Analyse d’une onde de choc

Acoustique : Analyse d'une onde de choc

Analyse d'une onde de choc

Contexte : Quand le Son Dépasse ses Limites

Dans l'acoustique linéaire habituelle, les ondes sonores sont de faibles perturbations qui se propagent sans altérer durablement le milieu. Cependant, pour des phénomènes très énergétiques (explosions, avions supersoniques), l'amplitude de l'onde devient si grande qu'elle n'est plus une petite perturbation. Elle forme une onde de chocOnde de pression se déplaçant plus vite que la vitesse du son locale, caractérisée par une discontinuité brutale de pression, de densité et de température., une discontinuité quasi-instantanée de pression, de densité et de température qui se propage à une vitesse supersonique. Pour décrire ce qui se passe à travers ce "mur" du son, les lois de l'acoustique simple ne suffisent plus. On doit utiliser les lois fondamentales de la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie, qui mènent aux conditions de Rankine-HugoniotEnsemble d'équations qui relient les états (pression, densité, vitesse...) d'un fluide de part et d'autre d'une onde de choc, basées sur les lois de conservation..

Remarque Pédagogique : Cet exercice passe de l'acoustique linéaire à la dynamique des gaz non-linéaire. Il montre comment les principes de conservation les plus fondamentaux de la physique permettent de modéliser des phénomènes extrêmes. Comprendre ces relations est essentiel en aéronautique, en astrophysique (supernovae) et dans l'étude des détonations.

Objectifs Pédagogiques

Définir une onde de choc et la différencier d'une onde sonore classique.
Comprendre et appliquer les trois lois de conservation à travers un front de choc.
Utiliser les relations de Rankine-Hugoniot pour un gaz parfait.
Calculer les sauts de pression, de densité et de température à travers une onde de choc.
Relier ces sauts au nombre de Mach de l'onde.

Données de l'étude

Une onde de choc plane se propage dans l'air au repos. Les conditions de l'air en amont (non perturbé, indice 1) sont :

Pression : $P_1 = 101325 \, \text{Pa}$ (pression atmosphérique standard)
Température : $T_1 = 293 \, \text{K}$ (20°C)
Masse volumique : $\rho_1 = 1.204 \, \text{kg/m}^3$

L'onde de choc se déplace à un nombre de MachRapport entre la vitesse d'un objet ou d'une onde et la vitesse du son dans le même milieu. M > 1 indique une vitesse supersonique. de $M=2$. L'air est considéré comme un gaz parfait avec un indice adiabatique $\gamma = 1.4$.

Front d'Onde de Choc

Questions à traiter

Calculer la vitesse de l'onde de choc $v_{\text{choc}}$ et la vitesse du son en amont $c_1$.
En utilisant les relations de Rankine-Hugoniot, calculer le rapport de pression $P_2/P_1$ à travers le choc. En déduire la pression $P_2$ dans la zone choquée.
Calculer le rapport de densité $\rho_2/\rho_1$ et en déduire la densité $\rho_2$.

Correction : Analyse d'une onde de choc

Question 1 : Calcul des Vitesses

Principe :

La première étape consiste à déterminer les vitesses caractéristiques du problème. La vitesse du son $c_1$ dans le milieu non perturbé dépend de ses propriétés thermodynamiques. La vitesse de l'onde de choc est ensuite directement déduite de la vitesse du son et du nombre de Mach.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le nombre de Mach est toujours calculé par rapport à la vitesse du son du milieu dans lequel l'onde se propage. Ici, c'est le milieu en amont (indice 1). La vitesse du son dans le milieu choqué (aval) sera différente car la température y sera plus élevée.

Formule(s) utilisée(s) :

c_1 = \sqrt{\frac{\gamma P_1}{\rho_1}}

v_{\text{choc}} = M \times c_1

Donnée(s) :

$P_1 = 101325 \, \text{Pa}$
$\rho_1 = 1.204 \, \text{kg/m}^3$
$\gamma = 1.4$
$M = 2$

Calcul(s) :

\begin{aligned} c_1 &= \sqrt{\frac{1.4 \times 101325}{1.204}} \\ &= \sqrt{\frac{141855}{1.204}} \\ &\approx \sqrt{117819.8} \\ &\approx 343.25 \, \text{m/s} \end{aligned}

\begin{aligned} v_{\text{choc}} &= 2 \times 343.25 \\ &= 686.5 \, \text{m/s} \end{aligned}

Points de vigilance :

Unités SI : Tous les calculs de thermodynamique et de dynamique des fluides exigent une utilisation rigoureuse des unités du Système International (Pascals, kg/m³, etc.) pour obtenir un résultat cohérent en m/s.

Le saviez-vous ?

Résultat : La vitesse du son est $c_1 \approx 343 \, \text{m/s}$ et la vitesse du choc est $v_{\text{choc}} \approx 687 \, \text{m/s}$.

Question 2 : Calcul du Saut de Pression

Principe :

La relation de Rankine-Hugoniot pour la pression relie le rapport des pressions $P_2/P_1$ au nombre de Mach du choc $M$. Elle est dérivée des lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie. Elle montre que le saut de pression est d'autant plus grand que le choc est fort (Mach élevé).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette formule est spécifique aux ondes de choc. Pour une onde sonore normale (M=1), le rapport $P_2/P_1$ vaut 1, ce qui signifie qu'il n'y a pas de saut de pression net. La formule montre bien que le phénomène de choc n'apparaît que pour $M > 1$.

Formule(s) utilisée(s) :

\frac{P_2}{P_1} = \frac{2\gamma M^2 - (\gamma - 1)}{\gamma + 1}

Donnée(s) :

$P_1 = 101325 \, \text{Pa}$
$\gamma = 1.4$
$M = 2$

Calcul(s) :

\begin{aligned} \frac{P_2}{P_1} &= \frac{2 \times 1.4 \times 2^2 - (1.4 - 1)}{1.4 + 1} \\ &= \frac{2.8 \times 4 - 0.4}{2.4} \\ &= \frac{11.2 - 0.4}{2.4} \\ &= \frac{10.8}{2.4} \\ &= 4.5 \end{aligned}

\begin{aligned} P_2 &= 4.5 \times P_1 \\ &= 4.5 \times 101325 \\ &= 455962.5 \, \text{Pa} \end{aligned}

Points de vigilance :

Attention aux parenthèses : La formule comporte plusieurs termes. Il faut être rigoureux dans l'ordre des opérations, en particulier avec le terme $(\gamma - 1)$.

Le saviez-vous ?

Résultat : Le rapport de pression est de 4.5. La pression dans la zone choquée est $P_2 \approx 456 \, \text{kPa}$.

Question 3 : Calcul du Saut de Densité

Principe :

De la même manière que pour la pression, il existe une relation de Rankine-Hugoniot pour la densité, qui relie le rapport des densités $\rho_2/\rho_1$ au nombre de Mach du choc $M$. Elle montre que le gaz est comprimé par le passage du choc.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Contrairement à la pression qui peut augmenter indéfiniment avec le Mach, le rapport de densité a une limite. Pour un gaz parfait avec $\gamma=1.4$, même pour un choc infiniment fort, le rapport de densité ne peut pas dépasser la valeur $(\gamma+1)/(\gamma-1) = 6$. Le gaz ne peut pas être comprimé indéfiniment.

Formule(s) utilisée(s) :

\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{(\gamma+1)M^2}{(\gamma-1)M^2 + 2}

Donnée(s) :

$\rho_1 = 1.204 \, \text{kg/m}^3$
$\gamma = 1.4$
$M = 2$

Calcul(s) :

\begin{aligned} \frac{\rho_2}{\rho_1} &= \frac{(1.4+1) \times 2^2}{(1.4-1) \times 2^2 + 2} \\ &= \frac{2.4 \times 4}{0.4 \times 4 + 2} \\ &= \frac{9.6}{1.6 + 2} \\ &= \frac{9.6}{3.6} \\ &\approx 2.667 \end{aligned}

\begin{aligned} \rho_2 &= 2.667 \times \rho_1 \\ &= 2.667 \times 1.204 \\ &\approx 3.21 \, \text{kg/m}^3 \end{aligned}

Points de vigilance :

Cohérence des formules : Il existe de nombreuses formes des relations de Rankine-Hugoniot, exprimées en fonction de différents paramètres (ratios de pression, de température, etc.). Il faut s'assurer d'utiliser la bonne formule correspondant aux données du problème.

Le saviez-vous ?

Résultat : Le rapport de densité est d'environ 2.67. La densité dans la zone choquée est $\rho_2 \approx 3.21 \, \text{kg/m}^3$.

Simulation d'une Onde de Choc

Faites varier le nombre de Mach du choc et observez comment les rapports de pression, de densité et de température évoluent. Notez que la densité est limitée alors que la pression et la température ne le sont pas.

Paramètres du Choc

Nombre de Mach (2.0)

Rapport de Pression (P₂/P₁)

Rapport de Densité (ρ₂/ρ₁)

Rapport de Température (T₂/T₁)

Évolution des Grandeurs avec le Mach

Pour Aller Plus Loin : L'Entropie et l'Irréversibilité

Un processus à sens unique : Les ondes sonores classiques sont des processus isentropiques (à entropie constante) et réversibles. Une onde de choc, en revanche, est un processus hautement irréversible. L'entropie augmente brutalement à travers le choc. C'est une manifestation du second principe de la thermodynamique : l'énergie cinétique ordonnée du flux est convertie en agitation thermique désordonnée (chaleur). C'est pourquoi on ne voit jamais d'onde de "détente" spontanée ; un choc ne peut que comprimer.

Le Saviez-Vous ?

Le claquement d'un fouet est en réalité un petit "bang" supersonique. Lorsque le bout du fouet est lancé, un effet de levier complexe accélère son extrémité à une vitesse supérieure à celle du son, créant une minuscule onde de choc que nous percevons comme un claquement sec.

Foire Aux Questions (FAQ)

Où sont passées les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement ?

Elles sont "cachées" à l'intérieur des formules de Rankine-Hugoniot. Ces formules finales sont le résultat de la combinaison algébrique des trois lois de conservation (masse, quantité de mouvement, énergie) pour éliminer les vitesses et ne garder que les variables thermodynamiques et le nombre de Mach.

Peut-on avoir un choc avec un Mach de 1 ?

Un Mach de 1 est la limite entre le son et le choc. Si vous entrez M=1 dans les formules de Rankine-Hugoniot, vous trouverez que les rapports de pression, densité et température sont tous égaux à 1. Cela signifie qu'il n'y a pas de "saut" : un choc de Mach 1 est simplement une onde sonore ordinaire.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Lorsqu'une onde de choc traverse un gaz, sa température :

Diminue.
Reste la même.
Augmente.

2. Les relations de Rankine-Hugoniot sont basées sur :

Les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie.
La loi des gaz parfaits uniquement.
Uniquement la conservation de l'entropie.

Glossaire

Onde de Choc: Onde de pression se déplaçant plus vite que la vitesse du son locale, caractérisée par une discontinuité brutale de pression, densité et température.
Conditions de Rankine-Hugoniot: Ensemble d'équations qui relient les états (pression, densité, vitesse...) d'un fluide de part et d'autre d'une onde de choc, basées sur les lois de conservation.
Nombre de Mach (M): Rapport entre la vitesse d'un objet ou d'une onde et la vitesse du son dans le même milieu. $M > 1$ indique une vitesse supersonique.
Indice Adiabatique ($\gamma$): Rapport des capacités thermiques d'un gaz ($C_p/C_v$). Il caractérise la réponse du gaz à la compression. Pour l'air, $\gamma \approx 1.4$.
Processus Irréversible: Processus thermodynamique qui ne peut pas revenir spontanément à son état initial et qui génère une augmentation de l'entropie totale du système.

D’autres exercices d’acoustique fondamentale:

Analyse d’une onde de choc

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Front d'Onde de Choc

Questions à traiter

Correction : Analyse d'une onde de choc

Question 1 : Calcul des Vitesses

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Calcul du Saut de Pression

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Calcul du Saut de Densité

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation d'une Onde de Choc

Paramètres du Choc

Évolution des Grandeurs avec le Mach

Pour Aller Plus Loin : L'Entropie et l'Irréversibilité

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

0 commentaires

Soumettre un commentaire Annuler la réponse

Utilisation de Nos Ressources – L’Essentiel à Retenir :