ÉTUDE ACOUSTIQUE

Analyse de la justesse d’un accord

Acoustique : Analyse de la justesse d'un accord

Analyse de la justesse d'un accord en tempérament égal et en intonation juste

Contexte : Le Compromis de la Justesse

Un accord est un ensemble de notes jouées simultanément. Pour qu'il sonne "juste" et consonant, les rapports de fréquences entre ses notes doivent être aussi simples que possible (ex: 3/2 pour la quinte, 5/4 pour la tierce). C'est le principe de l'intonation justeSystème d'accordage basé sur des rapports de nombres entiers simples pour les intervalles, produisant des accords parfaitement consonants mais limités à une seule tonalité.. Cependant, ce système a un défaut majeur : un accord juste dans une tonalité sonnera faux dans une autre. Pour résoudre ce problème, la musique occidentale a adopté le tempérament égalSystème d'accordage qui divise l'octave en 12 demi-tons mathématiquement égaux. Tous les accords sont légèrement "faux", mais jouables dans toutes les tonalités., qui divise l'octave en 12 demi-tons égaux. Ce système est un compromis : aucun accord n'est parfaitement juste, mais tous sont "acceptablement" justes, ce qui permet de moduler dans toutes les tonalités. Cet exercice quantifie la différence entre ces deux mondes.

Remarque Pédagogique : Cette opposition entre la pureté acoustique (intonation juste) et la flexibilité musicale (tempérament égal) est au cœur de l'histoire de la musique occidentale. Comprendre cet arbitrage permet de saisir pourquoi un piano sonne différemment d'un quatuor à cordes, et pourquoi la notion de "justesse" est relative.

Objectifs Pédagogiques

  • Définir et différencier l'intonation juste et le tempérament égal.
  • Calculer les fréquences d'un accord majeur en intonation juste à partir de rapports simples.
  • Calculer les fréquences d'un accord majeur en tempérament égal à partir de la formule du demi-ton.
  • Quantifier l'écart de justesse entre les deux systèmes pour la tierce et la quinte.
  • Exprimer cet écart en cents pour une meilleure perception musicale.

Données de l'étude

On souhaite construire un accord de Do majeur. La note fondamentale est un Do de fréquence \(f_{\text{Do}} = 261.63 \, \text{Hz}\). Un accord majeur est composé de la fondamentale, d'une tierce majeure et d'une quinte juste.

Composition d'un Accord Majeur
Accord de Do Majeur Do (Fond.) Mi (Tierce) Sol (Quinte) Tierce Maj. Quinte Juste

Questions à traiter

  1. Calculer les fréquences de la tierce (Mi) et de la quinte (Sol) de l'accord de Do majeur en intonation juste, sachant que les rapports sont de 5/4 et 3/2 respectivement.
  2. Calculer les fréquences de ces mêmes notes (Mi et Sol) au tempérament égal, sachant qu'une tierce majeure correspond à 4 demi-tons et une quinte juste à 7 demi-tons.
  3. Pour la tierce et pour la quinte, calculer l'écart de justesse en cents entre les deux systèmes. Quel est l'intervalle le plus "altéré" par le tempérament égal ?

Correction : Analyse de la justesse d'un accord

Question 1 : Accord en Intonation Juste

Principe :
Do (f₀) Mi (f₀ x 5/4) Sol (f₀ x 3/2)

L'intonation juste construit les intervalles à partir de rapports de nombres entiers simples, considérés comme acoustiquement purs. Pour un accord majeur, la tierce est obtenue en multipliant la fréquence de la fondamentale par 5/4, et la quinte en la multipliant par 3/2.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Un accord en intonation juste est parfaitement consonant. Il n'y a aucun "battement" audible entre les notes, car les pics des ondes sonores coïncident régulièrement. C'est le son que recherchent instinctivement les chœurs a cappella ou les quatuors à cordes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f_{\text{Mi}} = f_{\text{Do}} \times \frac{5}{4} \]
\[ f_{\text{Sol}} = f_{\text{Do}} \times \frac{3}{2} \]
Donnée(s) :
  • Fréquence de Do : \(f_{\text{Do}} = 261.63 \, \text{Hz}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} f_{\text{Mi, juste}} &= 261.63 \times \frac{5}{4} \\ &= 261.63 \times 1.25 \\ &= 327.04 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{\text{Sol, juste}} &= 261.63 \times \frac{3}{2} \\ &= 261.63 \times 1.5 \\ &= 392.45 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Rapports corrects : Il est essentiel de ne pas inverser les rapports. La tierce majeure correspond bien à 5/4 et la quinte juste à 3/2. Utiliser d'autres rapports (comme 4/3 pour la quarte) mènerait à d'autres intervalles.

Le saviez-vous ?

Les chanteurs de Barbershop sont des maîtres de l'intonation juste. Ils ajustent intuitivement leurs notes pour former des accords aux rapports parfaits, ce qui crée une sensation de consonance et de "verrouillage" sonore très caractéristique, avec l'apparition d'harmoniques supplémentaires audibles.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi ce système n'est-il pas utilisé partout ?

Parce qu'il n'est pas "transposable". Un Ré construit à partir du Sol juste (Sol x 3/2) n'aura pas exactement la même fréquence qu'un Ré construit à partir du Do (Do x 9/8). Un instrument accordé pour jouer un accord de Do majeur parfaitement juste sonnera faux s'il essaie de jouer un accord de Ré majeur.

Résultat : En intonation juste, \(f_{\text{Mi}} \approx 327.04 \, \text{Hz}\) et \(f_{\text{Sol}} \approx 392.45 \, \text{Hz}\).

Question 2 : Accord en Tempérament Égal

Principe :
Do Ré Mi Fa# Sol# La# Chaque pas = x 2¹/¹²

Le tempérament égal divise l'octave en 12 intervalles logarithmiquement égaux, appelés demi-tons. Chaque demi-ton correspond à un rapport de fréquence de \(2^{1/12}\). Pour trouver la fréquence d'une note, on multiplie la fondamentale par ce rapport élevé à la puissance du nombre de demi-tons qui la sépare de la fondamentale.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le tempérament égal est un compromis. Il sacrifie la perfection acoustique des intervalles pour une polyvalence totale. C'est ce qui permet à un pianiste de jouer le même morceau dans n'importe quelle tonalité sans avoir à ré-accorder son instrument. Le son est partout "également imparfait".

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f_n = f_0 \times (2^{1/12})^n = f_0 \times 2^{n/12} \]
Donnée(s) :
  • Fréquence de Do : \(f_{\text{Do}} = 261.63 \, \text{Hz}\)
  • Tierce majeure : \(n = 4\) demi-tons
  • Quinte juste : \(n = 7\) demi-tons
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} f_{\text{Mi, égal}} &= 261.63 \times 2^{4/12} \\ &\approx 261.63 \times 1.25992 \\ &\approx 329.63 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{\text{Sol, égal}} &= 261.63 \times 2^{7/12} \\ &\approx 261.63 \times 1.49831 \\ &\approx 391.99 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Calcul de la puissance : L'exposant est une fraction (\(n/12\)). Il faut être prudent lors de la saisie sur une calculatrice. \(2^{4/12}\) est la racine douzième de \(2^4\).

Le saviez-vous ?

Le rapport \(2^{1/12}\) est un nombre irrationnel. Cela signifie qu'aucun intervalle au tempérament égal (sauf l'octave) ne peut être exprimé par un rapport de nombres entiers simples. C'est le prix mathématique à payer pour la polyvalence tonale.

FAQ en rapport avec la question :
Tous les instruments modernes utilisent-ils ce tempérament ?

La grande majorité des instruments à sons fixes (piano, guitare) sont accordés au tempérament égal. Cependant, les instruments à sons non fixes (violon, violoncelle, voix humaine) peuvent s'adapter et jouer des notes plus proches de l'intonation juste en fonction du contexte harmonique, un processus appelé "intonation expressive".

Résultat : Au tempérament égal, \(f_{\text{Mi}} \approx 329.63 \, \text{Hz}\) et \(f_{\text{Sol}} \approx 391.99 \, \text{Hz}\).

Question 3 : Comparaison et Écart en Cents

Principe :
Fréq. Juste Égal Écart

Pour comparer deux fréquences, le simple rapport ne suffit pas à notre perception, qui est logarithmique. On utilise le cent, qui est la 1200ème partie d'une octave sur une échelle logarithmique. On calcule le rapport des fréquences pour chaque intervalle (tierce et quinte) puis on le convertit en cents pour quantifier l'écart de manière musicalement pertinente.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette dernière étape permet de chiffrer le "compromis" du tempérament égal. On va voir que la quinte est très proche de la perfection, mais que la tierce est significativement altérée, ce qui explique pourquoi certains musiciens trouvent les accords majeurs au piano un peu "durs" par rapport à un chœur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Écart (cents)} = 1200 \times \log_2\left(\frac{f_{\text{égal}}}{f_{\text{juste}}}\right) \]
Donnée(s) :
  • Tierce juste : \(327.04 \, \text{Hz}\) ; Tierce égale : \(329.63 \, \text{Hz}\)
  • Quinte juste : \(392.45 \, \text{Hz}\) ; Quinte égale : \(391.99 \, \text{Hz}\)
Calcul(s) :

Pour la tierce majeure :

\[ \begin{aligned} \text{Écart}_{\text{tierce}} &= 1200 \times \log_2\left(\frac{329.63}{327.04}\right) \\ &\approx 1200 \times \log_2(1.0079) \\ &\approx +13.69 \, \text{cents} \end{aligned} \]

Pour la quinte juste :

\[ \begin{aligned} \text{Écart}_{\text{quinte}} &= 1200 \times \log_2\left(\frac{391.99}{392.45}\right) \\ &\approx 1200 \times \log_2(0.9988) \\ &\approx -1.96 \, \text{cents} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Signe du résultat : Un résultat positif en cents signifie que la note au tempérament égal est plus haute (plus aiguë) que la note juste. Un résultat négatif signifie qu'elle est plus basse (plus grave).

Le saviez-vous ?

L'écart de près de 14 cents sur la tierce majeure est significatif et est la principale critique adressée au tempérament égal. La quinte, avec un écart de seulement 2 cents, est quasiment parfaite, ce qui explique pourquoi le système reste très fonctionnel.

FAQ en rapport avec la question :
Est-ce que cet écart est le même pour toutes les notes ?

Oui, c'est la définition même du tempérament égal. L'écart entre une tierce juste et une tierce égale sera toujours de +13.69 cents, que ce soit pour un accord de Do, de Sol, ou de Fa#. C'est ce qui rend le système "égal".

Résultat : La tierce égale est plus haute de 13.7 cents que la tierce juste. La quinte égale est plus basse de 2.0 cents que la quinte juste. La tierce est donc l'intervalle le plus altéré.

Simulation des Tempéraments

Choisissez une note fondamentale et observez la différence de fréquence entre un accord majeur juste et un accord majeur au tempérament égal.

Paramètres de l'Accord
Écart sur la Tierce
Écart sur la Quinte
Comparaison des Fréquences (Hz)

Pour Aller Plus Loin : L'Accordage par les Battements

L'oreille de l'accordeur : Comment un accordeur de piano "triche"-t-il sur les quintes ? Il écoute les battements. Deux notes presque identiques créent une fluctuation périodique du volume appelée battement. Une quinte parfaitement juste n'a aucun battement. L'accordeur va légèrement désaccorder la quinte pour qu'elle produise un nombre très précis et lent de battements par seconde. En répétant ce processus, il distribue le comma sur tout le clavier.

Le Saviez-Vous ?

La controverse sur le "meilleur" tempérament a fait rage pendant des siècles. Des compositeurs comme Bach ont écrit des œuvres (Le Clavier bien tempéré) pour démontrer qu'il était possible de jouer dans toutes les tonalités avec des tempéraments "inégaux" qui donnaient une "couleur" différente à chaque tonalité, une caractéristique perdue avec le tempérament égal moderne.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la tierce est-elle si "fausse" au tempérament égal ?

Parce que le tempérament égal est dérivé du cycle des quintes (il résout le comma pythagoricien). Or, la tierce juste (rapport 5/4) est mathématiquement très éloignée de la tierce pythagoricienne (rapport 81/64, obtenue par 4 quintes). Le tempérament égal trouve un compromis entre les deux, qui se trouve être beaucoup plus proche de la tierce pythagoricienne que de la tierce juste.

Le son d'un synthétiseur est-il toujours au tempérament égal ?

Par défaut, oui. Mais de nombreux synthétiseurs modernes et logiciels de musique permettent de choisir d'autres systèmes d'accordage (intonation juste, pythagoricien, mésotonique, gammes microtonales...) pour explorer d'autres univers sonores.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le principal avantage du tempérament égal est :

2. En intonation juste, un accord sonne parfaitement consonant parce que :

Glossaire

Intonation Juste
Système d'accordage basé sur des rapports de nombres entiers simples (3/2, 5/4, etc.) pour les intervalles. Il produit des accords d'une pureté maximale mais n'est pas transposable.
Tempérament Égal
Système d'accordage qui divise l'octave en 12 demi-tons mathématiquement égaux. Chaque demi-ton correspond à un rapport de \(2^{1/12}\). Il permet de jouer dans toutes les tonalités.
Accord Majeur
Accord composé de trois notes : une fondamentale, une tierce majeure (4 demi-tons au-dessus) et une quinte juste (7 demi-tons au-dessus).
Consonance / Dissonance
Caractère agréable et stable (consonance) ou tendu et instable (dissonance) d'un intervalle ou d'un accord. La consonance est maximale lorsque les rapports de fréquence sont simples.
Cents
Unité logarithmique de mesure des intervalles musicaux, où une octave est divisée en 1200 cents.
Analyse de la justesse d'un accord

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