Calcul de l’amortissement visco-thermique

Acoustique : Calcul de l'amortissement visco-thermique d'une onde plane

Calcul de l'amortissement visco-thermique d'une onde plane

Contexte : L'Énergie Perdue en Chemin

En plus de l'atténuation géométrique qui disperse l'énergie, une onde sonore perd de l'énergie en se propageant à cause des propriétés mêmes du milieu. Cet amortissement intrinsèque est principalement dû à deux phénomènes : la viscosité"Frottement interne" d'un fluide. Elle s'oppose au mouvement relatif des couches de fluide, dissipant l'énergie cinétique de l'onde en chaleur. du fluide et sa conductivité thermiqueCapacité d'un matériau à transférer de la chaleur. Dans une onde sonore, de petits transferts de chaleur entre les zones de compression (chaudes) et de raréfaction (froides) dissipent de l'énergie.. Ces deux effets, regroupés sous le terme d'amortissement visco-thermique, convertissent l'énergie acoustique organisée en chaleur désordonnée. Cet amortissement est négligeable à basse fréquence mais devient le facteur limitant de la propagation des sons à haute fréquence, comme les ultrasons.

Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de quantifier les pertes d'énergie réelles d'une onde sonore, au-delà de la simple dispersion géométrique. Il met en évidence la forte dépendance de ces pertes à la fréquence et explique pourquoi l'air est un "filtre passe-bas" naturel, ce qui a des implications directes en acoustique médicale, en contrôle non destructif et dans les communications sous-marines.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre les mécanismes physiques de l'amortissement visqueux et thermique.
Définir et calculer le coefficient d'amortissement $\alpha$.
Quantifier la part de l'amortissement due à la viscosité et celle due à la conduction thermique.
Calculer l'atténuation totale en décibels sur une distance donnée.
Analyser la dépendance du coefficient d'amortissement au carré de la fréquence.

Données de l'étude

On étudie la propagation d'une onde ultrasonore plane de fréquence $f = 1 \, \text{MHz}$ dans l'eau. On souhaite calculer l'atténuation de son intensité sur une distance de $d = 10 \, \text{m}$.

Les caractéristiques de l'eau à 20°C sont :

Célérité du son : $c = 1480 \, \text{m/s}$
Masse volumique : $\rho_0 = 1000 \, \text{kg/m}^3$
Coefficient de viscosité dynamique : $\eta = 1.002 \times 10^{-3} \, \text{Pa}\cdot\text{s}$
Conductivité thermique : $\kappa = 0.598 \, \text{W/(m}\cdot\text{K)}$
Capacité thermique à pression constante : $C_p = 4186 \, \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$
Indice adiabatique : $\gamma = 1.01$ (pour l'eau)

Amortissement d'une Onde Plane

Questions à traiter

Calculer la contribution de la viscosité à l'amortissement ($\alpha_{\text{visc}}$).
Calculer la contribution de la conduction thermique à l'amortissement ($\alpha_{\text{therm}}$).
Calculer le coefficient d'amortissement total $\alpha$ et l'atténuation totale $A$ en décibels sur 10 mètres.

Correction : Calcul de l'amortissement visco-thermique

Question 1 : Calcul de l'Amortissement Visqueux ($\alpha_{\text{visc}}$)

Principe :

La viscosité du fluide s'oppose au mouvement des particules d'air mises en branle par l'onde sonore. Ce "frottement" interne dissipe l'énergie acoustique en chaleur. L'amortissement qui en résulte est proportionnel au carré de la fréquence et au coefficient de viscosité.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La dépendance en $f^2$ est fondamentale. Si on double la fréquence, on quadruple l'amortissement. C'est la raison pour laquelle les ultrasons sont très vite atténués dans l'air ou l'eau, limitant leur portée pratique.

Formule(s) utilisée(s) :

\alpha_{\text{visc}} = \frac{2 \eta \omega^2}{3 \rho_0 c^3}

\omega = 2\pi f

Donnée(s) :

$\eta = 1.002 \times 10^{-3} \, \text{Pa}\cdot\text{s}$
$f = 1 \, \text{MHz} = 10^6 \, \text{Hz}$
$\rho_0 = 1000 \, \text{kg/m}^3$
$c = 1480 \, \text{m/s}$

Calcul(s) :

\omega = 2\pi \times 10^6 \, \text{rad/s} \Rightarrow \omega^2 = (2\pi)^2 \times 10^{12} \approx 39.48 \times 10^{12} \, \text{rad}^2/\text{s}^2

\begin{aligned} \alpha_{\text{visc}} &= \frac{2 \times (1.002 \times 10^{-3}) \times (39.48 \times 10^{12})}{3 \times 1000 \times (1480)^3} \\ &\approx \frac{7.91 \times 10^{10}}{3000 \times (3.24 \times 10^9)} \\ &\approx \frac{7.91 \times 10^{10}}{9.72 \times 10^{12}} \\ &\approx 8.14 \times 10^{-3} \, \text{Np/m} \end{aligned}

Points de vigilance :

Unités de $\alpha$ : Le calcul direct donne un coefficient d'atténuation en Néper par mètre (Np/m). Le Néper est une unité logarithmique naturelle. Pour convertir en décibels, on utilise la relation $1 \, \text{Np} \approx 8.686 \, \text{dB}$.

Le saviez-vous ?

Résultat : La contribution de la viscosité à l'amortissement est $\alpha_{\text{visc}} \approx 0.00814 \, \text{Np/m}$.

Question 2 : Calcul de l'Amortissement Thermique ($\alpha_{\text{therm}}$)

Principe :

Les compressions et raréfactions d'une onde sonore créent de minuscules variations de température. La conduction thermique tend à égaliser ces températures, transférant de la chaleur des zones chaudes (compressions) aux zones froides (raréfactions). Ce transfert d'énergie irréversible dissipe l'énergie de l'onde. Cet effet est également proportionnel au carré de la fréquence.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce phénomène est une violation de l'hypothèse "adiabatique" (sans échange de chaleur) que l'on fait en acoustique linéaire simple. Pour les ondes de faible fréquence, l'hypothèse est excellente, mais à haute fréquence, les transferts thermiques deviennent non-négligeables.

Formule(s) utilisée(s) :

\alpha_{\text{therm}} = \frac{\kappa (\gamma - 1) \omega^2}{2 \rho_0 c^3 C_p}

Donnée(s) :

$\kappa = 0.598 \, \text{W/(m}\cdot\text{K)}$
$\gamma = 1.01$
$\omega^2 \approx 39.48 \times 10^{12} \, \text{rad}^2/\text{s}^2$
$\rho_0 = 1000 \, \text{kg/m}^3$
$c = 1480 \, \text{m/s}$
$C_p = 4186 \, \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$

Calcul(s) :

\begin{aligned} \alpha_{\text{therm}} &= \frac{0.598 \times (1.01 - 1) \times (39.48 \times 10^{12})}{2 \times 1000 \times (1480)^3 \times 4186} \\ &= \frac{0.598 \times 0.01 \times (39.48 \times 10^{12})}{2000 \times (3.24 \times 10^9) \times 4186} \\ &\approx \frac{2.36 \times 10^{11}}{2.71 \times 10^{16}} \\ &\approx 8.7 \times 10^{-6} \, \text{Np/m} \end{aligned}

Points de vigilance :

Importance relative : En comparant ce résultat à celui de la question 1, on voit que pour l'eau, l'amortissement dû à la viscosité est presque 1000 fois plus important que celui dû à la conduction thermique. L'effet thermique est souvent négligeable dans les liquides.

Le saviez-vous ?

Résultat : La contribution thermique à l'amortissement est $\alpha_{\text{therm}} \approx 8.7 \times 10^{-6} \, \text{Np/m}$, ce qui est négligeable par rapport à l'effet visqueux.

Question 3 : Amortissement Total et Atténuation

Principe :

Le coefficient d'amortissement total $\alpha$ est simplement la somme des contributions visqueuse et thermique. L'atténuation totale en dB sur une distance $d$ est alors le produit de ce coefficient (converti en dB/m) par la distance.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ce calcul final donne une valeur concrète et comparable à d'autres phénomènes. Il permet de juger si l'amortissement est un effet important ou non pour une application donnée (ex: échographie médicale, sonar...).

Formule(s) utilisée(s) :

\alpha = \alpha_{\text{visc}} + \alpha_{\text{therm}}

\alpha \, (\text{dB/m}) = \alpha \, (\text{Np/m}) \times 20 \log_{10}(e) \approx \alpha \, (\text{Np/m}) \times 8.686

A_{\text{atm}} \, (\text{dB}) = \alpha \, (\text{dB/m}) \times d \, (\text{m})

Donnée(s) :

$\alpha_{\text{visc}} \approx 0.00814 \, \text{Np/m}$
$\alpha_{\text{therm}} \approx 0.0000087 \, \text{Np/m}$
Distance : $d = 10 \, \text{m}$

Calcul(s) :

\alpha = 0.00814 + 0.0000087 \approx 0.00815 \, \text{Np/m}

\alpha_{\text{dB/m}} = 0.00815 \times 8.686 \approx 0.0708 \, \text{dB/m}

\begin{aligned} A_{\text{atm}} &= 0.0708 \, \text{dB/m} \times 10 \, \text{m} \\ &= 0.708 \, \text{dB} \end{aligned}

Points de vigilance :

Conversion Néper/Décibel : Le facteur de conversion $20 \log_{10}(e)$ vient de la différence entre les logarithmes népériens (utilisés dans la dérivation théorique) et les logarithmes décimaux (utilisés pour le décibel). C'est une étape facile à oublier.

Le saviez-vous ?

Résultat : L'atténuation totale sur 10 mètres est d'environ $0.71 \, \text{dB}$.

Simulation de l'Amortissement

Ajustez la fréquence et la distance de propagation pour voir comment l'atténuation visco-thermique totale (en dB) évolue. Observez la croissance très rapide avec la fréquence.

Paramètres de Propagation

Distance (10 m)

Fréquence (1.0 MHz)

Coefficient $\alpha$

Atténuation Totale

Atténuation en fonction de la Fréquence

Pour Aller Plus Loin : La Relaxation Moléculaire

L'air qui ne suit plus : Dans l'air, un mécanisme d'absorption majeur est la relaxation moléculaire. Les molécules de dioxygène (O₂) et de diazote (N₂) peuvent stocker de l'énergie dans leurs modes de vibration et de rotation. Pour les ondes sonores, le temps de compression/détente peut devenir plus court que le temps nécessaire à ces molécules pour échanger de l'énergie avec le milieu. Ce décalage crée une dissipation d'énergie très efficace, avec des pics d'absorption à des fréquences spécifiques qui dépendent de la température et de l'humidité.

Le Saviez-Vous ?

Le son ne se propage pas dans le vide spatial. Cependant, les "vents solaires" sont des flux de particules chargées qui peuvent transporter des ondes (ondes de plasma). L'étude de la propagation et de l'amortissement de ces ondes permet aux astrophysiciens de sonder les propriétés du milieu interplanétaire.

Foire Aux Questions (FAQ)

Est-ce que cet amortissement existe pour la lumière ?

Oui, mais les mécanismes sont différents. La lumière est absorbée par un milieu lorsqu'elle excite des transitions électroniques dans les atomes ou des vibrations dans les molécules. C'est ce qui donne leur couleur aux objets. Un objet rouge absorbe toutes les couleurs sauf le rouge, qu'il réfléchit.

Comment les sous-marins communiquent-ils sur de longues distances ?

Ils utilisent des sonars à très basse fréquence (VLF). Comme l'amortissement est proportionnel au carré de la fréquence, utiliser des fréquences très basses permet de minimiser les pertes et de communiquer sur des centaines de kilomètres. L'inconvénient est que le débit d'information est très faible.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'amortissement visco-thermique est plus fort pour :

Les hautes fréquences.
Les basses fréquences.
Il ne dépend pas de la fréquence.

2. Si on double la distance de propagation, l'atténuation en dB due à l'absorption atmosphérique :

Est quadruplée.
Est doublée.
Reste la même.

Glossaire

Amortissement Visco-Thermique: Atténuation de l'énergie d'une onde sonore due à sa conversion en chaleur par les effets combinés de la viscosité du fluide et de sa conductivité thermique.
Coefficient d'Amortissement ($\alpha$): Paramètre qui quantifie la perte d'amplitude d'une onde par unité de distance. Il s'exprime souvent en Néper par mètre (Np/m) ou en décibels par kilomètre (dB/km).
Viscosité: Propriété d'un fluide qui décrit sa résistance à l'écoulement ("frottement interne"). Elle cause la dissipation de l'énergie cinétique en chaleur.
Conductivité Thermique: Capacité d'un matériau à transférer de la chaleur. Dans une onde sonore, elle permet des micro-transferts de chaleur entre les zones de compression et de raréfaction, dissipant de l'énergie.
Onde Plane: Onde dont les fronts d'onde sont des plans infinis. C'est un modèle utile pour étudier la propagation dans le milieu, indépendamment des effets géométriques de la source.

D’autres exercices d’acoustique fondamentale:

Calcul de l’amortissement visco-thermique

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Amortissement d'une Onde Plane

Questions à traiter

Correction : Calcul de l'amortissement visco-thermique

Question 1 : Calcul de l'Amortissement Visqueux (\(\alpha_{\text{visc}}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Calcul de l'Amortissement Thermique (\(\alpha_{\text{therm}}\))

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Amortissement Total et Atténuation

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation de l'Amortissement

Paramètres de Propagation

Atténuation en fonction de la Fréquence

Pour Aller Plus Loin : La Relaxation Moléculaire

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

Glossaire

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