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Analyse Vibratoire d’une Poutre

Contexte : L'acoustique vibratoireBranche de l'acoustique qui étudie comment les vibrations d'une structure (murs, poutres, coques) génèrent du son..

En acoustique du bâtiment et des transports, la transmission du son par les structures est un enjeu majeur. Une poutre en acier (faisant partie d'un plancher ou d'un châssis) peut vibrer sous l'effet d'une excitation (moteur, pas...) et rayonner du bruit dans une pièce adjacente. Pour prédire ce rayonnement, il est crucial de connaître ses fréquences propresFréquences auxquelles un objet se met à vibrer naturellement avec une grande amplitude s'il est excité, même légèrement. C'est le phénomène de résonance..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la première fréquence propre d'une poutre simple, en décomposant le problème en ses briques fondamentales : la rigidité géométrique (Inertie \(I\)), la rigidité matérielle (Module \(E\)), et l'inertie massique (\(\mu\)).

Objectifs Pédagogiques

Calculer le moment d'inertiePropriété géométrique d'une section qui mesure sa capacité à résister à la flexion. Ne pas confondre avec l'inertie de masse. d'une section rectangulaire.
Calculer la masse linéique (\(\mu\)) d'une poutre.
Déterminer la rigidité en flexion (\(EI\)).
Comprendre l'influence des conditions aux limites (appuis simples) sur les modes propres.
Calculer la fréquence propre fondamentale (\(f_1\)) d'une poutre en appuis simples.

Données de l'étude

Nous étudions une poutre en acier de section rectangulaire, supposée en appuis simples (rotule-rotule) à ses deux extrémités.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Matériau	Acier S235
Conditions aux limites	Appuis simples (Rotule-Rotule)
Section	Rectangulaire pleine

Modélisation de la poutre (Profilé et Modèle RDM)

[Nom du Paramètre]	[Symbole]	[Valeur]	[Unité]
Longueur de la poutre	\(L\)	2.0	m
Largeur de section	\(b\)	50	mm
Hauteur de section	\(h\)	100	mm
Module d'Young (Acier)	\(E\)	210	GPa (soit \(210 \times 10^9 \text{ N/m}^2\))
Masse volumique (Acier)	\(\rho\)	7850	kg/m³

Questions à traiter

Calculer le moment d'inertiePropriété géométrique d'une section qui mesure sa capacité à résister à la flexion. Ne pas confondre avec l'inertie de masse. \(I\) de la section (en \(\text{m}^4\)).
Calculer la masse linéique \(\mu\) (en \(\text{kg/m}\)).
Calculer la rigidité en flexion \(EI\) (en \(\text{N} \cdot \text{m}^2\)).
Déterminer le coefficient modal \(\lambda_1 L\) pour le premier mode (mode fondamental, \(n=1\)).
Calculer la première fréquence propreFréquence à laquelle un objet se met à vibrer naturellement avec une grande amplitude s'il est excité, même légèrement. C'est le phénomène de résonance. \(f_1\) (en \(\text{Hz}\)).

Les bases sur la vibration des poutres

La vibration d'une poutre est régie par l'équation d'Euler-Bernoulli, qui est une équation aux dérivées partielles. La recherche des modes propres (\(f_n\)) revient à trouver des solutions non triviales à l'équation simplifiée (équation de Helmholtz pour les poutres) :

EI \frac{d^4 \phi(x)}{dx^4} - \mu \omega^2 \phi(x) = 0

1. Fréquence propre (Formule générale)
La solution générale pour les fréquences propres (en Hz) d'une poutre est donnée par : \[ f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = \frac{(\lambda_n L)^2}{2\pi L^2} \sqrt{\frac{EI}{\mu}} \] Où :

\(EI\) est la rigidité en flexion (terme de raideur).
\(\mu\) est la masse linéique (terme d'inertie).
\(L\) est la longueur de la poutre.
\(\lambda_n L\) est un coefficient modal qui dépend uniquement des conditions aux limites.

2. Coefficients Modaux (\(\lambda_n L\))
Ce coefficient change selon la façon dont la poutre est tenue :

Appuis Simples (cet exercice) : \(\lambda_n L = n\pi\) (soit \(\pi, 2\pi, 3\pi, ...\))
Encastrée - Encastrée : \(\lambda_n L \approx 4.730, 7.853, ...\)
Encastrée - Libre (type "poteau") : \(\lambda_n L \approx 1.875, 4.694, ...\)

Correction : Analyse Vibratoire d’une Poutre

Question 1 : Calculer le moment d'inertie \(I\) (en \(\text{m}^4\))

Principe

Le moment d'inertie (ou moment quadratique), noté \(I\), est une propriété purement géométrique. Il décrit comment la matière est répartie autour d'un axe de flexion. Pour la flexion verticale (autour de l'axe \(z\)), plus la section est haute, plus \(I\) augmente (en puissance 3 !), et plus la poutre est rigide.

Mini-Cours

Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), le moment d'inertie pour une flexion autour de l'axe passant par le centre de gravité (l'axe le plus "rigide") est donné par la formule \(I = \frac{b \cdot h^3}{12}\). Si la poutre fléchissait "sur le côté" (autour de l'axe y), la formule serait \(I_y = \frac{h \cdot b^3}{12}\), ce qui donnerait une valeur bien plus faible.

Remarque Pédagogique

Cette première étape consiste à isoler la "rigidité géométrique". On ne s'intéresse ni au matériau (\(E\)), ni à la masse (\(\rho\)), ni à la longueur (\(L\)). On regarde uniquement la forme de la section transversale. Le résultat de ce calcul (\(I\)) sera crucial pour la Q3 (calcul de \(EI\)).

Normes

Ce calcul est une base de la Résistance des Matériaux (RDM), utilisée dans toutes les normes de structure (Eurocodes, CM66, etc.) pour évaluer la rigidité en flexion. La formule \(bh^3/12\) est un standard.

Formule(s)

Moment d'inertie (section rectangulaire)

I = \frac{b \cdot h^3}{12}

Source : Formulaire standard de RDM.

Hypothèses

Nous calculons le moment d'inertie par rapport à l'axe de plus grande rigidité (flexion "normale", axe horizontal passant par le centre de gravité), car c'est lui qui dicte les vibrations de plus basse fréquence (les plus critiques).

Donnée(s)

Nous devons convertir les millimètres (mm) en mètres (m) pour respecter les unités SI (Système International). Ces valeurs proviennent du tableau "Données de l'étude".

Paramètre	Symbole	Valeur (Énoncé)	Valeur (SI)	Source
Largeur	\(b\)	50 mm	0.05 m	Énoncé
Hauteur	\(h\)	100 mm	0.10 m	Énoncé

Astuces

Il est crucial de convertir les dimensions en mètres AVANT de les mettre au cube. \(100 \text{ mm} = 0.1 \text{ m}\). Si vous calculez en mm (\(I = 50 \cdot 100^3 / 12\)) puis convertissez à la fin, vous devez diviser par \(1000^4\) (soit \(10^{12}\)), ce qui est une source d'erreur majeure. Faites la conversion simple \(\text{mm} \rightarrow \text{m}\) en premier.

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur la section transversale et l'axe de flexion (en rouge). C'est la hauteur \(h\) qui est élevée à la puissance 3.

Section Transversale et Axe de Flexion

Calcul(s)

Étape 1 : Formule de base

I = \frac{b \cdot h^3}{12}

Étape 2 : On insère les valeurs en mètres (voir table Données).

I = \frac{(0.05 \text{ m}) \cdot (0.10 \text{ m})^3}{12}

Étape 3 : On résout la puissance 3.

I = \frac{0.05 \cdot (0.10 \cdot 0.10 \cdot 0.10)}{12} \text{ m}^4 = \frac{0.05 \cdot 0.001}{12} \text{ m}^4

Étape 4 : Résultat du numérateur.

I = \frac{0.00005}{12} \text{ m}^4

Étape 5 : Division finale et notation scientifique.

I \approx 0.000004167 \text{ m}^4 \approx 4.167 \times 10^{-6} \text{ m}^4

Schéma (Après les calculs)

Le calcul de \(I\) ne produit pas de schéma de résultat en soi, mais confirme la propriété géométrique visualisée avant le calcul.

Visualisation de \(I\)

Réflexions

L'unité est \(\text{m}^4\), ce qui est normal (un produit de 4 longueurs, \(b \cdot h^3 \rightarrow \text{m} \cdot \text{m}^3 = \text{m}^4\)). C'est une très petite valeur, mais c'est l'ordre de grandeur attendu pour des sections de cette taille. Cette valeur \(I\) représente la rigidité *géométrique* de la poutre : sa résistance à la flexion due à sa forme.

Points de vigilance

Attention à ne pas inverser \(b\) et \(h\). La hauteur \(h\) (100 mm) est la dimension dans la direction de la flexion (celle qui est au cube). Une erreur ici change radicalement le résultat.

Points à retenir

Le moment d'inertie \(I\) mesure la rigidité de la *forme* de la poutre. Il augmente comme le cube de la hauteur (\(h^3\)). Doubler la hauteur rend la poutre \(2^3 = 8\) fois plus rigide !

Le saviez-vous ?

C'est pour maximiser ce \(I\) (et donc la rigidité) sans ajouter trop de matière (et donc de masse \(\mu\)) que l'on utilise des profilés en "I" (type IPN ou IPE). La matière est concentrée le plus loin possible de l'axe de flexion, là où elle est le plus "efficace" (car elle est au cube dans la formule).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

Le moment d'inertie de la section est \(I \approx 4.167 \times 10^{-6} \text{ m}^4\).

A vous de jouer

Que se passerait-il si on "couchait" la poutre ? Calculez l'inertie \(I_y\) (flexion latérale) avec \(b=100 \text{ mm}\) et \(h=50 \text{ mm}\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

Concept : Moment d'inertie (Rigidité géométrique).
Formule : \(I = b h^3 / 12\).
Vigilance : Convertir les \(\text{mm}\) en \(\text{m}\) AVANT le calcul.

Question 2 : Calculer la masse linéique \(\mu\) (en \(\text{kg/m}\))

Principe

La masse linéique \(\mu\) (parfois notée \(\rho S\)) représente la masse de la poutre par unité de longueur. C'est le terme "inerte" dans l'équation de vibration : plus la poutre est lourde, plus elle sera "lente" à vibrer et plus ses fréquences propres seront basses.

Mini-Cours

La masse volumique \(\rho\) (en \(\text{kg/m}^3\)) est une propriété du matériau (ici, l'acier). L'aire de la section \(S\) (en \(\text{m}^2\)) est une propriété géométrique. Le produit des deux donne la masse contenue dans un "cylindre" de section \(S\) et de longueur 1 mètre, ce qui est la définition de la masse linéique.

Remarque Pédagogique

Cette étape isole le "terme massique". On ne s'intéresse qu'à la masse, indépendamment de la rigidité (\(E\)) ou de la longueur (\(L\)). C'est l'opposé de la raideur : plus ce terme est élevé, plus la fréquence baisse.

Normes

La masse volumique de l'acier (7850 kg/m³) est une valeur standardisée, reconnue internationalement (ex: Eurocode 3). Elle est fournie dans l'énoncé.

Formule(s)

Aire de la section (S)

S = b \cdot h

Source : Formulaire géométrique standard.

Masse linéique (\(\mu\))

\mu = \rho \cdot S

Source : Définition de la masse linéique.

Hypothèses

On suppose que la poutre est homogène, c'est-à-dire que sa masse volumique \(\rho\) est constante en tout point.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et les conversions en unités SI (m, kg, N). \(\rho\) est une propriété de l'acier.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Masse volumique	\(\rho\)	7850	kg/m³	Énoncé (Standard Acier)
Largeur	\(b\)	0.05	m	Énoncé (converti en Q1)
Hauteur	\(h\)	0.10	m	Énoncé (converti en Q1)

Astuces

Calculez d'abord l'aire \(S\) en \(\text{m}^2\). Vérifiez ensuite les unités : \( (\text{kg/m}^3) \cdot \text{m}^2 = \text{kg/m} \). Le résultat est bien une masse par unité de longueur. Cette analyse dimensionnelle simple permet d'éviter 90% des erreurs.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser la masse linéique \(\mu\) comme la masse d'un "tronçon" de 1 mètre de long. Le volume de ce tronçon est \(V_1 = S \cdot 1\text{m}\), et sa masse est \(m_1 = \rho \cdot V_1 = \rho \cdot S \cdot 1\text{m}\).

Visualisation de la Masse Linéique \(\mu\)

Calcul(s)

Étape 1.1 : Formule de l'aire de la section \(S\)

S = b \cdot h

Étape 1.2 : On insère les valeurs en mètres (voir table Données).

S = 0.05 \text{ m} \cdot 0.10 \text{ m} = 0.005 \text{ m}^2

(L'unité est \(\text{m} \times \text{m} = \text{m}^2\))

Étape 2.1 : Formule de la masse linéique \(\mu\)

\mu = \rho \cdot S

Étape 2.2 : On insère \(\rho\) (énoncé) et l'aire \(S\) (calcul ci-dessus).

\mu = 7850 \text{ kg/m}^3 \cdot 0.005 \text{ m}^2 = 39.25 \text{ kg/m}

(Analyse d'unités: \((\text{kg/m}^3) \cdot \text{m}^2 = \text{kg/m}\))

Schéma (Après les calculs)

Le calcul de \(\mu\) confirme la masse par mètre. On peut le visualiser comme un poids sur la poutre, représentant l'inertie.

Visualisation de \(\mu\) (Terme d'Inertie)

Réflexions

Ce résultat signifie que chaque mètre de cette poutre en acier pèse 39.25 kg. Cela semble cohérent pour une section de 5x10 cm en acier. Si la poutre fait 2m (donnée de l'énoncé), sa masse totale sera de \(M = \mu \cdot L = 39.25 \times 2 = 78.5 \text{ kg}\).

Points de vigilance

Assurez-vous que la masse volumique est en \(\text{kg/m}^3\) et que l'aire est en \(\text{m}^2\) pour obtenir des \(\text{kg/m}\). Ne mélangez pas avec des \(\text{g/cm}^3\) ou des \(\text{mm}^2\).

Points à retenir

La masse linéique \(\mu\) est le terme d'inertie dans l'équation des vibrations.
Elle se calcule par \(\mu = \rho \cdot S\).
Elle est proportionnelle à la masse volumique \(\rho\) (propriété du matériau) et à l'aire de la section \(S\) (géométrie).

Le saviez-vous ?

Pour les profilés normalisés (IPN, IPE, HEA...), les fabricants fournissent directement cette valeur \(\mu\) (appelée "Poids par mètre") dans leurs catalogues, ce qui évite d'avoir à la calculer à partir de \(\rho\) et \(S\).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La masse linéique de la poutre est \(\mu = 39.25 \text{ kg/m}\).

A vous de jouer

Quelle serait la masse linéique \(\mu\) si la poutre était en Aluminium (\(\rho_{\text{Alu}} \approx 2700 \text{ kg/m}^3\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

Concept : Masse linéique (Inertie massique).
Formule : \(\mu = \rho \cdot S = \rho \cdot (b \cdot h)\).
Unité : \(\text{kg/m}\).

Question 3 : Calculer la rigidité en flexion \(EI\) (en \(\text{N} \cdot \text{m}^2\))

Principe

La rigidité en flexion, notée \(EI\), est le terme qui combine la rigidité du matériau (Module d'Young, \(E\)) et la rigidité de la forme géométrique (Moment d'inertie, \(I\)). C'est le terme "ressort" (raideur) de la poutre. Plus \(EI\) est élevé, plus la poutre est rigide et plus ses fréquences propres seront hautes.

Mini-Cours

En RDM, la courbure \(\kappa\) (l'inverse du rayon de courbure) d'une poutre est liée au moment fléchissant \(M\) par la relation \(M = EI \kappa\). Le terme \(EI\) est donc le facteur de proportionnalité entre le moment appliqué et la courbure résultante. C'est la mesure fondamentale de la raideur en flexion.

Remarque Pédagogique

Nous assemblons ici la "rigidité matériau" (\(E\)) et la "rigidité géométrique" (\(I\)) calculée en Q1. Le résultat \(EI\) est la raideur globale de la section. Notez qu'on n'a toujours pas besoin de la longueur \(L\) ni de la masse \(\rho\).

Normes

Le Module d'Young de l'acier (\(E\)) est une constante matérielle fondamentale, fixée à 210 GPa (ou 210 000 MPa) dans la plupart des codes de calcul, dont l'Eurocode 3. Il est donné dans l'énoncé.

Formule(s)

Rigidité en flexion

\text{Rigidité} = E \cdot I

Source : Définition de la rigidité en flexion (Théorie d'Euler-Bernoulli).

Hypothèses

On suppose que le matériau est Linéaire, Élastique, Homogène et Isotrope (comportement "LEHI"), ce qui justifie l'utilisation d'un Module d'Young \(E\) constant.

Donnée(s)

Nous utilisons la donnée \(E\) de l'énoncé et le résultat \(I\) de la Q1, en veillant à la cohérence des unités (Pascals = \(\text{N/m}^2\)).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Module d'Young	\(E\)	210 GPa	\(210 \times 10^9 \text{ N/m}^2\)	Énoncé (Standard Acier)
Moment d'inertie	\(I\)	\(4.167 \times 10^{-6}\)	\(\text{m}^4\)	Résultat Q1

Astuces

Rappelez-vous que Giga (G) signifie \(10^9\). Un GigaPascal (GPa) est égal à \(10^9 \text{ N/m}^2\). C'est l'unité SI standard pour le module d'Young. Vérifiez l'homogénéité : \((\text{N/m}^2) \cdot \text{m}^4 = \text{N} \cdot \text{m}^2\). L'unité finale est correcte.

Schéma (Avant les calculs)

Ce calcul combine la propriété du matériau \(E\) (sa "dureté" intrinsèque) et la propriété de forme \(I\) (sa "rigidité" géométrique) pour donner la raideur globale \(EI\).

Composition de la Rigidité en Flexion \(EI\)

Calcul(s)

Étape 1 : Formule de la rigidité en flexion

EI = E \cdot I

Étape 2 : On insère E (énoncé) et I (de Q1).

EI = (210 \times 10^9 \text{ N/m}^2) \cdot (4.167 \times 10^{-6} \text{ m}^4)

Étape 3 : On regroupe les nombres et les puissances.

EI = (210 \cdot 4.167) \times (10^9 \cdot 10^{-6}) \text{ N} \cdot \text{m}^{(4-2)}

Étape 4 : On multiplie les nombres et additionne les exposants.

EI = 875.07 \times 10^{(9-6)} \text{ N} \cdot \text{m}^2 = 875.07 \times 10^3 \text{ N} \cdot \text{m}^2

Étape 5 : Résultat final (avec 3 chiffres significatifs).

EI = 875070 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \approx 8.75 \times 10^5 \text{ N} \cdot \text{m}^2

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(EI\) est un nombre. Il quantifie la relation entre un Moment \(M\) appliqué et la Courbure \(\kappa\) (inverse du rayon R) qui en résulte. Un \(EI\) élevé signifie qu'il faut un grand moment pour courber la poutre.

Signification Physique de EI

Réflexions

L'unité \(\text{N} \cdot \text{m}^2\) est l'unité de la rigidité en flexion. C'est une valeur élevée (875 070 \(\text{N} \cdot \text{m}^2\)), indiquant que la poutre est très rigide, comme on peut s'y attendre pour une poutre en acier de 10 cm de haut. C'est le terme de "raideur" que nous utiliserons en Q5.

Points de vigilance

Vérifiez bien les exposants de vos puissances de 10. \(10^9 \times 10^{-6} = 10^{(9-6)} = 10^3\). Une erreur ici est très fréquente et change radicalement le résultat.

Points à retenir

La rigidité en flexion \(EI\) combine la raideur du matériau (\(E\)) et de la géométrie (\(I\)).
C'est le terme de raideur "K" dans l'équation de vibration.

Le saviez-vous ?

Si on remplace l'acier par de l'aluminium (\(E \approx 70 \text{ GPa}\)), la rigidité \(EI\) sera 3 fois plus faible. Si on la remplace par du bois (\(E \approx 10 \text{ GPa}\)), elle sera 21 fois plus faible ! Le choix du matériau est primordial.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La rigidité en flexion de la poutre est \(EI \approx 8.75 \times 10^5 \text{ N} \cdot \text{m}^2\).

A vous de jouer

Quelle serait la rigidité \(EI\) si la poutre était en Aluminium (\(E_{\text{Alu}} \approx 70 \text{ GPa}\)) ? (Utilisez \(I\) de la Q1)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

Concept : Rigidité en flexion (Terme de raideur).
Formule : \(EI = E \cdot I\).
Unités : \(E\) en \(\text{Pa}\) (\(\text{N/m}^2\)), \(I\) en \(\text{m}^4\) \(\rightarrow\) \(EI\) en \(\text{N} \cdot \text{m}^2\).

Question 4 : Déterminer le coefficient modal \(\lambda_1 L\) pour le premier mode

Principe

Le coefficient \(\lambda_n L\) est un nombre sans dimension qui "règle" la forme de la déformée modale \(\phi(x)\) pour qu'elle respecte les conditions aux limites (comment la poutre est tenue). Chaque mode de vibration (\(n=1, 2, 3...\)) a sa propre forme et donc son propre coefficient.

Mini-Cours

Pour une poutre sur appuis simples aux deux bouts (\(x=0\) et \(x=L\)), les conditions sont :

Déplacement nul (l'appui bloque) : \(\phi(0) = 0\) et \(\phi(L) = 0\).
Moment de flexion nul (l'appui laisse tourner) : \(\phi''(0) = 0\) et \(\phi''(L) = 0\).

La fonction la plus simple qui respecte ces 4 conditions est une sinusoïde : \(\phi_n(x) = A \sin(\frac{n\pi x}{L})\). En injectant cela dans l'équation d'Euler-Bernoulli, on trouve que \(\lambda_n L = n \pi\).

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus "théorique" de l'exercice. Heureusement, ces coefficients sont donnés par des tables. Pour nous, le cas "Appuis Simples" est le cas de base. On retient juste que pour le premier mode (\(n=1\)), ce coefficient vaut \(\pi\).

Normes

Ce calcul est issu de la théorie des poutres d'Euler-Bernoulli, qui est la base de l'analyse vibratoire des structures élancées. La valeur \(\lambda_n L = n\pi\) pour les appuis simples est un résultat fondamental de cette théorie.

Formule(s)

Coefficient modal pour appuis simples

\lambda_n L = n \cdot \pi

Source : Résultat standard de la théorie des vibrations des poutres (voir Mini-Cours).

Hypothèses

Les conditions aux limites sont supposées "parfaites" : les appuis sont parfaitement fixes (pas de tassement) et parfaitement libres en rotation (pas de frottement).

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire est le numéro du mode recherché.

Mode \(n = 1\) (car on cherche le mode fondamental)
Conditions : Appuis simples (donné dans l'énoncé)

Astuces

Le premier mode est toujours le plus simple, le plus "lisse" (sans point d'inflexion) et celui qui a la plus basse fréquence. Il est presque toujours le plus critique en acoustique car il est le plus facile à exciter et rayonne le plus efficacement.

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons le coefficient pour le mode \(n=1\), qui correspond à la déformée la plus simple (une demi-sinusoïde) respectant les appuis simples (déplacement nul, rotation libre).

Premier Mode (n=1) sur Appuis Simples

Calcul(s)

Étape 1 : Formule pour appuis simples.

\lambda_n L = n \cdot \pi

Étape 2 : On remplace n=1 pour le premier mode.

\lambda_1 L = 1 \cdot \pi \approx 3.14159

(C'est un nombre sans dimension.)

Schéma (Après les calculs)

Le calcul \(\lambda_1 L = \pi\) confirme que la déformée modale \(\phi_1(x)\) est bien une demi-sinusoïde. Le schéma "Après les calculs" est donc identique au schéma "Avant les calculs", mais le coefficient \(\pi\) est maintenant une valeur calculée et confirmée.

Confirmation de la Forme Modale (n=1)

Réflexions

Le coefficient lui-même n'a pas de sens physique direct, mais il est la clé qui relie les conditions aux limites à la fréquence de vibration. Chaque type d'appui (encastré, libre...) a sa propre série de coefficients \(\lambda_n L\).

Points de vigilance

Ne confondez pas \(\lambda_n\) (en \(\text{m}^{-1}\)) et \(\lambda_n L\) (sans dimension). Les tables donnent presque toujours la valeur adimensionnelle \(\lambda_n L\), car elle est indépendante de la longueur.

Points à retenir

Pour des appuis simples (rotule-rotule), le coefficient modal est \(\lambda_n L = n\pi\).
Pour le premier mode (fondamental), \(n=1\), donc \(\lambda_1 L = \pi\).
C'est le coefficient le plus simple à retenir.

Le saviez-vous ?

Les modes d'une corde de guitare (cas "poutre sans rigidité" ou "corde vibrante") sont aussi des sinusoïdes \(\sin(\frac{n\pi x}{L})\). La grande différence est que les fréquences d'une corde sont \(f_n = n \cdot f_1\) (harmoniques), alors que pour une poutre \(f_n = \frac{(\lambda_n L)^2}{(\lambda_1 L)^2} \cdot f_1 = n^2 \cdot f_1\) (non-harmoniques). C'est ce qui donne aux poutres et aux cloches un son "métallique" inharmonieux.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes pour cette étape, avec des réponses claires pour lever tous les doutes.

Résultat Final

Le coefficient pour le premier mode est \(\lambda_1 L = \pi \approx 3.142\).

A vous de jouer

Quelle est la valeur du coefficient \(\lambda_n L\) pour le *deuxième* mode (\(n=2\)) de cette même poutre ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Coefficient modal (dépend des conditions aux limites).
Formule (Appuis Simples) : \(\lambda_n L = n\pi\).
Cas (n=1) : \(\lambda_1 L = \pi\).

Question 5 : Calculer la première fréquence propre \(f_1\) (en \(\text{Hz}\))

Principe

Nous avons maintenant tous les ingrédients : la raideur (\(EI\)), l'inertie (\(\mu\)), la géométrie (\(L\)) et le "facteur de forme" modal (\(\lambda_1 L\)). Nous pouvons assembler le tout pour trouver la fréquence à laquelle la poutre va vibrer naturellement.

Mini-Cours

La fréquence propre est fondamentalement proportionnelle à la racine carrée de la raideur (\(EI\)) divisée par l'inertie (\(\mu\)). Elle est aussi inversement proportionnelle au carré de la longueur (\(L^2\)), ce qui montre que la longueur est le paramètre le plus influent : une poutre deux fois plus longue est quatre fois plus "molle" en vibration.

Remarque Pédagogique

C'est l'objectif final. Toutes les étapes précédentes n'étaient que des calculs intermédiaires pour alimenter cette formule. C'est ici que l'on combine tout pour obtenir un résultat physique concret : une fréquence en Hertz (Hz), c'est-à-dire un nombre d'oscillations par seconde.

Normes

Le calcul des fréquences propres est fondamental en acoustique (pour éviter les coïncidences avec des bruits) et en génie civil (pour éviter la résonance sismique ou due au vent).

Formule(s)

Fréquence propre \(f_n\) (\(\text{Hz}\))

f_n = \frac{(\lambda_n L)^2}{2\pi L^2} \sqrt{\frac{EI}{\mu}}

Source : Formule générale des poutres (voir "Les bases").

Hypothèses

On suppose que la théorie d'Euler-Bernoulli est valide (poutre "élancée", petites déformations) et qu'il n'y a pas d'amortissement (la fréquence propre est calculée pour un système non amorti).

Donnée(s)

On rassemble tous nos résultats précédents pour \(n=1\).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Coefficient (\(n=1\))	\(\lambda_1 L\)	\(\pi \approx 3.142\)	-	Résultat Q4
Longueur	\(L\)	2.0	m	Énoncé
Rigidité flexion	\(EI\)	\(8.75 \times 10^5\)	\(\text{N} \cdot \text{m}^2\)	Résultat Q3
Masse linéique	\(\mu\)	39.25	kg/m	Résultat Q2

Astuces

La formule peut être simplifiée pour le cas appuis-simples (\(n=1\)) en remplaçant \(\lambda_1 L\) par \(\pi\) : \[ f_1 = \frac{\pi^2}{2\pi L^2} \sqrt{\frac{EI}{\mu}} = \frac{\pi}{2 L^2} \sqrt{\frac{EI}{\mu}} \] C'est souvent plus rapide à calculer.

Schéma (Avant les calculs)

On visualise la formule comme un assemblage de nos résultats précédents : le terme de raideur \(EI\), le terme de masse \(\mu\), et le terme géométrique/modal \(L\) et \(\lambda_1 L\).

Assemblage pour \(f_1\)

Calcul(s)

Étape 1.1 : Calcul du terme de raideur/inertie \(\sqrt{EI/\mu}\)

\text{Terme 1} = \sqrt{\frac{EI}{\mu}}

Étape 1.2 : On insère EI (Q3) et \(\mu\) (Q2).

\text{Terme 1} = \sqrt{\frac{8.7507 \times 10^5 \text{ N} \cdot \text{m}^2}{39.25 \text{ kg/m}}} = \sqrt{22294.7 \frac{\text{N} \cdot \text{m}^3}{\text{kg}}}

Étape 1.3 : Analyse d'unités: on décompose N en \(\text{kg} \cdot \text{m/s}^2\) et on simplifie.

\text{Terme 1} = \sqrt{22294.7 \frac{(\text{kg} \cdot \text{m/s}^2) \cdot \text{m}^3}{\text{kg}}} = \sqrt{22294.7 \frac{\text{m}^4}{\text{s}^2}}

Étape 1.4 : On prend la racine carrée. L'unité est \(\text{m}^2/\text{s}\).

\text{Terme 1} \approx 149.31 \text{ m}^2/\text{s}

Étape 2.1 : Calcul du terme modal/géométrique

\text{Terme 2} = \frac{(\lambda_1 L)^2}{2\pi L^2}

Étape 2.2 : On insère \(\lambda_1 L = \pi\) (Q4) et L (énoncé).

\text{Terme 2} = \frac{(\pi)^2}{2\pi \cdot (2.0 \text{ m})^2} = \frac{\pi^2}{2\pi \cdot 4 \text{ m}^2}

Étape 2.3 : On simplifie \(\pi\). (\(\pi^2/\pi = \pi\))

\text{Terme 2} = \frac{\pi}{8 \text{ m}^2} \approx \frac{3.14159}{8} \text{ m}^{-2} \approx 0.3927 \text{ m}^{-2}

Étape 3.1 : Calcul de la fréquence \(f_1\)

f_1 = \text{Terme 2} \cdot \text{Terme 1}

Étape 3.2 : On multiplie les deux termes.

f_1 = (0.3927 \text{ m}^{-2}) \cdot (149.31 \text{ m}^2/\text{s}) \approx 58.64 \text{ s}^{-1}

(Analyse d'unités: \(\text{m}^{-2} \cdot \text{m}^2/\text{s} = \text{s}^{-1}\))

Étape 3.3 : Conversion en Hertz (Car \(1 \text{ Hz} = 1 \text{ s}^{-1}\))

f_1 \approx 58.64 \text{ Hz}

Schéma (Après les calculs)

On peut représenter cette fréquence sur un spectre fréquentiel. C'est le premier "pic" de résonance de la structure.

Spectre de Résonance (Théorique)

Réflexions

La première fréquence propre de cette poutre est de 58.64 Hz. C'est une fréquence audible (dans les basses). Si un moteur ou un haut-parleur excite cette poutre à 58.64 Hz, elle entrera en résonance, vibrera avec une grande amplitude et rayonnera un son puissant. L'acousticien devra peut-être l'amortir (ajouter du "frottement") ou la rigidifier (changer \(h\)) pour déplacer cette fréquence.

Points de vigilance

La plus grande source d'erreur est la gestion des unités. Assurez-vous que tout est en unités SI (N, m, kg, s) avant le calcul final. \(EI\) doit être en \(\text{N} \cdot \text{m}^2\), \(\mu\) en \(\text{kg/m}\), et \(L\) en \(\text{m}\). Le résultat final sera en \(\text{s}^{-1}\), c'est-à-dire en Hertz (\(\text{Hz}\)).

Points à retenir

La fréquence \(f_1\) augmente avec la rigidité \(EI\).
La fréquence \(f_1\) diminue avec la masse \(\mu\).
La fréquence \(f_1\) diminue *très* rapidement avec la longueur (en \(1/L^2\)).

Le saviez-vous ?

C'est ce principe qui est utilisé pour accorder un piano. Le musicien ajuste la *tension* de la corde (ce qui augmente la "rigidité") pour augmenter la fréquence (la note devient plus aiguë). C'est le même principe, mais pour une corde (\(f_1 \propto \sqrt{\text{Tension}}\)) au lieu d'une poutre (\(f_1 \propto \sqrt{EI}\)).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La première fréquence propre de la poutre est \(f_1 \approx 58.6 \text{ Hz}\).

A vous de jouer

Que devient \(f_1\) si la poutre est *deux fois plus longue* (\(L = 4 \text{ m}\)) ? (Indice : la fréquence varie en \(1/L^2\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

Concept : Fréquence propre (Hz).
Formule : \( f_n = \frac{(\lambda_n L)^2}{2\pi L^2} \sqrt{\frac{EI}{\mu}} \).
Cas Appuis-Simples (\(n=1\)) : \( f_1 = \frac{\pi}{2 L^2} \sqrt{\frac{EI}{\mu}} \).

Outil Interactif : Simulateur de Fréquence Propre

Utilisez cet outil pour voir comment la longueur de la poutre et sa hauteur influencent la première fréquence propre (\(f_1\)). (La largeur \(b\) et les propriétés de l'acier sont fixes).

Paramètres d'Entrée

Longueur (L) (m) 2.0 m

Hauteur (h) (mm) 100 mm

Résultats Clés

Rigidité (EI) (\(\text{N} \cdot \text{m}^2\)) -

Masse Linéique (\(\mu\)) (\(\text{kg/m}\)) -

Fréquence Propre (f1) (Hz) -

Glossaire

Acoustique vibratoire: Branche de l'acoustique qui étudie comment les vibrations d'une structure (murs, poutres, coques) génèrent du son.
Conditions aux limites: La manière dont une structure est tenue à ses extrémités (ex: Appui simple, Encastrement, Libre). Ces conditions dictent la forme des modes propres.
Fréquence propre (\(f_n\)): Fréquence (en Hz) à laquelle un objet se met à vibrer naturellement avec une grande amplitude s'il est excité. C'est le phénomène de résonance.
Masse linéique (\(\mu\)): Masse de la poutre par unité de longueur (en kg/m). C'est le terme d'inertie dans l'équation de vibration. \(\mu = \rho \cdot S\).
Mode propre (ou Déformée modale): La forme spatiale spécifique que prend la poutre lorsqu'elle vibre à l'une de ses fréquences propres. Pour \(n=1\), c'est une demi-sinusoïde.
Module d'Young (\(E\)): Propriété d'un matériau qui mesure sa rigidité (sa capacité à résister à la déformation élastique). Unité : Pascal (Pa) or \(\text{N/m}^2\).
Moment d'inertie (\(I\)): Propriété géométrique d'une section (en \(\text{m}^4\)) qui mesure sa capacité à résister à la flexion. Plus \(I\) est grand, plus la section est rigide.
Pulsation propre (\(\omega_n\)): Fréquence angulaire de la vibration (en rad/s). Elle est liée à la fréquence \(f_n\) par la relation \(\omega_n = 2\pi f_n\).
Rigidité en flexion (\(EI\)): Le produit du module d'Young (\(E\)) et du moment d'inertie (\(I\)). C'est le terme de raideur "global" de la poutre (en \(\text{N} \cdot \text{m}^2\)).

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