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Analyse de l’influence du point d’attaque sur le timbre

Exercice : Influence du Point d'Attaque sur le Timbre

Analyse de l’influence du point d’attaque sur le timbre

Contexte : Analyse du timbreQualité sonore spécifique d'un instrument qui permet de le distinguer d'un autre, déterminée par son spectre harmonique. d'une corde pincée.

Lorsque l'on pince une corde de guitare, le son produit n'est pas une simple sinusoïde pure. Il est composé d'une fréquence fondamentale et de multiples harmoniques. Cependant, l'intensité de chaque harmonique dépend fortement de l'endroit où la corde a été pincée (le point d'attaque). Cet exercice explore la relation mathématique et physique entre la position d'excitation et la richesse spectrale du son (Loi de Young-Helmholtz).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous aidera à comprendre pourquoi une guitare sonne "métallique" près du chevalet et plus "douce" près du manche, en liant ce phénomène auditif à la théorie des ondes stationnaires.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la notion de modes propres de vibration d'une corde.
Calculer les fréquences des harmoniques d'une corde.
Appliquer la loi de Young-Helmholtz pour prédire les harmoniques manquants.
Analyser l'influence de la position d'attaque sur le spectre sonore.

Données de l'étude

On considère une corde de guitare idéale, fixée à ses deux extrémités, que l'on pince à une position spécifique.

Fiche Technique de la Corde

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur de la corde	\(L\)	1.00	m
Célérité de l'onde	\(c\)	200	m/s
Position d'attaque	\(x_0\)	Variable	m

Schéma de l'excitation de la corde

Questions à traiter

Calculer la fréquence fondamentale \(f_1\) de vibration de la corde.
Donner l'expression générale de la fréquence \(f_n\) du n-ième harmonique.
Selon la loi de Young-Helmholtz, quels harmoniques disparaissent si l'on pince la corde exactement au milieu (\(x_0 = L/2\)) ?
Même question si l'on pince la corde au tiers de sa longueur (\(x_0 = L/3\)).
Comparer qualitativement le son obtenu (brillance) entre une attaque à \(L/2\) (milieu) et une attaque à \(L/10\) (près du chevalet).

Les bases sur l'Acoustique des Cordes

Pour résoudre cet exercice, il faut comprendre comment une corde vibre.

1. Fréquence propre
La fréquence fondamentale dépend de la longueur \(L\) et de la célérité \(c\) des ondes sur la corde : \[ f_1 = \frac{c}{2L} \]

2. Loi de Young-Helmholtz
Si le point d'excitation de la corde coïncide avec un nœudPoint d'une onde stationnaire où l'amplitude de vibration est toujours nulle. d'un mode de vibration, alors ce mode (harmonique) ne sera pas excité et sera absent du spectre sonore.
L'amplitude du n-ième harmonique est proportionnelle à : \[ A_n \propto \frac{1}{n^2} \sin\left(\frac{n \pi x_0}{L}\right) \]

Correction : Analyse de l’influence du point d’attaque sur le timbre

Question 1 : Calcul de la fréquence fondamentale \(f_1\)

Principe

La fréquence fondamentale correspond au mode de vibration le plus simple de la corde, où la longueur de la corde correspond à une demi-longueur d'onde (\(\lambda/2\)). C'est la note "perçue" par l'oreille. C'est le point de départ de toute l'analyse spectrale.

Mini-Cours

Une corde fixée à ses deux extrémités impose des conditions aux limites strictes : le déplacement y est toujours nul. Les seules ondes stationnaires possibles sont celles qui "tiennent" exactement dans la longueur L. Le mode 1 est celui qui a la plus grande longueur d'onde possible : \(\lambda_1 = 2L\).

Remarque Pédagogique

C'est le calcul de base. Si on se trompe ici, tous les harmoniques suivants seront faux. Prenez le temps de vérifier vos unités.

Normes

En musique occidentale, le La de référence (A4) est fixé à 440 Hz par la norme ISO 16. Ici, nous faisons un calcul théorique, le résultat peut ne pas correspondre à une note standard.

Formule(s)

Fréquence fondamentale

\begin{aligned} f_1 &= \frac{c}{\lambda_1} \\ &= \frac{c}{2L} \end{aligned}

Hypothèses

On considère la corde comme un fil idéal :

Sans raideur (flexibilité parfaite).
Masse linéique constante sur toute la longueur.
Tension constante et uniforme.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur	\(L\)	1.00	m
Célérité	\(c\)	200	m/s

Astuces

La célérité \(c\) dépend de la tension \(T\) et de la masse linéique \(\mu\) par la formule \(c = \sqrt{T/\mu}\). Ici, \(c\) est donné directement, ce qui simplifie le calcul !

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des paramètres géométriques.

Corde au repos

Calcul(s)

Nous appliquons la formule de la fréquence propre fondamentale en injectant les valeurs numériques données : la célérité \(c = 200\) m/s et la longueur \(L = 1.00\) m.

\begin{aligned} f_1 &= \frac{200 \text{ m/s}}{2 \times 1.00 \text{ m}} \\ &= \frac{200}{2} \\ &= 100 \text{ Hz} \end{aligned}

Le calcul nous donne directement la fréquence fondamentale en Hertz. Ce résultat de 100 Hz servira de base pour tous les calculs d'harmoniques suivants.

Schéma (Après les calculs)

Allure de la corde vibrant à la fréquence fondamentale.

Mode n=1 (Fuseau unique)

Réflexions

100 Hz est une fréquence grave. Pour comparaison, la corde de La (A) d'une guitare est à 110 Hz, et le Mi grave (E) à environ 82 Hz. Notre corde théorique se situe donc entre les deux.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre la longueur de la corde \(L\) avec la longueur d'onde \(\lambda\). Pour le fondamental, \(L = \lambda/2\), donc \(\lambda = 2L\).

Points à retenir

La fréquence fondamentale est inversement proportionnelle à la longueur de la corde (c'est pour cela qu'on raccourcit la corde pour jouer plus aigu).
Elle dépend directement de la célérité de l'onde.

Le saviez-vous ?

Marin Mersenne, un moine français du 17ème siècle, a été le premier à formuler les lois des cordes vibrantes, bien avant qu'on ne sache mesurer précisément une fréquence en Hertz !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La fréquence fondamentale est de 100 Hz.

A vous de jouer

Si la célérité \(c\) doublait (tension plus forte), quelle serait la nouvelle fréquence fondamentale ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 : \(f_1 = c / 2L\). Correspond au son "nominal" de la corde.

Question 2 : Expression des harmoniques \(f_n\)

Principe

Une corde vibrante est un système confiné qui ne peut vibrer qu'à certaines fréquences précises. Ces fréquences forment une suite arithmétique simple.

Mini-Cours

Les fréquences propres d'une corde fixée aux deux extrémités sont quantifiées par un entier \(n\) (le numéro de l'harmonique). Chaque mode \(n\) possède \(n\) ventres et \(n-1\) nœuds internes (sans compter les extrémités).

Remarque Pédagogique

C'est la définition même de l'harmonicité : les fréquences sont des multiples entiers. C'est ce qui donne un son musical "pur" à la corde, contrairement à une cymbale ou un gong qui sont inharmoniques.

Normes

En acoustique musicale, on désigne par \(H_n\) l'harmonique de rang n. Le fondamental est \(H_1\).

Formule(s)

Fréquence du rang n

f_n = n \times f_1

Hypothèses

On suppose que la raideur de la corde est négligeable. Si la corde était très raide (comme une barre de métal), la formule \(f_n = n f_1\) ne serait plus tout à fait exacte (inharmonicité).

Corde idéale parfaitement flexible.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(f_1\) (calculé précédemment)	100 Hz
\(n\)	Entier positif (1, 2, 3...)

Astuces

Pour vérifier votre calcul mentalement : l'harmonique 2 est toujours le double du fondamental, l'harmonique 4 le quadruple, etc.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la quantification des fréquences.

Série Harmonique

Calcul(s)

Sachant que la fréquence du n-ième harmonique est simplement \(n\) fois la fréquence fondamentale, nous remplaçons \(f_1\) par 100 Hz dans l'expression générale :

\begin{aligned} f_n &= n \times 100 \text{ Hz} \end{aligned}

Cette relation linéaire nous permet de prédire instantanément la fréquence de n'importe quel harmonique. Par exemple :

Pour n=2 : \(f_2 = 2 \times 100 = 200\) Hz
Pour n=3 : \(f_3 = 3 \times 100 = 300\) Hz

Schéma (Après les calculs)

Représentation spectrale théorique (diagramme en bâtons).

Spectre Idéal

Réflexions

Cela signifie que nous aurons des composants spectraux à 100, 200, 300, 400 Hz, etc. C'est une série harmonique parfaite.

Points de vigilance

Ne confondez pas harmonique et octave. L'harmonique 3 (300 Hz) n'est pas une octave de 100 Hz (qui serait 200, 400, 800...).

Points à retenir

L'harmonique 2 (200 Hz) est à l'octave.
L'harmonique 3 (300 Hz) est à la douzième (octave + quinte).

Le saviez-vous ?

Les intervalles musicaux (octave, quinte, tierce) sont directement issus de ces rapports de fréquences entiers simples (2:1, 3:2, 5:4), découverts par les Pythagoriciens dans l'Antiquité.

FAQ

Questions fréquentes :

Résultat Final

\(f_n = 100n\) (en Hz).

A vous de jouer

Quelle est la fréquence du 5ème harmonique ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 : Les harmoniques sont des multiples entiers du fondamental : \(f_n = n \cdot f_1\).

Question 3 : Harmoniques disparus à \(x_0 = L/2\)

Principe

Nous appliquons ici la loi de Young-Helmholtz. Si on attaque la corde en un point précis, on impose à ce point un déplacement maximal initial (une "bosse"). Or, pour certains modes de vibration, ce point précis est censé être un nœud (un point qui ne bouge pas). Il y a incompatibilité : on ne peut pas exciter un mode en le forçant à bouger là où il doit rester immobile.

Mini-Cours

La loi de Young-Helmholtz stipule qu'un mode de vibration \(n\) n'est pas excité si le point d'excitation \(x_0\) correspond à un nœud de ce mode. Mathématiquement, l'amplitude est proportionnelle à \(\sin(n \pi x_0 / L)\). Si ce sinus est nul, l'harmonique disparaît.

Remarque Pédagogique

Visualisez la corde comme une balançoire. Si vous poussez pile au point de pivot (impossible sur une balançoire, mais imaginons), vous ne pouvez pas lancer le mouvement. Ici, attaquer sur un nœud revient à "pousser sur le pivot" de ce mode spécifique.

Normes

Cette loi est fondamentale pour la facture instrumentale (piano, guitare) afin d'éviter d'étouffer des harmoniques désirables ou au contraire pour supprimer des harmoniques dissonants.

Formule(s)

Condition d'annulation

\sin\left(\frac{n \pi x_0}{L}\right) = 0

Hypothèses

On suppose une excitation ponctuelle parfaite (delta de Dirac) pour simplifier, bien qu'en réalité un doigt ou un médiator a une certaine largeur.

Excitation ponctuelle en \(x_0\).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Position d'attaque \(x_0\)	\(L/2\)

Astuces

Le sinus s'annule à 0, \(\pi\), \(2\pi\), etc. Il suffit de voir quand l'argument du sinus devient un multiple de \(\pi\).

Schéma (Avant les calculs)

Nœuds du Mode n=2 (200 Hz)

Calcul(s)

Nous partons de la condition d'annulation de l'amplitude donnée par la loi de Young-Helmholtz. Nous remplaçons \(x_0\) par \(L/2\) dans l'argument du sinus :

\begin{aligned} \sin\left(\frac{n \pi x_0}{L}\right) &= \sin\left(\frac{n \pi (L/2)}{L}\right) \\ &= \sin\left(n \frac{\pi}{2}\right) \end{aligned}

Nous cherchons les valeurs de \(n\) pour lesquelles ce résultat est nul. Or, \(\sin(\theta) = 0\) si \(\theta\) est un multiple entier de \(\pi\) (c'est-à-dire \(\pi, 2\pi, 3\pi\)...). Ici, cela implique que \(n/2\) doit être un nombre entier.

Par conséquent, cette condition est vérifiée si \(n\) est pair :

n = 2k \quad (k \in \mathbb{N}^*)

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des modes excités vs supprimés.

Sélection Modale

Réflexions

Cela signifie que tous les harmoniques pairs (\(n=2, 4, 6, 8...\)) sont absents du spectre. Le spectre ne contiendra que les harmoniques impairs (1, 3, 5...).

Points de vigilance

Attention, cela ne veut pas dire que le son s'arrête ! Le fondamental (n=1) est impair, donc il est bien présent. Le son existe, mais son timbre change.

Points à retenir

Attaquer sur un nœud supprime le mode correspondant.
Le milieu est un nœud pour tous les modes pairs.

Le saviez-vous ?

Un spectre composé uniquement d'harmoniques impairs est caractéristique du timbre de la clarinette (dans son registre chalumeau) ou d'un signal carré. C'est une sonorité "creuse" et boisée.

FAQ

Questions fréquentes :

Résultat Final

Tous les harmoniques pairs (2, 4, 6, 8...) disparaissent.

A vous de jouer

Si on pince à L/2, l'harmonique 3 (300 Hz) est-il présent ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 : Attaque au milieu = Suppression des harmoniques pairs.

Question 4 : Harmoniques disparus à \(x_0 = L/3\)

Principe

Le raisonnement est strictement identique à la question précédente, mais avec une nouvelle position. Nous cherchons maintenant les modes qui possèdent un nœud au tiers de la longueur.

Mini-Cours

De manière générale, si on excite la corde à une fraction \(1/k\) de sa longueur, tous les harmoniques multiples de \(k\) (soit \(n = m \times k\)) seront annulés.

Remarque Pédagogique

C'est une généralisation directe de la question précédente (où k valait 2).

Normes

Pas de norme spécifique ici, c'est de la physique vibratoire pure.

Formule(s)

Condition d'annulation

\sin\left(\frac{n \pi x_0}{L}\right) = 0

Hypothèses

Mêmes hypothèses que précédemment : corde idéale, excitation ponctuelle.

Excitation en \(x_0 = L/3\).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Position d'attaque \(x_0\)	\(L/3\)

Astuces

Pensez aux fractions : 1/3, 2/3, 3/3... chaque tiers est un nœud potentiel pour le mode 3.

Schéma (Avant les calculs)

Position L/3.

Position L/3

Calcul(s)

De la même manière, évaluons le terme sinusoïdal pour une position d'attaque située au tiers de la corde (\(x_0 = L/3\)) :

\begin{aligned} \sin\left(\frac{n \pi x_0}{L}\right) &= \sin\left(\frac{n \pi (L/3)}{L}\right) \\ &= \sin\left(\frac{n \pi}{3}\right) \end{aligned}

Pour que ce sinus soit nul, l'argument \(n\pi/3\) doit être un multiple de \(\pi\). En divisant par \(\pi\), cela implique que \(n/3\) doit être un entier \(k\). Conclusion : tous les harmoniques dont le rang \(n\) est un multiple de 3 seront annulés.

n = 3k \quad (k \in \mathbb{N}^*)

Schéma (Après les calculs)

Le mode 3 a un nœud pile à L/3.

Mode n=3

Réflexions

Les harmoniques supprimés sont donc les multiples de 3 : le 3ème (300 Hz), le 6ème (600 Hz), le 9ème, etc. La "couleur" de la quinte (harmonique 3) sera absente du timbre.

Points de vigilance

Ne pas oublier que 6, 9, 12 sont aussi des multiples de 3 !

Points à retenir

Pincer à 1/k supprime les harmoniques n multiples de k.

Le saviez-vous ?

Sur un piano, les marteaux frappent les cordes environ à L/7 ou L/9. Cela permet d'atténuer le 7ème ou 9ème harmonique, qui sont souvent dissonants avec le fondamental.

FAQ

Questions fréquentes :

Résultat Final

Les harmoniques multiples de 3 (3, 6, 9, 12...) disparaissent.

A vous de jouer

Quel est le premier harmonique manquant si on pince la corde à \(L/5\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 : Attaque à \(L/k\) = Suppression des harmoniques multiples de \(k\).

Question 5 : Comparaison Brillance (L/2 vs L/10)

Principe

La "brillance" ou la "richesse" d'un son est directement liée à l'étendue de son spectre vers les hautes fréquences. Plus il y a d'harmoniques aigus avec une forte amplitude, plus le son est perçu comme brillant, incisif ou métallique.

Mini-Cours

L'amplitude des harmoniques décroît naturellement avec leur rang n (généralement en \(1/n^2\)). Cependant, le terme sinusoïdal de Young-Helmholtz modifie cette enveloppe. Si on attaque près du bord (\(x_0\) petit), le sinus reste proche de son maximum pour beaucoup plus d'harmoniques élevés.

Remarque Pédagogique

Faites l'expérience avec une vraie guitare ou un élastique : pincez au milieu, puis pincez tout près de l'attache. La différence est flagrante !

Normes

En analyse spectrale, la "brillance" (brightness) est souvent corrélée au centre de gravité spectral (Spectral Centroid).

Formule(s)

Facteur d'amplitude géométrique

\sin\left(\frac{n \pi x_0}{L}\right)

Hypothèses

On compare qualitativement les spectres.

Comparaison L/2 vs L/10.

Donnée(s)

Deux cas de figure distincts.

Position d'attaque	Fraction de L
Milieu	L/2
Près du chevalet	L/10

Astuces

Plus l'angle formé par la corde lors du pincement est "pointu", plus le spectre est riche.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la déformée initiale.

Déformée Initiale

Calcul(s)

Analysons mathématiquement la condition d'annulation pour la position \(x_0 = L/10\) :

\begin{aligned} \sin\left(\frac{n \pi x_0}{L}\right) &= 0 \\ \Rightarrow \frac{n \pi L/10}{L} &= k\pi \\ \Rightarrow n &= 10k \end{aligned}

Contrairement à l'attaque au milieu où 1 harmonique sur 2 disparaissait, ici le premier harmonique à disparaître est seulement le 10ème (\(n=10\)). Cela laisse donc passer une grande densité d'harmoniques aigus (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), ce qui explique la richesse sonore perçue.

Schéma (Après les calculs)

Comparaison spectrale visuelle : le spectre L/10 est plus étendu.

Spectres Comparés

Analyse Comparative

Position d'attaque	Harmoniques supprimés	Amplitude des aigus	Timbre perçu
L/2 (Milieu)	1 sur 2 (les pairs)	Faible (décroissance rapide)	Rond, doux, "creux"
L/10 (Chevalet)	1 sur 10 (multiples de 10)	Forte (décroissance lente)	Brillant, métallique, nasillard

L'attaque à L/10 conserve les harmoniques 2, 3, 4, 5... jusqu'à 9. Le spectre est beaucoup plus "plein".

Réflexions

L'attaque près du chevalet favorise les modes élevés car la corde est obligée de se courber fortement sur une courte distance, ce qui "contient" beaucoup d'énergie haute fréquence.

Points de vigilance

Ne dites pas que l'attaque au chevalet crée "plus de notes", elle crée "plus d'harmoniques audibles" pour la même note fondamentale.

Points à retenir

Attaque au centre = Son doux.
Attaque au bord = Son brillant.

Le saviez-vous ?

C'est exactement pour cette raison que les micros de guitare électrique situés près du chevalet ("bridge pickup") sonnent plus aigu et tranchant que les micros situés près du manche ("neck pickup").

FAQ

Questions fréquentes :

Résultat Final

L'attaque près du chevalet (L/10) produit un son beaucoup plus riche et brillant (métallique) que l'attaque au centre (L/2).

A vous de jouer

Quel micro de guitare électrique utiliseriez-vous pour un solo de metal perçant ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 : Plus on attaque près de l'extrémité, plus le spectre s'enrichit en harmoniques aigus.

Outil Interactif : Analyseur Spectral

Visualisez l'effet de la position d'attaque sur l'amplitude des 15 premiers harmoniques.

Paramètres

Position d'attaque \(x_0\) (% de L) 25 % (L/4)

Note : Une position de 50% correspond au milieu de la corde.

Harmoniques Manquants (Théoriques)

-

Glossaire

Fondamentale: La fréquence la plus basse produite par un instrument, correspondant à la note perçue.
Harmonique: Fréquence multiple entier de la fondamentale. L'ensemble des harmoniques constitue le spectre sonore.
Nœud: Point d'une onde stationnaire où l'amplitude est nulle. Si on excite la corde en ce point, le mode correspondant n'existe pas.
Ventre: Point d'une onde stationnaire où l'amplitude est maximale.
Spectre: Représentation graphique de l'amplitude des différents composants fréquentiels (harmoniques) d'un son.

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