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Calcul des Fréquences de la Gamme Tempérée

Exercice : Fréquences de la Gamme Tempérée

Calcul des Fréquences de la Gamme Tempérée

Contexte : L'acoustique musicale et la Gamme TempéréeUn système d'accord musical qui divise l'octave en 12 demi-tons chromatiques égaux..

Cet exercice explore les fondements mathématiques de la musique occidentale moderne. Nous allons apprendre à calculer la fréquence de n'importe quelle note (Do, Ré, Mi...) en partant d'une fréquence de référence, le 'La' 440 Hz. Ce système, appelé 'gamme à tempérament égal', est la raison pour laquelle la musique sonne 'juste' dans toutes les tonalités sur un piano ou une guitare.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser une formule exponentielle fondamentale en acoustique musicale et à comprendre la relation logarithmique entre la hauteur perçue d'un son et sa fréquence physique (mesurée en Hertz).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la définition de la gamme tempéréeSystème d'accord divisant l'octave en 12 demi-tons égaux. et du demi-tonPlus petit intervalle de la gamme tempérée, rapport de fréquence de 2^(1/12)..
Savoir appliquer la formule de calcul de fréquence \( f(n) = f_0 \times r^n \).
Calculer la fréquence de n'importe quelle note à partir de la note de référence \(A_4\) = 440 Hz.

Données de l'étude

L'exercice est basé sur le système international d'accordage musical (diapason standard) et la gamme à tempérament égal.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Note de Référence (Diapason)	\(A_4\) (La 4)
Fréquence de Référence (\(f_0\))	440 Hz
Division de l'Octave (N)	12 demi-tons égaux

Visualisation d'une Octave sur Clavier

Nom du Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Rapport de demi-ton (\(r\))	\( 2^{(1/12)} \)	\( \approx 1.059463 \)	Sans dimension
Rapport d'octave (\(R\))	\( r^{12} = (2^{(1/12)})^{12} \)	\( 2 \)	Sans dimension

Questions à traiter

Calculer la valeur exacte et la valeur approchée (6 décimales) du rapport de fréquence \(r\) pour un demi-ton.
En partant de \(A_4\) = 440 Hz, calculer la fréquence de la note \(A_5\) (le 'La' de l'octave supérieure, situé à +12 demi-tons).
Calculer la fréquence de la note \(C_5\) ('Do 5'), située 3 demi-tons au-dessus de \(A_4\).
Calculer la fréquence de la note \(G_4\) ('Sol 4'), située 2 demi-tons en dessous de \(A_4\).
Calculer la fréquence de la note \(C_4\) ('Do 4'), située 9 demi-tons en dessous de \(A_4\).

Les bases sur l'Acoustique Musicale

Pour comprendre cet exercice, nous devons définir la relation mathématique qui régit les notes de la musique occidentale moderne. Le système actuel est basé sur une division "géométrique" de l'octave.

1. L'Octave et le Demi-Ton
Une octaveIntervalle entre deux notes où la fréquence double (rapport 2:1). est l'intervalle entre deux notes où la fréquence de la plus haute est le double de la plus basse (un rapport de 2:1). Dans la gamme tempérée, cette octave est divisée en 12 intervalles égaux, appelés demi-tonsPlus petit intervalle de la gamme tempérée, rapport de fréquence de 2^(1/12).. Le rapport de fréquence \(r\) pour un demi-ton doit, lorsqu'il est multiplié 12 fois par lui-même (une progression géométrique), être égal à 2. \[ r \times r \times ... \times r \text{ (12 fois)} = r^{12} = 2 \] \[ \Rightarrow r = \sqrt[12]{2} = 2^{(1/12)} \]

2. La Formule des Fréquences
Pour trouver la fréquence \(f(n)\) d'une note située à \(n\) demi-tons d'une note de référence \(f_0\), on utilise la formule exponentielle.

Si \(n\) est positif, la note est plus aiguë (ex: +1 demi-ton).
Si \(n\) est négatif, la note est plus grave (ex: -1 demi-ton).

\[ f(n) = f_0 \times r^n = f_0 \times (2^{(1/12)})^n \]

Correction : Calcul des Fréquences de la Gamme Tempérée

Question 1 : Calculer la valeur exacte et la valeur approchée (6 décimales) du rapport de fréquence \(r\) pour un demi-ton.

Principe

Le principe est de trouver le nombre \(r\) tel que \(r^{12} = 2\). Cela revient à calculer la racine douzième de 2.

Mini-Cours

La gamme tempérée est une suite géométrique de raison \(r\). Chaque note est obtenue en multipliant la fréquence de la note précédente par \(r\). Après 12 multiplications (12 demi-tons), on doit avoir parcouru une octave, c'est-à-dire avoir multiplié la fréquence de départ par 2.

Remarque Pédagogique

C'est le concept le plus important de l'acoustique moderne. La perception des notes est logarithmique (basée sur des rapports), c'est pourquoi la gamme est construite sur une multiplication (géométrique) et non une addition (arithmétique).

Normes

Ce calcul est la définition même du système à "tempérament égal" (12-TET, ou 12-Tone Equal Temperament), qui est la norme de facto pour la musique occidentale depuis le 18ème siècle.

Formule(s)

La seule formule nécessaire ici est la définition de \(r\).

Ceci est l'équation de base de notre problème, basée sur la définition de l'octave.

r^{12} = 2

Cette équation exprime que le rapport de demi-ton \(r\), multiplié 12 fois par lui-même, doit être égal au rapport d'octave (2).

Pour trouver \(r\), nous appliquons la fonction mathématique inverse de la puissance 12, qui est la racine 12e (ou puissance 1/12).

r = \sqrt[12]{2} = 2^{(1/12)}

C'est la valeur *exacte* de \(r\). Toute la gamme tempérée est basée sur ce nombre irrationnel.

Hypothèses

On suppose qu'on est dans un système à tempérament égal où l'octave est la seule consonance "pure" (rapport exact de 2).

Donnée(s)

Les seules données sont le rapport d'octave (2) et le nombre de divisions (12).

Astuces

Sur la plupart des calculatrices, \(1/12\) est une fraction périodique (0.08333...). Il est plus précis d'utiliser la fonction \(x^y\) (ou \(\sqrt[x]{y}\)) en tapant \(2^{ (1 \div 12) }\) avec des parenthèses pour garantir la priorité de l'opération.

Schéma (Avant les calculs)

Un schéma n'est pas nécessaire pour ce calcul purement mathématique, qui est une définition de base. Le problème est de trouver \(r\), pas de l'appliquer.

Calcul(s)

On part de la définition. Le rapport \(r\) multiplié 12 fois par lui-même donne 2.

Étape 1 : Poser l'équation

L'équation de base est posée :

r^{12} = 2

Ceci est la définition mathématique de la gamme tempérée à 12 tons.

Étape 2 : Isoler \(r\) (Valeur exacte)

Pour isoler \(r\), on prend la racine douzième des deux côtés, ce qui est identique à élever à la puissance \(1/12\).

On obtient la formule pour \(r\) :

r = \sqrt[12]{2} = 2^{(1/12)}

Ceci est la valeur exacte, qui est la plus importante conceptuellement.

Étape 3 : Calcul de la valeur approchée

Sur une calculatrice, on utilise la fonction puissance \(x^y\). On tape \(2 \text{ [x^y]} (1 / 12)\) ou \(2 \text{ [^]} (0.08333...)\).

Le calcul numérique donne :

r \approx 1.059463094...

La calculatrice nous donne une valeur avec de nombreuses décimales.

Étape 4 : Arrondi à 6 décimales

On garde les 6 premiers chiffres après la virgule, en regardant le 7ème (0) pour arrondir.

On conserve 6 décimales pour la précision :

r \approx 1.059463

C'est la valeur approchée que nous pouvons utiliser pour les calculs suivants.

Schéma (Après les calculs)

Aucun schéma de résultat (comme un diagramme) n'est pertinent pour le calcul d'une seule valeur constante.

Réflexions

Ce nombre, \(r \approx 1.059463\), est fondamental. Il représente une augmentation de fréquence d'environ 5.95%. C'est le "pas" multiplicatif pour passer d'une note à la suivante (par exemple, de C à C#).

Points de vigilance

Ne pas confondre avec une division arithmétique. Le calcul \(2 / 12\) n'a aucun sens ici. Il s'agit d'une progression géométrique (multiplicative), pas arithmétique (additive).

Points à retenir

Le rapport d'un demi-ton est \(r = 2^{(1/12)}\).
Ce rapport est la "raison" de la suite géométrique des fréquences.

Le saviez-vous ?

Le "cent" est une unité plus fine qui divise le demi-ton en 100 parties égales (logarithmiquement). Un demi-ton vaut 100 cents, et une octave vaut 1200 cents. Le rapport pour un seul cent est donc \(2^{(1/1200)}\) !

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le rapport de fréquence pour un demi-ton est \(r = 2^{(1/12)} \approx 1.059463\).

A vous de jouer

Certains systèmes musicaux explorent d'autres divisions. Quel serait le rapport \(r\) pour une gamme divisant l'octave en 19 tons égaux (gamme 19-TET) ? (Calculez \(2^{(1/19)}\) à 6 décimales)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : L'octave (rapport 2) est divisée en 12 pas multiplicatifs égaux.
Formule Essentielle : \(r = 2^{(1/12)}\).
Valeur : \(r \approx 1.059463\).

Question 2 : En partant de \(A_4\) = 440 Hz, calculer la fréquence de la note \(A_5\) (le 'La' de l'octave supérieure, situé à +12 demi-tons).

Principe

La note \(A_5\) est située à une octave complète au-dessus de \(A_4\). Une octave correspond par définition à un intervalle de \(n = 12\) demi-tons. Nous pouvons donc soit appliquer la formule générale, soit utiliser directement la définition de l'octave qui stipule qu'un doublement de la fréquence a lieu.

Mini-Cours

L'octave est l'intervalle le plus fondamental en musique. C'est le seul intervalle "pur" (un rapport exact de 2) qui est préservé dans la gamme à tempérament égal. Toutes les autres notes (tierces, quintes) sont de légers compromis. Appliquer la formule \(r^{12}\) doit mathématiquement nous ramener à 2, comme démontré dans la Q1.

Remarque Pédagogique

Cette question est une vérification de la cohérence de la formule de base. Si \(r = 2^{(1/12)}\), alors \(r^{12}\) *doit* être égal à 2. C'est un bon moyen de s'assurer que l'on a compris le concept de la Question 1.

Normes

Le calcul repose sur la norme ISO 16:1975 qui fixe le diapason \(A_4\) à 440 Hz et le système de tempérament égal (12 demi-tons par octave).

Formule(s)

Formule générale

La formule de base pour \(n\) demi-tons :

f(n) = f_0 \times (2^{(1/12)})^n

Elle relie la fréquence de référence \(f_0\) à la nouvelle fréquence \(f(n)\).

Simplification pour l'octave (\(n=12\))

Lorsque \(n=12\), la formule se simplifie grandement :

f(12) = f_0 \times (2^{(1/12)})^{12} = f_0 \times 2^{(12/12)} = f_0 \times 2

Ceci confirme que 12 demi-tons équivalent à un doublement de fréquence.

Hypothèses

On suppose que l'instrument est parfaitement accordé selon le tempérament égal.

Donnée(s)

Nous avons les données de l'énoncé pour ce calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence de référence	\(f_0\)	440	Hz
Intervalle	\(n\)	+12	demi-tons

Astuces

Pour une octave, il n'y a pas besoin de calculer \(r^{12}\). Par définition, c'est égal à 2. Le calcul est une simple multiplication par 2.

Schéma (Avant les calculs)

Aucun schéma n'est requis. Le problème est une application directe de la formule pour \(n=12\), qui représente une octave complète.

Calcul(s)

Nous allons utiliser la formule générale \(f(n) = f_0 \times r^n\) avec \(n=12\).

Étape 1 : Remplacer les valeurs

On remplace \(f_0\) par 440, et \(r\) par sa valeur exacte \(2^{(1/12)}\), et \(n\) par 12.

Nous posons l'équation complète :

f(12) = 440 \times (2^{(1/12)})^{12}

L'équation est posée. L'étape suivante consiste à simplifier le terme de puissance.

Étape 2 : Simplifier l'exposant

On utilise la règle de puissance \((x^a)^b = x^{a \times b}\). Ici, \(a = 1/12\) et \(b = 12\).

La simplification mathématique des exposants donne :

(2^{(1/12)})^{12} = 2^{(1/12) \times 12} = 2^{(12/12)} = 2^1 = 2

Comme attendu, la puissance 12 du rapport de demi-ton \(r\) est exactement 2. Le rapport d'octave est bien 2.

Étape 3 : Calcul final

On remplace le terme de puissance simplifié (qui vaut 2) dans l'équation de l'Étape 1.

Le calcul devient une simple multiplication :

f(12) = 440 \times 2 = 880 \text{ Hz}

Le résultat final est 880 Hz, ce qui est le double exact de 440 Hz, confirmant la définition de l'octave.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur unique (880 Hz), il n'y a pas de diagramme à tracer.

Réflexions

Le calcul confirme parfaitement la définition de l'octave. La fréquence double exactement. De même, la fréquence de \(A_3\) (l'octave en dessous, \(n = -12\)) serait \(440 \times 2^{-1} = 440 / 2 = 220 \text{ Hz}\).

Points de vigilance

Il n'y a pas de piège majeur ici, car c'est le calcul le plus simple. L'erreur serait de ne pas comprendre *pourquoi* \(r^{12}\) est égal à 2, ce qui a été démontré à la Question 1.

Points à retenir

12 demi-tons = 1 octave.
1 octave = un rapport de fréquence de 2.
\(A_5\) a une fréquence double de \(A_4\).

Le saviez-vous ?

Le diapason n'a pas toujours été à 440 Hz. À l'époque baroque (par exemple, pour la musique de J.S. Bach ou Haendel), il était souvent plus bas, autour de 415 Hz. Un "La" baroque sonnait donc presque un demi-ton plus bas que notre "La" moderne.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La fréquence de \(A_5\) est de 880 Hz.

A vous de jouer

En utilisant la même logique, quelle est la fréquence de \(A_3\) (l'octave *en dessous* de \(A_4\), \(n = -12\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Octave = 12 demi-tons = Rapport 2:1.
Calcul : \(f(A_5) = f(A_4) \times 2 = 880 \text{ Hz}\).

Question 3 : Calculer la fréquence de la note \(C_5\) ('Do 5'), située 3 demi-tons au-dessus de \(A_4\).

Principe

Nous devons "monter" de 3 "pas" multiplicatifs (demi-tons) à partir de la fréquence de référence. Le compte sur un clavier est : \(A_4 \rightarrow A\#_4 \rightarrow B_4 \rightarrow C_5\). (La -> La# -> Si -> Do). Cela correspond à \(n = +3\).

Mini-Cours

L'intervalle de 3 demi-tons est appelé une "tierce mineure". Dans la gamme tempérée, sa valeur est \(r^3 = 2^{(3/12)} = 2^{(1/4)}\). C'est un compromis mathématique. Une tierce mineure "pure" (basée sur les harmoniques naturelles) aurait un rapport de 6/5 (soit 1.2). La version tempérée est \(2^{(1/4)} \approx 1.1892\), ce qui est très proche et permet de jouer dans toutes les tonalités.

Remarque Pédagogique

Cette question teste l'application de la formule pour un intervalle \(n\) quelconque et positif. C'est le cas le plus courant pour trouver une note plus aiguë.

Normes

Le calcul est une application directe du système à tempérament égal (12-TET).

Formule(s)

Formule générale

On utilise la formule de base :

f(n) = f_0 \times r^n = f_0 \times (2^{(1/12)})^n

Ici, \(f_0 = 440\) et \(n = 3\).

Hypothèses

On suppose un accordage parfait au diapason 440 Hz.

Donnée(s)

Données nécessaires pour ce calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence de référence	\(f_0\)	440	Hz
Intervalle	\(n\)	+3	demi-tons
Rapport de demi-ton	\(r\)	\(2^{(1/12)} \approx 1.059463\)

Astuces

Notez la simplification de l'exposant : \(n=3\) donne \(2^{(3/12)}\), qui se simplifie en \(2^{(1/4)}\) (ou \(\sqrt[4]{2}\)). C'est plus simple à taper sur une calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)

Un schéma de clavier (comme celui de l'énoncé) est la seule aide visuelle utile. Il permet de compter les 3 demi-tons : A \(\rightarrow\) A# (1), A# \(\rightarrow\) B (2), B \(\rightarrow\) C (3). L'absence de touche noire entre B (Si) et C (Do) confirme que l'intervalle n'est que d'un demi-ton.

Calcul(s)

On applique la formule \(f(n) = f_0 \times r^n\) avec \(n=+3\). Nous avons deux façons de calculer :

Méthode 1 : Avec la valeur exacte (préférée)

Étape 1a : Remplacer les valeurs exactes.

On remplace \(f_0 = 440\) et \(n = 3\) dans la formule \(f(n) = f_0 \times (2^{(1/12)})^n\).

f(3) = 440 \times (2^{(1/12)})^3

L'équation est posée avec les valeurs exactes.

Étape 1b : Simplifier l'exposant en utilisant \((x^a)^b = x^{a \times b}\).

On simplifie la partie exponentielle : \((1/12) \times 3 = 3/12\), qui se simplifie en \(1/4\).

2^{(1/12) \times 3} = 2^{(3/12)} = 2^{(1/4)}

Donc, un intervalle de 3 demi-tons correspond à un rapport de fréquence de \(2^{(1/4)}\) (racine quatrième de 2).

Étape 1c : Calculer la valeur. \(2^{(1/4)}\) est la racine quatrième de 2 (\(\sqrt[4]{2}\)), qui vaut \(\approx 1.189207...\)

On calcule la valeur numérique : on trouve d'abord \(2^{(1/4)} \approx 1.189207...\), puis on multiplie par 440.

f(3) = 440 \times 2^{(1/4)} \] \[ \approx 440 \times 1.189207... \] \[ \approx 523.251... \text{ Hz}

La fréquence du \(C_5\) est donc d'environ 523.25 Hz.

Méthode 2 : Avec la valeur approchée (moins précise)

Étape 2a : Remplacer \(r\) par sa valeur approchée de la Q1.

Ici, on utilise la valeur \(r \approx 1.059463\) calculée à la Q1 et on l'élève à la puissance \(n=3\).

f(3) \approx 440 \times (1.059463)^3

C'est l'application directe de la formule \(f(n) = f_0 \times r^n\) avec la valeur approchée de r.

Étape 2b : Calculer la puissance \((1.059463)^3\).

On calcule d'abord la puissance : \(r^3\).

(1.059463)^3 = 1.059463 \times 1.059463 \times 1.059463 \approx 1.189207...

On retrouve bien la même valeur que \(2^{(1/4)}\).

Étape 2c : Calculer le produit final.

On multiplie ce rapport par la fréquence de base \(f_0\).

f(3) \approx 440 \times 1.189207... \] \[ \approx 523.251... \text{ Hz}

Le résultat est identique, confirmant que les deux méthodes sont valides. L'utilisation de \(2^{(1/4)}\) est juste mathématiquement plus élégante.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur unique (523.25 Hz). Aucun diagramme n'est nécessaire.

Réflexions

La fréquence du Do 5 est d'environ 523.25 Hz. C'est une note standard, souvent référencée. Le fait que la formule exacte soit \(440 \times 2^{(1/4)}\) montre la logique mathématique sous-jacente.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de faire un calcul arithmétique (additif) au lieu de géométrique (multiplicatif). Par exemple, \(440 + (r \times 3)\) ou \(440 \times (1 + r \times 3)\) sont des erreurs fondamentales. Il faut impérativement utiliser la puissance : \(440 \times r^3\).

Points à retenir

La formule s'applique pour n'importe quel intervalle \(n\).
Monter de \(n\) demi-tons = multiplier la fréquence par \(r^n\).
\(A_4 \rightarrow C_5\) est un intervalle de +3 demi-tons.

Le saviez-vous ?

L'intervalle A4 \(\rightarrow\) C5 (tierce mineure) est ce qui donne sa couleur "triste" ou "mélancolique" à un accord mineur (par exemple, l'accord de La mineur est composé des notes La, Do, et Mi).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La fréquence de \(C_5\) est \(440 \times 2^{(1/4)} \text{ Hz}\), soit environ 523.25 Hz.

A vous de jouer

Quelle est la fréquence de \(E_5\) (Mi 5), située 7 demi-tons au-dessus de \(A_4\) (c'est une "quinte") ? (Calculez \(440 \times r^7\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Tierce mineure tempérée = +3 demi-tons.
Calcul : \(f(C_5) = f(A_4) \times r^3 \approx 523.25 \text{ Hz}\).

Question 4 : Calculer la fréquence de la note \(G_4\) ('Sol 4'), située 2 demi-tons en dessous de \(A_4\).

Principe

Nous devons "descendre" de 2 demi-tons à partir de 440 Hz. Descendre signifie utiliser un intervalle \(n\) négatif, donc \(n = -2\). Le compte est : \(A_4 \rightarrow G\#_4 / A\flat_4 \rightarrow G_4\). (La -> Sol# -> Sol). Le résultat doit être *inférieur* à 440 Hz.

Mini-Cours

Un exposant négatif \(x^{-n}\) est mathématiquement identique à \(1 / x^n\). Par conséquent, calculer \(f_0 \times r^{-2}\) est la même chose que \(f_0 / r^2\). Descendre d'un intervalle revient à *diviser* par le rapport de cet intervalle. L'intervalle de 2 demi-tons s'appelle un "ton" (ou seconde majeure).

Remarque Pédagogique

Cette question teste la compréhension des intervalles descendants (\(n\) négatif). C'est l'opposé de la Q3. Au lieu de multiplier par \(r^n\), on peut voir cela comme une *division* par \(r^n\).

Normes

Application du tempérament égal (12-TET).

Formule(s)

On utilise la formule de base avec \(n = -2\) :

f(n) = f_0 \times r^n = f_0 \times (2^{(1/12)})^n

Soit \(f(-2) = 440 \times (2^{(1/12)})^{-2}\).

Hypothèses

Accordage parfait au diapason 440 Hz.

Donnée(s)

Données nécessaires pour ce calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence de référence	\(f_0\)	440	Hz
Intervalle	\(n\)	-2	demi-tons
Rapport de demi-ton	\(r\)	\(2^{(1/12)} \approx 1.059463\)

Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul avec les exposants négatifs sur certaines calculatrices, il est souvent plus intuitif de calculer le rapport positif (\(r^2 \approx 1.122462\)) puis de diviser la fréquence de référence par ce nombre (\(440 / 1.122462\)).

Schéma (Avant les calculs)

Comme pour la Q3, un clavier visuel aide à compter *vers le bas* : A \(\rightarrow\) G# (ou A\(\flat\)) (pas 1, n=-1), G# \(\rightarrow\) G (pas 2, n=-2). L'intervalle est donc bien de -2 demi-tons.

Calcul(s)

On applique la formule \(f(n) = f_0 \times r^n\) avec \(n=-2\).

Méthode 1 : Avec la valeur exacte

Étape 1a : Remplacer les valeurs exactes.

On remplace \(f_0 = 440\), \(n = -2\) et \(r = 2^{(1/12)}\).

f(-2) = 440 \times (2^{(1/12)})^{-2}

L'équation est posée. Notez l'exposant négatif.

Étape 1b : Simplifier l'exposant. \((1/12) \times -2 = -2/12\), qui se simplifie en \(-1/6\).

La simplification de la puissance donne :

f(-2) = 440 \times 2^{(-1/6)}

La formule exacte est donc \(440\) fois \(2\) à la puissance \(-1/6\).

Étape 1c : Utiliser la règle \(x^{-a} = 1 / x^a\). Donc \(2^{(-1/6)} = 1 / 2^{(1/6)}\).

Pour calculer, on transforme l'exposant négatif en division :

f(-2) = \frac{440}{2^{(1/6)}}

Descendre de 2 demi-tons revient à diviser par \(2^{(1/6)}\).

Étape 1d : Calculer la valeur. \(2^{(1/6)}\) (ou \(\sqrt[6]{2}\)) vaut \(\approx 1.122462...\)

On calcule d'abord le dénominateur \(2^{(1/6)} \approx 1.122462...\). Puis on effectue la division.

f(-2) \approx \frac{440}{1.122462...} \approx 391.995... \text{ Hz}

La fréquence du \(G_4\) est donc d'environ 392 Hz.

Méthode 2 : Avec la valeur approchée (plus intuitive)

Étape 2a : Remplacer \(r\) par sa valeur approchée.

On utilise la valeur \(r \approx 1.059463\) avec l'exposant \(n = -2\).

f(-2) \approx 440 \times (1.059463)^{-2}

C'est la formule directe avec la valeur approchée.

Étape 2b : Utiliser la règle \(x^{-2} = 1 / x^2\).

On transforme l'exposant négatif en division :

f(-2) \approx \frac{440}{(1.059463)^2}

Cette forme est souvent plus facile à calculer sans erreur.

Étape 2c : Calculer le dénominateur. \((1.059463)^2 \approx 1.122462...\)

On calcule la puissance au dénominateur :

f(-2) \approx \frac{440}{1.122462...} \approx 391.995... \text{ Hz}

Le résultat est identique et est arrondi à 392.00 Hz.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur unique (392.00 Hz). Aucun diagramme n'est nécessaire.

Réflexions

Le résultat est d'environ 392 Hz. C'est la fréquence standard de la note Sol 4. Comme prévu, elle est inférieure à 440 Hz.

Points de vigilance

Assurez-vous que votre calculatrice gère correctement les exposants négatifs. Vérifiez toujours que pour un \(n\) négatif, la fréquence résultante est bien inférieure à la fréquence de départ.

Points à retenir

Un intervalle descendant (plus grave) correspond à un \(n\) négatif.
Descendre de \(n\) demi-tons = multiplier par \(r^{-n}\) (ou diviser par \(r^n\)).

Le saviez-vous ?

L'intervalle de 2 demi-tons (comme A \(\rightarrow\) G, ou Do \(\rightarrow\) Ré) s'appelle un "ton" ou une "seconde majeure". C'est l'intervalle de base de la plupart des gammes (ex: la gamme majeure est une suite de tons et demi-tons : Ton-Ton-Demi-ton-Ton-Ton-Ton-Demi-ton).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La fréquence de \(G_4\) est \(440 \times 2^{(-1/6)} \text{ Hz}\), soit environ 392.00 Hz.

A vous de jouer

Quelle est la fréquence de \(F_4\) (Fa 4), située 4 demi-tons en dessous de \(A_4\) (\(n = -4\)) ? (Calculez \(440 \times r^{-4}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Descendre de \(n\) demi-tons = multiplier par \(r^{-n}\) (ou diviser par \(r^n\)).
Calcul : \(f(G_4) = f(A_4) \times r^{-2} \approx 392.00 \text{ Hz}\).

Question 5 : Calculer la fréquence de la note \(C_4\) ('Do 4'), située 9 demi-tons en dessous de \(A_4\).

Principe

C'est le fameux "Do central" du piano (ou "Middle C"). L'énoncé nous dit qu'il est à \(n = -9\) demi-tons de notre référence \(A_4\). Nous appliquons la formule pour cet intervalle descendant.

Mini-Cours

La distance entre \(C_4\) et \(A_4\) est un intervalle de "sixte majeure". Cependant, il est plus simple de le voir comme 9 demi-tons. Comptons les pas vers le bas depuis \(A_4\): (A \(\rightarrow\) G# \(\rightarrow\) G \(\rightarrow\) F# \(\rightarrow\) F \(\rightarrow\) E \(\rightarrow\) D# \(\rightarrow\) D \(\rightarrow\) C# \(\rightarrow\) C). Cela fait bien 9 "pas" descendants, donc \(n = -9\).

Remarque Pédagogique

C'est un calcul très courant. Presque tous les musiciens connaissent la fréquence du \(A_4\) (440 Hz) et celle du \(C_4\) (Do central, \(\approx 261.6 \text{ Hz}\)). Cette question vérifie si la formule fondamentale permet de retrouver ce résultat standard.

Normes

Application du tempérament égal (12-TET).

Formule(s)

On utilise la formule de base avec \(n = -9\) :

f(n) = f_0 \times r^n = f_0 \times (2^{(1/12)})^n

Soit \(f(-9) = 440 \times (2^{(1/12)})^{-9}\).

Hypothèses

Accordage parfait au diapason 440 Hz.

Donnée(s)

Données nécessaires pour ce calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence de référence	\(f_0\)	440	Hz
Intervalle	\(n\)	-9	demi-tons
Rapport de demi-ton	\(r\)	\(2^{(1/12)} \approx 1.059463\)

Astuces

On peut simplifier l'exposant : \(n = -9\) donne \(2^{(-9/12)}\), qui se simplifie en \(2^{(-3/4)}\). C'est plus propre à écrire et plus facile à calculer (\(1 / (2^{0.75})\)).

Schéma (Avant les calculs)

Le comptage visuel sur un clavier est crucial ici pour confirmer les -9 demi-tons : A \(\rightarrow\) G# (1) \(\rightarrow\) G (2) \(\rightarrow\) F# (3) \(\rightarrow\) F (4) \(\rightarrow\) E (5) \(\rightarrow\) D# (6) \(\rightarrow\) D (7) \(\rightarrow\) C# (8) \(\rightarrow\) C (9). Le compte est bon, \(n=-9\).

Calcul(s)

On applique la formule \(f(n) = f_0 \times r^n\) avec \(n=-9\).

Méthode 1 : Avec la valeur exacte

Étape 1a : Remplacer les valeurs exactes.

On remplace \(f_0 = 440\), \(n = -9\) et \(r = 2^{(1/12)}\).

f(-9) = 440 \times (2^{(1/12)})^{-9}

L'équation est posée avec l'exposant négatif -9.

Étape 1b : Simplifier l'exposant. \((1/12) \times -9 = -9/12\), qui se simplifie en \(-3/4\).

La simplification de la puissance donne :

f(-9) = 440 \times 2^{(-3/4)}

La formule exacte est \(440 \times 2^{(-3/4)}\).

Étape 1c : Utiliser la règle \(x^{-a} = 1 / x^a\). Donc \(2^{(-3/4)} = 1 / 2^{(3/4)}\).

On transforme le calcul en division :

f(-9) = \frac{440}{2^{(3/4)}}

Descendre de 9 demi-tons revient à diviser par \(2^{(3/4)}\).

Étape 1d : Calculer la valeur. \(2^{(3/4)}\) (ou \(\sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4]{8}\)) vaut \(\approx 1.681792...\)

On calcule la valeur du dénominateur, puis on effectue la division.

f(-9) \approx \frac{440}{1.681792...} \approx 261.625... \text{ Hz}

La fréquence du Do central (\(C_4\)) est donc d'environ 261.63 Hz.

Méthode 2 : Avec la valeur approchée

Étape 2a : Remplacer \(r\) par sa valeur approchée.

On utilise la valeur \(r \approx 1.059463\) avec l'exposant \(n = -9\).

f(-9) \approx 440 \times (1.059463)^{-9}

C'est la formule directe avec la valeur approchée.

Étape 2b : Utiliser la règle \(x^{-9} = 1 / x^9\).

On transforme en division :

f(-9) \approx \frac{440}{(1.059463)^9}

Cette forme est plus facile à calculer.

Étape 2c : Calculer le dénominateur. \((1.059463)^9 \approx 1.681792...\)

On calcule la puissance 9 au dénominateur :

f(-9) \approx \frac{440}{1.681792...} \approx 261.625... \text{ Hz}

Le résultat est identique et est arrondi à 261.63 Hz.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur unique (261.63 Hz). Aucun diagramme n'est nécessaire.

Réflexions

Le résultat est d'environ 261.63 Hz. C'est la fréquence standard universellement acceptée pour le "Do central" (\(C_4\)) dans un accordage à 440 Hz.

Points de vigilance

Ne pas se tromper en comptant les demi-tons. Une erreur de 1 (par exemple \(n = -8\) ou \(n = -10\)) donnerait un résultat complètement différent (\(277.18 \text{ Hz}\) ou \(246.94 \text{ Hz}\)), ce qui ne serait plus un "Do". Le comptage visuel sur un clavier est votre meilleur allié.

Points à retenir

La formule \(f(n) = f_0 \times r^n\) est universelle pour tous les intervalles, positifs (aigus) ou négatifs (graves).
Le Do central \(C_4\) est à \(\approx 261.63 \text{ Hz}\).

Le saviez-vous ?

Nous pouvons vérifier ce calcul d'une autre manière ! À la question 3, nous avons trouvé \(f(C_5) \approx 523.25 \text{ Hz}\). Comme \(C_4\) est l'octave juste en dessous de \(C_5\), sa fréquence doit être la moitié :
\(523.251... / 2 = 261.625...\) Le résultat est parfaitement cohérent !

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La fréquence de \(C_4\) est \(440 \times 2^{(-3/4)} \text{ Hz}\), soit environ 261.63 Hz.

A vous de jouer

Quelle est la fréquence de \(E_4\) (Mi 4), située 5 demi-tons en dessous de \(A_4\) (\(n=-5\)) ? (Calculez \(440 \times r^{-5}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Le Do Central (\(C_4\)) est à \(n = -9\) demi-tons de \(A_4\).
Calcul : \(f(C_4) = f(A_4) \times r^{-9} \approx 261.63 \text{ Hz}\).
Vérification : \(f(C_4) = f(C_5) / 2\).

Outil Interactif : Calculateur de Fréquence

Ce simulateur vous permet de calculer la fréquence de n'importe quelle note en choisissant la fréquence de référence du diapason (\(f_0\)) et le nombre de demi-tons (\(n\)) d'écart par rapport à cette référence.

Paramètres d'Entrée

Fréq. de Référence (\(f_0\)) (Hz) 440 Hz

Nbr. de Demi-tons (\(n\)) 0 demi-tons

Résultats Clés

Fréquence Calculée (\(f_n\)) 440.00 Hz

Note (relative à \(A_4\)) A

Glossaire

Acoustique: La science du son, incluant sa production, sa propagation et sa réception.
Diapason (\(A_4\)): La note de référence (La 4) fixée internationalement à 440 Hz par la norme ISO 16:1975.
Fréquence (\(f\)): Nombre d'oscillations par seconde d'une onde sonore, mesurée en Hertz (Hz). Détermine la hauteur (grave/aiguë) de la note.
Gamme Tempérée: Système d'accord (tempérament égal) qui divise l'octave en 12 demi-tons chromatiques égaux, chacun ayant un rapport de fréquence de \(2^{(1/12)}\).
Hertz (Hz): Unité de mesure de la fréquence, équivalente à un cycle par seconde.
Octave: Intervalle entre deux notes où la fréquence double (rapport 2:1). Par exemple, entre \(A_4\) (440 Hz) et \(A_5\) (880 Hz).
Demi-ton: Le plus petit intervalle dans la gamme tempérée. Correspond à un rapport de fréquence de \(r = 2^{(1/12)} \approx 1.059463\).

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