Analyse de la directivité d'un réseau de sources
Contexte : Sonorisation de grands espaces et formation de faisceaux (Beamforming).
En acoustique, il est fréquent d'utiliser plusieurs sources sonores (haut-parleurs, transducteurs sonar) alignées pour contrôler la direction de propagation de l'onde. Ce phénomène repose sur les InterférencesSuperposition de deux ou plusieurs ondes qui s'additionnent ou s'annulent. constructives et destructives. Cet exercice étudie le comportement d'un réseau linéaire de sources omnidirectionnelles équidistantes.
Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de comprendre comment la géométrie d'une antenne influence son diagramme de rayonnement, concept clé en sonorisation (Line Array) et en imagerie médicale (Échographie).
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la longueur d'onde associée à une fréquence donnée.
- Déterminer la différence de marche et le déphasage entre sources.
- Comprendre la notion de directivité et de lobes secondaires.
Données de l'étude
On considère un réseau linéaire constitué de \(N=4\) sources sonores ponctuelles, alignées sur un axe horizontal, séparées par une distance constante \(d\). Les sources émettent toutes le même signal sinusoïdal de fréquence \(f\), avec la même amplitude et la même phase initiale.
Fiche Technique / Données
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Milieu de propagation | Air à 20°C |
| Célérité du sonVitesse de propagation de l'onde sonore. (\(c\)) | \(340 \text{ m/s}\) |
Schéma du Réseau Linéaire
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence | \(f\) | 1000 | \(\text{Hz}\) |
| Nombre de sources | \(N\) | 4 | - |
| Espacement | \(d\) | 0.17 | \(\text{m}\) |
Questions à traiter
- Calculer la longueur d'onde \(\lambda\) et commenter par rapport à \(d\).
- Exprimer et calculer le déphasage \(\Delta\phi\) entre deux sources voisines.
- Calculer la position angulaire du premier "nul" de directivité (silence).
- Analyser l'effet de l'augmentation du nombre de sources \(N\) sur la finesse du faisceau.
- Étudier le comportement du réseau à 90° (rayonnement latéral).
Les bases théoriques
Pour résoudre cet exercice, nous devons utiliser les relations fondamentales de la propagation des ondes et de la sommation cohérente.
1. La Longueur d'onde (\(\lambda\))
C'est la périodicité spatiale de l'onde. Elle représente la distance physique entre deux pics de pression successifs. C'est l'étalon de mesure en acoustique : toutes les distances (taille des objets, espacement des micros) doivent être comparées à \(\lambda\) pour savoir si elles sont "grandes" ou "petites".
Où :
- \(c\) est la célérité du son (m/s)
- \(f\) est la fréquence (Hz)
2. Le Principe de Huygens-Fresnel
Chaque source du réseau émet une onde sphérique. En un point lointain \(M\), la pression totale est la somme de toutes ces ondes. Comme elles parcourent des distances différentes, elles arrivent avec des phases différentes (des retards différents).
Différence de marche
3. Facteur de Réseau (Array Factor)
C'est la fonction mathématique qui donne l'amplitude résultante en fonction de l'angle. Elle agit comme un filtre spatial : elle laisse passer le son dans certaines directions et le bloque dans d'autres.
Correction : Analyse de la directivité d'un réseau de sources
Question 1 : Calcul de la longueur d'onde
Principe
La première étape de tout problème d'acoustique est de déterminer l'échelle du phénomène. La longueur d'onde \(\lambda\) nous dira si notre réseau est "grand" (directif) ou "petit" (omnidirectionnel).
Mini-Cours
La vitesse du son dans l'air dépend principalement de la température \(T\) (en Kelvin). La formule empirique est \(c \approx 331.3 \sqrt{1 + T_{\text{°C}}/273.15}\). À 20°C, cela donne environ 343 m/s, souvent arrondi à 340 m/s pour simplifier les calculs de tête.
Remarque Pédagogique
Toujours vérifier la cohérence des unités (mètres et Hertz).
Normes
ISO 9613-1 pour l'atténuation atmosphérique utilise ces bases.
Formule(s)
Relation Longueur d'onde / Fréquence
Hypothèses
Milieu homogène et isotrope.
- Température constante
- Pas de vent
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(c\) | \(340 \text{ m/s}\) |
| \(f\) | \(1000 \text{ Hz}\) |
Astuces
À 1000 Hz, \(\lambda\) vaut environ 34 cm. Facile à retenir !
Schéma : Longueur d'onde
Calcul(s)
Calcul Principal
Calcul de Lambda
Le résultat est exprimé en mètres. Cette valeur est fondamentale pour la suite de l'exercice.
Schéma Après Calcul
Validation de l'Espacement
Réflexions
Comparons ce résultat à la donnée \(d = 0.17\) m. On remarque immédiatement que :
C'est une configuration critique ! En théorie des réseaux, un espacement de \(\lambda/2\) est l'espacement optimal pour éviter le repliement spatial (apparition de lobes fantômes parasites).
Points de vigilance
Ne pas confondre avec la période \(T = 1/f\).
Points à Retenir
Plus la fréquence est basse, plus \(\lambda\) est grande. À 100 Hz, \(\lambda = 3.4\) m.
Le saviez-vous ?
Les basses fréquences ont des longueurs d'onde de plusieurs mètres, ce qui les rend difficiles à stopper avec des murs fins.
FAQ
Pourquoi 340 m/s ?
C'est une moyenne à 20°C au niveau de la mer.
A vous de jouer
Si la température monte à 40°C, la vitesse du son augmente (~355 m/s). La longueur d'onde augmente-t-elle ou diminue-t-elle ? (Entrez la nouvelle longueur d'onde en mètres).
📝 Mémo
C = Lambda x f.
Question 2 : Différence de marche et Déphasage
Principe
Lorsque l'auditeur est placé à un angle \(\theta\) par rapport à la perpendiculaire du réseau, le son provenant de la source \(S_2\) doit parcourir une distance supplémentaire \(\delta\) par rapport à \(S_1\). Ce retard crée un déphasage.
Mini-Cours
Le nombre d'onde \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) est le facteur de conversion qui transforme une distance en phase (radians). Il représente la variation de phase par mètre parcouru.
Remarque Pédagogique
Imaginez deux coureurs partant de lignes de départ décalées. Le décalage spatial se transforme en retard à l'arrivée.
Normes
Ce principe est fondamental en traitement du signal pour les antennes acoustiques (Beamforming) et les réseaux de microphones (normes IEC 60268-4).
Formule(s)
Différence de marche
Déphasage
Hypothèses
On considère des sources ponctuelles isotropes et on se place en champ lointain (ondes planes).
- Distance d'écoute \(r \gg d\)
- Amplitude reçue identique pour toutes les sources
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(d\) | \(0.17 \text{ m}\) |
| \(\lambda\) | \(0.34 \text{ m}\) |
Astuces
Si la différence de marche \(\delta\) est égale à une longueur d'onde entière \(\lambda\), le déphasage est de \(2\pi\), ce qui équivaut à un retour à la phase initiale (interférence constructive).
Schéma : Retard Géométrique
Calcul(s)
Calcul Littéral
Commençons par exprimer le déphasage en fonction des paramètres du problème :
Nous obtenons une expression numérique intermédiaire. Observons le rapport entre la distance \(d\) et la longueur d'onde \(\lambda\).
En effectuant la simplification numérique de la fraction \(\frac{0.17}{0.34}\), nous remarquons que l'espacement est exactement la moitié de la longueur d'onde :
L'expression finale est remarquablement simple. Le facteur \(\pi\) indique que le déphasage maximal (à 90°) sera de 180 degrés.
Schéma Après Calcul
Résultat Simplifié
Réflexions
Le déphasage entre deux sources adjacentes dépend donc uniquement de l'angle d'observation \(\theta\). Pour \(\theta=0\), le déphasage est nul.
Points de vigilance
Attention : \(\sin(\theta)\) varie entre -1 et 1. Le déphasage maximum est donc \(\pm \pi\) pour \(\theta = \pm 90^\circ\).
Points à Retenir
Dans l'axe principal (\(\theta=0\)), toutes les sources sont en phase, créant le maximum d'intensité.
Le saviez-vous ?
Notre cerveau utilise ce principe de déphasage interaural (ITD) pour localiser la source d'un son dans l'espace, principalement pour les basses fréquences.
FAQ
Que se passe-t-il si \(\theta\) est négatif ?
Si l'angle est négatif, le sinus est négatif, donc le déphasage change de signe. Cela signifie simplement que l'ordre d'arrivée des ondes est inversé (retard devient avance).
A vous de jouer
Calculer \(\Delta\phi\) pour \(\theta=30^\circ\) (sachant que \(\sin(30^\circ)=0.5\)).
📝 Mémo
Delta Phi = k . delta.
Question 3 : Premier nul de directivité
Principe
Nous cherchons l'angle \(\theta_{\text{nul}}\) pour lequel l'amplitude totale résultante s'annule. Cela correspond à une destruction complète du signal par interférence.
Mini-Cours
La fonction de directivité d'un réseau linéaire uniforme suit une loi en sinus cardinal : \(\frac{\sin(Nx)}{N\sin(x)}\). Les nuls correspondent aux points où le numérateur s'annule sans que le dénominateur ne s'annule.
Remarque Pédagogique
Imaginez que chaque contribution sonore est un vecteur. Dans l'axe, tous les vecteurs sont alignés. Au premier nul, les vecteurs forment un polygone fermé (somme nulle).
Normes
La largeur du lobe principal (définie par les premiers nuls) est un critère de performance pour les antennes directives (normes IEEE pour les antennes).
Formule(s)
Condition d'annulation
Hypothèses
On suppose que toutes les sources ont la même amplitude.
- Pas de pondération (fenêtrage de type Hamming ou Blackman) qui élargirait le lobe principal.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(N\) | 4 |
| Ratio \(d/\lambda\) | 0.5 |
Astuces
Le produit \(N \times d\) correspond approximativement à la longueur totale de l'antenne \(L\). L'angle du premier nul est donc relié à \(\lambda / L\).
Schéma : Annulation du Signal
Calcul(s)
Calcul Principal
Partons de la condition d'annulation du numérateur du facteur de réseau. Nous cherchons l'angle \(\theta\) tel que :
Nous avons substitué les valeurs numériques de l'exercice.
Procédons au calcul numérique du rapport. Le dénominateur représente la longueur totale apparente du réseau.
Nous obtenons une valeur sinus de 0.5, ce qui correspond à un angle remarquable.
Il ne reste plus qu'à inverser la fonction sinus pour trouver l'angle physique :
Le premier nul de directivité se situe donc à 30 degrés de part et d'autre de l'axe principal.
Schéma Après Calcul
Angle du Nul
Réflexions
Plus l'antenne est longue (grand \(N\)), plus le dénominateur est grand, et donc plus l'angle \(\theta_{\text{nul}}\) est petit : le faisceau devient plus directif.
Points de vigilance
Toujours vérifier que la valeur du sinus calculée est inférieure ou égale à 1. Si elle est supérieure à 1, le nul n'existe pas (rayonnement omnidirectionnel ou large).
Points à Retenir
L'angle du premier nul détermine la demi-largeur angulaire du lobe principal.
Le saviez-vous ?
En radar et sonar, on cherche souvent à réduire les lobes secondaires (qui sont entre les nuls) pour éviter les fausses détections.
FAQ
Y a-t-il d'autres nuls ?
Oui, aux multiples entiers de \(\pi\) pour l'argument du sinus (donc \(2\pi\), \(3\pi\)...) tant que la condition \(\sin(\theta) \le 1\) est respectée.
A vous de jouer
Si on double le nombre de sources pour passer à N=8, que vaut le nouveau \(\sin(\theta_{\text{nul}})\) ?
📝 Mémo
Nul = Lambda / Longueur Totale.
Question 4 : Analyse de l'augmentation de N
Principe
On analyse l'impact de l'augmentation du nombre de sources \(N\) sur la directivité de l'antenne, en gardant l'espacement \(d\) constant.
Mini-Cours
Il existe une analogie avec l'optique ondulatoire (diffraction par une fente). Plus l'ouverture (la taille de l'antenne) est grande devant la longueur d'onde, plus la tache de diffraction (le lobe principal) est étroite.
Remarque Pédagogique
Analogie : Un télescope de grand diamètre permet de voir des détails plus fins (meilleure résolution angulaire) qu'un petit télescope.
Normes
La résolution angulaire est un paramètre critique spécifié dans les normes de systèmes sonar et radar.
Formule(s)
Proportionnalité Inverse
Hypothèses
On suppose que l'espacement \(d\) reste constant (donc la longueur totale de l'antenne augmente avec \(N\)).
- Fréquence constante
Donnée(s)
| Variable | Effet sur le lobe |
|---|---|
| \(N \nearrow\) | Largeur \(\searrow\) (Directivité \(\nearrow\)) |
Astuces
Une règle simple : doubler la longueur de l'antenne divise par deux la largeur du faisceau principal.
Schéma : Affinement du lobe
Calcul(s)
Analyse
Comparons mathématiquement les deux situations. Pour le cas initial \(N=4\), nous avions :
Maintenant, pour le cas \(N=8\), en gardant \(d\) constant, la longueur totale double. L'équation devient :
La valeur du sinus a été divisée par deux.
Calculons l'angle correspondant :
Nous constatons que doubler la taille de l'antenne a divisé par deux la largeur du faisceau (approximativement, pour les petits angles).
Schéma Après Calcul
Comparaison des angles
Réflexions
Le prix à payer pour une meilleure directivité est une antenne plus grande, plus coûteuse et plus complexe à gérer (plus de canaux d'amplification).
Points de vigilance
Ne pas confondre augmenter \(N\) (avec \(d\) fixe) et augmenter \(N\) en réduisant \(d\) (pour garder la même longueur totale). Les effets sont différents.
Points à Retenir
Grande antenne = Grande directivité = Faisceau fin.
Le saviez-vous ?
Le radiotélescope d'Arecibo (305m de diamètre) a été construit si grand pour obtenir une directivité extrême et écouter des signaux très faibles et précis venant de l'espace.
FAQ
Peut-on être trop directif ?
Oui, si le faisceau est trop fin, il devient difficile de "viser" la cible ou de couvrir une zone d'audience large sans balayage.
A vous de jouer
Si N devient très très grand (infini), vers quelle valeur tend l'angle du lobe principal ?
📝 Mémo
Taille = Précision.
Question 5 : Directivité à 90° (Rayonnement latéral)
Principe
Nous étudions l'état des interférences perpendiculairement à l'axe principal du réseau (\(\theta = 90^\circ\)). C'est la direction "end-fire" ou latérale selon la géométrie.
Mini-Cours
L'opposition de phase se produit lorsque deux ondes sont décalées d'une demi-longueur d'onde (\(\lambda/2\)). Leur somme est nulle (\(+1 + (-1) = 0\)).
Remarque Pédagogique
C'est exactement le principe utilisé dans les casques à réduction de bruit active : générer un "anti-bruit" en opposition de phase.
Normes
La capacité à ne pas émettre (ou capter) sur les côtés est quantifiée par le paramètre de "réjection hors axe" (Off-axis rejection).
Formule(s)
Différence de marche à 90°
Hypothèses
On se place à l'angle extrême de \(90^\circ\).
- \(\sin(90) = 1\)
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(d\) | \(0.17 \text{ m}\) |
| \(\lambda/2\) | \(0.17 \text{ m}\) |
Astuces
Si l'espacement \(d\) est exactement égal à \(\lambda/2\), alors le déphasage entre sources voisines est de \(\pi\) (180°).
Schéma : Opposition de Phase
Calcul(s)
Vérification du déphasage
Calculons le déphasage spécifique pour un angle d'incidence rasante (\(90^\circ\)). Dans ce cas, la différence de marche est maximale et vaut \(d\).
L'expression générale dépend du rapport entre l'espacement et la longueur d'onde.
En injectant la relation particulière de cet exercice où l'espacement est la moitié de la longueur d'onde :
Un déphasage de \(\pi\) radians correspond exactement à une demi-période. Les signaux sont en opposition de phase parfaite.
Schéma Après Calcul
Somme Nulle
Réflexions
Dans cette configuration précise, le réseau n'émet aucune énergie sur les côtés. C'est une propriété très utile pour éviter de polluer l'environnement sonore latéral.
Points de vigilance
Attention : Ce résultat n'est vrai que pour CETTE fréquence spécifique (1000 Hz). Si la fréquence change, \(\lambda\) change, et la condition \(d=\lambda/2\) n'est plus respectée.
Points à Retenir
Le diagramme de directivité dépend fortement de la fréquence. Une antenne directive dans les aigus peut être omnidirectionnelle dans les graves.
Le saviez-vous ?
Les microphones cardioïdes (directionnels) utilisent des évents acoustiques pour créer des retards internes et annuler les sons venant de l'arrière (opposition de phase).
FAQ
Est-ce le silence absolu à 90° ?
En théorie oui (pour des ondes planes parfaites). En pratique, les réflexions de la salle et les imperfections des sources font qu'il reste un peu de son résiduel.
A vous de jouer
Si l'espacement était \(d = \lambda\) (au lieu de \(\lambda/2\)), quel serait le déphasage à 90° ? (en multiple de \(\pi\))
📝 Mémo
Lambda/2 = Opposition.
Schéma Bilan : Diagramme Polaire
Représentation simplifiée du lobe principal et des lobes secondaires.
📝 Grand Mémo : Acoustique des Réseaux
Points clés pour comprendre les antennes acoustiques :
-
🔑
Interférences : La directivité naît de la somme constructive ou destructive des ondes selon l'angle.
-
📐
Compromis Taille / Précision : Plus le réseau est grand (\(N\) grand ou \(d\) grand), plus le faisceau est fin.
-
⚠️
Repliement (Aliasing) : Si l'espacement \(d\) dépasse \(\lambda\), des "lobes de réseau" parasites apparaissent.
-
💡
Application : Line Array, Sonar, Échographie.
🎛️ Simulateur de Directivité
Visualisez le diagramme de directivité en fonction du nombre de sources et de leur espacement. La fréquence est fixée à 1000 Hz (\(\lambda = 34 \text{ cm}\)).
Paramètres du Réseau
📝 Quiz de validation
1. Si j'augmente la fréquence du son émis (donc \(\lambda\) diminue), que fait le faisceau principal ?
2. Que se passe-t-il si l'espacement \(d\) devient plus grand que \(\lambda\) ?
📚 Glossaire
- Beamforming
- Technique de traitement du signal permettant de focaliser des ondes dans une direction grâce à un réseau de capteurs ou d'émetteurs.
- Champ lointain (Fraunhofer)
- Zone située suffisamment loin de la source pour que les ondes puissent être considérées comme planes et parallèles.
- Lobe principal
- Le lobe contenant le maximum d'énergie, généralement centré sur 0°.
- Lobe secondaire
- Pics d'énergie indésirables dans d'autres directions, dus aux oscillations de la fonction de diffraction.
Le Saviez-vous ?
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