Analyse des vitesses de phase et de groupe

Acoustique : Définition et distinction entre vitesse de phase et vitesse de groupe

Définition et distinction entre vitesse de phase et vitesse de groupe

Contexte : La Vitesse de l'Onde ou la Vitesse de l'Information ?

Lorsqu'on observe une onde, on peut suivre deux "vitesses" différentes. La première, la vitesse de phaseVitesse à laquelle un point de phase constante (par exemple, la crête) d'une onde monochromatique se propage. Formule : vφ = ω/k. ($v_{\varphi}$), est la vitesse à laquelle une crête ou un creux de l'onde se déplace. C'est la vitesse de l'onde "porteuse". La seconde, la vitesse de groupeVitesse à laquelle l'enveloppe globale d'un paquet d'ondes (et donc l'énergie et l'information) se propage. Formule : vg = dω/dk. ($v_g$), est la vitesse à laquelle l'enveloppe globale d'un "paquet d'ondes" (qui transporte l'énergie et l'information) se propage. Dans un milieu non-dispersif comme l'air pour le son audible, ces deux vitesses sont égales. Mais dans un milieu dispersifMilieu dans lequel la vitesse de phase d'une onde dépend de sa fréquence. Les différentes composantes d'un paquet d'ondes ne voyagent pas à la même vitesse., où la vitesse de phase dépend de la fréquence (comme les vagues à la surface de l'eau), ces deux vitesses peuvent être très différentes.

Remarque Pédagogique : Cette distinction est cruciale en physique moderne. La vitesse de groupe représente la vitesse de propagation de l'énergie et de l'information, et elle ne peut jamais dépasser la vitesse de la lumière. La vitesse de phase, elle, peut parfois être supérieure à la vitesse de la lumière dans certains milieux exotiques, sans pour autant violer le principe de causalité.

Objectifs Pédagogiques

Définir et différencier la vitesse de phase et la vitesse de groupe.
Comprendre la notion de milieu dispersif et de relation de dispersion.
Calculer la vitesse de phase $\omega/k$ à partir d'une relation de dispersion.
Calculer la vitesse de groupe $d\omega/dk$ en dérivant la relation de dispersion.
Analyser et interpréter la différence entre les deux vitesses dans un cas concret.

Données de l'étude

On étudie les vagues à la surface de l'eau profonde. Ce milieu est dispersif et la relation entre la pulsation $\omega$ et le nombre d'onde $k$ est donnée par la relation de dispersion :

\omega^2 = gk

On observe un paquet d'ondes dont la fréquence centrale est $f_0 = 1 \, \text{Hz}$. On prendra l'accélération de la pesanteur $g = 9.81 \, \text{m/s}^2$.

Paquet d'Ondes et ses Vitesses

Questions à traiter

Calculer la pulsation $\omega_0$ et le nombre d'onde $k_0$ pour la fréquence centrale du paquet d'ondes.
Calculer la vitesse de phase $v_{\varphi}$ pour ces ondes.
Calculer la vitesse de groupe $v_g$ pour ces ondes. Comparer les deux vitesses.

Correction : Analyse des vitesses de phase et de groupe

Question 1 : Calcul de $\omega_0$ et $k_0$

Principe :

La pulsation $\omega$ (en rad/s) et la fréquence $f$ (en Hz) sont liées par un simple facteur $2\pi$. Une fois la pulsation connue, on peut utiliser la relation de dispersion du milieu pour trouver le nombre d'onde $k$ correspondant. Chaque fréquence se propage avec un "pas" spatial qui lui est propre.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La relation de dispersion $\omega(k)$ est la carte d'identité d'un milieu de propagation. C'est elle qui dicte comment les ondes s'y comportent. Pour le son dans l'air (non-dispersif), elle est simple : $\omega = ck$. Pour les vagues, elle est plus complexe, ce qui entraîne des phénomènes intéressants.

Formule(s) utilisée(s) :

\omega = 2\pi f

\omega^2 = gk \Rightarrow k = \frac{\omega^2}{g}

Donnée(s) :

Fréquence centrale : $f_0 = 1 \, \text{Hz}$
Accélération de la pesanteur : $g = 9.81 \, \text{m/s}^2$

Calcul(s) :

\begin{aligned} \omega_0 &= 2\pi \times f_0 \\ &= 2\pi \times 1 \\ &= 2\pi \approx 6.28 \, \text{rad/s} \end{aligned}

\begin{aligned} k_0 &= \frac{\omega_0^2}{g} \\ &= \frac{(2\pi)^2}{9.81} \\ &\approx \frac{39.48}{9.81} \\ &\approx 4.02 \, \text{rad/m} \end{aligned}

Points de vigilance :

Unités Angulaires : La pulsation $\omega$ et le nombre d'onde $k$ s'expriment en radians par seconde et radians par mètre, respectivement. Ne pas les confondre avec la fréquence $f$ en Hertz.

Le saviez-vous ?

Résultat : La pulsation est $\omega_0 \approx 6.28 \, \text{rad/s}$ et le nombre d'onde est $k_0 \approx 4.02 \, \text{rad/m}$.

Question 2 : Calcul de la Vitesse de Phase ($v_{\varphi}$)

Principe :

La vitesse de phase est la vitesse de déplacement d'un point de phase constante, comme la crête d'une vague. Elle est définie par le rapport de la pulsation sur le nombre d'onde.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La vitesse de phase décrit la vitesse des "vaguelettes" individuelles à l'intérieur du paquet d'ondes. Dans un milieu dispersif, ces vaguelettes peuvent se déplacer plus vite ou plus lentement que le paquet lui-même.

Formule(s) utilisée(s) :

v_{\varphi} = \frac{\omega}{k}

Donnée(s) :

$\omega_0 \approx 6.28 \, \text{rad/s}$
$k_0 \approx 4.02 \, \text{rad/m}$

Calcul(s) :

\begin{aligned} v_{\varphi} &= \frac{6.28}{4.02} \\ &\approx 1.56 \, \text{m/s} \end{aligned}

Points de vigilance :

Ne pas confondre avec la vitesse de groupe : C'est la vitesse des "phases", pas celle de l'énergie. Pour les vagues en eau profonde, on peut voir les petites vagues apparaître à l'arrière d'un groupe, le traverser plus vite que lui, et disparaître à l'avant. C'est une manifestation directe de $v_{\varphi} > v_g$.

Le saviez-vous ?

Résultat : La vitesse de phase des vagues est d'environ $1.56 \, \text{m/s}$.

Question 3 : Calcul de la Vitesse de Groupe ($v_g$)

Principe :

La vitesse de groupe est la vitesse de l'enveloppe du paquet d'ondes, qui transporte l'énergie. Elle est définie par la dérivée de la pulsation par rapport au nombre d'onde. Il faut donc d'abord exprimer $\omega$ en fonction de $k$, puis dériver cette expression.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le calcul de la vitesse de groupe nécessite une dérivation, ce qui est une étape mathématique plus avancée. C'est le cœur de l'analyse de la dispersion. Si $v_g = v_{\varphi}$, le milieu est non-dispersif. Si elles sont différentes, il est dispersif.

Formule(s) utilisée(s) :

\omega(k) = \sqrt{gk} = \sqrt{g} \cdot k^{1/2}

v_g = \frac{d\omega}{dk}

Donnée(s) :

Relation de dispersion : $\omega = \sqrt{gk}$
$k_0 \approx 4.02 \, \text{rad/m}$
$g = 9.81 \, \text{m/s}^2$

Calcul(s) :

On dérive d'abord l'expression de $\omega(k)$ :

\begin{aligned} v_g &= \frac{d}{dk} \left( \sqrt{g} \cdot k^{1/2} \right) \\ &= \sqrt{g} \times \frac{1}{2} k^{-1/2} \\ &= \frac{\sqrt{g}}{2\sqrt{k}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{k}} \end{aligned}

On peut aussi remarquer que $v_g = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{gk}}{\sqrt{k}\sqrt{k}} = \frac{1}{2}\frac{\omega}{k} = \frac{1}{2}v_{\varphi}$. C'est une propriété spécifique des vagues en eau profonde.

\begin{aligned} v_g &= \frac{1}{2} v_{\varphi} \\ &= \frac{1}{2} \times 1.56 \\ &= 0.78 \, \text{m/s} \end{aligned}

Points de vigilance :

Dérivation correcte : La dérivée de $k^{1/2}$ est $\frac{1}{2}k^{-1/2}$. Une erreur de dérivation est la source la plus commune d'erreur dans ce calcul.

Le saviez-vous ?

Résultat : La vitesse de groupe est $v_g \approx 0.78 \, \text{m/s}$, soit la moitié de la vitesse de phase.

Simulation de la Dispersion

Ajustez la fréquence centrale du paquet d'ondes et observez comment la vitesse de phase et la vitesse de groupe évoluent. Notez que pour ce milieu, la vitesse de groupe est toujours la moitié de la vitesse de phase.

Paramètres de l'Onde

Fréquence Centrale (1.0 Hz)

Vitesse de Phase

Vitesse de Groupe

Vitesses en fonction de la Fréquence

Pour Aller Plus Loin : La Dispersion Anormale

Quand le groupe dépasse la phase : Dans notre exemple, $v_g < v_{\varphi}$, ce qui est appelé "dispersion normale". Il existe des systèmes physiques, notamment près des fréquences de résonance d'un matériau, où l'on peut avoir une "dispersion anormale", avec $v_g > v_{\varphi}$. Dans des cas encore plus exotiques, la vitesse de groupe peut même devenir négative, signifiant que l'enveloppe du paquet semble se propager en sens inverse des crêtes individuelles !

Le Saviez-Vous ?

Les pulsars sont des étoiles à neutrons en rotation rapide qui émettent des impulsions radio. Le milieu interstellaire est dispersif pour les ondes radio. En mesurant le retard d'arrivée des basses fréquences par rapport aux hautes fréquences d'une même impulsion, les astronomes peuvent calculer la vitesse de groupe et en déduire la distance qui nous sépare du pulsar avec une grande précision.

Foire Aux Questions (FAQ)

Le son dans l'air est-il vraiment non-dispersif ?

Pour les fréquences audibles, oui, c'est une excellente approximation. La vitesse du son est quasiment constante. Cependant, pour les ultrasons à très haute fréquence (MHz), l'absorption atmosphérique devient si forte et si dépendante de la fréquence que le milieu devient notablement dispersif.

Quelle est la vitesse qui compte pour l'effet Doppler ?

C'est la vitesse de phase. L'effet Doppler est un décalage de la fréquence perçue d'une onde monochromatique en raison du mouvement relatif de la source et de l'observateur. Il concerne donc la propagation des phases de l'onde.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un milieu non-dispersif :

La vitesse de groupe est nulle.
La vitesse de phase et la vitesse de groupe sont égales.
La vitesse de phase est le double de la vitesse de groupe.

2. La vitesse qui représente la propagation de l'énergie d'un signal est :

La vitesse de phase.
La vitesse du son dans le vide.
La vitesse de groupe.

Glossaire

Vitesse de Phase ($v_{\varphi}$): Vitesse à laquelle un point de phase constante (par exemple, une crête) d'une onde monochromatique se propage. Elle est donnée par $v_{\varphi} = \omega/k$.
Vitesse de Groupe ($v_g$): Vitesse à laquelle l'enveloppe d'un paquet d'ondes, et donc son énergie, se propage. Elle est donnée par la dérivée $v_g = d\omega/dk$.
Milieu Dispersif: Milieu dans lequel la vitesse de phase d'une onde dépend de sa fréquence. Dans un tel milieu, $v_{\varphi} \neq v_g$.
Relation de Dispersion: Relation mathématique qui lie la pulsation $\omega$ au nombre d'onde $k$ pour un type d'onde dans un milieu donné. Elle contient toute l'information sur la propagation.
Paquet d'Ondes: Onde localisée dans l'espace et le temps, formée par la superposition d'une multitude d'ondes monochromatiques de fréquences proches.

D’autres exercices d’acoustique fondamentale:

Analyse des vitesses de phase et de groupe

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Paquet d'Ondes et ses Vitesses

Questions à traiter

Correction : Analyse des vitesses de phase et de groupe

Question 1 : Calcul de \(\omega_0\) et \(k_0\)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Calcul de la Vitesse de Phase (\(v_{\varphi}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Calcul de la Vitesse de Groupe (\(v_g\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation de la Dispersion

Paramètres de l'Onde

Vitesses en fonction de la Fréquence

Pour Aller Plus Loin : La Dispersion Anormale

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

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