Calcul de la force de rayonnement acoustique

Acoustique : Calcul de la force de rayonnement acoustique sur une petite sphère

Calcul de la force de rayonnement acoustique sur une petite sphère

Contexte : Le Son qui Pousse

Bien que nous ne le sentions pas, une onde sonore transporte de l'énergie et de la quantité de mouvement. Lorsqu'elle rencontre un objet, elle exerce sur lui une petite mais mesurable force, appelée force de rayonnement acoustiqueForce moyenne exercée par une onde sonore sur un objet, résultant du transfert de quantité de mouvement. Elle est toujours dirigée dans le sens de propagation de l'onde.. Cette force, toujours dirigée dans le sens de la propagation de l'onde, est un phénomène non linéaire de second ordre. Bien que faible dans l'air, elle devient significative dans les liquides et est à la base de technologies de pointe comme la lévitation acoustiqueTechnique permettant de faire flotter de petits objets dans les airs en utilisant des ondes sonores intenses pour contrer la gravité. (pour manipuler des gouttes ou des cellules sans contact) et les "pinces acoustiques" en médecine.

Remarque Pédagogique : Cet exercice explore une facette contre-intuitive du son : sa capacité à exercer une force physique. Il permet de relier des concepts fondamentaux (intensité, énergie, impédance) à une application concrète et de calculer l'ordre de grandeur de cette force pour un cas simple.

Objectifs Pédagogiques

Définir la force de rayonnement acoustique et comprendre son origine.
Calculer l'intensité acoustique à partir d'un niveau sonore en dB.
Appliquer la formule de la force de rayonnement sur une sphère compressible.
Analyser l'influence de la fréquence et de l'intensité sur la force exercée.
Comprendre la différence entre la force de rayonnement sur une sphère rigide et une sphère compressible.

Données de l'étude

Une petite goutte d'eau, modélisée comme une sphère parfaitement compressible de rayon $a = 1 \, \text{mm}$, est placée dans un champ acoustique intense dans l'air. Le son est une onde plane de fréquence $f = 20 \, \text{kHz}$ et de niveau d'intensité sonore $L_I = 150 \, \text{dB}$.

On donne les caractéristiques de l'air :

Célérité du son : $c = 340 \, \text{m/s}$
Masse volumique : $\rho_0 = 1.2 \, \text{kg/m}^3$
Intensité de référence : $I_{\text{ref}} = 10^{-12} \, \text{W/m}^2$

Force de Rayonnement sur une Sphère

Questions à traiter

Calculer l'intensité acoustique $I$ de l'onde sonore.
Calculer le nombre d'onde $k$ et la surface de la section transversale $S$ de la sphère.
Calculer la force de rayonnement acoustique $F_{\text{rad}}$ s'exerçant sur la goutte d'eau.

Correction : Calcul de la force de rayonnement acoustique

Question 1 : Calcul de l'Intensité Acoustique (I)

Principe :

Le niveau d'intensité sonore $L_I$ est une échelle logarithmique (en décibels) conçue pour correspondre à la perception humaine. Pour effectuer des calculs de puissance ou de force, il est indispensable de revenir à l'échelle linéaire en calculant l'intensité physique $I$ en $\text{W/m}^2$. Cela se fait en inversant la formule de définition du décibel.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le niveau sonore de 150 dB est extrêmement élevé, bien au-delà du seuil de la douleur ($\approx 130$ dB). De tels niveaux ne sont rencontrés que très près de sources très puissantes, comme un réacteur d'avion, ou dans des applications industrielles et médicales spécifiques (ultrasons focalisés).

Formule(s) utilisée(s) :

L_I = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_{\text{ref}}}\right)

I = I_{\text{ref}} \times 10^{(L_I/10)}

Donnée(s) :

Niveau d'intensité : $L_I = 150 \, \text{dB}$
Intensité de référence : $I_{\text{ref}} = 10^{-12} \, \text{W/m}^2$

Calcul(s) :

\begin{aligned} I &= 10^{-12} \times 10^{(150/10)} \\ &= 10^{-12} \times 10^{15} \\ &= 10^{3} \\ &= 1000 \, \text{W/m}^2 \end{aligned}

Points de vigilance :

Logarithme en base 10 : La formule du décibel utilise un logarithme décimal ($\log_{10}$). Son inverse est la fonction puissance de 10, et non l'exponentielle ($e^x$).

Le saviez-vous ?

Résultat : L'intensité acoustique de l'onde est $I = 1000 \, \text{W/m}^2$.

Question 2 : Calcul du Nombre d'Onde (k) et de la Surface (S)

Principe :

Avant de calculer la force, nous avons besoin de deux paramètres intermédiaires. Le nombre d'ondeGrandeur proportionnelle à l'inverse de la longueur d'onde ($k = 2\pi/\lambda$). Il décrit le nombre de radians d'oscillation par unité de distance. $k$, qui caractérise l'oscillation spatiale de l'onde, et la surface de section $S$ de la sphère, qui est la surface "vue" par l'onde plane incidente.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le nombre d'onde $k$ est un concept central en physique des ondes. Il relie la dimension temporelle (la pulsation $\omega$) à la dimension spatiale (la longueur d'onde $\lambda$) via la célérité de l'onde ($k = \omega/c$).

Formule(s) utilisée(s) :

k = \frac{2\pi f}{c}

S = \pi a^2

Donnée(s) :

Fréquence : $f = 20 \, \text{kHz} = 20000 \, \text{Hz}$
Célérité du son : $c = 340 \, \text{m/s}$
Rayon de la sphère : $a = 1 \, \text{mm} = 0.001 \, \text{m}$

Calcul(s) :

\begin{aligned} k &= \frac{2\pi \times 20000}{340} \\ &\approx \frac{125664}{340} \\ &\approx 369.6 \, \text{rad/m} \end{aligned}

\begin{aligned} S &= \pi \times (0.001)^2 \\ &= \pi \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \\ &\approx 3.14 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \end{aligned}

Points de vigilance :

Unités des angles : Le nombre d'onde $k$ s'exprime en radians par mètre. Il est important de s'assurer que sa calculatrice est bien en mode radian si on utilise des fonctions trigonométriques impliquant $k$.

Le saviez-vous ?

Résultat : Le nombre d'onde est $k \approx 370 \, \text{rad/m}$ et la surface de section est $S \approx 3.14 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$.

Question 3 : Calcul de la Force de Rayonnement ($F_{\text{rad}}$)

Principe :

La force de rayonnement est la poussée moyenne exercée par l'onde sur l'objet. Elle est proportionnelle à l'énergie de l'onde (via l'intensité $I$) et à la surface qu'elle intercepte ($S$), et est inversement proportionnelle à la vitesse de propagation ($c$). Un facteur adimensionnel $Y_p$, appelé fonction de force de rayonnement, dépend de la nature de l'objet et de la fréquence.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La force n'est pas simplement due à la "pression" de l'onde. Elle provient d'effets non-linéaires subtils. L'onde sonore fait osciller l'objet. La force moyenne sur un cycle complet n'est pas nulle, et il en résulte une petite force nette dans la direction de propagation.

Formule(s) utilisée(s) :

F_{\text{rad}} = \frac{2 S I}{c} Y_p

Pour une petite sphère compressible ($ka \ll 1$), la fonction de force $Y_p$ se simplifie en :

Y_p \approx \frac{1}{3}(ka)^4

Donnée(s) :

$I = 1000 \, \text{W/m}^2$
$S \approx 3.14 \times 10^{-6} \, \text{m}^2$
$c = 340 \, \text{m/s}$
$k \approx 369.6 \, \text{rad/m}$
$a = 0.001 \, \text{m}$

Calcul(s) :

\begin{aligned} ka &= 369.6 \times 0.001 = 0.3696 \\ Y_p &\approx \frac{1}{3}(0.3696)^4 \\ &\approx \frac{1}{3} \times 0.0186 \\ &\approx 0.0062 \end{aligned}

\begin{aligned} F_{\text{rad}} &= \frac{2 \times (3.14 \times 10^{-6}) \times 1000}{340} \times 0.0062 \\ &\approx \frac{0.00628}{340} \times 0.0062 \\ &\approx (1.847 \times 10^{-5}) \times 0.0062 \\ &\approx 1.145 \times 10^{-7} \, \text{N} \end{aligned}

Points de vigilance :

Ordre de grandeur : La force obtenue est extrêmement faible (de l'ordre du dixième de micro-newton). C'est normal. Il faut des intensités sonores colossales pour obtenir des forces significatives. Cela souligne que la force de rayonnement est un effet de second ordre.

Le saviez-vous ?

Résultat : La force de rayonnement acoustique sur la goutte est d'environ $0.11 \, \mu\text{N}$ (micro-newtons).

Simulation de la Force de Rayonnement

Ajustez la fréquence du son et le rayon de la sphère pour voir comment la force de rayonnement (en micro-newtons) évolue. Notez la forte dépendance à ces deux paramètres.

Paramètres de l'Expérience

Rayon de la sphère (1.0 mm)

Fréquence (20 kHz)

Force de Rayonnement

Force en fonction du Rayon

Pour Aller Plus Loin : La Lévitation Acoustique

Faire flotter des objets avec le son : Pour faire léviter un objet, il faut que la force de rayonnement acoustique compense exactement son poids. Cela nécessite des ondes stationnaires très intenses, créées en plaçant un émetteur et un réflecteur l'un en face de l'autre. Les objets sont piégés dans les nœuds de pression de l'onde stationnaire, où la force de rayonnement les maintient en équilibre stable. Cette technologie permet de manipuler des matériaux fragiles ou réactifs sans aucun contact physique.

Le Saviez-Vous ?

La pression de rayonnement existe aussi pour la lumière ! Bien qu'encore plus faible, c'est la pression de rayonnement du Soleil qui est à l'origine de la queue de poussière des comètes. Des projets de "voiles solaires" cherchent à utiliser cette force pour propulser des sondes spatiales sur de très longues distances sans carburant.

Foire Aux Questions (FAQ)

La force est-elle toujours répulsive ?

Pour une onde progressive simple comme dans cet exercice, oui, la force est toujours une "poussée". Cependant, dans des champs sonores plus complexes comme les ondes stationnaires, on peut créer des "pièges" où la force peut être attractive, tirant l'objet vers une zone de stabilité.

Pourquoi la force dépend-elle autant de la fréquence ?

Parce que la fonction de force $Y_p$ est proportionnelle à $(ka)^4$, et que $k$ est lui-même proportionnel à la fréquence $f$. Au final, la force de rayonnement pour une petite sphère est proportionnelle à $f^4$. Doubler la fréquence multiplie la force par 16 ! C'est pourquoi les applications de lévitation utilisent des ultrasons à haute fréquence.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double la fréquence d'une onde sonore (en gardant l'intensité constante), la force de rayonnement sur une petite sphère est :

Multipliée par 2.
Multipliée par 4.
Multipliée par 16.

2. La force de rayonnement acoustique est un phénomène qui résulte principalement :

D'effets non-linéaires et du transfert de quantité de mouvement de l'onde.
De la pression statique de l'air.
De l'absorption de la chaleur par l'objet.

Glossaire

Force de Rayonnement Acoustique: Force moyenne, non nulle, exercée par une onde sonore sur un objet placé dans le champ acoustique. Elle est due au transfert de quantité de mouvement.
Onde Plane: Onde dont les fronts d'onde sont des plans infinis perpendiculaires à la direction de propagation. C'est une bonne approximation d'une onde sphérique très loin de la source.
Nombre d'Onde (k): Grandeur liée à la longueur d'onde $\lambda$ par la relation $k = 2\pi/\lambda$. Elle mesure la variation spatiale de la phase de l'onde.
Intensité Acoustique (I): Puissance acoustique par unité de surface, mesurée en Watts par mètre carré ($\text{W/m}^2$).
Lévitation Acoustique: Technique utilisant des ondes sonores intenses, généralement des ondes stationnaires, pour suspendre des objets en l'air sans contact matériel.

D’autres exercices d’acoustique fondamentale:

Calcul de la force de rayonnement acoustique

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Force de Rayonnement sur une Sphère

Questions à traiter

Correction : Calcul de la force de rayonnement acoustique

Question 1 : Calcul de l'Intensité Acoustique (I)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Calcul du Nombre d'Onde (k) et de la Surface (S)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Calcul de la Force de Rayonnement (\(F_{\text{rad}}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation de la Force de Rayonnement

Paramètres de l'Expérience

Force en fonction du Rayon

Pour Aller Plus Loin : La Lévitation Acoustique

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

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