculs en Amont (Zone 1)

\begin{aligned} c_1 &= \sqrt{\gamma R T_1} = \sqrt{1.4 \times 287 \times 288.15} \approx \sqrt{115778} \approx 340.26 \text{ m/s} \\ u_1 &= M_1 \cdot c_1 = 2.0 \times 340.26 = 680.52 \text{ m/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calculs en Aval (Zone 2)

\begin{aligned} c_2 &= \sqrt{\gamma R T_2} = \sqrt{1.4 \times 287 \times 486.25} \approx \sqrt{195393} \approx 442.03 \text{ m/s} \\ u_2 &= M_2 \cdot c_2 = 0.57735 \times 442.03 \approx 255.16 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du résultat : Ce schéma compare les vecteurs vitesse. La vitesse du fluide $u$ diminue fortement, tandis que la vitesse du son $c$ augmente. Le régime passe de $u > c$ à $u < c$.

Résultat: Comparaison des Vitesses

Réflexions

Analyse du résultat : on peut vérifier la cohérence avec la conservation de la masse ($\rho_1 u_1 = \rho_2 u_2$), qui implique $\rho_2 / \rho_1 = u_1 / u_2$.
Le rapport des vitesses calculées est $u_1 / u_2 = 680.52 / 255.16 \approx 2.667$.
Le rapport des densités calculé en Q3 était $\rho_2 / \rho_1 = 8/3 \approx 2.667$.
Les résultats sont cohérents, ce qui valide l'ensemble des calculs.

Points de vigilance

Erreurs courantes : attention, la vitesse du son n'est pas la même des deux côtés du choc car la température change ! $c_2$ est supérieur à $c_1$ car $T_2 > T_1$. Cependant, la vitesse du fluide $u_2$ diminue fortement par rapport à $u_1$.

Points à retenir

Concepts clés : la vitesse du son $c$ dépend uniquement de la température locale $T$. La vitesse du fluide $u$ dépend à la fois du Mach local $M$ et de la vitesse du son locale $c$. La conservation de la masse lie les rapports de densité et de vitesse.

Le saviez-vous ?

Contexte : dans un choc en mouvement (comme celui qui précède un avion supersonique et qui est perçu comme le "bang"), c'est la vitesse relative du fluide par rapport au choc qui suit ces relations. L'observateur au sol perçoit le passage de cette discontinuité de pression.

FAQ

Non applicable.

Résultat Final

Réponse concise :
Amont : $c_1 \approx 340.3 \text{ m/s}$, $u_1 \approx 680.5 \text{ m/s}$.
Aval : $c_2 \approx 442.0 \text{ m/s}$, $u_2 \approx 255.2 \text{ m/s}$.

A vous de jouer

Exercice d'application : pour $M_1 = 3.0$, on a calculé $T_2/T_1 \approx 2.679$ et $\rho_2/\rho_1 \approx 3.857$. Calculez $c_1, u_1$ (avec $T_1=288.15\text{K}$), puis $T_2, c_2, M_2, u_2$. Vérifiez que le rapport des vitesses $u_1/u_2$ est bien égal au rapport des densités $\rho_2/\rho_1 \approx 3.857$.

Mini Fiche Mémo

Résumé :
Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Vitesse du son $c$ dépend de $T$. Vitesse du fluide $u$ dépend de $M$ et $c$.
Formule Essentielle : $c = \sqrt{\gamma R T}$ et $u = M \cdot c$.
Vérification Clé : Conservation de la masse $\rho_1 u_1 = \rho_2 u_2$.

Outil Interactif : Simulateur de Choc

Utilisez les curseurs pour faire varier le Mach et la Température en amont et voir l'effet sur les rapports de pression et la température en aval.

Paramètres d'Entrée

Mach Amont ($M_1$) 2.0

Température Amont ($T_1$) (K) 288.15 K

Résultats Clés

Rapport Pression ($P_2/P_1$) -

Température Aval ($T_2$) (K) -

Glossaire

Onde de Choc: Une discontinuité quasi-instantanée des propriétés d'un fluide (pression, température, densité) se propageant à une vitesse supersonique.
Nombre de Mach ($M$): Rapport adimensionnel de la vitesse d'un objet ou d'un fluide ($u$) à la vitesse du son ($c$) dans ce même fluide. $M = u / c$.
Relations de Rankine-Hugoniot: Ensemble d'équations qui relient les états (P, T, $\rho$, u) d'un fluide avant et après une onde de choc, basées sur les lois de conservation.
Indice adiabatique ($\gamma$): Rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant ($C_p / C_v$). Pour l'air, $\gamma \approx 1.4$.
Gaz Parfait: Un modèle thermodynamique décrivant le comportement des gaz. Il suit la loi $P = \rho R T$.

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Analyse d’une onde de choc

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Modélisation de l'Onde de Choc Stationnaire

Questions à traiter

Les bases sur les Ondes de Choc

Correction : Analyse d'une Onde de Choc Droite

Question 1 : Calculer le nombre de Mach en aval du choc (\(M_2\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Évolution du Mach à travers le choc

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Résultat: \(M_1\) vs \(M_2\)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Calculer le rapport de pression statique (\(P_2 / P_1\)) et la pression en aval (\(P_2\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Pressions avant et après le choc

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Résultat: Saut de Pression

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer le rapport de densité (\(\rho_2 / \rho_1\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Densités avant et après le choc

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Résultat: Saut de Densité

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer le rapport de température statique (\(T_2 / T_1\)) et la température en aval (\(T_2\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)