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Calcul de la fréquence de détachement tourbillonnaire

Exercice : Fréquence de Détachement Tourbillonnaire

Calcul de la Fréquence de Détachement Tourbillonnaire

Contexte : L'Acoustique Appliquée et les Écoulements FluidesLe mouvement d'un fluide (liquide ou gaz). En acoustique, les écoulements turbulents sont une source majeure de bruit..

Lorsqu'un fluide, comme le vent, rencontre un obstacle non-profilé (un "corps non-aérodynamique" tel qu'un cylindre), il génère un phénomène complexe appelé détachement tourbillonnaireÉgalement connu sous le nom d'"allée de Von Kármán". Des tourbillons se forment et se détachent alternativement de chaque côté de l'objet, créant une force périodique.. Ce détachement crée des fluctuations de pression périodiques dans le sillage de l'objet, qui se propagent sous forme d'ondes sonores. C'est ce qui produit le "chant" des câbles électriques ou le sifflement d'une cheminée par grand vent.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la fréquence fondamentale de ce son (appelée fréquence de Strouhal) et à comprendre pourquoi ce phénomène est crucial en ingénierie, non seulement pour le bruit généré mais aussi pour les risques de vibrations structurelles.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le phénomène de détachement tourbillonnaire (Allée de Von Kármán).
Définir et savoir utiliser le Nombre de Strouhal (\(S_t\))Nombre adimensionnel qui décrit les mécanismes d'écoulement oscillants, liant la fréquence, la vitesse et une dimension caractéristique..
Calculer le Nombre de Reynolds (\(Re\))Nombre adimensionnel qui caractérise le type d'écoulement (laminaire ou turbulent) en comparant les forces d'inertie aux forces visqueuses. pour déterminer un régime d'écoulement.
Calculer une fréquence d'émission sonore due à un écoulement (aéroacoustique).
Identifier le risque de résonancePhénomène où la fréquence d'une excitation externe correspond à une fréquence naturelle d'un système, entraînant une augmentation drastique de l'amplitude des oscillations. mécanique.

Données de l'étude

Une cheminée industrielle cylindrique en acier est exposée à un vent régulier. Nous souhaitons déterminer la fréquence du son qu'elle émet et évaluer les risques associés.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Structure	Cheminée cylindrique
Fluide	Air (à 20°C)
Phénomène étudié	Sillage de Von Kármán

Schéma du Phénomène de Détachement Tourbillonnaire

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse du vent	\(V\)	15	m/s
Diamètre de la cheminée	\(D\)	2	m
Viscosité cinématique (Air)	\(\nu\)	\(1.5 \times 10^{-5}\)	m²/s
Nombre de Strouhal (estimé)	\(S_t\)	0.21	(adimensionnel)

Questions à traiter

Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\)) pour cet écoulement.
En utilisant le schéma (fourni dans la correction), justifier brièvement pourquoi l'estimation de \(S_t = 0.21\) est pertinente.
Calculer la fréquence de détachement tourbillonnaire (\(f\)).
Cette fréquence se situe-t-elle dans le domaine audible par l'homme (typ. 20 Hz - 20 kHz) ?
Imaginons que la fréquence propre de la cheminée soit de 1.6 Hz. Quel risque cela représente-t-il ?

Les bases sur l'Aéroacoustique

L'aéroacoustique est l'étude du son généré par les écoulements fluides. Le détachement tourbillonnaire est l'un des phénomènes fondamentaux de cette discipline. Pour le quantifier, on utilise deux nombres adimensionnels majeurs.

1. Nombre de Reynolds (\(Re\))
Ce nombre compare les forces d'inertie aux forces visqueuses dans un fluide. Il permet de déterminer le régime de l'écoulement :

Écoulement LaminaireUn écoulement régulier, ordonné, où les couches de fluide glissent les unes sur les autres sans se mélanger. Typique à bas \(Re\). (bas \(Re\)) : Écoulement régulier et ordonné.
Écoulement TurbulentUn écoulement chaotique, désordonné, avec des tourbillons et un mélange intense. Typique à haut \(Re\). (haut \(Re\)) : Écoulement chaotique et désordonné.

\[ Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \] Où \(V\) est la vitesse, \(D\) la dimension caractéristique, et \(\nu\) la viscosité cinématique.

2. Nombre de Strouhal (\(S_t\))
Ce nombre met en relation la fréquence de détachement des tourbillons (\(f\)), la vitesse de l'écoulement (\(V\)) et la dimension caractéristique (\(D\)). Pour un cylindre, \(S_t\) dépend du nombre de Reynolds (\(Re\)), mais reste étonnamment constant (autour de 0.2) sur une très large plage de \(Re\) turbulents. \[ S_t = \frac{f \cdot D}{V} \]

Correction : Calcul de la Fréquence de Détachement Tourbillonnaire

Question 1 : Calculer le nombre de Reynolds (\(Re\))

Principe

L'objectif est de calculer le nombre de Reynolds (\(Re\)). Ce nombre est crucial car il nous dit comment le fluide se comporte (s'il est "paresseux" et laminaire, ou "agité" et turbulent). Cela nous permettra de valider le type d'écoulement avant de calculer la fréquence.

Mini-Cours

Qu'est-ce que le Nombre de Reynolds ?
Le \(Re\) est un rapport entre deux types de forces dans un fluide :

Forces d'inertie : Celles qui "poussent" le fluide à continuer tout droit (liées à la vitesse \(V\) et la taille \(D\)).
Forces visqueuses : Celles qui "freinent" le fluide, sa capacité à résister à l'écoulement (sa "colle" interne, liée à la viscosité \(\nu\)).

Si \(Re\) est bas, la viscosité gagne : l'écoulement est lisse (laminaire). Si \(Re\) est élevé, l'inertie gagne : l'écoulement est chaotique (turbulent).

Remarque Pédagogique

Pensez à du miel (très visqueux) coulant lentement (bas \(Re\)) comparé à de l'eau sortant d'un jet puissant (haut \(Re\)). Nous voulons savoir si notre vent se comporte comme le miel ou comme le jet d'eau.

Normes

Pour un écoulement autour d'un cylindre, les seuils de référence sont : \(Re < 2000\) (laminaire) et \(Re > 2000\) (turbulent). Notre calcul nous positionnera par rapport à ce seuil.

Formule(s)

La formule du nombre de Reynolds est :

Re = \frac{V \cdot D}{\nu}

Hypothèses

Nous supposons que les valeurs fournies (vitesse, diamètre, viscosité) sont constantes et représentatives du phénomène.

Donnée(s)

D'après l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse du vent	\(V\)	15	m/s
Diamètre	\(D\)	2	m
Viscosité cinématique	\(\nu\)	\(1.5 \times 10^{-5}\)	m²/s

Astuces

Avant de calculer, vérifiez toujours les unités. Ici, \(V\) est en m/s, \(D\) en m, et \(\nu\) en m²/s. Les unités sont cohérentes (\((\text{m/s}) \cdot \text{m} \div (\text{m}^2/\text{s}) = (\text{m}^2/\text{s}) \div (\text{m}^2/\text{s})\)), le résultat sera bien adimensionnel.

Schéma (Avant les calculs)

Nous identifions les variables de la formule sur notre schéma :

Variables pour le calcul du \(Re\)

Calcul(s)

Nous allons détailler le calcul pas à pas en remplaçant les symboles de la formule par leurs valeurs.

Étape 1 : Écrire la formule avec les valeurs

La formule est \( Re = \frac{V \cdot D}{\nu} \). En remplaçant par les données :

Re = \frac{15 \times 2}{1.5 \times 10^{-5}}

Étape 2 : Calculer le numérateur (partie haute)

On multiplie la vitesse (15 m/s) par le diamètre (2 m) :

15 \times 2 = 30

Étape 3 : Effectuer la division

On divise le résultat (30) par la viscosité (\(1.5 \times 10^{-5}\)) :

Re = \frac{30}{1.5 \times 10^{-5}}

Astuce de calcul : Diviser par \(10^{-5}\) revient à multiplier par \(10^5\). Le calcul devient :

\begin{aligned} Re &= (30 \div 1.5) \times 10^5 \\ Re &= 20 \times 10^5 \\ \Rightarrow Re &= 2 000 000 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Nous plaçons notre résultat sur l'échelle des régimes d'écoulement :

Position sur l'échelle de Reynolds

Calcul(s)

Il ne s'agit pas d'un calcul de formule, mais d'une "lecture" d'abaque (le graphique) pour trouver la valeur de \(S_t\) qui correspond à notre \(Re\).

Localiser \(Re\) : Notre valeur est \(Re = 2 \times 10^6\). Sur l'axe X (logarithmique), la marque "10⁶" signifie 1 000 000. Notre valeur (2 000 000) se situe donc un peu à droite de la marque "10⁶".
Projeter sur la courbe : On trace une ligne verticale (en rouge pointillé sur le schéma) depuis notre position \(Re = 2 \times 10^6\) jusqu'à rencontrer la courbe bleue (\(S_t\)).
Lire la valeur \(S_t\) : Depuis ce point d'intersection sur la courbe, on trace une ligne horizontale vers l'axe Y (l'axe du St).
Constater : On "atterrit" sur l'axe Y juste au-dessus de la ligne "0.2". La valeur de 0.21 est donc une lecture correcte et justifiée.

Réflexions

Comme le montre le graphique, notre point (\(Re = 2 \times 10^6\)) nous place dans le "régime supercritique" (après la "crise de traînée" vers \(Re \approx 5 \times 10^5\)). Dans cette zone, la valeur de \(S_t\) est effectivement d'environ 0.21 (elle remonte après la chute). L'hypothèse de l'énoncé est donc parfaitement justifiée.

Points de vigilance

Ne jamais utiliser \(S_t = 0.2\) aveuglément sans avoir au moins une idée de l'ordre de grandeur du \(Re\). Si l'écoulement était laminaire (très bas \(Re\)), le \(S_t\) serait différent (ou nul, s'il n'y a pas d'oscillation).

Points à retenir

Pour un cylindre, \(S_t\) dépend de \(Re\). Heureusement, pour la plupart des applications d'ingénierie (vent, eau), \(Re\) est élevé et \(S_t\) vaut environ 0.2.

Le saviez-vous ?

La "crise de traînée" (la chute de Strouhal sur le graphe, vers \(Re = 5 \times 10^5\)) est liée au fait que la couche limite du fluide devient turbulente, ce qui la fait "coller" plus longtemps à l'obstacle et réduit paradoxalement la traînée. C'est pour *provoquer* cet effet que les balles de golf ont des alvéoles !

FAQ

Questions fréquentes :

Résultat Final

L'hypothèse \(S_t = 0.21\) est justifiée, car elle correspond aux valeurs expérimentales pour un \(Re \approx 2 \times 10^6\).

A vous de jouer

En regardant le graphique, quelle valeur de \(S_t\) utiliseriez-vous pour un \(Re = 100 000\) (soit \(10^5\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : \(S_t\) dépend de \(Re\).
Méthode : Lecture de l'abaque (graphique) \(S_t\) vs \(Re\).
Résultat : Pour \(Re = 2 \times 10^6\), \(S_t \approx 0.21\) est correct.

Question 2 : Valider le nombre de Strouhal (\(S_t\))

Principe

Le nombre de Strouhal (\(S_t\)) n'est pas une constante universelle, il dépend du régime d'écoulement, qui est défini par le nombre de Reynolds (\(Re\)). L'objectif ici est de vérifier si la valeur de \(S_t = 0.21\) donnée dans l'énoncé est une approximation correcte pour le \(Re\) que nous avons calculé à la question 1.

Mini-Cours

Le Nombre de Strouhal (\(S_t\)) :
Le nombre de Strouhal est un nombre adimensionnel fondamental dans l'étude des écoulements oscillants. Il représente le rapport entre le temps de "transport" du fluide (basé sur la vitesse \(V\) et la taille \(D\)) et le temps caractéristique de l'oscillation (l'inverse de la fréquence, \(1/f\)).
Pour un cylindre, ce nombre reste remarquablement constant autour de \(S_t \approx 0.2\) pour une très large plage de régimes turbulents, ce qui en fait un outil prédictif très puissant.

Remarque Pédagogique

Pensez au nombre de Strouhal comme à une "recette" pour l'oscillation. Le fluide dit : "Pour cet obstacle et cette vitesse, je dois osciller à une fréquence \(f\) telle que le rapport \(f \cdot D / V\) soit égal à 0.21." Notre but est de trouver ce \(f\).

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme (comme un Eurocode) mais d'une loi physique semi-empirique, basée sur des décennies d'expérimentations en soufflerie. La relation \(S_t \approx 0.21\) est une valeur de référence en ingénierie aéroacoustique pour ce régime de Reynolds.

Formule(s)

Formule de base (Définition du Strouhal)

S_t = \frac{f \cdot D}{V}

Formule réarrangée pour la fréquence (\(f\))

f = \frac{S_t \cdot V}{D}

Hypothèses

Pour appliquer cette formule simplement :

On suppose que le vent est uniforme sur toute la hauteur de la cheminée.
On utilise la valeur \(S_t = 0.21\) validée à la question précédente, correspondant à notre régime \(Re = 2 \times 10^6\).
L'obstacle est un cylindre simple, sans aspérités majeures qui changeraient le \(S_t\).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et la valeur \(S_t\) validée :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nombre de Strouhal	\(S_t\)	0.21	-
Vitesse du vent	\(V\)	15	m/s
Diamètre	\(D\)	2	m

Astuces

Vérification des unités : \(S_t\) (sans unité) \(\times\) \(V\) (m/s) \(\div\) \(D\) (m) \(= \text{s}^{-1}\). Une fréquence en \(\text{s}^{-1}\) est un Hertz (Hz). Les unités sont cohérentes !

Schéma (Avant les calculs)

Le graphique ci-dessous (basé sur des données expérimentales) montre la relation entre \(S_t\) et \(Re\) pour un cylindre lisse.

Relation St vs Re pour un cylindre

Calcul(s)

Étape 1 : Manipuler la formule de Strouhal

La formule de base est \( S_t = \frac{f \cdot D}{V} \). Nous cherchons \(f\). Pour isoler \(f\), nous devons :
1. Multiplier les deux côtés par \(V\) \(\rightarrow\) \( S_t \cdot V = f \cdot D \)
2. Diviser les deux côtés par \(D\) \(\rightarrow\) \( \frac{S_t \cdot V}{D} = f \).

f = \frac{S_t \cdot V}{D}

Étape 2 : Insérer les valeurs numériques

On remplace \(S_t\), \(V\) et \(D\) par leurs valeurs :

f = \frac{0.21 \times 15}{2}

Étape 3 : Calculer le numérateur

On multiplie 0.21 par 15 :

0.21 \times 15 = 3.15

Étape 4 : Effectuer la division finale

On divise le résultat (3.15) par le diamètre (2) :

f = \frac{3.15}{2} = 1.575 \text{ Hz}

Schéma (Après les calculs)

Ce résultat signifie que la pression due au détachement tourbillonnaire oscille 1.575 fois par seconde. La période de cette oscillation (le temps pour un cycle complet) est \(T = 1/f\).

Visualisation de la fréquence

Réflexions

La fréquence de détachement est de 1.575 Hertz. C'est une oscillation très lente. Chaque tourbillon met \(T = 1 / 1.575 \approx 0.63\) secondes pour se détacher et laisser la place à un tourbillon de l'autre côté. C'est cette alternance qui crée le son (inaudible ici) et la force latérale sur la cheminée.

Points de vigilance

La principale erreur est d'inverser la formule, par exemple en calculant \(f = (S_t \cdot D) / V\). L'analyse des unités (l'astuce) permet d'éviter cela. Une fréquence doit être proportionnelle à la vitesse (plus de vent = son plus aigu) et inversement proportionnelle au diamètre (plus gros obstacle = son plus grave).

Points à retenir

La "formule de Strouhal" \(f = (S_t \cdot V) / D\) est l'outil central pour prédire la fréquence des sons générés par un écoulement autour d'un obstacle simple.

Le saviez-vous ?

C'est ce même phénomène, \(f = (S_t \cdot V) / D\), qui fait "chanter" les câbles électriques. Comme leur diamètre \(D\) est très petit (quelques centimètres), la fréquence \(f\) résultante est beaucoup plus élevée, tombant souvent dans le domaine audible (des centaines de Hz), ce qui crée le sifflement caractéristique que l'on entend.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul :

Résultat Final

La fréquence de détachement tourbillonnaire (et donc du son émis) est \(f = 1.575 \text{ Hz}\).

A vous de jouer

Calculez la fréquence émise par une antenne de 5 cm de diamètre (\(D=0.05\) m) dans le même vent de 15 m/s (gardez \(S_t=0.21\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Calcul de la fréquence d'oscillation.
Formule Essentielle : \(f = (S_t \cdot V) / D\).
Logique : \(f\) \(\propto\) \(V\) (plus vite = plus aigu), \(f\) \(\propto\) \(1/D\) (plus gros = plus grave).

Question 3 : Calculer la fréquence de détachement (\(f\))

Principe

L'objectif est de trouver la fréquence (\(f\)) du son émis. Ce son est directement causé par la fréquence à laquelle les tourbillons se détachent de la cheminée. Le nombre de Strouhal (\(S_t\)) est l'outil physique qui relie cette fréquence à la vitesse du vent (\(V\)) et au diamètre de l'obstacle (\(D\)). Nous allons donc utiliser la définition du \(S_t\) pour isoler et calculer \(f\).

Mini-Cours

L'oreille humaine est un capteur remarquable, mais sa sensibilité est limitée à une certaine plage de fréquences :

Domaine Audible : Typiquement de 20 Hz (sons les plus graves) à 20 000 Hz (ou 20 kHz, sons les plus aigus).
InfrasonsSons dont la fréquence est inférieure à 20 Hz, inaudibles pour l'oreille humaine mais perceptibles par certains animaux (éléphants, baleines) ou ressentis comme des vibrations. : Fréquences inférieures à 20 Hz.
Ultrasons : Fréquences supérieures à 20 kHz.

Remarque Pédagogique

Ce qu'on n'entend pas peut quand même avoir des effets. Les infrasons ne sont pas "entendus" comme un son, mais peuvent être "ressentis" comme une vibration ou une pulsation, surtout à haute intensité. Ils peuvent provoquer de l'inconfort ou des nausées.

Normes

La norme internationale ISO 226:2003 décrit les "courbes isosoniques", qui montrent la sensibilité de l'oreille humaine à différentes fréquences et niveaux sonores. Ces courbes confirment que la sensibilité chute drastiquement en dessous de 20 Hz.

Formule(s)

Il ne s'agit pas d'une formule, mais d'une simple comparaison :

\text{Comparer } f_{\text{calculée}} \text{ à } [20 \text{ Hz} \text{, } 20 000 \text{ Hz}]

Hypothèses

Nous supposons un auditeur humain "standard", sans perte auditive particulière. La limite de 20 Hz est une moyenne, elle varie légèrement d'une personne à l'autre.

Donnée(s)

Les données pour cette comparaison sont :

Fréquence calculée, \(f = 1.575 \text{ Hz}\) (de Q3).
Domaine audible de référence : [20 Hz, 20 000 Hz].

Astuces

Pour se souvenir de la limite basse, pensez à la note la plus grave d'un grand orgue d'église, qui se situe juste à la limite de l'audible, autour de 16-20 Hz.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé nous montre bien les trois variables en jeu : le vent \(V\) qui arrive, l'obstacle de diamètre \(D\), et le sillage oscillant à une fréquence \(f\).

Variables Clés pour le calcul de f

Calcul(s)

Il s'agit d'une simple comparaison entre la valeur calculée et la valeur seuil.

Étape 1 : Rappel des valeurs

Valeur calculée : \(f = 1.575 \text{ Hz}\)
Valeur seuil basse de l'audition : \(f_{\text{min}} = 20 \text{ Hz}\)

Étape 2 : Comparaison

On compare les deux nombres :

1.575 \text{ est bien inférieur à } 20

La fréquence calculée est donc en dehors et en dessous du domaine audible. Elle est dans la catégorie des "infrasons".

Réflexions

La fréquence étant très en dessous du seuil de l'audition humaine (20 Hz), elle est classée comme un infrason. Elle ne produira pas un son "audible" au sens classique du terme.

Points de vigilance

Ce n'est pas parce qu'on ne l'entend pas qu'elle n'existe pas ou qu'elle est sans danger ! Les infrasons de forte puissance (par exemple, émis par de gros moteurs ou des éoliennes) sont un sujet d'étude, car ils peuvent causer de l'inconfort, des nausées ou des vibrations gênantes dans les structures.

Points à retenir

Le spectre audible humain commence à 20 Hz. Tout ce qui est en dessous est un infrason.

Le saviez-vous ?

De nombreux animaux perçoivent les infrasons. Les éléphants les utilisent pour communiquer sur des kilomètres, et les pigeons peuvent "entendre" des tempêtes ou des éruptions volcaniques à des centaines de kilomètres de distance grâce aux infrasons qu'elles génèrent.

FAQ

Questions fréquentes :

Résultat Final

Non, cette fréquence est un infrason. Elle est inaudible pour l'oreille humaine.

A vous de jouer

La fréquence de 63 Hz (calculée dans le "A vous de jouer" de la Q3) est-elle audible ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Spectre audible humain [20 Hz ; 20 000 Hz].
Comparaison : \(f = 1.575 \text{ Hz}\) est en dehors (en dessous) de ce spectre.
Conclusion : C'est un infrason.

Question 5 : Risque de résonance (\(f_{\text{propre}} \approx 1.6 \text{ Hz}\))

Principe

La résonance est le phénomène le plus dangereux en ingénierie des structures. Il se produit lorsqu'une force externe, même faible, excite un système (ici, la cheminée) à une fréquence très proche de sa propre fréquence de vibration "naturelle" (ou "fréquence propre").

Mini-Cours

Fréquence Propre vs Fréquence d'Excitation :

Fréquence Propre (\(f_{\text{propre}}\)) : C'est la "note" naturelle de la structure. Si vous "frappez" la cheminée, elle vibrera à cette fréquence (1.6 Hz). Elle dépend de sa hauteur, sa masse, sa rigidité.
Fréquence d'Excitation (\(f_{\text{excitation}}\)) : C'est la fréquence de la force externe. Ici, c'est la force périodique créée par les tourbillons, que nous avons calculée à 1.575 Hz.

Condition de Résonance : Le danger survient lorsque \(f_{\text{excitation}} \approx f_{\text{propre}}\).

Remarque Pédagogique

Pensez à pousser une balançoire. Si vous poussez n'importe comment (fréquence aléatoire), la balançoire bouge peu. Si vous poussez "en rythme", en phase avec son mouvement naturel (à sa fréquence propre), chaque petite poussée s'ajoute à la précédente. L'amplitude augmente jusqu'à ce que la balançoire se retourne (ou casse !).

Normes

Les codes de construction (comme les Eurocodes, par exemple l'EN 1991-1-4 "Actions du vent") obligent les ingénieurs à calculer la fréquence de détachement tourbillonnaire et à la comparer aux fréquences propres de la structure pour s'assurer qu'il n'y a pas de risque de résonance.

Formule(s)

Il s'agit d'une comparaison de valeurs :

\text{Comparer } f_{\text{excitation}} \text{ et } f_{\text{propre}}

Hypothèses

Nous supposons que la fréquence propre de 1.6 Hz est la fréquence fondamentale (la plus basse et la plus facile à exciter) de la cheminée.

Donnée(s)

Les données pour la comparaison sont :

Fréquence d'excitation (calculée), \(f = 1.575 \text{ Hz}\).
Fréquence propre (donnée), \(f_{\text{propre}} = 1.6 \text{ Hz}\).

Astuces

En ingénierie, "proche" signifie que même un écart de 5-10% peut être dangereux. Ici, l'écart est de \((1.6 - 1.575) / 1.6 \approx 1.5\%\). C'est une quasi-égalité parfaite, le pire des cas.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du phénomène de résonance :

Phénomène de Résonance

Calcul(s)

Nous allons comparer la fréquence d'excitation (le vent) et la fréquence propre (la structure) pour voir si elles sont "proches".

Étape 1 : Rappel des deux fréquences

Fréquence d'excitation (calculée en Q3) : \(f_{\text{excitation}} = 1.575 \text{ Hz}\)
Fréquence propre (donnée) : \(f_{\text{propre}} = 1.6 \text{ Hz}\)

Étape 2 : Comparaison directe

1.575 \text{ Hz} \text{ est très proche de } 1.6 \text{ Hz}

Étape 3 : Calcul de l'écart (optionnel mais parlant)

Calculons la différence en pourcentage (par rapport à la fréquence propre) :

\begin{aligned} \text{Écart} &= \frac{f_{\text{propre}} - f_{\text{excitation}}}{f_{\text{propre}}} \times 100 \\ &= \frac{1.6 - 1.575}{1.6} \times 100 \\ &= \frac{0.025}{1.6} \times 100 \\ &= 0.0156 \times 100 = 1.56\% \end{aligned}

Un écart de seulement 1.56% est une quasi-égalité parfaite en ingénierie. Le risque de résonance est maximal.

Réflexions

C'est la situation la plus dangereuse pour la structure. Chaque tourbillon qui se détache "pousse" la cheminée au bon moment (en phase), un peu comme pousser une balançoire en rythme. Les forces, même faibles individuellement, s'accumulent. L'amplitude des vibrations de la cheminée va augmenter de façon spectaculaire, pouvant entraîner une fatigue extrême du matériau, des fissures, voire l'effondrement de la structure.

Points de vigilance

Le danger est maximal lorsque le vent est stable et que sa vitesse est pile celle qui produit la "mauvaise" fréquence. Les ingénieurs doivent identifier cette "vitesse critique" et s'assurer que la structure y résiste, ou l'empêcher de vibrer.

Points à retenir

La résonance se produit lorsque \(f_{\text{excitation}} \approx f_{\text{propre}}\).
C'est un phénomène d'amplification dynamique qui peut détruire une structure.

Le saviez-vous ?

L'effondrement du pont de Tacoma Narrows en 1940 (surnommé "Galloping Gertie") est l'exemple le plus célèbre de ce type de couplage aéroélastique. Le vent a excité une des fréquences de torsion du pont, menant à sa destruction spectaculaire. C'est pour éviter cela que les ingénieurs ajoutent des "strakes" (spirales) autour des cheminées : elles cassent la régularité des tourbillons.

FAQ

Questions fréquentes :

Résultat Final

Le risque est très élevé. La quasi-égalité entre la fréquence d'excitation (1.575 Hz) et la fréquence propre (1.6 Hz) va provoquer un phénomène de résonance mécanique, pouvant entraîner la destruction de la cheminée.

A vous de jouer

Si la fréquence propre de la cheminée était de 10 Hz, y aurait-il un risque de résonance avec ce vent ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Résonance (\(f_{\text{excitation}} \approx f_{\text{propre}}\)).
Danger : Amplification des vibrations, risque de défaillance structurelle.
Solution : "Strakes" (spirales) pour perturber l'écoulement.

Outil Interactif : Simulateur de Fréquence

Utilisez les curseurs pour voir comment la vitesse du vent et le diamètre de la cheminée influencent la fréquence de détachement et le nombre de Reynolds. (On suppose \(S_t = 0.21\) et \(\nu = 1.5 \times 10^{-5} \text{ m}^2/s\) constants).

Paramètres d'Entrée

Vitesse du vent (\(V\)) (m/s) 15 m/s

Diamètre (\(D\)) (m) 2.0 m

Résultats Clés

Fréquence de détachement (\(f\)) - Hz

Nombre de Reynolds (\(Re\)) -

Glossaire

Détachement tourbillonnaire (Allée de Von Kármán): Phénomène où un écoulement passant un objet non-profilé génère des tourbillons alternés, créant une force périodique sur l'objet.
Fréquence propre (ou naturelle): Fréquence à laquelle un système (comme une structure) vibre naturellement lorsqu'il est perturbé, en l'absence de force extérieure continue.
Infrason: Onde sonore dont la fréquence est inférieure à 20 Hz, la limite inférieure de l'audition humaine.
Nombre de Reynolds (\(Re\)): Nombre adimensionnel utilisé en mécanique des fluides pour caractériser le régime d'écoulement (laminaire ou turbulent). Il compare les forces d'inertie aux forces visqueuses.
Nombre de Strouhal (\(S_t\)): Nombre adimensionnel liant la fréquence (\(f\)) d'un phénomène oscillant dans un fluide, la vitesse du fluide (\(V\)) et une dimension caractéristique de l'obstacle (\(D\)).
Résonance: Phénomène d'amplification d'une oscillation qui se produit lorsque la fréquence d'une force externe (excitation) est égale ou très proche d'une fréquence propre du système.

D’autres exercices d’acoustique appliquée: