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Analyse de la propagation du son avec gradient

Exercice : Propagation du Son avec Gradient

Analyse de la Propagation du Son avec Gradient de Température

Contexte : L'Acoustique FondamentaleBranche de la physique qui étudie la production, la propagation et les effets du son..

La propagation du son n'est pas toujours en ligne droite. Dans des milieux non homogènes, comme l'atmosphère, les variations de température ou de vent créent des gradients de céléritéVitesse de propagation de l'onde sonore dans un milieu donné. Elle dépend des propriétés du milieu (température, densité, etc.).. Ces gradients provoquent un phénomène de réfractionDéviation d'une onde (sonore ou lumineuse) lorsqu'elle passe d'un milieu à un autre, ou lorsque la vitesse de propagation change au sein du même milieu., courbant la trajectoire des rayons sonores. Comprendre ce phénomène est crucial en acoustique environnementale, par exemple pour prédire la portée du bruit d'une autoroute ou d'un aéroport.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser et calculer la réfraction des rayons sonores due à un gradient de vitesse du son (provoqué par un gradient de température vertical).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la relation entre température, célérité du son et indice de réfraction.
Appliquer la Loi de Snell-DescartesPrincipe physique qui décrit la relation entre les angles et les vitesses lors de la réfraction d'une onde. à la propagation acoustique dans un milieu stratifié.
Calculer la trajectoire (rayon de courbure) d'un rayon sonore dans un gradient de vitesse constant.

Données de l'étude

Nous étudions la propagation du son près du sol un jour ensoleillé. L'air est plus chaud près du sol qu'en altitude, créant un gradient de température vertical. Nous modéliserons l'atmosphère comme un milieu stratifié verticalement (les propriétés ne varient qu'avec l'altitude \(z\)).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Sujet	Réfraction sonore atmosphérique
Milieu	Air (considéré comme un gaz parfait)
Phénomène	Propagation par rayons acoustiques

Modélisation de la Réfraction Sonore

Nom du Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Température au sol (\(T_0\))	Température à l'altitude \(z=0\)	25	°C
Gradient de température	Taux de variation de T avec l'altitude (\(\frac{dT}{dz}\))	-0.1	°C/m
Altitude de la source (\(z_s\))	Hauteur de la source par rapport au sol	2	m
Célérité du son (\(c\))	Approximation linéaire pour l'air	\(c(T) \approx 331.4 + 0.6 \cdot T_{^\circ\text{C}}\)	m/s

Questions à traiter

Calculer la célérité du son \(c_0\) au niveau du sol (à \(z=0\)).
En supposant que le gradient de température est constant, exprimer la température \(T(z)\) en fonction de l'altitude \(z\).
En déduire l'expression de la célérité \(c(z)\) en fonction de \(z\). (On acceptera une approximation linéaire).
Calculer le gradient de célérité \(g_c = \frac{dc}{dz}\).
La théorie des rayons acoustiques montre que pour un rayon émis horizontalement (\(\theta_0 = 0\)) depuis la source (à l'altitude \(z_s\)), le rayon de courbure initial est \(R \approx -c(z_s)/g_c\). Calculer ce rayon de courbure \(R\).
Le rayon se courbe-t-il vers le haut ou vers le bas ? Quelle en est la conséquence pratique pour l'écoute au sol ?

Les bases sur l'Acoustique Atmosphérique

La propagation du son dans l'atmosphère est principalement régie par la température et le vent. Nous nous concentrons ici sur l'effet de la température.

1. Célérité du son dans l'air
Pour un gaz parfait, la célérité du son (vitesse) dépend de la température absolue \(T\) (en Kelvin) : \[ c = \sqrt{\frac{\gamma R_s T}{M}} \] Où \(\gamma\) est le rapport des capacités thermiques, \(R_s\) la constante des gaz parfaits, et \(M\) la masse molaire de l'air. Pour l'air, une excellente approximation linéaire est donnée en fonction de la température \(T_{^\circ\text{C}}\) en degrés Celsius : \[ c(T) \approx 331.4 + 0.6 \cdot T_{^\circ\text{C}} \quad (\text{en m/s}) \]

2. Loi de Snell-Descartes et Réfraction
Lorsque le son se propage dans un milieu stratifié (où la célérité \(c\) change avec l'altitude \(z\)), sa trajectoire est courbée. On peut appliquer la loi de Snell-Descartes sous sa forme continue. Pour un rayon faisant un angle \(\theta\) avec l'horizontale : \[ \frac{\cos \theta(z)}{c(z)} = p \quad (\text{où } p \text{ est une constante, le paramètre du rayon}) \] Pour un gradient de célérité constant \(g_c = dc/dz\), la trajectoire du rayon est un arc de cercle dont le rayon de courbure \(R\) est donné par : \[ R = -\frac{c(z)}{g_c \cos \theta(z)} \]

Correction : Analyse de la Propagation du Son avec Gradient de Température

Question 1 : Calculer la célérité du son \(c_0\) au niveau du sol (à \(z=0\)).

Principe

Nous utilisons la formule d'approximation linéaire de la célérité du son en fonction de la température en degrés Celsius, appliquée à la température donnée au sol (\(T_0\)).

Mini-Cours

La célérité du son dans l'air dépend de sa température. Plus l'air est chaud, plus les molécules s'agitent et transmettent rapidement la vibration. La formule \(c \approx 331.4 + 0.6 \cdot T_{^\circ\text{C}}\) est une simplification très utilisée de la loi physique exacte (\(c \propto \sqrt{T_{\text{Kelvin}}}\)) pour les températures usuelles.

Remarque Pédagogique

Cette étape est la base de tout l'exercice. Elle établit la condition initiale au niveau du sol (\(z=0\)) à partir de laquelle nous allons construire le profil de célérité.

Normes

Il ne s'agit pas d'une norme au sens strict (comme l'Eurocode), mais la formule \(c(T)\) est une relation physique standard admise en acoustique.

Formule(s)

Approximation de la célérité

c(T) \approx 331.4 + 0.6 \cdot T_{^\circ\text{C}}

Hypothèses

On suppose que la formule d'approximation linéaire est suffisamment précise pour cet exercice.

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire pour cette question est la température au sol.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Température au sol	\(T_0\)	25	°C

Astuces

La célérité du son dans l'air à température ambiante est de l'ordre de 340 m/s. Si votre résultat est très éloigné (ex: 100 m/s ou 1000 m/s), vérifiez vos calculs. Une augmentation de 1°C augmente la vitesse d'environ 0.6 m/s.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul se situe au point \(z=0\) sur le schéma de l'énoncé, au niveau du sol chaud.

Localisation du Calcul

Calcul(s)

Application de la formule

\begin{aligned} c_0 &= c(T_0) \\ &= 331.4 + 0.6 \cdot T_0 \\ &= 331.4 + 0.6 \times 25 \\ &= 331.4 + 15 \\ \Rightarrow c_0 &= 346.4 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce calcul ne génère pas de schéma en soi, mais il fixe la valeur de départ (à z=0) du profil de célérité que nous verrons dans le simulateur.

Valeur au Sol

\(c_0 = \textbf{346.4 m/s}\) (à \(z=0\))

Réflexions

La vitesse de 346.4 m/s est cohérente pour une journée chaude à 25°C. C'est plus rapide que la vitesse "standard" (souvent prise à 0°C, 331.4 m/s).

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser la température en degrés Celsius (\(25\)) et non en Kelvin pour cette formule d'approximation spécifique.

Points à retenir

La célérité du son augmente avec la température.
L'augmentation est d'environ 0.6 m/s par degré Celsius.

Le saviez-vous ?

La formule exacte est \(c = \sqrt{\gamma R_s (T_{^\circ\text{C}} + 273.15)}\), avec \(\gamma \approx 1.4\) et \(R_s \approx 287\) J/(kg·K) pour l'air. Si vous calculez \(c(25^\circ C)\), vous trouverez \(c = \sqrt{1.4 \times 287 \times (25 + 273.15)} \approx 346.13 \text{ m/s}\). Notre approximation linéaire (346.4 m/s) est donc excellente !

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La célérité du son au niveau du sol est de 346.4 m/s.

A vous de jouer

Quelle serait la célérité au sol si la température était de \(10 \text{ }^\circ\text{C}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Relation linéaire entre célérité et température.
Formule Essentielle : \(c(T) \approx 331.4 + 0.6 \cdot T_{^\circ\text{C}}\).
Résultat : \(c_0 = 346.4 \text{ m/s}\) à \(25^\circ C\).

Question 2 : Exprimer la température \(T(z)\) en fonction de l'altitude \(z\).

Principe

Nous utilisons la définition d'un gradient constant. La température à une altitude \(z\) est égale à la température de base (au sol, \(T_0\)) plus la variation totale due au gradient sur cette altitude. Cette variation est simplement le gradient (variation par mètre) multiplié par le nombre de mètres (\(z\)).

Mini-Cours

Un profil linéaire est décrit par une équation de droite. Si nous avons une valeur de départ \(y_0\) à \(x=0\) et un taux de variation constant (pente) \(a = dy/dx\), alors la valeur \(y\) à n'importe quel point \(x\) est donnée par l'intégration : \(y(x) = \int a \, dx = ax + C\). Avec la condition initiale \(y(0) = y_0\), on trouve \(C = y_0\), d'où :

y(x) = y_0 + a \cdot x

Ici, \(y\) est la température \(T\), \(x\) est l'altitude \(z\), \(y_0\) est \(T_0\), et \(a\) est le gradient \(dT/dz\).

Remarque Pédagogique

Cette étape est purement mathématique : traduire l'énoncé "la température au sol est T0" et "le gradient est constant" en une seule équation.

Normes

Ce n'est pas une norme, mais une modélisation physique (le profil de température linéaire).

Formule(s)

Profil linéaire de température

T(z) = T_0 + \left( \frac{dT}{dz} \right) \cdot z

Hypothèses

L'hypothèse fondamentale est que le gradient de température \(\frac{dT}{dz}\) est constant sur toute la plage d'altitude considérée.

Donnée(s)

Nous avons besoin de la température au sol et du gradient de température.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Température au sol	\(T_0\)	25	°C
Gradient de température	\(\frac{dT}{dz}\)	-0.1	°C/m

Astuces

Pour vérifier votre formule, testez-la pour \(z=0\). Vous devriez retrouver \(T(0) = T_0\). Si \(z=0\), \(T(0) = 25 - 0.1 \times 0 = 25\). La formule est cohérente.

Schéma (Avant les calculs)

Ce calcul modélise la flèche rouge "Gradient" dans le schéma de l'énoncé, qui montre que T° diminue avec z.

Profil de Température Linéaire

Calcul(s)

Substitution des valeurs

T(z) = 25 + (-0.1) \cdot z \] \[ T(z) = 25 - 0.1 z

Schéma (Après les calculs)

Cette équation décrit un profil de température linéaire, qui sera utilisé pour générer le profil de célérité dans le graphique du simulateur.

Profil de Température Résultant

Réflexions

On obtient une fonction affine simple. Cela montre que pour chaque mètre monté, la température baisse de 0.1°C. À 100m d'altitude, par exemple, la température serait de \(25 - 0.1 \times 100 = 15 \text{ }^\circ\text{C}\).

Points de vigilance

Attention au signe ! Le gradient est négatif (\(-0.1\)), donc la température diminue avec l'altitude, ce qui est correct pour une journée ensoleillée.

Points à retenir

Un gradient constant \(\frac{dy}{dx} = a\) implique une relation linéaire \(y(x) = y_0 + ax\).

Le saviez-vous ?

Le gradient de \(-0.1 \text{ }^\circ\text{C/m}\) (\(10 \text{ }^\circ\text{C}\) pour 100m) est très fort, typique d'une forte insolation près du sol. Le gradient standard dans l'atmosphère (troposphère) est bien plus faible, environ \(-0.0065 \text{ }^\circ\text{C/m}\).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le profil de température est \(T(z) = 25 - 0.1 z\) (avec \(T\) en °C et \(z\) en m).

A vous de jouer

Avec ce profil (\(T(z) = 25 - 0.1 z\)), quelle serait la température à une altitude de \(z=50 \text{ m}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Intégration d'un gradient constant.
Formule Essentielle : \(T(z) = T_0 + (dT/dz) \cdot z\).
Résultat : \(T(z) = 25 - 0.1 z\).

Question 3 : En déduire l'expression de la célérité \(c(z)\) en fonction de \(z\).

Principe

Nous allons effectuer une composition de fonctions. Nous avons une fonction \(c(T)\) qui lie la célérité à la température, et une fonction \(T(z)\) (trouvée en Q2) qui lie la température à l'altitude. En substituant l'expression de \(T(z)\) dans celle de \(c(T)\), nous obtiendrons \(c(z)\).

Mini-Cours

La composition de fonctions, notée \(f \circ g\), signifie appliquer \(g\) puis appliquer \(f\) au résultat. Si \(c = f(T)\) et \(T = g(z)\), alors la fonction composée est \(c(z) = (f \circ g)(z) = f(g(z))\). Puisque nos deux fonctions de base sont des fonctions affines (des droites), le résultat de leur composition sera aussi une fonction affine.

Remarque Pédagogique

C'est une étape de substitution algébrique. Elle permet de passer d'une dépendance physique (célérité vs température) à une dépendance spatiale (célérité vs altitude).

Normes

Aucune norme spécifique n'est utilisée ici, il s'agit d'une manipulation mathématique des modèles établis.

Formule(s)

Formules à combiner

c(T) \approx 331.4 + 0.6 \cdot T(z) \quad \text{(Formule 1)} \] \[ T(z) = 25 - 0.1 z \quad \text{(Résultat Q2)}

Hypothèses

Les deux relations linéaires (pour \(c(T)\) et \(T(z)\)) sont supposées exactes dans notre modèle.

Donnée(s)

Les deux équations ci-dessus constituent nos données pour cette étape.

Astuces

Puisque \(c\) dépend linéairement de \(T\), et \(T\) dépend linéairement de \(z\), le résultat final \(c(z)\) doit aussi être une fonction linéaire (affine) de \(z\). Si vous obtenez un \(z^2\), vérifiez vos calculs.

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons l'équation qui décrit la célérité à n'importe quelle altitude \(z\) dans le schéma de l'énoncé.

Composition de Fonctions

Calcul(s)

Étape 1 : Substitution de T(z)

Nous remplaçons \(T(z)\) dans la Formule 1 par son expression trouvée en Q2 :

c(z) = 331.4 + 0.6 \cdot (25 - 0.1 z)

Étape 2 : Développement (Distributivité)

Nous distribuons le \(0.6\) à l'intérieur de la parenthèse :

\begin{aligned} c(z) &= 331.4 + (0.6 \times 25) - (0.6 \times 0.1) z \\ &= 331.4 + 15 - 0.06 z \\ &= 346.4 - 0.06 z \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Cette équation est une droite, qui est tracée dans le graphique du simulateur interactif. Elle montre la célérité diminuer avec l'altitude.

Profil de Célérité Résultant

Réflexions

Nous obtenons bien une fonction affine pour \(c(z)\). Le terme \(346.4\) est la célérité à \(z=0\) (c'est \(c_0\), que nous avons calculé en Q1). Le coefficient \(-0.06\) représente le gradient de célérité, que nous allons étudier dans la prochaine question.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici est d'oublier la distributivité, c'est-à-dire de ne multiplier que le premier terme (25) par 0.6 et d'oublier le second (\(-0.1 z\)).

Points à retenir

La composition de deux fonctions affines est une fonction affine.
Un gradient de température linéaire induit (dans cette approximation) un gradient de célérité linéaire.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le profil de célérité est \(c(z) \approx 346.4 - 0.06 z\) (avec \(c\) en m/s et \(z\) en m).

A vous de jouer

Avec ce profil (\(c(z) = 346.4 - 0.06 z\)), quelle serait la célérité à \(z=100 \text{ m}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Composition de fonctions \(c(z) = c(T(z))\).
Formule Essentielle : Substitution algébrique.
Résultat : \(c(z) = 346.4 - 0.06 z\).

Question 4 : Calculer le gradient de célérité \(g_c = \frac{dc}{dz}\).

Principe

Le gradient de célérité, noté \(g_c\), est le taux de variation de la célérité avec l'altitude. Mathématiquement, il s'agit de la dérivée de la fonction \(c(z)\) par rapport à la variable \(z\). Puisque notre expression pour \(c(z)\) est une fonction affine (une droite), sa dérivée est simplement le coefficient directeur (la pente).

Mini-Cours

Rappel de la dérivée d'une fonction affine : Si une fonction est de la forme \(f(x) = b + a \cdot x\) (où \(a\) et \(b\) sont des constantes), sa dérivée est : \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (b + a \cdot x) = \frac{d}{dx}(b) + \frac{d}{dx}(ax) = 0 + a = a \] La dérivée est simplement la pente \(a\).

Remarque Pédagogique

Cette question peut être résolue de deux façons : en dérivant le résultat de la Q3 (très facile), ou en utilisant la règle de dérivation en chaîne (plus élégant) : \(\frac{dc}{dz} = \frac{dc}{dT} \cdot \frac{dT}{dz}\). Nous ferons les deux.

Normes

Il s'agit d'une application de la dérivation (calcul différentiel).

Formule(s)

Définition du gradient

g_c = \frac{d}{dz} c(z)

Règle de dérivation en chaîne

g_c = \frac{dc}{dT} \cdot \frac{dT}{dz}

Hypothèses

Les fonctions \(c(T)\) et \(T(z)\) sont continues et dérivables.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la question précédente (le profil de célérité) :

\[ c(z) = 346.4 - 0.06 z \]

Ceci est de la forme \(b + a \cdot z\) avec \(b = 346.4\) et \(a = -0.06\).

Astuces

L'unité du gradient de célérité est cruciale. C'est des [m/s] divisés par des [m], ce qui donne des \(\frac{m}{s \cdot m} = s^{-1}\) (par seconde). Ne pas écrire m/s² (accélération) ou m/s (vitesse).

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons la "pente" du profil de célérité, qui sera représentée sur le graphique du simulateur.

Recherche de la Pente (Gradient)

Calcul(s)

Méthode 1 : Dérivation de c(z)

\begin{aligned} g_c &= \frac{d}{dz} (346.4 - 0.06 z) \\ &= 0 - 0.06 \\ \Rightarrow g_c &= -0.06 \text{ s}^{-1} \end{aligned}

Méthode 2 : Règle de dérivation en chaîne

Nous avons \(c(T) = 331.4 + 0.6 T\) \(\implies \frac{dc}{dT} = 0.6\).
Nous avons \(T(z) = 25 - 0.1 z\) \(\implies \frac{dT}{dz} = -0.1\).

\begin{aligned} g_c &= \frac{dc}{dT} \cdot \frac{dT}{dz} \\ &= (0.6) \times (-0.1) \\ \Rightarrow g_c &= -0.06 \text{ s}^{-1} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Les deux méthodes donnent le même résultat. Le gradient est une constante négative.

Gradient de Célérité

\(g_c = \textbf{-0.06 s}^{-1}\) (Pente constante et négative)

Réflexions

Le gradient est constant et négatif. Cela signifie que pour chaque mètre que l'on monte, la célérité du son diminue de 0.06 m/s. Cette constance est une conséquence directe de nos hypothèses de gradient de température constant et d'approximation linéaire pour \(c(T)\).

Points de vigilance

L'unité du gradient de célérité est cruciale. C'est des [m/s] divisés par des [m], ce qui donne des \(\frac{m}{s \cdot m} = s^{-1}\) (par seconde). Ne pas écrire m/s² (accélération) ou m/s (vitesse).

Points à retenir

Le gradient de célérité \(g_c\) est la dérivée du profil de célérité \(c(z)\).
Pour un profil \(c(z)\) linéaire, \(g_c\) est une constante (la pente).
La méthode de la dérivation en chaîne est un excellent moyen de vérifier le calcul.

Le saviez-vous ?

Dans la réalité, le gradient \(\frac{dc}{dT}\) n'est pas tout à fait constant (car la formule exacte est une racine carrée), mais \(0.6\) est une excellente approximation. Le gradient \(\frac{dT}{dz}\) varie aussi beaucoup, surtout près du sol.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le gradient de célérité est \(g_c = -0.06 \text{ s}^{-1}\).

A vous de jouer

En utilisant la méthode de la "dérivation en chaîne" (\(g_c = \frac{dc}{dT} \cdot \frac{dT}{dz}\)), quel serait \(g_c\) si le gradient de température était de \(-0.15 \text{ }^\circ\text{C/m}\) ? (Rappel : \(\frac{dc}{dT} \approx 0.6\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Gradient de célérité \(g_c = dc/dz\).
Formule Essentielle : Dérivée de \(c(z)\) ou \(g_c = \frac{dc}{dT} \cdot \frac{dT}{dz}\).
Résultat : \(g_c = -0.06 \text{ s}^{-1}\).

Question 5 : Calculer le rayon de courbure initial \(R\) du rayon émis horizontalement.

Principe

Nous appliquons la formule du rayon de courbure fournie par la théorie des rayons acoustiques. Cette formule relie le rayon de courbure \(R\) à la célérité locale \(c\) et au gradient de célérité \(g_c\). Nous devons l'évaluer au point d'émission du rayon, c'est-à-dire à l'altitude de la source \(z_s\).

Mini-Cours

En acoustique géométrique (ou optique), lorsque la vitesse de propagation varie continuellement, le rayon se courbe. Le rayon de courbure \(R\) est le rayon du cercle qui "épouse" parfaitement la trajectoire à un point donné. Un \(R\) très grand signifie une courbure faible (presque une ligne droite). Un \(R\) faible signifie une courbure prononcée.

Remarque Pédagogique

C'est le cœur de l'exercice. Nous allons quantifier la courbure du rayon sonore. Notez que la formule est spécifique à un rayon émis *horizontalement* (\(\theta_0 = 0\)), ce qui simplifie le \(\cos \theta_0\) à 1.

Normes

C'est une formule issue de la théorie de l'acoustique géométrique (ou optique géométrique) appliquée à un milieu à gradient.

Formule(s)

Rayon de courbure (émission horizontale)

Pour un rayon émis horizontalement (\(\theta = 0\), donc \(\cos \theta = 1\)), depuis une altitude \(z_s\), la formule est :

R \approx -\frac{c(z_s)}{g_c}

Hypothèses

Le rayon est émis exactement à l'horizontale (\(\theta_0 = 0\)).
Le gradient de célérité \(g_c\) est constant.

Donnée(s)

Nous avons besoin de \(g_c\) (Q4), \(z_s\) (énoncé), et de la formule de \(c(z)\) (Q3).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Gradient de célérité	\(g_c\)	-0.06	s^-1
Altitude source	\(z_s\)	2	m
Profil de célérité	\(c(z)\)	\(346.4 - 0.06 z\)	m/s

Astuces

Vérifiez les unités : \(R = - \frac{c [m/s]}{g_c [s^{-1}]} = [m/s] \cdot [s] = [m]\). Le résultat sera bien une distance (un rayon), ce qui est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)

Nous calculons le rayon du cercle imaginaire qui correspond à la trajectoire pointillée "Rayon sonore courbé" sur le schéma de l'énoncé, au point de départ (la source).

Concept du Rayon de Courbure (R)

Calcul(s)

Étape 1 : Calculer \(c(z_s)\), la célérité à l'altitude de la source

Nous devons utiliser la célérité à l'endroit où le rayon est émis, soit à \(z_s = 2 \text{ m}\). Attention : ne pas utiliser \(c_0\) (la célérité au sol) !

\begin{aligned} c(z_s) = c(2) &= 346.4 - 0.06 \times 2 \\ &= 346.4 - 0.12 \\ &= 346.28 \text{ m/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calculer R

Nous substituons \(c(z_s)\) et \(g_c\) dans la formule.

\begin{aligned} R &= -\frac{c(z_s)}{g_c} \\ &= -\frac{346.28 \text{ m/s}}{-0.06 \text{ s}^{-1}} \\ &\approx + 5771.3 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est un rayon de courbure positif et très grand (\(\approx 5.8 \text{ km}\)).

Rayon de Courbure Calculé

\(R \approx \textbf{+5771.3 m}\) (Centre de courbure vers le haut)

Réflexions

La valeur est très grande (environ 5.8 km), ce qui signifie que la courbure est très faible, presque imperceptible à l'œil nu. Cependant, sur de longues distances, cette faible courbure a des effets majeurs, car le rayon s'écartera de plus en plus de l'horizontale.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est la gestion des signes. Il y a un signe "moins" dans la formule de \(R\) ET un signe "moins" dans la valeur de \(g_c\). Les deux s'annulent, donnant un rayon de courbure \(R\) positif.

Points à retenir

Le rayon de courbure dépend inversement du gradient : un gradient fort (proche de 0) donne un rayon immense (droit) ; un gradient faible (très négatif ou très positif) donne un rayon plus petit (courbure forte).
Il faut toujours évaluer \(c\) à l'altitude d'émission du rayon (\(z_s\)), et non au sol (\(z_0\)).

Le saviez-vous ?

En optique, c'est ce même phénomène qui crée les mirages sur les routes chaudes. La lumière des objets lointains (ex: ciel) est courbée vers le haut, donnant l'impression qu'elle vient du sol (une "flaque d'eau").

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le rayon de courbure initial est d'environ 5771.3 m (soit \(\approx 5.8 \text{ km}\)).

A vous de jouer

Que vaudrait \(R\) si le gradient de température \(\frac{dT}{dz}\) était de \(-0.2 \text{ }^\circ\text{C/m}\) ? (Indice: recalculez \(g_c\) d'abord, puis \(c(z_s)\) avec ce nouveau gradient, et enfin \(R\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Rayon de courbure d'un rayon acoustique.
Formule Essentielle : \(R = -c(z_s) / g_c\) (pour un rayon horizontal).
Point de Vigilance : Utiliser \(c(z_s)\) (à \(z=2m\)), pas \(c(0)\).

Question 6 : Interprétation de la courbure et conséquence pratique.

Principe

Le signe du rayon de courbure \(R\) nous indique la direction de la courbure. Par convention en physique et en géométrie analytique (lorsque l'axe \(z\) pointe vers le haut), un rayon de courbure positif signifie que le centre du cercle se situe "au-dessus" du rayon (dans les \(z\) positifs). Le rayon se courbe donc pour "entourer" ce centre : il se courbe vers le haut.

Mini-Cours

Si \(R > 0\) (notre cas) : Le centre de courbure est vers les \(z > 0\) (en haut). Le rayon se courbe vers le haut.
Si \(R < 0\) : Le centre de courbure est vers les \(z < 0\) (en bas). Le rayon se courbe vers le bas.

Physiquement, l'onde "fuit" les zones où elle va lentement (faible indice de réfraction). Ici, il fait froid en altitude, donc \(c(z)\) diminue quand \(z\) augmente. L'onde fuit donc l'altitude (la zone lente) et se courbe vers le haut, vers les \(z\) négatifs (en fait, elle se courbe vers le haut, augmentant son angle avec la verticale pour rester dans les couches rapides, conformément à la loi de Snell). Le rayon s'éloigne du sol.

Remarque Pédagogique

C'est la conclusion de l'exercice. Nous lions un calcul mathématique (le signe de \(R\)) à une conséquence physique observable (la "zone d'ombre").

Normes

Cette interprétation est une convention standard en optique et acoustique géométrique.

Formule(s)

Règle d'interprétation

R > 0 \implies \text{Courbure vers le HAUT (z+)} \] \[ R < 0 \implies \text{Courbure vers le BAS (z-)}

Hypothèses

L'axe \(z\) est orienté vers le haut.

Donnée(s)

De la Q5, nous avons trouvé un rayon de courbure positif :

R \approx +5771.3 \text{ m}

Astuces

Pensez à une voiture : si la roue droite ralentit (gradient négatif à droite), la voiture tourne à droite. Ici, le "haut" du front d'onde (\(z > z_s\)) va moins vite que le "bas". Le front d'onde pivote donc vers le haut, s'éloignant du sol.

Schéma (Avant les calculs)

Nous interprétons le signe du \(R\) calculé pour confirmer la trajectoire du schéma de l'énoncé.

Interprétation du Signe de R

Calcul(s)

Pas de nouveaux calculs, il s'agit d'une interprétation.

\(R \approx +5771.3 \text{ m}\).
Puisque \(R\) est positif, la courbure se fait vers les \(z\) positifs, c'est-à-dire vers le haut.

Schéma (Après les calculs)

Le rayon de courbure étant positif, la trajectoire s'incurve vers le haut, s'éloignant de la surface du sol, comme illustré dans le schéma de l'énoncé et ci-dessous.

Visualisation de la Courbure (R > 0)

Réflexions

Puisque le rayon de courbure \(R\) est positif, le rayon sonore se courbe vers le haut. La célérité du son est plus grande près du sol (air chaud) et plus faible en altitude (air froid). L'onde se courbe vers la région où la célérité est la plus faible (vers le haut).

Points de vigilance

Ne pas confondre la direction de la courbure (vers le haut) et la conséquence (zone d'ombre en bas). C'est *parce que* le son part vers le haut qu'il ne peut pas atteindre un auditeur au sol.

Points à retenir

Conséquence pratique : Les rayons sonores s'éloignant du sol, ils "sautent" par-dessus un auditeur situé à une certaine distance. Cela crée une zone d'ombre acoustique au sol, où le son direct ne pénètre pas (seul le son réfléchi ou diffusé peut y parvenir, il est donc très atténué). Concrètement, par une journée chaude, le son porte moins loin au niveau du sol.

Le saviez-vous ?

C'est l'inverse la nuit ! Le sol se refroidit rapidement, mais l'air en altitude reste plus chaud (c'est une "inversion de température"). Le gradient \(dT/dz\) est positif, \(g_c\) est positif, et donc \(R\) devient négatif. Les rayons sont rabattus vers le sol, ce qui explique pourquoi le son "porte" beaucoup plus loin la nuit.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le rayon (\(R > 0\)) se courbe vers le haut, s'éloignant du sol. Cela crée une zone d'ombre et réduit la portée du son au niveau du sol.

A vous de jouer

Imaginez une nuit claire (inversion de température). Le gradient \(g_c\) serait positif (par ex. \(+0.03 \text{ s}^{-1}\)). Quel serait le signe de \(R\) ? Dans quelle direction le son se courberait-il ?

Réponse : \(R\) serait \( -c(z_s) / (+g_c) \), donc \(R\) serait négatif. Le son se courberait vers le bas, vers le sol.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 6 :

Concept Clé : Interprétation du signe de R.
Règle : \(R > 0 \implies\) courbure vers le haut. \(R < 0 \implies\) courbure vers le bas.
Conséquence : Gradient \(dT/dz < 0 \implies R > 0 \implies\) Zone d'ombre au sol.

Outil Interactif : Simulateur de Réfraction Sonore

Utilisez cet outil pour voir comment la température au sol et le gradient de température influencent la célérité du son et le rayon de courbure d'un rayon émis horizontalement (à z=2m).

Paramètres d'Entrée

Température au sol \(T_0\) (°C) 25 °C

Gradient \(dT/dz\) (°C/m) -0.10 °C/m

Résultats Clés

Célérité au sol \(c_0\) -

Rayon de courbure \(R\) (à z=2m) -

Glossaire

Célérité du son (\(c\)): Vitesse à laquelle une onde sonore se propage dans un milieu. Dans l'air, elle dépend principalement de la température.
Gradient (\(g\)): Taux de variation d'une grandeur (température, vitesse) par unité de distance. Un gradient vertical s'exprime en [Unité]/mètre.
Réfraction: Changement de direction d'une onde (sonore, lumineuse) lorsqu'elle traverse un milieu où sa vitesse de propagation n'est pas constante.
Loi de Snell-Descartes: Principe physique qui régit le changement de direction d'une onde à l'interface entre deux milieux, ou dans un milieu continu à gradient.
Zone d'ombre (acoustique): Région de l'espace que les rayons sonores directs n'atteignent pas, typiquement à cause de la réfraction vers le haut ou d'un obstacle.

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