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Analyse des vitesses de phase et de groupe

Exercice : Vitesses de Phase et de Groupe

Analyse des Vitesses de Phase et de Groupe en Milieu Dispersif

Contexte : La propagation des ondes acoustiquesLe déplacement d'une perturbation sonore (énergie) à travers un milieu..

Lorsqu'on étudie la propagation d'une onde simple (sinusoïdale pure), sa vitesse est bien définie. Cependant, un signal réel (comme la voix ou une note de musique) est un "paquet d'ondes" composé de nombreuses fréquences. Dans un milieu dispersifUn milieu où la vitesse de l'onde dépend de sa fréquence., ces différentes fréquences ne se propagent pas à la même vitesse.

Cela nous amène à définir deux vitesses : la vitesse de phase (\(v_p\)), qui est la vitesse d'une crête de l'onde, et la vitesse de groupe (\(v_g\)), qui est la vitesse de l'enveloppe du paquet d'ondes (et représente la vitesse de l'énergie). Cet exercice explore le calcul de ces deux vitesses pour un mode acoustique dans un guide d'onde.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à distinguer \(v_p\) et \(v_g\) et à les calculer à partir d'une relation de dispersionL'équation mathématique qui lie la pulsation \(\omega\) (ou fréquence \(f\) au nombre d'onde \(k\)., qui est la "carte d'identité" de la propagation d'une onde dans un milieu donné.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la différence conceptuelle entre vitesse de phase et vitesse de groupe.
Savoir utiliser une relation de dispersion pour trouver le nombre d'onde \(k\).
Maîtriser le calcul de la vitesse de phase : \(v_p = \omega / k\).
Maîtriser le calcul de la vitesse de groupe : \(v_g = \partial\omega / \partial k\).
Analyser le comportement d'un milieu dispersif (ici, un guide d'onde).

Données de l'étude

On étudie la propagation d'un mode acoustique dans un guide d'onde (un tube rigide). L'air dans le tube est caractérisé par une vitesse du son \(c\).

Pour un mode donné, la propagation n'est possible que si la fréquence \(f\) est supérieure à une fréquence de coupure \(f_c\). La relation de dispersion (lien entre la pulsation \(\omega = 2\pi f\) et le nombre d'onde \(k\)) est donnée par :

\omega^2 = c^2 k^2 + \omega_c^2

Où \(\omega_c = 2\pi f_c\) est la pulsation de coupure.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Vitesse du son dans l'air, \(c\)	340 m/s
Fréquence de coupure du mode, \(f_c\)	500 Hz
Fréquence de l'onde étudiée, \(f\)	1000 Hz

Illustration d'un paquet d'ondes

Variable à calculer	Symbole	Description	Valeur	Unité
Pulsation de coupure	\(\omega_c\)	\(2 \pi f_c\)	?	rad/s
Pulsation	\(\omega\)	\(2 \pi f\)	?	rad/s
Nombre d'onde	\(k\)	De la relation de dispersion	?	rad/m
Vitesse de phase	\(v_p\)	\(\omega / k\)	?	m/s
Vitesse de groupe	\(v_g\)	\(\partial\omega / \partial k\)	?	m/s

Questions à traiter

Calculer la pulsation de l'onde \(\omega\) et la pulsation de coupure \(\omega_c\).
À partir de la relation de dispersion, calculer le nombre d'onde \(k\) pour la fréquence \(f = 1000\) Hz.
En déduire la vitesse de phase \(v_p\) à cette fréquence.
Trouver l'expression littérale de la vitesse de groupe \(v_g = \partial\omega / \partial k\) en fonction de \(c\), \(k\) et \(\omega\).
Calculer la valeur de la vitesse de groupe \(v_g\) à \(f = 1000\) Hz. Comparer \(v_p\), \(v_g\) et \(c\).

Les bases sur la Dispersion d'Ondes

En acoustique, comme en optique, la dispersion est le phénomène qui fait que la vitesse d'une onde dépend de sa fréquence. Pour décrire cela, on utilise deux types de vitesses :

1. Vitesse de Phase (\(v_p\))
Aussi appelée vitesse de propagation, c'est la vitesse à laquelle une crête (ou un point de phase constante) de l'onde se déplace. Elle est définie par le rapport simple entre la pulsation et le nombre d'onde. \[ v_p = \frac{\omega}{k} \] Dans un milieu non-dispersif, \(v_p\) est constante et égale à \(c\). Dans un milieu dispersif, \(v_p\) dépend de \(\omega\).

2. Vitesse de Groupe (\(v_g\))
Elle décrit la vitesse de propagation de l'enveloppe d'un "paquet d'ondes" (un signal de durée finie). Plus important encore, c'est la vitesse à laquelle l'énergie du signal se propage. Elle est définie par la dérivée de la pulsation par rapport au nombre d'onde. \[ v_g = \frac{\partial\omega}{\partial k} \] Dans un milieu non-dispersif, \(v_g = v_p = c\). Dans un milieu dispersif, \(v_g \neq v_p\).

Correction : Analyse des Vitesses de Phase et de Groupe en Milieu Dispersif

Question 1 : Calculer la pulsation \(\omega\) et la pulsation de coupure \(\omega_c\).

Principe

La première étape consiste à convertir les fréquences (en Hertz, Hz) en pulsations ou fréquences angulaires (en radians par seconde, rad/s). C'est l'unité standard pour les relations de dispersion.

Mini-Cours

La fréquence \(f\) représente le nombre de cycles par seconde, tandis que la pulsation \(\omega\) représente la "vitesse angulaire" de l'onde, c'est-à-dire de combien d'angle (en radians) la phase de l'onde tourne par seconde. Comme un cycle complet fait \(2\pi\) radians, la relation est directe.

Remarque Pédagogique

Ne confondez jamais \(f\) et \(\omega\). La plupart des formules fondamentales en physique des ondes (comme \(v_p = \omega/k\)) utilisent \(\omega\). Utiliser \(f\) directement dans ces formules est une erreur très fréquente.

Normes

Il ne s'agit pas d'une "norme" de construction, mais d'une convention fondamentale en physique (Système International d'Unités). L'utilisation de rad/s pour \(\omega\) et rad/m pour \(k\) assure que les vitesses calculées soient en m/s.

Formule(s)

La formule de conversion est la même pour la fréquence de l'onde et la fréquence de coupure.

\omega = 2 \pi f \quad \text{et} \quad \omega_c = 2 \pi f_c

Hypothèses

Nous utilisons la valeur standard de \(\pi \approx 3.14159\)...

Donnée(s)

Nous extrayons les données de l'énoncé :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence de l'onde	\(f\)	1000	Hz
Fréquence de coupure	\(f_c\)	500	Hz

Astuces

Puisque \(f = 1000\) Hz est exactement le double de \(f_c = 500\) Hz, on peut s'attendre à ce que \(\omega\) soit aussi le double de \(\omega_c\). Cela permet une vérification rapide.

Schéma (Avant les calculs)

Un schéma simple illustre la conversion d'un cycle (base de \(f\)) en \(2\pi\) radians (base de \(\omega\)).

Conversion Fréquence -> Pulsation

Calcul(s)

Nous appliquons la formule \( \omega = 2 \pi f \).

Étape 1 : Calcul de \(\omega_c\)

\begin{aligned} \omega_c &= 2 \pi f_c \\ &= 2 \pi \times 500 \\ \omega_c &= 1000 \pi \approx 3141.6 \text{ rad/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(\omega\)

\begin{aligned} \omega &= 2 \pi f \\ &= 2 \pi \times 1000 \\ \omega &= 2000 \pi \approx 6283.2 \text{ rad/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma pertinent après ce calcul simple.

Réflexions

On vérifie que \(\omega = 2 \times \omega_c\), ce qui est cohérent. L'onde a une pulsation deux fois supérieure à la pulsation de coupure.

Points de vigilance

Attention à ne pas oublier le \(2\pi\). Une erreur de facteur \(2\pi\) (environ 6.28) est très importante et faussera tous les calculs suivants.

Points à retenir

La pulsation \(\omega\) (en rad/s) est la mesure "naturelle" de la fréquence en physique des ondes.
\(\omega = 2 \pi f\).

Le saviez-vous ?

Le concept de "radian" est puissant car il lie directement l'angle à la longueur d'un arc (arc = rayon \(\times\) angle en rad). C'est pourquoi il apparaît dans toutes les formules de rotation et d'oscillation, simplifiant les dérivées (ex: \(\frac{d}{dt}(\sin(\omega t)) = \omega \cos(\omega t)\)).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La pulsation de l'onde est \(\omega \approx 6283.2 \text{ rad/s}\).
La pulsation de coupure est \(\omega_c \approx 3141.6 \text{ rad/s}\).

A vous de jouer

Quelle serait la pulsation \(\omega\) si la fréquence était \(f = 800 \text{ Hz}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Conversion Fréquence -> Pulsation.
Formule Essentielle : \(\omega = 2 \pi f\).
Résultats : \(\omega \approx 6283\) rad/s, \(\omega_c \approx 3142\) rad/s.

Question 2 : Calculer le nombre d'onde \(k\) à la fréquence \(f = 1000\) Hz.

Principe

Maintenant que nous avons \(\omega\) et \(\omega_c\), nous pouvons utiliser la relation de dispersion pour trouver la seule inconnue restante : le nombre d'onde \(k\).

Mini-Cours

Le nombre d'onde \(k\) est à l'espace ce que la pulsation \(\omega\) est au temps. \(\omega\) dit "combien de radians par seconde", \(k\) dit "combien de radians par mètre". Il est inversement lié à la longueur d'onde \(\lambda\) par la relation \(k = 2\pi / \lambda\).

Remarque Pédagogique

La relation de dispersion est la clé. Elle nous dit, pour ce milieu et ce mode de propagation, quel \(k\) (quelle longueur d'onde) est associé à quelle \(\omega\) (quelle fréquence). Il suffit d'isoler \(k\) algébriquement.

Normes

L'unité de \(k\) dans le Système International est le radian par mètre (rad/m).

Formule(s)

Relation de base

\omega^2 = c^2 k^2 + \omega_c^2

Formule isolée pour \(k\)

c^2 k^2 = \omega^2 - \omega_c^2 \implies k = \frac{\sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}}{c}

Hypothèses

On suppose que l'onde se propage, c'est-à-dire que \(\omega > \omega_c\). Si \(\omega < \omega_c\), le terme sous la racine carrée serait négatif, et \(k\) deviendrait imaginaire : l'onde est dite "évanescente", elle ne se propage pas et s'atténue très vite.

On a \(\omega \approx 6283\) rad/s et \(\omega_c \approx 3142\) rad/s. On a bien \(\omega > \omega_c\), donc l'onde se propage.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats de la Q1 et les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pulsation	\(\omega\)	6283.2	rad/s
Pulsation de coupure	\(\omega_c\)	3141.6	rad/s
Vitesse du son	\(c\)	340	m/s

Astuces

Puisque \(\omega = 2\omega_c\), on peut simplifier \(\sqrt{\omega^2 - \omega_c^2} = \sqrt{(2\omega_c)^2 - \omega_c^2} = \sqrt{4\omega_c^2 - \omega_c^2} = \sqrt{3\omega_c^2} = \omega_c \sqrt{3}\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre la relation \(\omega(k)\). C'est une hyperbole. Pour un \(\omega\) donné (ligne horizontale), on cherche le \(k\) correspondant (point d'intersection).

Graphe de la relation de dispersion

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(\sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}\) (en utilisant l'astuce)

\begin{aligned} \sqrt{\omega^2 - \omega_c^2} &= \omega_c \sqrt{3} \\ &= (1000 \pi) \times \sqrt{3} \approx 3141.6 \times 1.732 \\ &\approx 5441.4 \text{ rad/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(k\)

\begin{aligned} k &= \frac{\sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}}{c} \\ &= \frac{5441.4}{340} \\ k &\approx 16.004 \text{ rad/m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma additionnel requis, le calcul de \(k\) est une valeur numérique.

Réflexions

On a trouvé \(k \approx 16.0 \text{ rad/m}\). Cela signifie que l'onde effectue un cycle complet ( \(2\pi\) radians) sur une distance \(\lambda = 2\pi/k \approx 2\pi/16 \approx 0.39\) mètres (39 cm).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici est d'oublier les carrés. Soit \(\sqrt{\omega - \omega_c}\) (incorrect) soit \((\omega^2 - \omega_c^2)/c\) (incorrect). Prenez le temps de bien isoler \(k\) algébriquement avant de remplacer par les valeurs.

Points à retenir

La relation de dispersion \(\omega(k)\) est la fonction centrale qui relie temps et espace.
Si \(\omega < \omega_c\), \(k\) est imaginaire : l'onde ne se propage pas (elle est évanescente).

Le saviez-vous ?

Le nombre d'onde \(k\) est un vecteur (\(\vec{k}\)) en 3D, appelé "vecteur d'onde", qui pointe dans la direction de propagation de l'onde. Sa magnitude est \(2\pi/\lambda\).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le nombre d'onde à 1000 Hz est \(k \approx 16.0 \text{ rad/m}\).

A vous de jouer

Que vaut \(k\) si la fréquence est \(f = 500 \text{ Hz}\) (c'est-à-dire \(f = f_c\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Utiliser \(\omega(k)\) pour trouver \(k\).
Formule : \(k = \sqrt{\omega^2 - \omega_c^2} / c\).
Résultat : \(k \approx 16.0\) rad/m.

Question 3 : En déduire la vitesse de phase \(v_p\).

Principe

Maintenant que nous avons \(\omega\) (Q1) et \(k\) (Q2) pour la même onde, le calcul de la vitesse de phase \(v_p\) est une application directe de sa définition.

Mini-Cours

La vitesse de phase \(v_p = \omega/k\) représente la vitesse d'un point de phase constante. On peut aussi l'écrire \(v_p = (2\pi f) / (2\pi / \lambda) = f \lambda\). C'est la formule la plus intuitive : fréquence (cycles/s) fois longueur d'onde (m/cycle) donne bien une vitesse (m/s).

Remarque Pédagogique

Cette vitesse décrit comment les "vaguelettes" individuelles se déplacent. Comme nous allons le voir, elle ne représente pas la vitesse à laquelle un signal (un "paquet" de vaguelettes) se déplace.

Normes

L'unité de vitesse est le mètre par seconde (m/s).

Formule(s)

Définition de la vitesse de phase

v_p = \frac{\omega}{k}

Hypothèses

On utilise les valeurs calculées aux étapes précédentes, en supposant qu'elles sont correctes.

\(\omega \approx 6283.2\) rad/s
\(k \approx 16.004\) rad/m

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pulsation	\(\omega\)	6283.2	rad/s
Nombre d'onde	\(k\)	16.004	rad/m

Astuces

On peut aussi trouver une expression littérale : \(v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{\omega}{\sqrt{\omega^2 - \omega_c^2} / c} = \frac{c \omega}{\sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}}\). On voit que comme \(\omega > \sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}\), on aura \(v_p > c\). Attendez-vous à un résultat supérieur à 340 m/s !

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé illustre bien la vitesse de phase \(v_p\) comme la vitesse d'une crête de l'onde interne (en bleu pointillé).

Rappel : Vitesse de Phase vₚ

Calcul(s)

Application de la formule

\begin{aligned} v_p &= \frac{\omega}{k} \\ &= \frac{6283.2 \text{ rad/s}}{16.004 \text{ rad/m}} \\ v_p &\approx 392.6 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma additionnel requis.

Réflexions

Le résultat \(v_p \approx 393 \text{ m/s}\) est supérieur à la vitesse du son \(c = 340 \text{ m/s}\). Cela peut sembler choquant (plus vite que la "vitesse du son" ?). C'est un phénomène normal dans les guides d'onde. La vitesse de phase peut être supérieure à \(c\), mais elle ne transporte pas d'information ni d'énergie. L'énergie est transportée par la vitesse de groupe \(v_g\), qui (comme nous le verrons) reste inférieure à \(c\).

Points de vigilance

Attention à ne pas inverser \(\omega\) et \(k\). Une vitesse doit être en m/s. Si vous calculez \(k/\omega\), vous obtiendrez des s/m (une lenteur), et non une vitesse.

Points à retenir

La vitesse de phase est donnée par \(v_p = \omega / k\).
Dans un guide d'onde, il est normal d'avoir \(v_p > c\).
La vitesse de phase ne transporte pas d'énergie.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La vitesse de phase à 1000 Hz est \(v_p \approx 392.6 \text{ m/s}\).

A vous de jouer

Que vaut \(v_p\) si la fréquence est très élevée (par exemple \(f = 10000\) Hz) ? (Astuce : revoyez la FAQ de la Q2).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Calcul de la vitesse de phase.
Formule : \(v_p = \omega / k\).
Résultat : \(v_p \approx 392.6\) m/s. (On note \(v_p > c\)).

Question 4 : Trouver l'expression littérale de la vitesse de groupe \(v_g = \partial\omega / \partial k\).

Principe

C'est l'étape la plus mathématique. Nous devons dériver la fonction \(\omega(k)\) par rapport à \(k\). La fonction \(\omega(k)\) est donnée par la relation de dispersion.

Mini-Cours

Pour dériver, il faut d'abord exprimer \(\omega\) explicitement en fonction de \(k\) : \(\omega(k) = \sqrt{c^2 k^2 + \omega_c^2}\).
Nous devons dériver une fonction de type \(\sqrt{u(k)}\). La règle de dérivation en chaîne nous dit : \(\frac{d}{dk}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \times \frac{du}{dk}\).

Remarque Pédagogique

Une méthode alternative (plus rapide si on est à l'aise) est la dérivation implicite. On part de \(\omega^2 = c^2 k^2 + \omega_c^2\) et on dérive chaque côté par rapport à \(k\) :
\(\frac{d}{dk}(\omega^2) = \frac{d}{dk}(c^2 k^2 + \omega_c^2)\)
\(2\omega \frac{\partial\omega}{\partial k} = 2 c^2 k + 0\)
\(\frac{\partial\omega}{\partial k} = \frac{2 c^2 k}{2\omega} = \frac{c^2 k}{\omega}\). On trouve \(v_g\) directement !

Normes

C'est une application standard du calcul différentiel.

Formule(s)

Fonction à dériver

\omega(k) = (c^2 k^2 + \omega_c^2)^{1/2}

Définition de la vitesse de groupe

v_g = \frac{\partial\omega}{\partial k}

Hypothèses

On applique les règles standards de la dérivation. \(c\) et \(\omega_c\) sont des constantes par rapport à \(k\).

Donnée(s)

Pas de données numériques, c'est un calcul littéral.

Astuces

L'astuce est la dérivation implicite montrée dans la "Remarque Pédagogique". Elle évite de manipuler des racines carrées, ce qui est une source d'erreur fréquente.

Schéma (Avant les calculs)

Graphiquement, \(v_g = \partial\omega/\partial k\) est la *pente* de la courbe de dispersion \(\omega(k)\) que nous avons tracée à la Q2. On s'attend à ce que cette pente soit nulle à \(k=0\) (lorsque \(\omega=\omega_c\)) et qu'elle tende vers \(c\) lorsque \(k\) devient grand.

Signification graphique de v₉

Calcul(s)

Étape 1 : Poser \(u(k)\)

u(k) = c^2 k^2 + \omega_c^2

Étape 2 : Dériver \(u(k)\) par rapport à \(k\)

\frac{du}{dk} = \frac{d}{dk}(c^2 k^2 + \omega_c^2) = c^2 \times (2k) + 0 = 2 c^2 k

Étape 3 : Appliquer la règle de la chaîne

\begin{aligned} v_g = \frac{\partial\omega}{\partial k} &= \frac{1}{2\sqrt{u}} \times \frac{du}{dk} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{c^2 k^2 + \omega_c^2}} \times (2 c^2 k) \end{aligned}

Étape 4 : Simplification

v_g = \frac{c^2 k}{\sqrt{c^2 k^2 + \omega_c^2}}

Étape 5 : Simplification (Astuce)

On reconnaît le dénominateur ! Par définition, \(\omega = \sqrt{c^2 k^2 + \omega_c^2}\). On peut donc remplacer le dénominateur par \(\omega\).

v_g = \frac{c^2 k}{\omega}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma additionnel requis.

Réflexions

L'expression \(v_g = c^2 k / \omega\) est bien plus simple à utiliser pour le calcul. On note aussi que \(v_p = \omega/k\). Si on les multiplie : \(v_p \times v_g = (\omega/k) \times (c^2 k / \omega) = c^2\). C'est une propriété remarquable de ce type de guide d'onde !

Points de vigilance

Attention à la dérivation en chaîne. L'erreur la plus fréquente est d'oublier de dériver "l'intérieur" de la racine, c'est-à-dire le terme \(2c^2 k\).

Points à retenir

La vitesse de groupe \(v_g\) est la dérivée \(\partial\omega/\partial k\), qui correspond à la pente de la courbe de dispersion.
La dérivation implicite est souvent plus rapide : \(2\omega d\omega = 2c^2 k dk \implies d\omega/dk = c^2 k / \omega\).

Le saviez-vous ?

En optique, la dispersion dans les fibres optiques est un problème majeur. Un pulse de lumière (paquet d'ondes) va "s'étaler" car les différentes couleurs (fréquences) qui le composent n'ont pas la même \(v_g\). Cela limite le débit de données.

FAQ

...

Résultat Final

L'expression littérale de la vitesse de groupe est : \(v_g = \frac{c^2 k}{\omega}\).

A vous de jouer

Si la relation de dispersion était \(\omega = A k^2\) (ondes de gravité en eau profonde), que vaudrait \(v_g\) ? (Dérivez \(\omega\) par rapport à \(k\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Dériver \(\omega(k)\) pour trouver \(v_g\).
Formule : \(v_g = \partial\omega/\partial k = c^2 k / \omega\).
Propriété : \(v_p \times v_g = c^2\).

Question 5 : Calculer la valeur de \(v_g\) à \(f = 1000\) Hz et conclure.

Principe

Nous avons maintenant tous les éléments pour le calcul final : la formule littérale pour \(v_g\) (Q4), et les valeurs de \(c\), \(k\) (Q2) et \(\omega\) (Q1).

Mini-Cours

La vitesse de groupe \(v_g\) représente la vitesse de l'énergie. Dans un guide d'onde, l'onde ne se propage pas "en ligne droite" mais "rebondit" sur les parois. La vitesse \(c\) est la vitesse le long de ce trajet en zigzag, tandis que \(v_g\) est la vitesse effective *le long de l'axe du tube*. Il est donc logique que \(v_g\) soit inférieure à \(c\).

Remarque Pédagogique

C'est le moment de la conclusion. Nous allons rassembler tous nos résultats (\(v_p\), \(v_g\), \(c\)) et les comparer pour comprendre la physique du phénomène. C'est l'étape la plus importante.

Normes

L'unité de vitesse est le mètre par seconde (m/s).

Formule(s)

Expression de la vitesse de groupe

v_g = \frac{c^2 k}{\omega}

Hypothèses

On utilise les valeurs numériques de \(c\), \(k\) et \(\omega\) précédemment déterminées.

Donnée(s)

Recueil de toutes nos valeurs calculées :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse du son	\(c\)	340	m/s
Nombre d'onde	\(k\)	16.004	rad/m
Pulsation	\(\omega\)	6283.2	rad/s
Vitesse de phase (de Q3)	\(v_p\)	392.6	m/s

Astuces

Puisque nous avons trouvé la propriété \(v_p \times v_g = c^2\), on peut calculer \(v_g\) très rapidement sans utiliser \(k\) et \(\omega\) : \(v_g = c^2 / v_p\). C'est une excellente façon de vérifier notre calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Rappel du schéma de l'énoncé. Nous calculons maintenant la vitesse de l'enveloppe rouge.

Rappel : Vitesse de Groupe v₉

Calcul(s)

Méthode 1 : Formule de Q4

\begin{aligned} v_g &= \frac{c^2 k}{\omega} = \frac{(340)^2 \times 16.004}{6283.2} \\ &= \frac{115600 \times 16.004}{6283.2} \\ &= \frac{1850102.4}{6283.2} \approx 294.59 \text{ m/s} \end{aligned}

Méthode 2 : Vérification (avec l'astuce)

\begin{aligned} v_g &= \frac{c^2}{v_p} = \frac{(340)^2}{392.6} \\ &= \frac{115600}{392.6} \approx 294.45 \text{ m/s} \end{aligned}

Les deux méthodes donnent un résultat quasi-identique (la petite différence vient des arrondis intermédiaires).

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant placer toutes nos valeurs sur un axe de vitesses pour les comparer.

Comparaison des Vitesses (à ƒ = 2ƒ꜀)

Réflexions

Conclusion : \(v_g < c < v_p\).
C'est la conclusion principale de cet exercice. Dans ce guide d'onde (milieu dispersif), l'énergie (le groupe) se propage plus lentement que la vitesse du son \(c\), tandis que le motif de l'onde (la phase) se propage plus rapidement. Seule \(v_g\) est limitée par \(c\).

Points de vigilance

Ne jamais supposer que \(v_p = c\). C'est uniquement vrai dans un milieu 1D infini non-dispersif. L'introduction de frontières (comme les parois d'un tube) crée de la dispersion.

Points à retenir

La vitesse de l'énergie est la vitesse de groupe \(v_g\).
Pour un guide d'onde acoustique : \(v_g \times v_p = c^2\).
Puisque \(v_p\) est toujours \(> c\) (cf Q3), cela implique que \(v_g\) est toujours \(< c\).

Le saviez-vous ?

Il existe des "métamatériaux" exotiques où la vitesse de groupe peut être négative ! Cela signifie que l'enveloppe du paquet d'ondes recule pendant que les vaguelettes avancent. Ces matériaux ont des propriétés optiques et acoustiques fascinantes.

FAQ

...

Résultat Final

La vitesse de groupe à 1000 Hz est \(v_g \approx 294.5 \text{ m/s}\).
On a bien : \(v_g (294.5) < c (340) < v_p (392.6)\).

A vous de jouer

En utilisant la relation \(v_g = c^2 / v_p\), que vaut \(v_g\) si \(f\) est très élevée ? (Utilisez votre réponse au "A vous de jouer" de la Q3).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Calcul et analyse de \(v_g\).
Formule : \(v_g = c^2 k / \omega\) ou \(v_g = c^2 / v_p\).
Conclusion : \(v_g < c < v_p\).

Outil Interactif : Simulateur de Dispersion

Utilisez les curseurs pour changer la fréquence de coupure \(f_c\) du guide et la vitesse du son \(c\). Le graphique montre comment \(v_p\) (bleu) et \(v_g\) (rouge) évoluent avec la fréquence \(f\). La ligne verte montre la vitesse \(c\) comme référence.

Paramètres d'Entrée

Fréquence de coupure \(f_c\) (Hz) 500 Hz

Vitesse du son \(c\) (m/s) 340 m/s

Résultats Clés (calculés à \(f = 2 \times f_c\))

Vitesse de phase \(v_p\) (m/s) -

Vitesse de groupe \(v_g\) (m/s) -

Glossaire

Relation de dispersion: L'équation mathématique qui lie la pulsation (fréquence angulaire) \(\omega\) au nombre d'onde \(k\). C'est la "carte d'identité" d'une onde dans un milieu.
Vitesse de phase (\(v_p\)): Définie par \(v_p = \omega / k\). C'est la vitesse de déplacement d'un point de phase constante (par exemple, la crête d'une onde sinusoïdale pure).
Vitesse de groupe (\(v_g\)): Définie par \(v_g = \partial\omega / \partial k\). C'est la vitesse de l'enveloppe d'un paquet d'ondes, qui représente la vitesse de propagation de l'énergie et de l'information.
Milieu dispersif: Un milieu où la vitesse de phase \(\omega/k\) n'est pas constante, mais dépend de la fréquence. Dans un tel milieu, \(v_g \neq v_p\).
Fréquence de coupure (\(f_c\)): Dans un guide d'onde, c'est la fréquence minimale en dessous de laquelle une onde (un mode) ne peut pas se propager et devient évanescente.
Nombre d'onde (\(k\)): Lié à la longueur d'onde \(\lambda\) par \(k = 2\pi / \lambda\). Il mesure la variation de phase par unité de distance (en rad/m).

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