Barre Défilante Acoustique

📢Acoustique Appliquée 〰️Acoustique Fondamentale 🎵Acoustique Musicale 🐦Bioacoustique 🎙️Électroacoustique & Signal 👂Psychoacoustique 📢Acoustique Appliquée 〰️Acoustique Fondamentale 🎵Acoustique Musicale 🐦Bioacoustique 🎙️Électroacoustique & Signal 👂Psychoacoustique 📢Acoustique Appliquée 〰️Acoustique Fondamentale 🎵Acoustique Musicale 🐦Bioacoustique 🎙️Électroacoustique & Signal 👂Psychoacoustique

Analyse du champ acoustique d’un piston

Analyse du Champ Acoustique d'un Piston

Analyse du champ acoustique d’un piston

Contexte : Le Piston BaffléUn piston (source) vibrant dans un écran rigide infini (baffle). C'est un modèle théorique fondamental pour les haut-parleurs..

Le modèle du piston circulaire vibrant dans un baffle (écran) infini est fondamental en acoustique. Il sert de base théorique pour comprendre le rayonnement sonore de nombreuses sources, notamment les haut-parleurs. Cet exercice vise à analyser la pression acoustique générée par un tel piston, en explorant les concepts de champ proche, de champ lointain et de directivité.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer et à visualiser la pression acoustique générée par un piston, en distinguant le comportement de l'onde sonore près de la source (champ proche) et loin de la source (champ lointain).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer le modèle du piston bafflé.
Calculer les grandeurs fondamentales (longueur d'onde, impédance).
Calculer la pression acoustique sur l'axe du piston.
Distinguer le champ proche du champ lointain via la distance de Rayleigh.
Analyser la pression en champ lointain et valider les approximations.

Données de l'étude

On étudie un piston circulaire de rayon \(a\) vibrant à une fréquence \(f\) avec une vitesse particulaire uniforme \(v_0\) (supposée réelle et constante sur la surface). Il est monté sur un baffle infini et rayonne dans l'air, considéré comme un fluide parfait de masse volumique \(\rho_0\) et de vitesse du son \(c_0\).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Rayon du piston (\(a\))	10 cm
Fréquence de vibration (\(f\))	1000 Hz
Vitesse du piston (\(v_0\))	0.1 m/s

Schéma du Piston Bafflé

[Nom du Paramètre]	[Description ou Formule]	[Valeur]	[Unité]
Masse volumique de l'air (\(\rho_0\))	Fluide de propagation	1.2	kg/m³
Vitesse du son dans l'air (\(c_0\))	Fluide de propagation	340	m/s

Questions à traiter

Calculer le nombre d'onde \(k\) et la longueur d'onde \(\lambda\).
Calculer l'impédance acoustique caractéristique du milieu \(Z_0 = \rho_0 c_0\).
Calculer l'amplitude de la pression acoustique \(|p(0, z)|\) sur l'axe (\(r=0\)) à une distance \(z = 2\) m.
Calculer la distance de Rayleigh \(R_0 = S/\lambda\) (avec \(S=\pi a^2\)) et déterminer si le point de la Q3 est en champ proche ou lointain.
Calculer l'amplitude de la pression en champ lointain sur l'axe en utilisant l'approximation \( |p(0, z)| \approx \frac{Z_0 v_0 S}{\lambda z} \) et comparer le résultat à celui de la Q3.

Les bases sur le Rayonnement Acoustique

Pour résoudre cet exercice, nous utilisons des résultats issus de l'intégrale de Rayleigh. Cette intégrale calcule la pression rayonnée par une surface vibrante en additionnant les contributions de toutes les petites sources (dS) qui la composent.

1. Intégrale de Rayleigh
La pression complexe \(p(\vec{r})\) en un point \(M\) est la somme (intégrale) des ondes sphériques émises par chaque élément de surface \(dS\) du piston vibrant à la vitesse \(v_n(S)\) : \[ \underline{p}(M) = \frac{j \omega \rho_0}{2\pi} \iint_S v_n(S) \frac{e^{-jkR}}{R} dS \] où \(R\) est la distance entre l'élément de surface \(dS\) et le point \(M\). C'est le principe de Huygens appliqué à l'acoustique.

2. Pression sur l'axe d'un piston (\(r=0\))
Pour un piston circulaire de rayon \(a\) avec une vitesse \(v_0\) uniforme, l'intégrale se simplifie considérablement sur l'axe de symétrie (\(r=0\)). Le calcul montre que l'amplitude (le module) de la pression est donnée par : \[ |p(0, z)| = 2 \rho_0 c_0 v_0 \left| \sin\left( \frac{k}{2} \left( \sqrt{z^2+a^2} - z \right) \right) \right| \] Le terme \(\sqrt{z^2+a^2}\) représente la distance entre le bord du piston et le point sur l'axe, tandis que \(z\) est la distance du centre du piston au point. La différence \(\sqrt{z^2+a^2} - z\) est la différence de marche entre les ondes venant du bord et du centre. Le facteur \(\frac{k}{2}\) la transforme en une différence de phase. Le sinus traduit l'interférence entre ces ondes.

Correction : Analyse du champ acoustique d’un piston

Question 1 : Calculer le nombre d'onde \(k\) et la longueur d'onde \(\lambda\).

Principe

Le but ici est de déterminer les caractéristiques spatiales de l'onde acoustique à partir de ses caractéristiques temporelles (fréquence) et des propriétés du milieu (vitesse du son). La longueur d'onde \(\lambda\) représente la "taille" d'un cycle de l'onde dans l'espace, tandis que le nombre d'onde \(k\) indique à quelle vitesse la phase de l'onde change lorsque l'on se déplace dans l'espace.

Mini-Cours

L'onde acoustique est une perturbation qui se propage. Sa vitesse de propagation dans l'air est \(c_0\). Si elle oscille à une fréquence \(f\) (nombre d'oscillations par seconde), alors pendant une oscillation (une période \(T = 1/f\)), l'onde parcourt une distance \(\lambda = c_0 \times T = c_0 / f\). C'est la longueur d'onde. Le nombre d'onde \(k\) est une mesure de la variation spatiale de la phase. Une onde est souvent décrite par \(e^{j(\omega t - kx)}\). On voit que \(k\) est le pendant spatial de la pulsation temporelle \(\omega\). Comme \(\omega = 2\pi f\), on a \(k = \omega / c_0 = 2\pi f / c_0 = 2\pi / \lambda\). Il est exprimé en radians par mètre.

Remarque Pédagogique

Visualisez la longueur d'onde comme la distance entre deux crêtes successives d'une vague. La fréquence est le nombre de crêtes passant en un point par seconde. Le nombre d'onde est lié à la "densité" des crêtes dans l'espace. Il est crucial de bien distinguer ces concepts temporel (\(f\)) et spatial (\(k, \lambda\)).

Normes

Ces définitions sont universelles en physique ondulatoire et ne dépendent pas de normes spécifiques.

Formule(s)

Nous utilisons les relations fondamentales reliant fréquence, vitesse et longueur d'onde, ainsi que la définition du nombre d'onde.

Longueur d'onde

\lambda = \frac{c_0}{f}

Nombre d'onde

k = \frac{2\pi f}{c_0} = \frac{\omega}{c_0} = \frac{2\pi}{\lambda}

Hypothèses

La seule hypothèse implicite est que la vitesse du son \(c_0\) est constante pour la fréquence considérée. C'est généralement une excellente approximation pour l'air dans les conditions usuelles (milieu non dispersif).

Donnée(s)

On extrait de l'énoncé les valeurs de la vitesse du son \(c_0\) et de la fréquence \(f\).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse du son	\(c_0\)	340	m/s
Fréquence	\(f\)	1000	Hz

Astuces

Une bonne habitude est de vérifier l'homogénéité des unités : \( \lambda [\text{m}] = \frac{c_0 [\text{m/s}]}{f [1/\text{s}]} \). Les unités sont cohérentes. Pour \(k\), \( k [\text{rad/m}] = \frac{2\pi [\text{rad}]}{\lambda [\text{m}]} \), c'est aussi cohérent.

Schéma (Avant les calculs)

Un schéma n'est pas indispensable ici, mais on pourrait imaginer une sinusoïde représentant l'onde dans l'espace pour visualiser \(\lambda\).

Calcul(s)

On applique directement les formules avec les valeurs numériques fournies.

Étape 1 : Calcul de la longueur d'onde \(\lambda\)

\begin{aligned} \lambda &= \frac{c_0}{f} \\ &= \frac{340 \text{ m/s}}{1000 \text{ Hz}} \\ &= 0.34 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du nombre d'onde \(k\)

\begin{aligned} k &= \frac{2\pi}{\lambda} \\ &= \frac{2\pi}{0.34 \text{ m}} \\ &\approx 18.479\dots \text{ rad/m} \end{aligned}

On garde une précision suffisante pour les calculs suivants, par exemple \(k \approx 18.48\) rad/m.

Schéma (Après les calculs)

Non pertinent pour ce calcul.

Réflexions

Une longueur d'onde de 34 cm est obtenue pour une fréquence de 1 kHz dans l'air. C'est une dimension typique en acoustique audio. Le nombre d'onde \(k \approx 18.48\) rad/m signifie que sur une distance de 1 mètre, la phase de l'onde varie de 18.48 radians (soit \(18.48 / (2\pi) \approx 2.94\) cycles complets).

Points de vigilance

La confusion la plus fréquente est entre \(k = \omega/c_0\) et \(\omega = 2\pi f\). Assurez-vous d'utiliser la bonne formule et les bonnes unités (rad/m pour \(k\), rad/s pour \(\omega\), Hz pour \(f\)).

Points à retenir

Relations Fondamentales :

La longueur d'onde \(\lambda\) diminue quand la fréquence \(f\) augmente (\(\lambda = c_0 / f\)).
Le nombre d'onde \(k\) augmente quand la fréquence \(f\) augmente (\(k = 2\pi f / c_0\)).

Le saviez-vous ?

Le nombre d'onde \(k\) est aussi appelé "constante de phase spatiale". Il apparaît naturellement dans l'équation d'onde (Helmholtz) \(\Delta p + k^2 p = 0\) en régime harmonique, jouant un rôle similaire à la pulsation \(\omega\) dans l'équation temporelle.

FAQ

Questions courantes liées à ces grandeurs.

Résultat Final

La longueur d'onde est \(\lambda = 0.34\) m et le nombre d'onde est \(k \approx 18.48\) rad/m.

A vous de jouer

Si la fréquence était de 2000 Hz, que vaudrait la longueur d'onde \(\lambda\) ? (Indice : Que se passe-t-il quand on double la fréquence ?)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Description spatiale (\(\lambda\), \(k\)) vs temporelle (\(f\), \(\omega\)).
Formules Essentielles : \(\lambda = c_0/f\), \(k = 2\pi/\lambda = \omega/c_0\).
Unités : \(\lambda\) [m], \(k\) [rad/m], \(f\) [Hz], \(\omega\) [rad/s].

Question 2 : Calculer l'impédance acoustique caractéristique du milieu \(Z_0 = \rho_0 c_0\).

Principe

L'impédance acoustique caractéristique, notée \(Z_0\), est une propriété fondamentale du milieu dans lequel l'onde sonore se propage. Elle quantifie la relation entre la pression acoustique et la vitesse des particules du fluide pour une onde simple (onde plane progressive). Intuitivement, elle représente la "résistance" que le milieu oppose à la mise en mouvement par l'onde acoustique.

Mini-Cours

Imaginez une onde plane se propageant dans un fluide. La pression \(p\) fait osciller les particules de fluide avec une vitesse \(v\). L'impédance caractéristique \(Z_0\) est le rapport constant entre l'amplitude de la pression et l'amplitude de la vitesse pour cette onde plane : \(p/v = Z_0\). Cette relation est analogue à la loi d'Ohm en électricité (\(U = RI\)), où \(Z_0\) joue le rôle de la résistance \(R\), la pression \(p\) celui de la tension \(U\), et la vitesse \(v\) celui du courant \(I\). La formule \(Z_0 = \rho_0 c_0\) montre qu'elle dépend uniquement des propriétés intrinsèques du milieu : sa masse volumique \(\rho_0\) (inertie) et la vitesse du son \(c_0\) (élasticité).

Remarque Pédagogique

Il est crucial de distinguer \(Z_0\) de l'impédance acoustique (ou impédance de rayonnement) \(Z_a = p/Q\) (où \(Q\) est le débit volumique) ou de l'impédance mécanique \(Z_m = F/v\) (où \(F\) est la force). \(Z_0\) est une propriété du milieu, tandis que les autres impédances dépendent aussi de la source et de la géométrie.

Normes

La définition \(Z_0 = \rho_0 c_0\) est standard en acoustique et ne relève pas de normes spécifiques, mais de la physique fondamentale.

Formule(s)

Impédance acoustique caractéristique

Z_0 = \rho_0 c_0

Elle relie pression et vitesse particulaire pour une onde plane : \(p = Z_0 v\).

Hypothèses

La définition \(Z_0 = \rho_0 c_0\) est dérivée en supposant un fluide parfait (non visqueux), homogène et isotrope, pour une onde plane progressive.

Donnée(s)

On utilise les propriétés de l'air données dans l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse volumique	\(\rho_0\)	1.2	kg/m³
Vitesse du son	\(c_0\)	340	m/s

Astuces

L'unité de \(Z_0\) est le kg·m\(^{-2}\)·s\(^{-1}\), qui est aussi appelé le Rayl (en l'honneur de Lord Rayleigh). On peut vérifier que c'est équivalent à Pa·s/m : \( \text{Pa} \cdot \text{s/m} = (\text{N/m}^2) \cdot (\text{s/m}) = (\text{kg} \cdot \text{m/s}^2 / \text{m}^2) \cdot (\text{s/m}) = \text{kg} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{s}^{-1} \).

Schéma (Avant les calculs)

Non nécessaire.

Calcul(s)

Application directe de la définition

\begin{aligned} Z_0 &= \rho_0 c_0 \\ &= 1.2 \text{ kg/m}^3 \times 340 \text{ m/s} \\ &= 408 \text{ kg} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{s}^{-1} \end{aligned}

Soit 408 Rayls MKS.

Schéma (Après les calculs)

Non nécessaire.

Réflexions

La valeur de \(Z_0 \approx 408\) Rayls pour l'air est une constante très importante en acoustique aérienne. Elle détermine l'amplitude de la pression générée par une source de vitesse donnée (ou vice-versa). Par exemple, une vitesse particulaire de 1 m/s dans une onde plane dans l'air correspond à une pression acoustique de 408 Pa.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser les unités du Système International (kg, m, s) pour \(\rho_0\) et \(c_0\) afin d'obtenir \(Z_0\) en Rayls MKS (ou Pa·s/m). Ne pas utiliser g/cm³ ou km/h !

Points à retenir

\(Z_0 = \rho_0 c_0\) caractérise la "résistance" du milieu à la propagation acoustique.
Elle relie \(p\) et \(v\) pour une onde plane : \(p=Z_0 v\).
Pour l'air : \(Z_0 \approx 400-410\) Rayls MKS (selon la température).

Le saviez-vous ?

L'adaptation d'impédance est cruciale pour le transfert d'énergie acoustique. L'oreille humaine possède un système complexe (tympan, osselets) pour adapter l'impédance de l'air (faible) à celle du fluide de l'oreille interne (cochlée, impédance proche de l'eau, beaucoup plus élevée). Sans cette adaptation, la plupart du son serait réfléchie par le tympan ! [Image de l'oreille humaine interne]

FAQ

Questions relatives à l'impédance.

Résultat Final

L'impédance acoustique caractéristique de l'air est \(Z_0 = 408\) Rayls (ou Pa·s/m).

A vous de jouer

L'hélium a une masse volumique \(\rho_0 \approx 0.17\) kg/m³ et une vitesse du son \(c_0 \approx 970\) m/s. Quelle est son impédance caractéristique \(Z_0\) ? (Environ 165 Rayls)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept : Impédance intrinsèque du milieu (\(Z_0\)).
Formule : \(Z_0 = \rho_0 c_0\).
Valeur pour l'air : \(\approx 408\) Rayls MKS.

Question 3 : Calculer l'amplitude de la pression acoustique \(|p(0, z)|\) sur l'axe (\(r=0\)) à une distance \(z = 2\) m.

Principe

Il s'agit d'appliquer la formule spécifique qui donne la pression acoustique générée par un piston bafflé, mais uniquement sur son axe de symétrie (\(r=0\)). Cette formule est une simplification de l'intégrale de Rayleigh pour ce cas particulier et fait intervenir la différence de marche entre les ondes émises par le centre et par le bord du piston.

Mini-Cours

La formule \( |p(0, z)| = 2 Z_0 v_0 \left| \sin\left( \frac{k}{2} \left( \sqrt{z^2+a^2} - z \right) \right) \right| \) résulte de l'intégration des contributions de tous les points de la surface du piston. Le terme \(2 Z_0 v_0\) représente l'amplitude de pression maximale possible (qui serait atteinte si toutes les contributions arrivaient en phase). Le terme en sinus module cette amplitude en fonction des interférences (constructives ou destructives) dues aux différences de chemin \(\sqrt{z^2+a^2} - z\) entre le bord et le centre.

Remarque Pédagogique

Cette formule montre que la pression sur l'axe n'est pas simplement décroissante avec la distance. Le terme en sinus peut s'annuler périodiquement, créant des minima de pression sur l'axe en champ proche. Ces oscillations sont caractéristiques de l'interférence.

Normes

La formule est un résultat théorique standard, pas une norme.

Formule(s)

Amplitude de pression sur l'axe du piston

|p(0, z)| = 2 Z_0 v_0 \left| \sin\left( \frac{k}{2} \left( \sqrt{z^2+a^2} - z \right) \right) \right|

Hypothèses

La formule suppose un piston parfaitement rigide vibrant uniformément (\(v_0\) constant sur \(S\)), monté sur un baffle infini parfaitement rigide, dans un fluide parfait. Ce sont des idéalisations courantes en acoustique théorique.

Donnée(s)

On rassemble toutes les valeurs nécessaires : \(Z_0\) (Q2), \(v_0\) (énoncé), \(k\) (Q1), \(a\) (énoncé), et la distance d'intérêt \(z=2\) m.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Impédance	\(Z_0\)	408	Pa·s/m
Vitesse piston	\(v_0\)	0.1	m/s
Nombre d'onde	\(k\)	18.48	rad/m
Rayon piston	\(a\)	0.1	m
Distance axiale	\(z\)	2	m

Astuces

Le terme \(\sqrt{z^2+a^2} - z\) représente la différence de marche. Pour \(z \gg a\) (loin du piston), on peut utiliser l'approximation \(\sqrt{z^2+a^2} - z \approx \frac{a^2}{2z}\). Cela simplifie grandement l'argument du sinus en \(\frac{k a^2}{4z}\). C'est la base de l'approximation en champ lointain (voir Q5).

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser sur le schéma de l'énoncé les distances \(z\) (centre au point M sur l'axe) et \(\sqrt{z^2+a^2}\) (bord au point M sur l'axe).

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la distance depuis le bord \(\sqrt{z^2+a^2}\)

\begin{aligned} \sqrt{z^2+a^2} &= \sqrt{2^2 + 0.1^2} \\ &= \sqrt{4 + 0.01} \\ &= \sqrt{4.01} \\ &\approx 2.002498 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la différence de marche et de l'argument du sinus

\begin{aligned} \text{Diff Marche} &= \sqrt{z^2+a^2} - z \\ &\approx 2.002498 - 2 \\ &= 0.002498 \text{ m} \\ \\ \text{Argument Sinus} &= \frac{k}{2} \times \text{Diff Marche} \\ &= \frac{18.48}{2} \times 0.002498 \\ &= 9.24 \times 0.002498 \\ &\approx 0.02308 \text{ rad} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul final de l'amplitude de pression

\begin{aligned} |p(0, 2)| &= 2 \times Z_0 \times v_0 \times |\sin(\text{Argument})| \\ &= 2 \times 408 \times 0.1 \times |\sin(0.02308)| \\ &= 81.6 \times |0.023079...| \quad (\text{Attention, } \sin(x) \approx x \text{ mais utiliser la valeur calculée}) \\ &\approx 81.6 \times 0.023079 \\ &\approx 1.883 \text{ Pa} \end{aligned}

Réflexions

La pression calculée (1.88 Pa) est significativement plus faible que \(2 Z_0 v_0 = 81.6\) Pa. Ceci est dû au fait que l'argument du sinus (0.023 rad) est très petit. Cela indique que, bien que les ondes du centre et du bord parcourent des chemins légèrement différents, la différence de phase résultante est faible à cette distance, mais suffisante pour que l'interférence ne soit pas parfaitement constructive.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre la calculatrice en mode RADIAN lors du calcul du sinus, car l'argument \(\frac{k}{2}(\dots)\) est naturellement en radians. Une autre erreur est une mauvaise gestion des unités (cm vs m).

Points à retenir

La pression sur l'axe dépend des interférences entre les ondes issues des différentes parties du piston.
La formule \( |p(0, z)| = 2 Z_0 v_0 |\sin(\dots)| \) est spécifique à l'axe (\(r=0\)).

Le saviez-vous ?

La zone où la pression oscille fortement sur l'axe (champ proche) contient des maxima et des minima. Le dernier maximum axial (le plus éloigné) se situe approximativement à la distance \(z \approx a^2/\lambda\). Dans notre cas, \(a^2/\lambda = (0.1)^2 / 0.34 \approx 0.029\) m (soit 2.9 cm). Au-delà, la pression tend à décroître.

FAQ

...

Résultat Final

L'amplitude de la pression acoustique à \(z = 2\) m sur l'axe est \(|p(0, 2\text{m})| \approx 1.88\) Pa.

A vous de jouer

En utilisant la formule exacte, calculez la pression à \(z = 0.05\) m (environ 5 cm). Vous devriez trouver une valeur beaucoup plus grande qu'à 2m. (Réponse attendue \(\approx 56.6\) Pa)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

Objectif : Pression sur l'axe (formule exacte).
Formule Clé : \( |p(0, z)| = 2 Z_0 v_0 |\sin(\frac{k}{2}(\sqrt{z^2+a^2}-z))| \).
Attention : Mode RADIAN pour le sinus.

Question 4 : Calculer la distance de Rayleigh \(R_0 = S/\lambda\) et déterminer si le point Q3 est en champ proche ou lointain.

Principe

La distance de Rayleigh \(R_0\) sert de critère pratique pour séparer deux régions distinctes du champ acoustique rayonné par une source étendue : le champ proche, où les effets d'interférence et la géométrie de la source dominent, et le champ lointain, où l'onde se comporte de manière plus simple, comme si elle émanait d'une source ponctuelle. Calculer \(R_0\) et la comparer à la distance d'observation \(z\) permet de situer le point d'observation dans l'une ou l'autre de ces zones.

Mini-Cours

Le champ acoustique près d'une source étendue (comme notre piston) est complexe. Les ondes issues des différentes parties de la source arrivent au point d'observation avec des phases différentes, créant des interférences. Cette zone complexe est le champ proche (ou zone de Fresnel). À mesure que l'on s'éloigne (\(z\) augmente), les différences de chemin relatives deviennent plus petites par rapport à la distance globale, et les fronts d'onde tendent à devenir sphériques. C'est le champ lointain (ou zone de Fraunhofer). La distance de Rayleigh \(R_0 = S/\lambda\) est une estimation de la frontière entre ces deux zones. Si \(z \ll R_0\), on est en champ proche. Si \(z \gg R_0\), on est en champ lointain.

Remarque Pédagogique

La transition entre champ proche et lointain n'est pas abrupte mais progressive. \(R_0\) n'est qu'un ordre de grandeur. Parfois, on considère être en champ lointain pour \(z > R_0\), parfois il faut \(z > 2 R_0\) ou même plus, selon la précision souhaitée. L'important est de comprendre le changement qualitatif du comportement de l'onde.

Normes

La définition \(R_0 = S/\lambda\) est une convention courante, mais pas une norme au sens réglementaire.

Formule(s)

Surface du piston (circulaire)

S = \pi a^2

Distance de Rayleigh

R_0 = \frac{S}{\lambda} = \frac{\pi a^2}{\lambda}

Hypothèses

Cette définition de \(R_0\) est la plus pertinente lorsque la source est "grande" devant la longueur d'onde (\(ka \gtrsim 1\)), car c'est dans ce cas que les effets de champ proche sont marqués.

Donnée(s)

On a besoin du rayon \(a\) (énoncé) et de la longueur d'onde \(\lambda\) (calculée en Q1).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rayon piston	\(a\)	0.1	m
Longueur d'onde	\(\lambda\)	0.34	m

Astuces

On peut aussi exprimer \(R_0\) en utilisant \(k\). Comme \(\lambda = 2\pi/k\), on a \(R_0 = \frac{\pi a^2}{2\pi/k} = \frac{ka^2}{2}\). Cela peut être pratique si \(k\) est déjà calculé.

Schéma (Avant les calculs)

On peut imaginer l'axe \(z\) partant du piston, avec une zone proche jusqu'à \(R_0\) et une zone lointaine au-delà.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la surface \(S\) du piston

\begin{aligned} S &= \pi \times a^2 \\ &= \pi \times (0.1 \text{ m})^2 \\ &= \pi \times 0.01 \text{ m}^2 \\ &\approx 0.031416 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la distance de Rayleigh \(R_0\)

\begin{aligned} R_0 &= \frac{S}{\lambda} \\ &= \frac{0.031416 \text{ m}^2}{0.34 \text{ m}} \\ &\approx 0.0924 \text{ m} \end{aligned}

Donc \(R_0 \approx 9.2\) cm.

Étape 3 : Comparaison avec la distance \(z\) de la Q3

La distance étudiée en Q3 était \(z = 2\) m. On compare \(z\) à \(R_0\): \[ z = 2 \text{ m} \quad \text{et} \quad R_0 \approx 0.092 \text{ m} \] Clairemment, \(z \gg R_0\). Le rapport \(z/R_0 \approx 2 / 0.092 \approx 21.7\).

Schéma (Après les calculs)

On peut ajouter le point \(z=2\)m sur l'axe \(z\) du schéma précédent, montrant qu'il est bien au-delà de \(R_0=0.092\)m.

Réflexions

Puisque \(z\) est plus de 20 fois supérieur à \(R_0\), le point d'observation à 2 mètres est sans ambiguïté situé dans le champ lointain acoustique du piston pour cette fréquence. On s'attend donc à ce que la pression y ait un comportement "simple", typique du champ lointain (décroissance régulière, front d'onde quasi-sphérique).

Points de vigilance

Vérifiez les unités : si \(S\) est en m² et \(\lambda\) en m, \(R_0\) sera bien en m. Attention si le rayon \(a\) est donné en cm.

Points à retenir

La distance de Rayleigh \(R_0 = S/\lambda\) sépare le champ proche (complexe, \(z < R_0\)) du champ lointain (simple, \(z > R_0\)).
Cette distance dépend de la taille de la source (\(S\)) et de la longueur d'onde (\(\lambda\)).

Le saviez-vous ?

Pour une source petite devant la longueur d'onde (\(ka \ll 1\)), la distance de Rayleigh \(R_0\) devient très petite. La source se comporte alors comme une source ponctuelle (monopôle) même à des distances relativement faibles. À l'inverse, pour une source très grande (\(ka \gg 1\)), \(R_0\) est grande et le champ proche s'étend loin.

FAQ

Questions sur la transition champ proche/lointain.

Résultat Final

La distance de Rayleigh est \(R_0 \approx 0.092\) m (ou 9.2 cm). Puisque \(z = 2 \text{ m} \gg R_0\), le point étudié en Q3 est situé en champ lointain.

A vous de jouer

Si la fréquence était de 100 Hz (\(\lambda = 3.4\) m), quelle serait la distance de Rayleigh \(R_0\) pour le même piston (\(a=0.1\) m) ? Serait-on en champ proche ou lointain à \(z=2\)m ? (Rép: \(R_0 \approx 0.009\) m, donc \(z=2\)m est encore plus en champ lointain).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

Concept : Frontière Champ Proche / Champ Lointain.
Formule : \(R_0 = S/\lambda = \pi a^2 / \lambda\).
Critère : Comparer \(z\) à \(R_0\).

Question 5 : Calculer la pression en champ lointain sur l'axe avec l'approximation \( |p(0, z)| \approx \frac{Z_0 v_0 S}{\lambda z} \) et comparer.

Principe

Ayant établi en Q4 que le point \(z=2\)m est en champ lointain, on peut utiliser une formule simplifiée (asymptotique) de la pression sur l'axe, valable spécifiquement dans cette zone. Cette approximation est dérivée de la formule exacte (Q3) en considérant \(z \gg a\). Le but est de vérifier la validité de cette approximation en comparant son résultat à celui obtenu avec la formule exacte.

Mini-Cours

Lorsque \(z\) est grand devant \(a\), la différence de marche \(\sqrt{z^2+a^2} - z\) devient petite. En utilisant un développement limité (\(\sqrt{1+x} \approx 1+x/2\) pour \(x\) petit), on a \(\sqrt{z^2+a^2} = z\sqrt{1+(a/z)^2} \approx z(1 + \frac{1}{2}(a/z)^2) = z + \frac{a^2}{2z}\). La différence de marche est donc \(\approx a^2/(2z)\). L'argument du sinus dans la formule exacte devient \(\frac{k}{2} \times \frac{a^2}{2z} = \frac{k a^2}{4z}\). Si cet argument est petit (ce qui est vrai si \(z\) est suffisamment grand), on peut utiliser l'approximation \(\sin(x) \approx x\). La formule exacte \(|p(0, z)| = 2 Z_0 v_0 |\sin(\frac{k a^2}{4z})|\) devient alors \(|p(0, z)| \approx 2 Z_0 v_0 |\frac{k a^2}{4z}| = \frac{Z_0 v_0 k a^2}{2z}\). En remplaçant \(S = \pi a^2\) et \(k = 2\pi/\lambda\), on obtient \(|p(0, z)| \approx \frac{Z_0 v_0 (2\pi/\lambda) (\pi a^2)}{2\pi z} = \frac{Z_0 v_0 S}{\lambda z}\).

Remarque Pédagogique

L'approximation est d'autant meilleure que \(z\) est grand devant \(R_0\). Cette formule simplifiée est très utile pour comprendre le comportement en champ lointain : la pression est proportionnelle à \(Z_0\), \(v_0\), \(S\), inversement proportionnelle à \(\lambda\) (donc proportionnelle à \(f\)) et surtout, elle décroît en \(1/z\).

Normes

Résultat théorique classique.

Formule(s)

Amplitude de pression sur l'axe, approximation Champ Lointain

|p(0, z)|_{CL} \approx \frac{Z_0 v_0 S}{\lambda z}

Hypothèses

L'approximation est rigoureusement valable pour \(z \rightarrow \infty\). En pratique, elle est considérée bonne si \(z \gg R_0\) (par exemple, \(z > 2 R_0\) ou \(z > 3 R_0\) selon la précision requise).

Donnée(s)

On utilise toutes les valeurs calculées ou données précédemment : \(Z_0\), \(v_0\), \(S\) (ou \(a\)), \(\lambda\), et \(z=2\) m.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Impédance	\(Z_0\)	408	Pa·s/m
Vitesse piston	\(v_0\)	0.1	m/s
Surface piston	\(S\)	0.031416	m²
Longueur d'onde	\(\lambda\)	0.34	m
Distance axiale	\(z\)	2	m

Astuces

Le calcul est direct. Il faut juste veiller à la cohérence des unités.

Schéma (Avant les calculs)

Non nécessaire.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du produit \(Z_0 v_0 S\)

\begin{aligned} Z_0 v_0 S &= 408 \text{ Pa·s/m} \times 0.1 \text{ m/s} \times 0.031416 \text{ m}^2 \\ &\approx 1.2818 \text{ Pa} \cdot \text{m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du produit \(\lambda z\)

\begin{aligned} \lambda z &= 0.34 \text{ m} \times 2 \text{ m} \\ &= 0.68 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de la pression approchée

\begin{aligned} |p(0, 2)|_{CL} &\approx \frac{Z_0 v_0 S}{\lambda z} \\ &= \frac{1.2818 \text{ Pa} \cdot \text{m}^2}{0.68 \text{ m}^2} \\ &\approx 1.885 \text{ Pa} \end{aligned}

Étape 4 : Comparaison avec le résultat exact (Q3)

Résultat exact (Q3) : \(|p(0, 2)| \approx 1.883\) Pa.
Résultat approché (Q5) : \(|p(0, 2)|_{CL} \approx 1.885\) Pa.
L'erreur relative est \( \frac{|1.885 - 1.883|}{1.883} \approx \frac{0.002}{1.883} \approx 0.001 \), soit environ 0.1%.

Schéma (Après les calculs)

On pourrait tracer sur un graphique la pression exacte (formule Q3) et la pression approchée (formule Q5) en fonction de \(z\). On verrait que les deux courbes coïncident pour \(z \gg R_0\).

Réflexions

L'accord entre la valeur exacte et la valeur approchée est excellent (erreur d'environ 0.1%). Cela confirme que \(z=2\)m est bien dans la zone de validité de l'approximation de champ lointain. Cette approximation simplifie considérablement l'analyse du comportement de la source à grande distance.

Points de vigilance

Ne pas utiliser cette approximation en champ proche (\(z \lesssim R_0\)), où elle serait très inaccurate car elle ne capture pas les oscillations dues aux interférences.

Points à retenir

L'approximation \( |p(0, z)| \approx \frac{Z_0 v_0 S}{\lambda z} \) est simple et précise en champ lointain sur l'axe.
Elle met en évidence la décroissance en \(1/z\) de la pression.
Elle montre la dépendance proportionnelle à la vitesse \(v_0\), à la surface \(S\) et à la fréquence \(f=c_0/\lambda\).

Le saviez-vous ?

Hors de l'axe (\(r \neq 0\)), la pression en champ lointain s'écrit \( |p(r, \theta)| \approx \frac{Z_0 v_0 S}{\lambda R} \times |D(\theta)| \), où \(R = \sqrt{r^2+z^2}\) est la distance au centre du piston et \(D(\theta)\) est la fonction de directivité, qui dépend de l'angle \(\theta\) par rapport à l'axe. Pour un piston, \(D(\theta) = \frac{2 J_1(ka \sin\theta)}{ka \sin\theta}\), où \(J_1\) est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 1.

FAQ

...

Résultat Final

L'amplitude de pression calculée avec l'approximation champ lointain est \(|p(0, 2\text{m})|_{CL} \approx 1.89\) Pa. La comparaison avec le résultat exact (\(\approx 1.88\) Pa) montre une excellente concordance, validant l'approximation à cette distance.

A vous de jouer

Calculez l'erreur relative de l'approximation en champ lointain si on l'utilisait (à tort) en champ proche, par exemple à \(z = R_0 \approx 0.092\) m. Calculez \(|p(0, R_0)|\) avec la formule exacte et avec la formule approchée, puis leur différence relative. (Valeur exacte \(\approx 71.9\) Pa, Valeur approx \(\approx 41.0\) Pa, Erreur \(\approx 43\%\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

Approximation CL (Axe) : \( |p| \approx \frac{Z_0 v_0 S}{\lambda z} \).
Validité : Excellente pour \(z \gg R_0\), mauvaise pour \(z \lesssim R_0\).
Comportement : Pression \(\propto 1/z\).

Outil Interactif : Pression sur l'Axe

Ce simulateur calcule et trace l'amplitude de la pression \(|p(0, z)|\) sur l'axe du piston en fonction de la distance \(z\), en utilisant la formule exacte. Vous pouvez faire varier le rayon du piston et la fréquence pour observer leur influence sur le champ proche (oscillations) et le champ lointain (décroissance), ainsi que sur la distance de Rayleigh \(R_0\).

Paramètres d'Entrée

Rayon \(a\) (cm) 10 cm

Fréquence \(f\) (Hz) 1000 Hz

Note: \(v_0=0.1\) m/s, \(c_0=340\) m/s, \(\rho_0=1.2\) kg/m³.

Résultats Clés

Distance de Rayleigh \(R_0\) (m) -

Pression Max Théorique \(2Z_0v_0\) (Pa) -

Paramètre \(ka\) -

Glossaire

Baffle: Écran rigide (supposé infini dans ce modèle) sur lequel le piston est monté. Il empêche le son rayonné par l'arrière du piston d'interférer avec le son rayonné vers l'avant (évite le "court-circuit acoustique" à basse fréquence).
Champ Proche (Zone de Fresnel): Région proche de la source acoustique (typiquement pour des distances \(z < R_0\)) où les fronts d'onde sont complexes et non sphériques. L'amplitude de la pression présente des oscillations importantes dues aux interférences constructives et destructives entre les contributions des différentes parties de la source.
Champ Lointain (Zone de Fraunhofer): Région éloignée de la source acoustique (typiquement pour des distances \(z > R_0\)) où les fronts d'onde peuvent être considérés comme sphériques (ou plans localement). L'amplitude de la pression décroît de manière régulière avec la distance (en \(1/R\)) et la directivité de la source devient indépendante de la distance.
Directivité: Caractéristique d'une source sonore décrivant comment l'intensité du son rayonné varie en fonction de la direction. Une source omnidirectionnelle rayonne uniformément dans toutes les directions, tandis qu'une source directive concentre l'énergie sonore dans certaines directions privilégiées.
Distance de Rayleigh (\(R_0\)): Distance caractéristique (\(R_0 = S/\lambda\)) qui marque approximativement la transition entre le champ proche et le champ lointain pour une source de surface \(S\) rayonnant à la longueur d'onde \(\lambda\).
Impédance Acoustique Caractéristique (\(Z_0\)): Propriété intrinsèque du milieu de propagation, définie comme \(Z_0 = \rho_0 c_0\). Elle représente le rapport entre la pression acoustique et la vitesse particulaire pour une onde plane progressive. Son unité est le Rayl MKS (ou Pa·s/m). Pour l'air, \(Z_0 \approx 408\) Rayls.
Nombre d'onde (\(k\)): Quantité (\(k = \omega/c_0 = 2\pi/\lambda\)) représentant la variation spatiale de la phase de l'onde par unité de distance. Son unité est le rad/m.
Piston Bafflé: Modèle théorique d'une source acoustique constituée d'un disque plat (piston) vibrant de manière uniforme dans un plan rigide infini (baffle). C'est un modèle de base pour l'étude du rayonnement des haut-parleurs.

D’autres exercices d’acoustique fondamentale: