Calcul de la Fréquence Propre d'un Système Masse-Ressort-Amortisseur
Contexte : Le Cœur de l'Isolation Vibratoire
Toute machine qui tourne ou qui bouge (moteur, pompe, climatiseur) génère des vibrations. Ces vibrations peuvent se transmettre à la structure d'un bâtiment, créant du bruit dans les pièces voisines (bruit solidien) et pouvant même causer des dommages structurels. Pour éviter cela, on désolidarise la machine de son support en la posant sur des supports élastiques (plots anti-vibratiles). Le système "machine + supports" se comporte alors comme un système masse-ressort-amortisseur. La clé du succès d'une telle isolation est de s'assurer que la fréquence propreFréquence Propre (fn) : Fréquence à laquelle un système oscille naturellement lorsqu'il est perturbé, en l'absence de forçage extérieur. C'est la caractéristique la plus importante d'un système vibrant. du système est bien plus basse que les fréquences d'excitation de la machine.
Remarque Pédagogique : Ce concept est l'un des plus importants de toute la mécanique et l'acoustique. Comprendre la notion de fréquence propre et de résonance permet de concevoir des bâtiments silencieux, des voitures confortables, des ponts qui résistent au vent et des instruments de musique qui sonnent juste.
Objectifs Pédagogiques
- Modéliser un équipement sur supports comme un système masse-ressort-amortisseur.
- Calculer la fréquence propre non amortie (\(f_{\text{n}}\)) d'un système.
- Calculer le taux d'amortissement (\(\zeta\)) et comprendre son rôle.
- Calculer la fréquence propre amortie (\(f_{\text{d}}\)).
- Comprendre le phénomène de résonanceRésonance : Phénomène par lequel l'amplitude d'oscillation d'un système augmente de façon spectaculaire lorsque la fréquence d'une force extérieure (fréquence de forçage) est proche de la fréquence propre du système. et savoir comment l'éviter.
Données de l'étude
Schéma du Système Masse-Ressort-Amortisseur
- Masse : \(m = 250 \, \text{kg}\)
- Raideur totale : \(k = 400 \,000 \, \text{N/m}\)
- Amortissement total : \(c = 1 \,500 \, \text{N.s/m}\)
- Vitesse de rotation du moteur : \(N = 1500 \, \text{tr/min}\)
Questions à traiter
- Calculer la fréquence propre non amortie (\(f_{\text{n}}\)) du système.
- Calculer le taux d'amortissement (\(\zeta\)) et la fréquence propre amortie (\(f_{\text{d}}\)).
- Calculer la fréquence de forçage (\(f_{\text{e}}\)) due à la rotation du moteur. Y a-t-il un risque de résonance ?
Correction : Calcul d'un Système Masse-Ressort-Amortisseur
Question 1 : Fréquence Propre Non Amortie (fn)
Principe :
La fréquence propre non amortie, \(f_{\text{n}}\), est la fréquence à laquelle le système oscillerait naturellement s'il n'y avait aucun amortissement. C'est la caractéristique la plus fondamentale du système, déterminée uniquement par sa masse et sa raideur. Elle représente la "préférence" vibratoire du système.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Imaginez une balançoire. Si vous la poussez et la lâchez, elle oscillera à sa propre fréquence. Cette fréquence ne dépend que de la longueur des cordes (qui agit comme la raideur) et de la masse de la personne. C'est exactement le même principe ici. La fréquence propre est la "signature" vibratoire du système.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Masse \(m = 250 \, \text{kg}\)
- Raideur \(k = 400 \,000 \, \text{N/m}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Unités : L'erreur la plus commune est de ne pas utiliser les bonnes unités. La masse doit être en kg, et la raideur en N/m. Parfois, la raideur est donnée en N/mm, il faut alors la multiplier par 1000 pour la convertir en N/m.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Taux d'Amortissement (ζ) et Fréquence Amortie (fd)
Principe :
L'amortissement est un phénomène qui dissipe l'énergie d'un système vibrant, généralement en la transformant en chaleur. Il fait "mourir" les oscillations. Le taux d'amortissementTaux d'Amortissement (ζ, zêta) : Nombre sans dimension qui décrit la rapidité avec laquelle les oscillations d'un système s'atténuent. ζ=0 : pas d'amortissement. ζ=1 : amortissement critique (pas d'oscillation)., \(\zeta\), est un nombre sans dimension qui quantifie cet effet. La présence d'amortissement réduit légèrement la fréquence à laquelle le système oscille : c'est la fréquence propre amortie, \(f_{\text{d}}\).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Le taux d'amortissement \(\zeta\) est crucial. Si \(\zeta=0\), les oscillations ne s'arrêtent jamais. Si \(\zeta < 1\) (cas le plus courant), le système oscille en s'atténuant. Si \(\zeta = 1\), c'est l'amortissement critique : le système revient à l'équilibre le plus vite possible sans osciller (pensez à une bonne suspension de voiture). Si \(\zeta > 1\), le système est sur-amorti et revient à l'équilibre très lentement (comme une porte avec un ferme-porte trop puissant).
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Amortissement \(c = 1500 \, \text{N.s/m}\)
- Masse \(m = 250 \, \text{kg}\)
- Raideur \(k = 400 \,000 \, \text{N/m}\)
- Fréquence propre non amortie \(f_{\text{n}} \approx 6.37 \, \text{Hz}\)
- Pulsation propre non amortie \(\omega_{\text{n}} = 40 \, \text{rad/s}\)
Calcul(s) :
1. Calcul du taux d'amortissement \(\zeta\) :
2. Calcul de la fréquence propre amortie \(f_{\text{d}}\) :
On constate que pour un faible amortissement (\(\zeta \ll 1\)), la fréquence propre amortie est très proche de la fréquence propre non amortie.
Points de vigilance :
Amortissement critique : Le terme \(c_{\text{critique}} = 2\sqrt{km}\) est appelé l'amortissement critique. C'est la valeur de \(c\) pour laquelle \(\zeta = 1\). C'est une valeur de référence importante pour caractériser un système.
Le saviez-vous ?
Question 3 : Risque de Résonance
Principe :
La résonance est le pire ennemi de l'ingénieur en mécanique. Elle se produit lorsqu'une force extérieure excite un système à une fréquence très proche de sa propre fréquence propre (\(f_{\text{e}} \approx f_{\text{n}}\)). Quand cela arrive, le système absorbe l'énergie de manière extrêmement efficace et l'amplitude de ses vibrations peut augmenter de façon catastrophique. Pour l'isolation vibratoire, l'objectif est de s'assurer que la fréquence propre est très éloignée de la fréquence de forçage.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Pour une bonne isolation vibratoire, on cherche à avoir une fréquence propre \(f_{\text{n}}\) au moins 2 à 3 fois plus BASSE que la plus basse des fréquences d'excitation \(f_{\text{e}}\). Si \(f_{\text{n}}\) est plus haute que \(f_{\text{e}}\), le système va amplifier les vibrations au lieu de les isoler !
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Vitesse de rotation du moteur : \(N = 1500 \, \text{tr/min}\)
- Fréquence propre calculée : \(f_{\text{n}} \approx 6.37 \, \text{Hz}\)
Calcul(s) :
Comparaison : La fréquence de forçage (\(f_{\text{e}} = 25 \, \text{Hz}\)) est bien plus élevée que la fréquence propre du système (\(f_{\text{n}} \approx 6.4 \, \text{Hz}\)). Le rapport est \(f_{\text{e}} / f_{\text{n}} \approx 25 / 6.4 \approx 3.9\).
Ce rapport est supérieur à 3, ce qui est une excellente condition pour l'isolation vibratoire. Il n'y a donc aucun risque de résonance. Le système de plots est bien conçu.
Points de vigilance :
Harmoniques : Un moteur ne vibre pas seulement à sa fréquence de rotation. Il génère aussi des harmoniques (multiples de la fréquence fondamentale : 2*fe, 3*fe, etc.). Il faut s'assurer que la fréquence propre est également éloignée de ces harmoniques, bien que leur énergie soit généralement plus faible.
Le saviez-vous ?
Simulation de la Réponse Vibratoire
Faites varier la masse, la raideur et l'amortissement du système. Observez comment la fréquence propre et le taux d'amortissement changent. Le graphique montre la transmissibilité (rapport entre la force transmise au sol et la force générée par la machine) en fonction de la fréquence de la machine.
Paramètres du Système
Transmissibilité du Système
Le Saviez-Vous ?
Les Tuned Mass Dampers (TMD) sont des systèmes masse-ressort-amortisseur géants utilisés pour protéger les gratte-ciels des oscillations dues au vent ou aux séismes. La tour Taipei 101 à Taïwan possède une boule d'acier de 660 tonnes suspendue près de son sommet, dont la fréquence propre est "accordée" pour contrer celle du bâtiment.
Foire Aux Questions (FAQ)
Comment choisit-on les plots anti-vibratiles en pratique ?
Les fabricants de plots fournissent des abaques ou des logiciels. On y entre la masse de l'équipement à supporter et la fréquence d'excitation la plus basse à isoler. Le logiciel sélectionne alors les plots dont la raideur donnera une fréquence propre suffisamment basse (généralement avec un rapport \(f_{\text{e}}/f_{\text{n}} > 3\)) et dont la capacité de charge est adaptée.
Toutes les vibrations sont-elles verticales ?
Non, une machine peut vibrer dans toutes les directions. Un bon système d'isolation doit avoir une raideur adaptée dans toutes les directions (verticale et horizontales). C'est pourquoi les plots anti-vibratiles sont souvent conçus avec des formes complexes pour avoir des raideurs différentes selon l'axe.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Pour améliorer l'isolation vibratoire d'une machine (c'est-à-dire baisser sa fréquence propre fn), il faut :
2. Si la fréquence de forçage \(f_{\text{e}}\) est très proche de la fréquence propre \(f_{\text{n}}\), que se passe-t-il ?
Glossaire
- Système Masse-Ressort-Amortisseur
- Modèle mathématique utilisé pour décrire le comportement vibratoire de nombreux systèmes physiques. Il est composé d'une masse (m), d'un ressort de raideur (k) et d'un amortisseur de coefficient (c).
- Fréquence Propre (fn)
- Fréquence à laquelle un système vibre naturellement en l'absence de forces extérieures. Elle est déterminée par la masse et la raideur du système via la relation \(f_{\text{n}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}\).
- Résonance
- Phénomène d'amplification des vibrations qui se produit lorsque la fréquence d'une force extérieure (fréquence de forçage) coïncide avec la fréquence propre du système.
- Taux d'Amortissement (ζ)
- Nombre sans dimension qui caractérise la dissipation d'énergie dans un système vibrant. Il décrit la rapidité avec laquelle les oscillations s'atténuent.
- Isolation Vibratoire
- Ensemble des techniques visant à réduire la transmission des vibrations d'une source vers une structure réceptrice. L'objectif est de choisir des supports tels que la fréquence propre du système soit bien inférieure à la fréquence de forçage.
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