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Calcul de l’amortissement visco-thermique

Exercice : Amortissement Visco-Thermique

Calcul de l’Amortissement Visco-Thermique dans un Tube Cylindrique

Contexte : La propagation du son dans les milieux confinés.

Lorsqu'une onde sonore se propage dans un espace libre, l'air est généralement considéré comme un fluide parfait et la propagation est dite "adiabatique". Cependant, lorsqu'on confine le son dans un tube étroit (comme le conduit d'un microphone, un instrument de musique ou les pores d'un matériau absorbant), les choses changent. La viscositéFrottement interne d'un fluide. En acoustique, elle crée des pertes par frottement près des parois. de l'air et les échanges thermiquesTransfert de chaleur entre l'onde (qui chauffe et refroidit l'air) et la paroi du tube (supposée à température constante). avec les parois du tube ne peuvent plus être négligés. Ces deux phénomènes dissipent l'énergie de l'onde : c'est l'amortissement visco-thermique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier ces pertes. Nous allons décomposer le problème en calculant les "couches limites" où ces effets se produisent, puis en calculant l'atténuation (amortissement) et la modification de la vitesse du son qui en résultent.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre les origines physiques de l'amortissement visqueux et thermique.
Calculer les épaisseurs des couches limites visqueuse (\(\delta_v\)) et thermique (\(\delta_t\)).
Appliquer un modèle simplifié (basses fréquences) pour calculer le coefficient d'atténuation \(\alpha\) et la vitesse de phase \(c_{vt}\).
Analyser l'influence de la fréquence et du rayon du tube sur l'amortissement.

Données de l'étude

On étudie la propagation d'une onde acoustique plane à une fréquence \(f\) dans un unique tube cylindrique de rayon \(R\), rempli d'air. On cherche à calculer l'amortissement et la vitesse de propagation en tenant compte des effets visco-thermiques aux parois.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Fluide	Air à 20°C et Pression Atmosphérique
Géométrie	Tube cylindrique rigide et immobile
Hypothèse mur	Paroi parfaitement rigide et isotherme (température constante)

Propagation d'une onde dans un tube de rayon R

[Nom du Paramètre]	[Description ou Formule]	[Valeur]	[Unité]
Fréquence	\(f\)	1000	Hz
Rayon du tube	\(R\)	1	mm
Masse volumique (Air)	\(\rho_0\)	1.20	kg/m³
Viscosité dynamique (Air)	\(\eta\)	1.84 x 10⁻⁵	Pa.s
Nombre de Prandtl (Air)	\(Pr\)	0.71	-
Rapport Cap. Thermiques (Air)	\(\gamma\)	1.40	-
Vitesse du son (Air libre)	\(c_0\)	343	m/s

Questions à traiter

Calculer la pulsation \(\omega\) et l'épaisseur de la couche limite visqueuse \(\delta_v\).
Calculer l'épaisseur de la couche limite thermique \(\delta_t\).
Calculer l'atténuation due aux effets visqueux, \(\alpha_v\), en Np/m.
Calculer l'atténuation due aux effets thermiques, \(\alpha_t\), en Np/m.
Calculer l'atténuation totale \(\alpha\), et la nouvelle vitesse de phase \(c_{vt}\) dans le tube.

Les bases de l'Acoustique Visco-Thermique

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de deux concepts clés issus de la théorie de la propagation en guide d'onde (ici, un tube) pour un fluide visco-thermique.

1. Couches Limites (Stokes et Thermique)
Près d'une paroi, la vitesse du fluide doit être nulle (condition de non-glissement) et sa température doit être celle de la paroi (paroi isotherme). L'onde acoustique, qui est une perturbation de vitesse et de température, est donc "freinée" et "refroidie" près du mur. Ces effets ont lieu dans de très fines couches :

La couche limite visqueuse \(\delta_v\) : épaisseur où les forces de viscosité dominent.
La couche limite thermique \(\delta_t\) : épaisseur où les échanges de chaleur dominent.

Leurs épaisseurs dépendent de la fréquence et des propriétés du fluide : \[ \delta_v = \sqrt{\frac{2\eta}{\rho_0 \omega}} \quad \text{et} \quad \delta_t = \sqrt{\frac{2 \kappa}{\rho_0 C_p \omega}} = \frac{\delta_v}{\sqrt{Pr}} \] où \(\omega = 2\pi f\) est la pulsation, \(\eta\) la viscosité, \(\rho_0\) la masse volumique, et \(Pr\) le nombre de Prandtl.

2. Modèle Basse Fréquence (LRF)
Quand le rayon \(R\) du tube est bien plus grand que les couches limites (\(R \gg \delta_v\) et \(R \gg \delta_t\)), on peut utiliser un modèle simplifié. L'atténuation totale \(\alpha\) (en Neper/m) est la somme des atténuations visqueuse et thermique : \[ \alpha = \alpha_v + \alpha_t \] \[ \alpha_v \approx \frac{1}{R c_0} \sqrt{\frac{\eta \omega}{2 \rho_0}} = \frac{\delta_v \omega}{2 R c_0} \] \[ \alpha_t \approx \frac{\gamma-1}{R c_0} \sqrt{\frac{\eta \omega}{2 \rho_0 Pr}} = \frac{(\gamma-1) \delta_t \omega}{2 R c_0} \] De plus, la vitesse du son est ralentie (dispersive) : \[ c_{vt} \approx c_0 \left( 1 - \frac{\delta_v + (\gamma-1)\delta_t}{2R} \right) \]

Correction : Calcul de l’Amortissement Visco-Thermique dans un Tube Cylindrique

Question 1 : Calculer la pulsation \(\omega\) et l'épaisseur de la couche limite visqueuse \(\delta_v\).

Principe

La première étape est de calculer la pulsation (vitesse angulaire) de l'onde à partir de sa fréquence. Ensuite, nous utilisons cette pulsation et les propriétés du fluide (viscosité, densité) pour trouver l'épaisseur de la couche où les effets de frottement visqueux sont significatifs.

Mini-Cours

La couche limite visqueuse (ou couche de Stokes), \(\delta_v\), représente la distance de pénétration de la vorticité (cisaillement) depuis la paroi. C'est une longueur caractéristique fondamentale pour tous les problèmes d'interaction fluide-structure en acoustique.

Remarque Pédagogique

Notez bien la dépendance en \(\sqrt{\omega}\). Plus la fréquence est élevée, plus la pulsation \(\omega\) est grande, et plus la couche limite \(\delta_v\) est mince. Les effets visqueux sont "comprimés" contre la paroi à haute fréquence.

Normes

Ce calcul est basé sur la solution de l'équation de Navier-Stokes linéarisée pour une onde plane près d'une paroi. C'est une base de l'acoustique des fluides réels (Théorie de Kirchhoff, Zwikker & Kosten).

Formule(s)

Pulsation

\omega = 2 \pi f

Couche limite visqueuse

\delta_v = \sqrt{\frac{2\eta}{\rho_0 \omega}}

Hypothèses

On suppose le fluide Newtonien, la paroi rigide et immobile, et les perturbations acoustiques faibles (linéarisation).

Fluide Newtonien (viscosité \(\eta\) constante).
Condition de non-glissement à la paroi (vitesse nulle).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé. Assurez-vous que tout est en unités SI (Système International).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence	\(f\)	1000	Hz
Viscosité dynamique	\(\eta\)	1.84 x 10⁻⁵	Pa.s (ou kg.m⁻¹.s⁻¹)
Masse volumique	\(\rho_0\)	1.20	kg/m³

Astuces

Vérifiez toujours vos unités. Ici, l'argument de la racine carrée est \(\frac{\text{kg.m⁻¹.s⁻¹}}{\text{kg.m⁻³} \cdot \text{s⁻¹}} = \text{m²}\). La racine donne bien des mètres (m), ce qui est cohérent pour une épaisseur.

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur la zone près de la paroi du tube pour visualiser \(\delta_v\).

Zoom sur la couche limite visqueuse

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la pulsation \(\omega\)

\begin{aligned} \omega &= 2 \pi f \\ &= 2 \pi \times 1000 \\ \omega &\approx 6283 \text{ rad/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(\delta_v\)

\begin{aligned} \delta_v &= \sqrt{\frac{2\eta}{\rho_0 \omega}} \\ &= \sqrt{\frac{2 \times 1.84 \times 10^{-5}}{1.20 \times 6283}} \\ &= \sqrt{\frac{3.68 \times 10^{-5}}{7539.6}} \\ &= \sqrt{4.88 \times 10^{-9}} \\ \delta_v &\approx 6.98 \times 10^{-5} \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Aucun schéma supplémentaire requis pour cette étape.

Réflexions

L'épaisseur de la couche limite visqueuse est de \(6.98 \times 10^{-5}\) m, soit environ 0.07 mm. C'est une distance très faible, ce qui confirme que les effets visqueux sont confinés à une très fine couche près de la paroi.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier la conversion des unités. La fréquence doit être en Hz, la viscosité en Pa.s, et la densité en kg/m³ pour obtenir un résultat en mètres.

Points à retenir

\(\omega = 2 \pi f\).
\(\delta_v = \sqrt{2\eta / (\rho_0 \omega)}\).
\(\delta_v\) diminue lorsque la fréquence augmente.

Le saviez-vous ?

Cette même couche limite \(\delta_v\) est responsable de l'effet de "traînage" d'un fluide sur une surface oscillante. C'est un concept fondamental en microfluidique et en thermoacoustique.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La pulsation est \(\omega \approx 6283\) rad/s.
L'épaisseur de la couche limite visqueuse est \(\delta_v \approx 6.98 \times 10^{-5}\) m (soit 0.070 mm).

A vous de jouer

Recalculez \(\delta_v\) (en mm) si la fréquence était de 4000 Hz au lieu de 1000 Hz.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Formules : \(\omega = 2 \pi f\), \(\delta_v = \sqrt{2\eta / (\rho_0 \omega)}\).
Résultat (1kHz) : \(\delta_v \approx 0.07\) mm.

Question 2 : Calculer l'épaisseur de la couche limite thermique \(\delta_t\).

Principe

Similairement à la viscosité, les échanges de chaleur avec la paroi (supposée isotherme) se produisent dans une fine couche, la couche limite thermique \(\delta_t\). Son calcul est très similaire à \(\delta_v\), mais fait intervenir le nombre de Prandtl.

Mini-Cours

Le Nombre de Prandtl (\(Pr\)) est un nombre sans dimension qui compare la diffusion de la quantité de mouvement (viscosité) à la diffusion de la chaleur (conductivité thermique).
\(Pr = \frac{\text{Diffusion visqueuse}}{\text{Diffusion thermique}} = \frac{\nu}{\kappa/(\rho_0 C_p)} = \frac{\eta C_p}{\kappa}\)
Pour l'air, \(Pr \approx 0.71\), ce qui signifie que la chaleur diffuse légèrement plus vite que la viscosité.

Remarque Pédagogique

Puisque \(Pr < 1\) pour l'air, on s'attend à ce que \(\delta_t = \delta_v / \sqrt{Pr}\) soit plus grand que \(\delta_v\). La couche thermique est plus épaisse que la couche visqueuse.

Normes

Cette approche découle de l'analyse de l'équation de la chaleur linéarisée, en parallèle de l'équation de Navier-Stokes.

Formule(s)

Couche limite thermique

\delta_t = \frac{\delta_v}{\sqrt{Pr}}

Hypothèses

On suppose la paroi parfaitement isotherme (capacité thermique infinie).

Donnée(s)

On utilise le résultat de la Q1 et la nouvelle donnée de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Couche visqueuse (Q1)	\(\delta_v\)	6.98 x 10⁻⁵	m
Nombre de Prandtl	\(Pr\)	0.71	-

Astuces

Pour les gaz, \(Pr\) est souvent proche de 1. Pour l'eau, il est beaucoup plus grand (environ 7). Le rapport \(\delta_t / \delta_v\) dépend donc crucialement du fluide !

Schéma (Avant les calculs)

Similaire au schéma de la Q1, mais on représente \(\delta_t\) (qui sera légèrement plus grand que \(\delta_v\)).

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(\delta_t\)

\begin{aligned} \delta_t &= \frac{\delta_v}{\sqrt{Pr}} \\ &= \frac{6.98 \times 10^{-5}}{\sqrt{0.71}} \\ &= \frac{6.98 \times 10^{-5}}{0.8426} \\ \delta_t &\approx 8.28 \times 10^{-5} \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Aucun schéma supplémentaire requis.

Réflexions

L'épaisseur thermique (\(\delta_t \approx 0.083\) mm) est, comme prévu, légèrement supérieure à l'épaisseur visqueuse (\(\delta_v \approx 0.070\) mm).

Points de vigilance

Ne pas confondre \(Pr\) et \(\sqrt{Pr}\) dans la formule. C'est une erreur fréquente.

Points à retenir

\(\delta_t = \delta_v / \sqrt{Pr}\).
Pour l'air (\(Pr \approx 0.71\)), \(\delta_t > \delta_v\).

Le saviez-vous ?

Dans les métaux liquides (comme le sodium), \(Pr\) est très petit (\(\ll 1\)). La chaleur diffuse donc beaucoup plus vite que la viscosité, et la couche limite thermique est immense par rapport à la couche visqueuse.

FAQ

...

Résultat Final

L'épaisseur de la couche limite thermique est \(\delta_t \approx 8.28 \times 10^{-5}\) m (soit 0.083 mm).

A vous de jouer

Si on était à 4000 Hz (où \(\delta_v \approx 0.035\) mm), que vaudrait \(\delta_t\) (en mm) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Formule : \(\delta_t = \delta_v / \sqrt{Pr}\).
Résultat (1kHz) : \(\delta_t \approx 0.083\) mm.

Question 3 : Calculer l'atténuation due aux effets visqueux, \(\alpha_v\), en Np/m.

Principe

Maintenant que nous avons l'épaisseur de la couche limite visqueuse, nous pouvons calculer la perte d'énergie (atténuation) due au frottement du fluide sur la paroi. Cette atténuation est proportionnelle à \(\delta_v\) mais inversement proportionnelle au rayon \(R\).

Mini-Cours

L'atténuation \(\alpha_v\) (en Neper par mètre, Np/m) décrit l'amplitude de la décroissance de l'onde. Une onde d'amplitude \(A_0\) devient \(A(x) = A_0 e^{-\alpha x}\). Plus \(\alpha\) est grand, plus le son s'éteint rapidement. L'atténuation visqueuse est due à la dissipation d'énergie par cisaillement dans la couche limite.

Remarque Pédagogique

La formule \(\alpha_v \approx \frac{\delta_v \omega}{2 R c_0}\) montre que l'atténuation est forte si :
- \(\delta_v\) est grande (fluide très visqueux).
- \(\omega\) est grande (haute fréquence).
- \(R\) est petit (tube très étroit).
- \(c_0\) est faible.

Normes

C'est l'approximation "Basse Fréquence Réduite" (Low Reduced Frequency - LRF) pour la partie visqueuse de l'atténuation de Kirchhoff.

Formule(s)

Atténuation visqueuse (LRF)

\alpha_v \approx \frac{\delta_v \omega}{2 R c_0}

Hypothèses

On suppose que \(R \gg \delta_v\). Vérifions : \(R = 1\) mm = 0.001 m. \(\delta_v \approx 0.00007\) m. On a bien \(R \gg \delta_v\), donc l'hypothèse est valide.

Donnée(s)

On utilise les résultats et données précédents. ATTENTION aux unités : \(R\) doit être en mètres !

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Couche visqueuse	\(\delta_v\)	6.98 x 10⁻⁵	m
Pulsation	\(\omega\)	6283	rad/s
Rayon du tube	\(R\)	1 x 10⁻³	m
Vitesse du son	\(c_0\)	343	m/s

Astuces

Le produit \(R c_0\) au dénominateur est homogène à une "surface de passage". Plus cette surface est grande, moins l'effet de paroi (et donc l'atténuation) est important.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser l'atténuation comme la décroissance exponentielle de l'amplitude de l'onde le long du tube.

Décroissance de l'amplitude \(A(x) = A_0 e^{-\alpha x}\)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(\alpha_v\)

\begin{aligned} \alpha_v &\approx \frac{\delta_v \omega}{2 R c_0} \\ &= \frac{(6.98 \times 10^{-5}) \times 6283}{2 \times (1 \times 10^{-3}) \times 343} \\ &= \frac{0.4385}{0.686} \\ \alpha_v &\approx 0.639 \text{ Np/m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Aucun schéma supplémentaire requis.

Réflexions

L'atténuation due à la viscosité seule est de 0.639 Np/m. Un Neper (Np) correspond à une réduction d'amplitude d'un facteur \(1/e \approx 0.37\). C'est une atténuation déjà notable.

Points de vigilance

Attention à l'unité de \(R\). 1 mm = \(10^{-3}\) m. Une erreur ici changerait le résultat d'un facteur 1000 !

Points à retenir

\(\alpha_v\) augmente avec la fréquence (comme \(\sqrt{f} \times f = f^{3/2}\) ? Non, \(\delta_v \propto 1/\sqrt{f}\), donc \(\alpha_v \propto \sqrt{f}\)).
\(\alpha_v\) augmente quand le tube se rétrécit (\(\propto 1/R\)).

Le saviez-vous ?

Pour convertir des Neper/m (Np/m) en décibels/m (dB/m), on utilise : \(\alpha_{dB} = 20 \log_{10}(e) \times \alpha_{Np} \approx 8.686 \times \alpha_{Np}\). Nos 0.639 Np/m valent donc environ 5.55 dB/m.

FAQ

...

Résultat Final

L'atténuation visqueuse est \(\alpha_v \approx 0.639\) Np/m.

A vous de jouer

Que vaudrait \(\alpha_v\) (en Np/m) si la fréquence était de 4000 Hz (\(\omega \approx 25132\) rad/s, \(\delta_v \approx 0.035\) mm) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Formule : \(\alpha_v \approx \frac{\delta_v \omega}{2 R c_0}\).
Résultat (1kHz, 1mm) : \(\alpha_v \approx 0.639\) Np/m.

Question 4 : Calculer l'atténuation due aux effets thermiques, \(\alpha_t\), en Np/m.

Principe

L'onde acoustique comprime et détend le fluide (changement de température), mais la paroi reste à température fixe. Le transfert de chaleur qui en résulte dissipe de l'énergie. C'est l'atténuation thermique \(\alpha_t\).

Mini-Cours

Cette atténuation est proportionnelle à \(\delta_t\) (la taille de la zone d'échange) et au facteur \(\gamma-1\). \(\gamma\) (gamma) est le rapport des capacités thermiques (\(C_p/C_v\)). Le terme \(\gamma-1\) représente "l'efficacité" de la conversion de l'énergie de compression en chaleur.

Remarque Pédagogique

La structure de la formule pour \(\alpha_t\) est identique à celle pour \(\alpha_v\), à deux détails près : on utilise \(\delta_t\) au lieu de \(\delta_v\), et on multiplie par le facteur \(\gamma-1\).

Normes

C'est l'approximation LRF pour la partie thermique de l'atténuation de Kirchhoff.

Formule(s)

Atténuation thermique (LRF)

\alpha_t \approx \frac{(\gamma-1) \delta_t \omega}{2 R c_0}

Hypothèses

On suppose que \(R \gg \delta_t\). Vérifions : \(R = 0.001\) m. \(\delta_t \approx 0.000083\) m. L'hypothèse est valide.

Donnée(s)

On utilise les résultats et données précédents.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Couche thermique	\(\delta_t\)	8.28 x 10⁻⁵	m
Pulsation	\(\omega\)	6283	rad/s
Rayon du tube	\(R\)	1 x 10⁻³	m
Vitesse du son	\(c_0\)	343	m/s
Rapport Cap. Thermiques	\(\gamma\)	1.4	-

Astuces

Puisque \(\alpha_t\) a la même structure que \(\alpha_v\), on peut écrire \(\alpha_t = (\gamma-1) \frac{\delta_t}{\delta_v} \alpha_v\). Comme \(\delta_t = \delta_v / \sqrt{Pr}\), on a \(\alpha_t = \frac{\gamma-1}{\sqrt{Pr}} \alpha_v\).
Vérifions : \(\frac{1.4-1}{\sqrt{0.71}} \times 0.639 = \frac{0.4}{0.8426} \times 0.639 \approx 0.303\) Np/m. Ça fonctionne !

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'atténuation de la Q3 est toujours valable, \(\alpha_t\) s'ajoute simplement à \(\alpha_v\).

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(\alpha_t\)

\begin{aligned} \alpha_t &\approx \frac{(\gamma-1) \delta_t \omega}{2 R c_0} \\ &= \frac{(1.4 - 1) \times (8.28 \times 10^{-5}) \times 6283}{2 \times (1 \times 10^{-3}) \times 343} \\ &= \frac{0.4 \times 0.5201}{0.686} \\ &= \frac{0.208}{0.686} \\ \alpha_t &\approx 0.303 \text{ Np/m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Aucun schéma supplémentaire requis.

Réflexions

L'atténuation thermique (\(0.303\) Np/m) est plus faible que la visqueuse (\(0.639\) Np/m). Pour l'air, l'effet visqueux domine l'effet thermique dans l'atténuation.

Points de vigilance

Ne pas oublier le facteur \((\gamma-1)\). Pour un gaz monoatomique comme l'Hélium (\(\gamma \approx 1.67\)), ce facteur est plus grand. Pour l'air (\(\gamma \approx 1.4\)), il vaut 0.4.

Points à retenir

\(\alpha_t\) a la même dépendance en fréquence (\(\sqrt{f}\)) et rayon (\(1/R\)) que \(\alpha_v\).
Le rapport \(\alpha_v / \alpha_t \approx \sqrt{Pr} / (\gamma-1)\) est constant pour un gaz donné.

Le saviez-vous ?

Dans les matériaux poreux, utilisés pour l'isolation acoustique, ces tubes sont de toutes petites tailles (micromètres). L'atténuation y est donc extrêmement forte, ce qui explique leur capacité à "manger" le son.

FAQ

...

Résultat Final

L'atténuation thermique est \(\alpha_t \approx 0.303\) Np/m.

A vous de jouer

Que vaudrait \(\alpha_t\) (en Np/m) si la fréquence était de 4000 Hz (\(\omega \approx 25132\) rad/s, \(\delta_t \approx 0.0415\) mm) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Formule : \(\alpha_t \approx \frac{(\gamma-1) \delta_t \omega}{2 R c_0}\).
Résultat (1kHz, 1mm) : \(\alpha_t \approx 0.303\) Np/m.

Question 5 : Calculer l'atténuation totale \(\alpha\), et la nouvelle vitesse de phase \(c_{vt}\) dans le tube.

Principe

L'atténuation totale est simplement la somme des deux effets (visqueux et thermique). La vitesse de phase est également modifiée : comme le fluide est "freiné" par les parois, l'onde se propage globalement moins vite que dans l'air libre.

Mini-Cours

L'atténuation totale est \(\alpha = \alpha_v + \alpha_t\). La vitesse de phase (vitesse de propagation des "crêtes" de l'onde) est modifiée par les mêmes effets de couche limite. Dans l'approximation LRF, la vitesse est réduite. On dit que le milieu est dispersif : la vitesse du son dépend de la fréquence et de la géométrie, ce n'est plus une constante \(c_0\).

Remarque Pédagogique

Le son est ralenti. Cela signifie que pour une fréquence \(f\) donnée, la longueur d'onde \(\lambda = c_{vt} / f\) sera plus courte à l'intérieur du tube que dans l'air libre.

Normes

C'est la solution LRF complète (atténuation et dispersion) pour un tube cylindrique.

Formule(s)

Atténuation Totale

\alpha = \alpha_v + \alpha_t

Vitesse de Phase (LRF)

c_{vt} \approx c_0 \left( 1 - \frac{\delta_v + (\gamma-1)\delta_t}{2R} \right)

Hypothèses

Les hypothèses LRF (\(R \gg \delta_v, \delta_t\)) restent valides.

Donnée(s)

On rassemble tous nos résultats précédents.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Atténuation visqueuse	\(\alpha_v\)	0.639	Np/m
Atténuation thermique	\(\alpha_t\)	0.303	Np/m
Couche visqueuse	\(\delta_v\)	6.98 x 10⁻⁵	m
Couche thermique	\(\delta_t\)	8.28 x 10⁻⁵	m
Rayon du tube	\(R\)	1 x 10⁻³	m
Vitesse son libre	\(c_0\)	343	m/s
Rapport Cap. Thermiques	\(\gamma\)	1.4	-

Astuces

Le terme \(\frac{\delta_v + (\gamma-1)\delta_t}{2R}\) représente la "réduction de vitesse relative". Calculons-le : \(\frac{6.98 \times 10^{-5} + (1.4-1)(8.28 \times 10^{-5})}{2 \times 10^{-3}} = \frac{6.98 \times 10^{-5} + 3.312 \times 10^{-5}}{0.002} = \frac{10.292 \times 10^{-5}}{0.002} \approx 0.0515\). On s'attend à une réduction de vitesse d'environ 5.15%.

Schéma (Avant les calculs)

Aucun schéma nouveau n'est nécessaire.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(\alpha\)

\begin{aligned} \alpha &= \alpha_v + \alpha_t \\ &= 0.639 + 0.303 \\ \alpha &= 0.942 \text{ Np/m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(c_{vt}\)

\begin{aligned} c_{vt} &\approx c_0 \left( 1 - \frac{\delta_v + (\gamma-1)\delta_t}{2R} \right) \\ &\approx 343 \times \left( 1 - \frac{6.98 \times 10^{-5} + (1.4-1)(8.28 \times 10^{-5})}{2 \times 10^{-3}} \right) \\ &\approx 343 \times ( 1 - 0.05146 ) \\ &\approx 343 \times 0.94854 \\ c_{vt} &\approx 325.4 \text{ m/s} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

...

Réflexions

L'atténuation totale est de 0.942 Np/m (soit \(8.686 \times 0.942 \approx 8.18\) dB/m). Après 1 mètre de propagation dans ce tube de 1mm de rayon, l'onde a perdu 8.18 dB. De plus, sa vitesse n'est plus que de 325.4 m/s, au lieu de 343 m/s dans l'air libre.

Points de vigilance

Ce modèle LRF est une approximation. Il ne fonctionne que si \(R\) est grand devant \(\delta_v\) et \(\delta_t\). Si le tube est très fin ou la fréquence très basse (cas "capillaire"), d'autres modèles (comme la loi de Poiseuille) s'appliquent.

Points à retenir

Les effets visco-thermiques en tube créent de l'atténuation ET de la dispersion (ralentissement).
Atténuation totale \(\alpha = \alpha_v + \alpha_t\).
Vitesse ralentie \(c_{vt} < c_0\).

Le saviez-vous ?

Ce ralentissement du son est crucial dans les instruments à vent. La longueur "effective" d'un tube (par exemple une flûte) est légèrement plus longue que sa longueur physique à cause de ces effets, ce qui modifie la justesse des notes !

FAQ

...

Résultat Final

Atténuation totale : \(\alpha \approx 0.942\) Np/m.
Vitesse de phase : \(c_{vt} \approx 325.4\) m/s.

A vous de jouer

En utilisant le résultat \(\alpha \approx 0.942\) Np/m, quelle est l'atténuation totale en dB/m ? (Rappel : \(\alpha_{dB} \approx 8.686 \times \alpha_{Np}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Formules : \(\alpha = \alpha_v + \alpha_t\), \(c_{vt} \approx c_0 ( 1 - ... )\).
Résultat (1kHz, 1mm) : \(\alpha \approx 0.942\) Np/m, \(c_{vt} \approx 325.4\) m/s.

Outil Interactif : Simulateur d'Amortissement

Utilisez cet outil pour voir comment l'atténuation et la vitesse de phase changent en fonction de la fréquence (\(f\)) et du rayon du tube (\(R\)).

Paramètres d'Entrée

Fréquence, \(f\) (Hz) 1000 Hz

Rayon du tube, \(R\) (mm) 1.0 mm

Résultats Clés

Atténuation totale, \(\alpha\) (dB/m) -

Vitesse de phase, \(c_{vt}\) (m/s) -

Glossaire

Atténuation (\(\alpha\)): Coefficient décrivant la perte d'amplitude d'une onde lors de sa propagation. Souvent mesuré en Np/m (Neper/mètre) ou dB/m (décibel/mètre).
Couche Limite Visqueuse (\(\delta_v\)): Fine couche de fluide près d'une paroi où les forces de frottement (viscosité) sont dominantes et où la vitesse du fluide est significativement réduite.
Couche Limite Thermique (\(\delta_t\)): Fine couche de fluide près d'une paroi où les échanges de chaleur avec celle-ci sont dominants, modifiant la température locale du fluide.
Dispersion: Phénomène par lequel la vitesse de propagation d'une onde (vitesse de phase) dépend de sa fréquence. Dans le tube, le son est dispersif.
Nombre de Prandtl (\(Pr\)): Nombre sans dimension comparant la capacité d'un fluide à diffuser la quantité de mouvement (viscosité) et sa capacité à diffuser la chaleur.
Viscosité (\(\eta\)): Propriété d'un fluide qui mesure sa résistance à l'écoulement (frottement interne). C'est la cause des pertes visqueuses.

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