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Application de l’analogie de Lighthill au bruit

Exercice: Analogie de Lighthill - Bruit d'un Jet

Application de l'Analogie de Lighthill au Bruit d'un Jet

Contexte : L'AéroacoustiqueBranche de l'acoustique qui étudie la génération de bruit par les écoulements d'air turbulents. et la modélisation du bruit des jets.

Le bruit généré par les moteurs d'avion est une préoccupation majeure pour l'environnement et la santé publique. Comprendre et prédire ce bruit est essentiel pour concevoir des moteurs plus silencieux. L'Analogie de LighthillThéorie fondamentale (1952) qui modélise le bruit généré par un écoulement turbulent comme un ensemble de sources sonores (quadripôles) dans un milieu au repos. est la pierre angulaire de l'aéroacoustique. Elle reformule les équations de la dynamique des fluides (Navier-Stokes) sous la forme d'une équation d'onde inhomogène, où l'écoulement turbulent lui-même agit comme une source de bruit.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la fameuse "loi en \(U^8\)" de Lighthill pour estimer la puissance acoustique totale d'un jet simple, et à comprendre la relation entre les paramètres de l'écoulement (vitesse, diamètre) et le bruit produit.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer la loi de Lighthill (loi en \(U^8\)) pour la puissance acoustique.
Calculer la puissance acoustique (\(W\)) et le niveau de puissance (\(L_w\)).
Comprendre l'impact exponentiel de la vitesse sur le bruit généré.
Estimer la fréquence principale du bruit de jet à l'aide du nombre de Strouhal.
Relier le niveau de puissance (\(L_w\)) au niveau de pression (\(L_p\)) à distance.

Données de l'étude

On étudie un jet d'air subsonique simple, sortant d'une tuyère circulaire à la température ambiante. On cherche à estimer les caractéristiques principales du bruit généré par ce jet.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de Problème	Acoustique Appliquée - Aéroacoustique
Modèle Théorique	Analogie de Lighthill (Loi en \(U^8\))
Fluide	Air (ambiant)

Schéma du Jet Sonore

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse d'éjection du jet	\(U\)	200	m/s
Diamètre de la tuyère	\(D\)	0.1	m
Densité de l'air (ambiante)	\(\rho_0\)	1.2	kg/m³
Célérité du son (ambiante)	\(c_0\)	340	m/s
Constante de Lighthill	\(K\)	\(5 \times 10^{-4}\)	(sans dim.)

Questions à traiter

Calculer la puissance acoustique \(W\) (en Watts) émise par le jet.
En déduire le niveau de puissance acoustique \(L_w\) (en dB), avec \(W_{ref} = 10^{-12}\) W.
La vitesse du jet est doublée (\(U' = 400\) m/s). Quelle est la nouvelle augmentation du niveau de puissance \(\Delta L_w\) (en dB) ?
Calculer la fréquence de pic \(f_p\) du spectre de bruit, en supposant un Nombre de StrouhalNombre adimensionnel \(St = fD/U\) qui caractérise la fréquence d'émission d'un écoulement. de pic \(St_p = 0.2\).
Estimer le niveau de pression acoustique \(L_p\) à une distance \(r = 50\) m de la source, en supposant une émission hémisphérique en champ libre (sur un sol parfaitement réfléchissant).

Les bases sur l'Analogie de Lighthill

L'analogie de Lighthill (1952) est l'acte fondateur de l'aéroacoustique. Elle réécrit les équations de Navier-Stokes pour isoler les termes d'un propagateur d'onde (opérateur de d'Alembert) d'un côté, et tous les autres termes (l'écoulement) de l'autre. Ce "reste" est appelé le tenseur de Lighthill, \(T_{ij}\), qui agit comme un terme source.

1. La Loi en \(U^8\)
Pour un jet subsonique, Lighthill a montré que la source de bruit est dominée par des termes de type quadripôleType de source sonore complexe, moins efficace qu'un monopole ou un dipôle, mais caractéristique du bruit turbulent.. L'analyse dimensionnelle de ces sources montre que la puissance acoustique totale (\(W\)) émise est proportionnelle à la 8ème puissance de la vitesse \(U\) : \[ W \propto \rho_0 U^8 D^2 c_0^{-5} \] Pour en faire une équation, on ajoute une constante de proportionnalité \(K\) (constante de Lighthill), qui dépend de la géométrie et de la turbulence. \[ W = K \cdot \frac{\rho_0 U^8 D^2}{c_0^5} \]

2. Niveaux en Décibels (dB) et Puissance/Pression
Les grandeurs acoustiques sont exprimées sur une échelle logarithmique (décibel).
Niveau de Puissance (\(L_w\)) : Caractérise la source elle-même. \[ L_w = 10 \log_{10} \left( \frac{W}{W_{ref}} \right) \quad \text{avec } W_{ref} = 10^{-12} \text{ W} \] Niveau de Pression (\(L_p\)) : Ce que l'on mesure à distance. Pour une source omnidirectionnelle en champ libre sur un sol réfléchissant (hémisphère de surface \(A = 2\pi r^2\)) : \[ L_p \approx L_w - 10 \log_{10}(2 \pi r^2) \]

Correction : Application de l'Analogie de Lighthill au Bruit d'un Jet

Question 1 : Calculer la puissance acoustique \(W\) (en Watts)

Principe

Nous allons appliquer directement la formule de la loi en \(U^8\) de Lighthill en utilisant les données de l'énoncé. C'est une application numérique directe.

Mini-Cours

La formule \(W = K \cdot \rho_0 U^8 D^2 / c_0^5\) est la formule clé. Elle relie les paramètres de l'écoulement (\(\rho_0, U, D\)) et du milieu (\(c_0\)) à la puissance acoustique totale \(W\) via une constante empirique \(K\).

Remarque Pédagogique

La difficulté de ce calcul ne réside pas dans la formule elle-même, mais dans la manipulation des grands nombres, en particulier \(U^8\) et \(c_0^5\). L'utilisation des puissances de 10 est essentielle.

Normes

Ce calcul est basé sur un modèle théorique (Lighthill) et non sur une norme de construction (comme l'Eurocode). Les normes acoustiques (ISO) définiraient plutôt comment *mesurer* ce bruit, mais ici nous le *calculons*.

Formule(s)

La seule formule nécessaire est la loi de Lighthill pour la puissance acoustique :

W = K \cdot \frac{\rho_0 U^8 D^2}{c_0^5}

Hypothèses

Nous formulons les hypothèses suivantes :

L'analogie de Lighthill est applicable (jet subsonique).
La constante \(K = 5 \times 10^{-4}\) est correcte pour ce type de jet.
L'air est un gaz parfait, et \(\rho_0\) et \(c_0\) sont constants.

Donnée(s)

Nous reprenons les données de l'énoncé dans le Système International (SI) :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Constante	\(K\)	\(5 \times 10^{-4}\)	-
Densité	\(\rho_0\)	1.2	kg/m³
Vitesse	\(U\)	200	m/s
Diamètre	\(D\)	0.1	m
Célérité	\(c_0\)	340	m/s

Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul, traitez les ordres de grandeur (puissances de 10) séparément des mantisses. \(U=200 = 2 \times 10^2\), \(c_0 = 340 \approx 3.4 \times 10^2\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma pertinent est celui de l'énoncé, qui identifie \(U\) et \(D\) comme les entrées du système physique qui produit du bruit.

Modèle d'Entrée/Sortie

Calcul(s)

Nous décomposons le calcul étape par étape pour plus de clarté.

Étape 1 : Calcul du numérateur (Termes de l'écoulement)

\begin{aligned} \text{Numérateur} &= K \cdot \rho_0 \cdot U^8 \cdot D^2 \\ &= (5 \times 10^{-4}) \cdot (1.2) \cdot (200)^8 \cdot (0.1)^2 \\ &= (5 \times 10^{-4}) \cdot (1.2) \cdot (2.56 \times 10^{18}) \cdot (0.01) \\ \text{Numérateur} &\approx 1.536 \times 10^{13} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du dénominateur (Termes du milieu)

\begin{aligned} \text{Dénominateur} &= c_0^5 \\ &= (340)^5 \\ &= 45,435,424,000,000 \\ &\approx 4.54 \times 10^{13} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de \(W\) (Division)

\begin{aligned} W &= \frac{\text{Numérateur}}{\text{Dénominateur}} \\ W &= \frac{1.536 \times 10^{13}}{4.54 \times 10^{13}} \\ W &\approx 0.338 \text{ W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul nous donne une valeur numérique pour la puissance totale émise.

Réflexions

Une puissance de 0.34 W peut sembler faible, mais elle est concentrée dans un écoulement. Convertie en décibels, nous verrons qu'elle est en fait très significative. C'est la nature logarithmique de notre audition.

Points de vigilance

Attention à \(D^2\) ! Ici \((0.1)^2 = 0.01\). Une erreur fréquente est d'oublier de mettre le diamètre au carré. De même, \(c_0^5\) est au dénominateur, il *réduit* le bruit. Un milieu avec un \(c_0\) élevé (comme l'eau) est un émetteur de bruit "inefficace".

Points à retenir

La puissance acoustique \(W\) est la première étape. Elle dépend très fortement de \(U\) (puissance 8) et de \(D\) (puissance 2).

Le saviez-vous ?

La loi en \(U^8\) a été une découverte révolutionnaire. Elle a expliqué pourquoi les premiers avions à réaction étaient si incroyablement bruyants : le bruit augmentait bien plus vite avec la vitesse que ce que les modèles précédents (dipôles, \(U^6\)) prévoyaient.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La puissance acoustique totale émise par le jet est \(W \approx 0.34\) W.

A vous de jouer

Si la constante \(K\) était en fait de \(8 \times 10^{-4}\), quelle serait la nouvelle puissance \(W\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Loi en \(U^8\) de Lighthill.
Formule Essentielle : \(W = K \cdot \rho_0 U^8 D^2 / c_0^5\).
Point de Vigilance Majeur : Les exposants (\(U^8\), \(D^2\), \(c_0^5\)).

Question 2 : En déduire le niveau de puissance acoustique \(L_w\) (en dB)

Principe

Convertir la puissance \(W\) (en Watts) en une valeur logarithmique (en dB) en utilisant la puissance de référence \(W_{ref}\).

Mini-Cours

L'échelle en décibels est utilisée car l'oreille humaine perçoit les sons de manière logarithmique. Un doublement de la puissance ne correspond pas à une sensation doublée. Le \(L_w\) est la mesure standard de la "force" d'une source sonore, indépendamment de la distance.

Remarque Pédagogique

Le calcul est \(10 \log_{10}(\text{ratio})\). N'oubliez pas le facteur 10. (C'est 20 pour la pression, mais 10 pour la puissance et l'intensité).

Normes

La référence \(W_{ref} = 10^{-12}\) W est une convention internationale (ISO).

Formule(s)

Conversion en Niveau de Puissance

L_w = 10 \log_{10} \left( \frac{W}{W_{ref}} \right)

Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse, nous utilisons le résultat de la Q1.

Donnée(s)

Nous avons calculé \(W \approx 0.338\) W. La référence est \(W_{ref} = 10^{-12}\) W.

Astuces

Utilisez les propriétés du logarithme : \(\log_{10}(A \times 10^B) = \log_{10}(A) + B\).

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nécessaire, c'est une conversion mathématique.

Calcul(s)

Étape 1 : Substitution dans la formule

L_w = 10 \log_{10} \left( \frac{W}{W_{ref}} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{0.338}{10^{-12}} \right)

Étape 2 : Simplification de la fraction

\frac{0.338}{10^{-12}} = 0.338 \times 10^{12}

Diviser par \(10^{-12}\) revient à multiplier par \(10^{12}\).

Étape 3 : Application des propriétés du logarithme

L_w = 10 \cdot \log_{10} (0.338 \times 10^{12})

On utilise \(\log(A \cdot B) = \log(A) + \log(B)\)

L_w = 10 \cdot \left[ \log_{10}(0.338) + \log_{10}(10^{12}) \right]

On utilise \(\log_{10}(10^x) = x\)

L_w = 10 \cdot \left[ \log_{10}(0.338) + 12 \right]

Étape 4 : Calcul final

Calculatrice : \(\log_{10}(0.338) \approx -0.471\)

\begin{aligned} L_w &\approx 10 \cdot [ -0.471 + 12 ] \\ L_w &\approx 10 \cdot [ 11.529 ] \\ L_w &\approx 115.3 \text{ dB} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut représenter cela sur une échelle de bruit.

Échelle de Bruit (Exemples)

Réflexions

115.3 dB est un niveau de puissance extrêmement élevé, comparable à un concert de rock ou à un marteau-piqueur. Cela confirme que même 0.34 W de puissance acoustique est considérable.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(10 \log\) (puissance/intensité) et \(20 \log\) (pression/tension). Ici, c'est une puissance, donc on utilise 10.

Points à retenir

\(L_w\) est la mesure standard de la puissance d'une source.
La référence est \(W_{ref} = 10^{-12}\) W.

Le saviez-vous ?

Le seuil de la douleur pour le son est d'environ 130 dB (\(L_p\)). Le seuil d'audition est de 0 dB. L'oreille humaine couvre une plage dynamique incroyable de \(10^{13}\) (10 000 milliards) en puissance !

FAQ

...

Résultat Final

Le niveau de puissance acoustique est \(L_w \approx 115.3\) dB.

A vous de jouer

Si une source a une puissance \(W = 1\) W, quel est son \(L_w\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Conversion Watts en Décibels.
Formule : \(L_w = 10 \log_{10} (W / 10^{-12})\).

Question 3 : La vitesse \(U\) est doublée. Quelle est l'augmentation \(\Delta L_w\) ?

Principe

Nous n'avons pas besoin de recalculer \(W'\) entièrement. Nous pouvons utiliser la relation de proportionnalité (\(W \propto U^8\)) pour trouver le *ratio* de puissance, puis le convertir en dB.

Mini-Cours

En acoustique, on travaille souvent avec des "delta" (des augmentations). L'augmentation en dB pour un ratio de puissance \(R = W' / W\) est \(\Delta L_w = 10 \log_{10}(R)\). Si la vitesse est doublée, \(U' = 2U\).

Remarque Pédagogique

C'est la "règle de la loi en \(U^8\)". Vous devriez pouvoir répondre à "que se passe-t-il si on double la vitesse ?" sans calculatrice. \(\Delta L_w = 10 \log_{10}(2^8) = 80 \log_{10}(2) \approx 80 \times 0.3 = 24\) dB.

Normes

Pas de norme applicable.

Formule(s)

Ratio de Puissance

\frac{W'}{W} = \frac{K \rho_0 (U')^8 D^2 / c_0^5}{K \rho_0 U^8 D^2 / c_0^5} = \left( \frac{U'}{U} \right)^8

Augmentation en dB

\Delta L_w = 10 \log_{10} \left( \frac{W'}{W} \right)

Hypothèses

On suppose que \(K, \rho_0, D, c_0\) restent constants. Seul \(U\) change.

Donnée(s)

\(U' = 2U\) (la vitesse double). \(L_w = 115.3\) dB (de Q2).

Astuces

Retenez \(\log_{10}(2) \approx 0.3\). C'est la base de tous les calculs de "doublement" en dB. (Doubler la puissance = +3 dB, Doubler la pression = +6 dB).

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison de deux cas.

Comparaison de Vitesse

Calcul(s)

Pour trouver le ratio, on divise la formule de \(W'\) (nouveau cas) par \(W\) (cas initial). Tous les termes identiques (\(K, \rho_0, D, c_0\)) s'annulent.

\frac{W'}{W} = \frac{K \cdot \rho_0 \cdot (U')^8 \cdot D^2 / c_0^5}{K \cdot \rho_0 \cdot U^8 \cdot D^2 / c_0^5} = \frac{(U')^8}{U^8} = \left( \frac{U'}{U} \right)^8

Étape 1 : Calcul du ratio de puissance

On sait que \(U' = 2U\), donc \((U'/U) = 2\).

\begin{aligned} \frac{W'}{W} &= \left( 2 \right)^8 \\ &= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\ &= 256 \end{aligned}

Étape 2 : Conversion du ratio en dB

\begin{aligned} \Delta L_w &= L_w' - L_w = 10 \log_{10} \left( \frac{W'}{W_{ref}} \right) - 10 \log_{10} \left( \frac{W}{W_{ref}} \right) \\ \Delta L_w &= 10 \log_{10} \left( \frac{W'}{W} \right) \\ \Delta L_w &= 10 \log_{10} (256) \end{aligned}

Calculatrice : \(\log_{10}(256) \approx 2.408\)

\Delta L_w \approx 10 \cdot (2.408) \approx 24.1 \text{ dB}

Étape 2 (Alternative plus rapide)

\Delta L_w = 10 \log_{10} (2^8)

On utilise \(\log(A^B) = B \cdot \log(A)\)

\Delta L_w = 10 \cdot 8 \cdot \log_{10}(2) = 80 \log_{10}(2)

Calculatrice : \(\log_{10}(2) \approx 0.301\)

\Delta L_w \approx 80 \cdot (0.301) \approx 24.08 \text{ dB}

Étape 3 : Nouveau \(L_w'\) (optionnel)

L_w' = L_w + \Delta L_w = 115.3 + 24.1 = 139.4 \text{ dB}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat confirme que le nouveau niveau est de 24.1 dB plus élevé.

A vous de jouer

Si on ne double que le *diamètre* \(D\) (et que \(W \propto D^2\)), de combien de dB le \(L_w\) augmente-t-il ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Impact de \(U\) en dB.
Règle : \(U \rightarrow 2U \Rightarrow L_w \rightarrow L_w + 24\) dB.

Question 4 : Calculer la fréquence de pic \(f_p\) (Strouhal \(St_p = 0.2\))

Principe

La fréquence principale du bruit de jet n'est pas aléatoire. Elle est liée à la taille des structures turbulentes, qui sont elles-mêmes proportionnelles au diamètre \(D\). Le nombre de Strouhal \(St\) est le nombre adimensionnel qui lie ces grandeurs.

Mini-Cours

Le nombre de Strouhal, \(St = fD/U\), est fondamental en mécanique des fluides. Pour le bruit de jet, la plupart de l'énergie acoustique est émise autour d'une valeur de \(St\) comprise entre 0.15 et 0.3. Nous prenons une valeur moyenne de \(St_p = 0.2\) pour le pic.

Remarque Pédagogique

Cette formule montre que :

Jets rapides (\(U\) grand) \(\rightarrow\) Bruit plus aigu (\(f_p\) élevée).
Gros jets (\(D\) grand) \(\rightarrow\) Bruit plus grave (\(f_p\) basse).

C'est pourquoi le "rugissement" d'un gros avion de ligne est plus grave que le "sifflement" d'une petite maquette.

Normes

Pas de norme, c'est une relation physique semi-empirique.

Formule(s)

Nombre de Strouhal

St = \frac{f \cdot D}{U}

Fréquence de Pic (isolée)

f_p = \frac{St_p \cdot U}{D}

Hypothèses

On suppose que le pic spectral se produit à \(St_p = 0.2\).

Donnée(s)

\(St_p = 0.2\) (adimensionnel). \(U = 200\) m/s. \(D = 0.1\) m.

Astuces

Attention aux unités : \(f = [1/s] = \text{Hz}\), \(U = [m/s]\), \(D = [m]\). Le ratio \(U/D\) a pour unité \((m/s) / m = 1/s\), ce qui est bien une fréquence. Le calcul est cohérent.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche le pic sur le spectre de bruit.

Spectre de Bruit de Jet Typique

Calcul(s)

Étape 1 : Isoler \(f_p\) de la formule de Strouhal

St_p = \frac{f_p \cdot D}{U} \quad \Rightarrow \quad f_p = \frac{St_p \cdot U}{D}

Étape 2 : Substitution des valeurs

f_p = \frac{0.2 \times 200 \text{ m/s}}{0.1 \text{ m}}

Étape 3 : Calcul

Numérateur : \(0.2 \times 200 = 40\)

\begin{aligned} f_p &= \frac{40}{0.1} \\ f_p &= 400 \text{ Hz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le pic du spectre se situe à 400 Hz.

Points de vigilance

Ne pas inverser \(U\) et \(D\) ! Une fréquence plus élevée signifie \(U\) plus grand ou \(D\) plus petit.

Points à retenir

Le nombre de Strouhal \(St = fD/U\) est la clé pour déterminer la fréquence du bruit de jet.
\(St \approx 0.2\) est une valeur typique à retenir pour le pic.

Le saviez-vous ?

Les "chevrons" (bords en dents de scie) à l'arrière des moteurs modernes (comme sur le Boeing 787) sont conçus pour augmenter le mélange du jet avec l'air ambiant, ce qui change la structure de la turbulence et décale le spectre de bruit vers des fréquences plus élevées, qui sont plus facilement absorbées par l'atmosphère (et moins gênantes).

FAQ

...

Résultat Final

La fréquence de pic du bruit est \(f_p = 400\) Hz.

A vous de jouer

Si la vitesse est doublée (\(U=400\) m/s), quelle est la nouvelle fréquence de pic \(f_p'\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Nombre de Strouhal.
Formule : \(f_p = St_p \cdot U / D\).

Question 5 : Estimer le \(L_p\) à \(r = 50\) m (émission hémisphérique)

Principe

Le niveau de puissance \(L_w\) est la "force" de la source. Le niveau de pression \(L_p\) est ce qu'on entend à distance. La différence entre les deux dépend de la distance et de la directivité, via la surface sur laquelle la puissance est répartie.

Mini-Cours

L'intensité \(I = W/A\). En dB : \(L_I = 10 \log(I/I_{ref})\). En champ libre, \(L_p \approx L_I\). \(L_p \approx 10 \log(W/W_{ref}) - 10 \log(A/A_{ref})\) (avec \(A_{ref}=1m^2\)). Pour une sphère, \(A=4\pi r^2\). Pour un hémisphère (sol), \(A=2\pi r^2\). La formule \(L_p = L_w - 10 \log_{10}(A)\) est une approximation rapide où \(A\) est la surface.

Remarque Pédagogique

Cette formule \(L_p \approx L_w - 10 \log_{10}(A)\) (où A = surface) est une simplification. La formule rigoureuse est \(L_p = L_w - 10 \log_{10}(r/r_0)^2 - 10 \log_{10}(4\pi) + DI\), où \(DI\) est l'indice de directivité (\(DI=3\) pour hémisphère). \(L_p = L_w - 20 \log_{10}(r) - 11 + 3 = L_w - 20 \log_{10}(r) - 8\). Testons \(L_p = 115.3 - 20 \log(50) - 8 = 115.3 - 20(1.7) - 8 = 115.3 - 34 - 8 = 73.3\) dB. Testons l'autre : \(L_p = 115.3 - 10 \log(2\pi \cdot 50^2) = 115.3 - 10 \log(15708) = 115.3 - 42.0 = 73.3\) dB. Les deux approches (surface hémisphérique \(A=2\pi r^2\) ou \(DI=3\) + \(A=4\pi r^2\)) donnent le même résultat. Nous utiliserons \(A=2\pi r^2\).

Normes

La mesure du bruit en champ libre sur sol réfléchissant (hémisphérique) est une condition de test normalisée.

Formule(s)

Surface d'une Hémisphère

A = 2 \pi r^2

Relation \(L_p\) et \(L_w\) (Hémisphère)

L_p = L_w - 10 \log_{10}(A) = L_w - 10 \log_{10}(2 \pi r^2)

Hypothèses

On suppose une propagation en champ libre (pas d'obstacles, pas d'absorption d'air) et un sol parfaitement réfléchissant (créant une source hémisphérique).

Donnée(s)

\(L_w = 115.3\) dB (de Q2). \(r = 50\) m.

Astuces

La loi de décroissance est \(10 \log_{10}(r^2) = 20 \log_{10}(r)\). Le niveau de pression \(L_p\) diminue de \(20 \log_{10}(2) \approx 6\) dB à chaque fois qu'on double la distance \(r\).

Schéma (Avant les calculs)

Propagation Hémisphérique

Calcul(s)

Nous utilisons la formule de décroissance pour un hémisphère.

Étape 1 : Calcul de la surface de l'hémisphère \(A = 2 \pi r^2\)

\begin{aligned} A &= 2 \cdot \pi \cdot (50 \text{ m})^2 \\ A &= 2 \cdot \pi \cdot 2500 \\ A &= 5000\pi \approx 15708 \text{ m}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du terme d'atténuation géométrique

\begin{aligned} \text{Atténuation} &= 10 \log_{10}(A) \\ &= 10 \log_{10}(15708) \end{aligned}

Calculatrice : \(\log_{10}(15708) \approx 4.196\)

\text{Atténuation} \approx 10 \cdot (4.196) \approx 42.0 \text{ dB}

Étape 3 : Calcul de \(L_p\)

\begin{aligned} L_p &= L_w - \text{Atténuation} \\ L_p &= 115.3 \text{ dB} - 42.0 \text{ dB} \\ L_p &= 73.3 \text{ dB} \end{aligned}

Calcul Alternatif (par décroissance en \(r\))

La formule mentionnée dans la "Remarque Pédagogique" est \(L_p = L_w - 20 \log_{10}(r) - 8\) (valable pour \(r_0=1\text{m}\) et DI=3dB).

Étape 1 : Substitution

L_p = 115.3 - 20 \log_{10}(50) - 8

Étape 2 : Calcul du log

Calculatrice : \(\log_{10}(50) \approx 1.699\)

L_p \approx 115.3 - 20 \cdot (1.699) - 8

Étape 3 : Calcul final

\begin{aligned} L_p &\approx 115.3 - 33.98 - 8 \\ L_p &\approx 81.32 - 8 \\ L_p &\approx 73.32 \text{ dB} \end{aligned}

Les deux méthodes donnent le même résultat.

Schéma (Après les calculs)

Le niveau à 50m est de 73.3 dB.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(L_w\) (indépendant de \(r\)) et \(L_p\) (dépendant de \(r\)). Ne pas oublier le \(\pi\) dans la surface. Ne pas oublier \(2\pi\) (hémisphère) vs \(4\pi\) (sphère).

Points à retenir

\(L_p\) diminue de 6 dB quand \(r\) double (en champ libre).
\(L_p = L_w - 10 \log_{10}(A)\).

Le saviez-vous ?

Ce calcul ne prend pas en compte l'absorption de l'air. Sur 50m, c'est négligeable, mais sur 1 km, l'air absorbe davantage les hautes fréquences (comme \(f_p=400\) Hz) que les basses, ce qui modifie le son perçu.

FAQ

...

Résultat Final

Le niveau de pression acoustique à 50m est \(L_p \approx 73.3\) dB.

A vous de jouer

Quel serait le \(L_p\) à \(100\text{m}\) (double de la distance) ? (Indice : \(-6\text{dB}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Relation Puissance/Pression.
Formule : \(L_p \approx L_w - 10 \log_{10}(2 \pi r^2)\).
Règle : \(r \rightarrow 2r \Rightarrow L_p \rightarrow L_p - 6\) dB.

Outil Interactif : Simulateur de Bruit de Jet

Explorez comment la vitesse d'éjection \(U\) et le diamètre de la tuyère \(D\) impactent la puissance acoustique totale \(L_w\) du jet. Le graphique montre la relation \(L_w = f(U)\) pour le diamètre \(D\) sélectionné.

Paramètres d'Entrée

Vitesse d'éjection \(U\) (m/s) 200 m/s

Diamètre tuyère \(D\) (cm) 10 cm

Résultats Clés (pour \(U\) et \(D\) sélectionnés)

Puissance Acoustique \(W\) (W) -

Niveau de Puissance \(L_w\) (dB) -

Glossaire

Analogie de Lighthill: Théorie fondamentale (1952) qui modélise le bruit généré par un écoulement turbulent comme un ensemble de sources sonores (quadripôles) dans un milieu au repos.
Aéroacoustique: Branche de l'acoustique et de la mécanique des fluides qui étudie la génération de bruit par les écoulements d'air.
Quadripôle: Type de source sonore résultant de fluctuations de contraintes (forces opposées s'annulant deux à deux). C'est le type de source dominant dans le bruit de jet turbulent.
Nombre de Strouhal (\(St\)): Nombre adimensionnel \(St = fD/U\) qui lie la fréquence \(f\) d'un phénomène dans un écoulement à la vitesse \(U\) et à une taille caractéristique \(D\).
Niveau de Puissance (\(L_w\)): Mesure logarithmique (en dB) de la puissance acoustique totale \(W\) émise par une source, indépendante de la distance. Référence : \(W_{ref} = 10^{-12}\) W.
Niveau de Pression (\(L_p\)): Mesure logarithmique (en dB) de la pression acoustique \(p\) en un point de l'espace, ce qui est mesuré par un microphone. Référence : \(p_{ref} = 2 \times 10^{-5}\) Pa.

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