Analyse de la Directivité d'un Dipôle
Contexte : Émission acoustique complexe et interférences.
En acoustique fondamentale, une Source DipolaireSystème composé de deux sources monopôles proches oscillant en opposition de phase. représente une approximation courante pour modéliser des objets oscillants sans changement de volume global (comme une corde de violon ou une pale de ventilateur). Contrairement à une source omnidirectionnelle (monopôle), le dipôle présente une directivité marquée due aux Interférences DestructivesAnnulation de l'onde sonore lorsque deux ondes opposées se rencontrent..
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de comprendre comment la géométrie de la source influence la répartition spatiale de l'énergie sonore, un concept clé pour l'ingénierie audio et la réduction du bruit.
Objectifs Pédagogiques
- Vérifier l'hypothèse de compacité d'une source.
- Calculer la fonction de directivité théorique.
- Déterminer l'atténuation en décibels selon l'angle d'écoute.
- Comprendre la notion d'indice de directivité.
Données de l'étude
On considère un dipôle acoustique constitué de deux sources ponctuelles (monopôles) séparées par une distance \(d\), vibrant à la même fréquence \(f\) mais en opposition de phase (déphasage de \(\pi\)). On se place en champ lointain.
Fiche Technique / Données
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Fréquence d'émission (\(f\)) | 1000 Hz |
| Célérité du son (\(c\)) | 340 m/s |
| Distance entre les sources (\(d\)) | 0.05 m (5 cm) |
| Angle d'observation cible (\(\theta\)) | 60° (par rapport à l'axe) |
Schéma du Dipôle Acoustique
Questions à traiter
- Calculer la longueur d'onde et vérifier l'hypothèse de compacité du dipôle.
- Déterminer la valeur de la fonction de directivité \(H(\theta)\) pour \(\theta = 60^\circ\).
- En déduire l'atténuation en décibels par rapport à l'axe de rayonnement maximal.
- Calculer l'Indice de Directivité (DI) théorique du dipôle.
Les bases théoriques
Pour comprendre le rayonnement d'un dipôle, il faut introduire la notion de déphasage et de différence de marche entre les deux sources. Un dipôle est fondamentalement différent d'un monopôle : il ne crée pas de volume net mais déplace le fluide d'avant en arrière.
Longueur d'onde et Nombre d'onde
La longueur d'onde \(\lambda\) représente la périodicité spatiale de l'onde. C'est la distance physique minimale entre deux points de l'onde ayant la même phase au même instant.
Où :
- \(c\) est la célérité du son (m/s), dépendant du milieu et de la température.
- \(f\) est la fréquence temporelle (Hz).
- \(k\) est le nombre d'onde (rad/m), analogue spatial de la pulsation.
Directivité du Dipôle Compact
Si la source est compacte (c'est-à-dire que \(kd \ll 1\)), les deux sources monopôles sont très proches. La différence de phase perçue dépend alors presque uniquement de l'angle. La pression acoustique normalisée \(H(\theta)\) suit une loi en cosinus :
Note : L'angle \(\theta\) est défini ici par rapport à l'axe reliant les deux sources. Dans cette configuration, l'annulation est maximale à 90° (plan médian) où les contributions des sources positive et négative arrivent en même temps et s'annulent.
Niveau et Atténuation (dB)
L'atténuation \(\Delta L\) exprime la chute de niveau sonore dans une direction donnée par rapport au maximum (dans l'axe, à 0°). Elle se calcule à partir du rapport de pression :
Un dipôle rayonne un diagramme en "huit" caractéristique, aussi appelé lemniscate, avec deux lobes principaux opposés.
Correction : Analyse de la Directivité d'un Dipôle
Question 1 : Longueur d'onde et Compacité
Principe
Pour utiliser l'approximation mathématique simple du "dipôle compact" (où \(H(\theta) = |\cos(\theta)|\)), il faut s'assurer que les deux sources élémentaires ne sont pas trop éloignées l'une de l'autre. Si elles sont trop distantes, des lobes secondaires complexes apparaissent. Le critère usuel de compacité est que la distance \(d\) soit petite devant la longueur d'onde, typiquement \(d < \frac{\lambda}{4}\).
Mini-Cours
La relation fondamentale \(\lambda = c \cdot T = c/f\) lie l'espace (mètre) et le temps (seconde). C'est le pilier de toute la physique ondulatoire.
Remarque Pédagogique
Vérifiez toujours la cohérence des unités avant de calculer. Ici, nous avons des mètres par seconde et des Hertz (1/s), le résultat sera donc directement en mètres. Pas de conversion nécessaire.
Normes
La notation \(\lambda\) (lambda) est normalisée par l'ISO 80000-3 "Grandeurs et unités : Espace et temps". La célérité du son standard dans l'air à 20°C est fixée à environ 343 m/s par les normes techniques habituelles.
Formule(s)
Relation longueur d'onde / fréquence
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le milieu de propagation est homogène (pas de gradient de température) et isotrope.
- La température est supposée constante et proche de 20°C (cohérent avec \(c=340\) m/s).
- La source est immobile.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Célérité du son | \(c\) | 340 | m/s |
| Fréquence | \(f\) | 1000 | Hz |
| Écartement sources | \(d\) | 0.05 | m |
Astuces
Pour avoir un ordre de grandeur : à 1000 Hz, le son parcourt environ 34 cm par cycle. C'est une dimension "à échelle humaine", comparable à une règle d'écolier.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation : Onde vs Géométrie
Calcul(s)
1. Calcul de la longueur d'onde
On commence par déterminer la longueur de l'onde sonore à la fréquence donnée. On divise la célérité par la fréquence pour obtenir la distance parcourue par un cycle :
On obtient une longueur d'onde de 34 cm.
2. Vérification de la compacité
Pour vérifier si le dipôle est "compact", on doit s'assurer que la distance \(d\) est très inférieure à la longueur d'onde. Le critère usuel est \(d < \lambda/4\). Calculons ce seuil critique :
Le seuil de compacité est de 8.5 cm.
On compare maintenant la distance physique \(d\) (\(5 \, \text{cm}\)) avec ce seuil calculé :
Puisque 5 cm est bien inférieur à 8.5 cm, l'hypothèse est validée.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
La condition de compacité \(d < \lambda/4\) est bien respectée. Cela signifie que le déphasage dû à la propagation entre les deux sources reste modéré. Nous pouvons donc légitimement utiliser le modèle simplifié de directivité \(H(\theta) = |\cos(\theta)|\) pour la suite de l'exercice.
Points de vigilance
Attention : si la fréquence augmentait significativement (ex: 5000 Hz), \(\lambda\) deviendrait plus petit que \(d\). L'hypothèse de compacité s'effondrerait et des lobes secondaires apparaitraient dans le diagramme de directivité.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Formule de base : \(\lambda = c/f\).
- Condition de dipôle compact : \(kd < 1\) ou \(d \ll \lambda\).
Le saviez-vous ?
Le La du diapason (440 Hz) a une longueur d'onde d'environ 77 cm dans l'air. En comparaison, dans l'eau (où le son va 4,5 fois plus vite), cette même fréquence correspond à une onde de plus de 3 mètres !
FAQ
Pourquoi le critère est-il souvent \(\lambda/4\) ?
C'est une limite empirique (souvent appelée critère de Rayleigh en optique). À cette distance, le déphasage de propagation est de \(\pi/2\), ce qui commence à modifier significativement la forme du rayonnement par rapport au modèle idéal.
A vous de jouer
Quelle serait la longueur d'onde si la fréquence doublait (2000 Hz) ?
📝 Mémo
"Basse fréquence = Grande longueur d'onde".
Question 2 : Fonction de Directivité
Principe
Nous cherchons à quantifier l'énergie sonore émise à 60° par rapport à l'émission maximale. Pour un dipôle compact, l'interférence destructive dépend directement de l'angle. L'annulation est totale quand les sources sont à égale distance de l'auditeur (à 90°), et nulle quand on est dans l'axe (0°).
Mini-Cours
La fonction de directivité \(H(\theta)\) décrit la forme du lobe de rayonnement. C'est une grandeur normalisée (comprise entre 0 et 1). Pour un dipôle, \(H(\theta)=0\) correspond à une zone d'ombre acoustique (silence).
Remarque Pédagogique
Imaginez le chiffre "8" posé horizontalement. Les sources sont au centre. Le son part fort vers la gauche et la droite (les boucles du 8) mais rien ne sort vers le haut et le bas (le creux du 8).
Normes
Les diagrammes polaires sont normalisés par la norme CEI 60268-4 pour les microphones. Ils représentent la sensibilité en fonction de l'angle d'incidence sur un graphique circulaire.
Formule(s)
Directivité du dipôle
Hypothèses
Pour appliquer cette formule simple, on suppose :
- Champ lointain : la distance d'observation \(r\) est beaucoup plus grande que \(d\).
- Sources idéales : les deux monopôles ont exactement la même amplitude source.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle d'observation | \(\theta\) | 60 | degrés |
Astuces
Rappelez-vous vos classiques de trigonométrie du lycée : \(\cos(60^\circ)\) vaut exactement \(0.5\). C'est une valeur remarquable qui permet de vérifier ses calculs mentalement !
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Application numérique
On remplace l'angle \(\theta\) par sa valeur de \(60^\circ\) dans la fonction de directivité. On s'assure de prendre la valeur absolue.
La valeur obtenue est 0.5, ce qui correspond à une amplitude réduite de moitié.
Schéma (Résultat)
Réflexions
Le résultat de 0.5 signifie que l'amplitude de la pression acoustique à 60° est exactement la moitié de celle observée dans l'axe principal (0°). Cela confirme que le dipôle est une source très directive : dès qu'on s'écarte de l'axe, le niveau chute rapidement.
Points de vigilance
Erreur classique : Laisser sa calculatrice en mode Radians. \(\cos(60 \text{ rad})\) donne un résultat incohérent. Vérifiez toujours que \(\cos(90) = 0\) avant de commencer.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La directivité d'un dipôle compact suit une loi en \(|\cos(\theta)|\).
- L'annulation est totale (zéro) à 90°.
- Le maximum (un) est à 0° et 180°.
Le saviez-vous ?
Cette loi en cosinus est utilisée pour créer des microphones directionnels "figure-en-8". Ils sont très prisés pour enregistrer deux chanteurs face à face sans capter les bruits latéraux.
FAQ
Que se passe-t-il pour les angles entre 90° et 270° ?
La fonction cosinus devient négative, ce qui signifie que la phase est inversée (la pression devient une dépression). Mais comme l'oreille est sensible à l'amplitude (valeur absolue), on perçoit un second lobe symétrique à l'arrière.
A vous de jouer
Quelle est la directivité à 45° ? (Entrez 0.707)
📝 Mémo
\(\cos(0^\circ) = 1\) (Max), \(\cos(90^\circ) = 0\) (Silence).
Question 3 : Atténuation en Décibels
Principe
L'oreille humaine a une réponse logarithmique aux stimuli sonores. Une division par deux de la pression ne donne pas l'impression d'un son "deux fois moins fort". Il est donc indispensable de convertir le rapport d'amplitude calculé précédemment en décibels (dB) pour obtenir une valeur représentative de la sensation auditive.
Mini-Cours
Le décibel (dB) est une unité sans dimension logarithmique. Pour des grandeurs de champ (pression \(p\), tension \(u\)), la formule est \(20 \log_{10}(p/p_{\text{ref}})\). Pour des grandeurs de puissance (Intensité \(I\), Puissance \(P\)), c'est \(10 \log_{10}(P/P_{\text{ref}})\).
Remarque Pédagogique
Une atténuation s'exprime généralement avec un signe négatif (ex: -6 dB) lorsqu'il s'agit d'un gain relatif. Cela indique une perte de niveau par rapport à la référence.
Normes
L'ISO 1683 définit les niveaux de référence acoustiques standard. Pour la pression acoustique dans l'air, \(p_{\text{ref}} = 20 \, \mu\text{Pa}\).
Formule(s)
Conversion amplitude vers dB
Hypothèses
On suppose que :
- On compare des amplitudes de pression efficaces (RMS).
- La référence (0 dB) est la pression maximale dans l'axe du dipôle.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Directivité (Calculée Q2) | \(H(\theta)\) | 0.5 |
Astuces
Astuce d'ingénieur son à connaître par cœur : \(\log_{10}(2) \approx 0.3\).
Donc \(20 \log(0.5) = 20 \log(1/2) = -20 \log(2) \approx -20 \times 0.3 = -6\).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Application numérique
1. On injecte la valeur de \(H(\theta)\) (0.5) que nous avons calculée précédemment dans la formule logarithmique :
2. On calcule le logarithme décimal de 0.5 (\(\approx -0.30103\)) :
3. On effectue la multiplication par 20 pour obtenir le résultat final en décibels :
L'atténuation est donc d'environ 6 dB.
Schéma (Résultat)
Réflexions
Le résultat est d'environ -6 dB. En acoustique, c'est une valeur significative. C'est l'équivalent de la perte de niveau que l'on subit en s'éloignant d'un facteur 2 d'une source sonore ponctuelle (loi de divergence sphérique).
Points de vigilance
Attention au signe ! Une atténuation est une valeur négative. Si vous obtenez +6 dB, c'est que vous avez calculé un gain (ou inversé le rapport), ce qui est impossible ici puisque l'axe est le maximum.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Ratio 0.5 en amplitude = -6 dB.
- Ratio 0.1 en amplitude = -20 dB.
- Ratio 1 en amplitude = 0 dB.
Le saviez-vous ?
Bien que -6 dB corresponde physiquement à moitié moins de pression, le cerveau humain a besoin d'une baisse d'environ -10 dB pour avoir la sensation subjective que le son est "deux fois moins fort".
FAQ
Pourquoi utilise-t-on 20 log et pas 10 log ici ?
Parce que \(H(\theta)\) est un rapport de pressions (amplitudes). La puissance acoustique est proportionnelle au carré de la pression (\(P \propto p^2\)). Or, \(10 \log(p^2) = 20 \log(p)\). Le facteur 20 vient de cet exposant carré.
A vous de jouer
Quelle est l'atténuation pour un ratio de 0.1 ? (Entrez -20)
📝 Mémo
"Moitié de Pression = Moins Six Décibels".
Question 4 : Indice de Directivité (DI)
Principe
L'Indice de Directivité (Directivity Index - DI) est une mesure globale, un chiffre unique, qui permet de caractériser à quel point une source "concentre" son énergie. Il compare l'intensité sonore dans la direction la plus forte à l'intensité moyenne qui serait rayonnée si la même puissance était distribuée uniformément dans toutes les directions.
Mini-Cours
Le Facteur de Directivité \(Q\) (ou \(\gamma\)) est le rapport linéaire des intensités (\(I_{\text{max}} / I_{\text{moyen}}\)).
\(Q=1\) pour une sphère (omnidirectionnel).
\(Q=3\) pour un dipôle théorique.
L'indice DI est simplement la conversion logarithmique de ce facteur : \(DI = 10 \log_{10}(Q)\).
Remarque Pédagogique
Plus le DI est élevé, plus la source est directive (comme un phare maritime). Un DI faible (proche de 0) indique une source qui éclaire partout (comme une ampoule nue).
Normes
L'indice DI est une spécification standard fondamentale pour les fiches techniques des haut-parleurs de sonorisation et des microphones professionnels.
Formule(s)
Définition du DI
Hypothèses
Le facteur \(Q=3\) pour un dipôle repose sur les hypothèses suivantes :
- Rayonnement en espace libre complet (4\(\pi\) stéradiants).
- Source dipolaire théorique idéale (deux points infiniment proches).
- Pas d'obstacles ou de réflexions (champ libre).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Facteur de Directivité | \(Q\) | 3 |
Astuces
Retenez que le monopole a un DI de 0 dB. Tout DI positif indique une certaine focalisation de l'énergie.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
Application numérique
1. On injecte la valeur théorique du facteur de directivité \(Q=3\) dans la formule logarithmique :
2. La valeur du logarithme décimal de 3 est environ \(0.4771\) :
3. On effectue la multiplication par 10 pour obtenir le résultat final en décibels :
L'indice de directivité du dipôle est donc de 4.77 dB.
Schéma (Résultat)
Réflexions
Avec environ 4.8 dB, le dipôle "concentre" l'énergie acoustique mieux qu'une source omni (0 dB), mais moins qu'un piston (haut-parleur) très directif qui peut facilement atteindre 10 ou 20 dB dans les aigus. Ce gain de 4.8 dB est purement géométrique, dû à la suppression du son sur les côtés.
Points de vigilance
Ne confondez pas le DI (Directivity Index), qui est une valeur globale unique pour la source, avec la fonction de directivité \(H(\theta)\), qui varie pour chaque angle.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- DI Dipôle = 4.8 dB (Q=3).
- DI Monopôle = 0 dB (Q=1).
- DI Demi-sphère (baffle infini) = 3 dB (Q=2).
Le saviez-vous ?
Les microphones "canons" (shotgun) utilisés au cinéma utilisent des tubes d'interférence acoustique complexes pour atteindre des DI très élevés (> 10 dB) afin de capter les dialogues des acteurs à distance.
FAQ
Le DI peut-il être négatif ?
Non, pour des sources passives classiques rayonnant dans l'espace libre, le DI est toujours positif ou nul. Une source ne peut pas être "moins directive" que l'isotrope (omnidirectionnelle).
A vous de jouer
Quel est le DI d'une source omnidirectionnelle ? (Entrez 0)
📝 Mémo
"Dipôle = Facteur Q de 3".
Schéma Bilan : Le Diagramme Polaire
Représentation de la pression acoustique normalisée en fonction de l'angle d'observation (forme en "8").
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir
Synthèse finale sur le dipôle acoustique :
-
🔑
Concept Clé : Interférences
La directivité du dipôle n'est pas due à un obstacle, mais à la combinaison (interférences destructives) de deux ondes en opposition de phase. -
📐
Loi de Directivité : Cosinus
La pression suit la loi \(p(\theta) \propto \cos(\theta)\). L'intensité suit \(\cos^2(\theta)\). Cela dessine un "8". -
⚠️
Zones de Silence
Il n'y a pas de son émis perpendiculairement à l'axe des sources (\(\pm 90^\circ\)). C'est le plan nodal. -
💡
Indice DI : 4.8 dB
Le dipôle est naturellement plus directif qu'une source omnidirectionnelle (0 dB) ou qu'une source sur baffle plan infini (3 dB).
🎛️ Simulateur de Directivité
Modifiez l'angle d'observation pour voir l'évolution de la pression sonore normalisée et de l'atténuation correspondante en temps réel.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Où se situe le "silence" théorique d'un dipôle ?
2. Si je m'écarte de 60° de l'axe optimal, je perds environ :
📚 Glossaire
- Monopôle
- Source acoustique élémentaire ponctuelle (pulsante) qui rayonne une onde sphérique de manière uniforme dans toutes les directions (isotrope). Son indice de directivité est 0 dB.
- Champ lointain
- Zone située à une distance suffisante de la source pour que les dimensions de la source soient négligeables et que les ondes puissent être considérées localement comme planes.
- Opposition de phase
- État de deux signaux ondulatoires décalés exactement d'une demi-période (180° ou \(\pi\) radians). Lorsque le premier signal est à son maximum positif, le second est à son maximum négatif.
- Compacité
- Propriété d'une source dont les dimensions géométriques sont très petites par rapport à la longueur d'onde du son qu'elle émet (\(d \ll \lambda\)).
- Stéradian
- Unité d'angle solide. L'espace entier autour d'un point représente un angle solide de \(4\pi\) stéradians (environ 12,57 sr).
Le Saviez-vous ?
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