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Calcul d’un Système Masse-Ressort-Amortisseur

Calcul d'un Système Masse-Ressort-Amortisseur

Calcul d’un Système Masse-Ressort-Amortisseur

Contexte : L'isolation vibratoire d'un équipement sensible.

En acoustique et en ingénierie, il est crucial de contrôler les vibrations. Un équipement (comme un moteur, une pompe, ou même un haut-parleur) posé sur une structure peut transmettre des vibrations indésirables. Pour éviter cela, on utilise des "plots anti-vibratiles", qui ne sont rien d'autre qu'un système de ressorts et d'amortisseurs. Cet exercice explore le calcul de base d'un tel système, modélisé comme un oscillateur à un degré de liberté (SDOF), pour comprendre comment il réagit à une excitation et comment l'isoler efficacement. Nous analyserons sa fréquence propreLa fréquence à laquelle un système oscille naturellement en l'absence de force extérieure ou d'amortissement. et sa capacité à filtrer les vibrations.

Remarque Pédagogique : Comprendre ce modèle SDOF (Single Degree Of Freedom) est la première étape indispensable avant d'aborder des problèmes plus complexes de vibro-acoustique. Les concepts de fréquence propre, d'amortissement et de transmissibilité sont universels.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la pulsation propre non amortie (\(\omega_{\text{n}}\)) et la fréquence propre non amortie (\(f_{\text{n}}\)).
Déterminer le coefficient d'amortissement critique (\(c_{\text{c}}\)) et le rapport d'amortissement (\(\zeta\)).
Analyser la transmissibilité du système en fonction de la fréquence d'excitation et évaluer l'isolation vibratoire.

Données de l'étude

On étudie un moteur de 10 kg que l'on souhaite isoler d'un plancher. Le moteur est posé sur quatre plots anti-vibratiles. L'ensemble est modélisé comme un système SDOF unique.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Système	Masse-Ressort-Amortisseur (SDOF)
Objectif	Isolation vibratoire (excitation par la base)
Application	Support de moteur

Modélisation SDOF du système

[Nom du Paramètre]	[Description ou Formule]	[Valeur]	[Unité]
Masse totale (m)	Masse du moteur	10	kg
Raideur équivalente (k)	Raideur totale des 4 plots	4000	N/m
Amortissement (c)	Amortissement visqueux total	40	Ns/m

Questions à traiter

Calculer la pulsation propre non amortie (\(\omega_{\text{n}}\)) en rad/s et la fréquence propre non amortie (\(f_{\text{n}}\)) en Hz.
Calculer le coefficient d'amortissement critique (\(c_{\text{c}}\)).
Calculer le rapport d'amortissement (\(\zeta\)). Le système est-il sous-amorti, critique ou sur-amorti ?
Calculer la pulsation propre amortie (\(\omega_{\text{d}}\)) en rad/s et la fréquence propre amortie (\(f_{\text{d}}\)) en Hz.
Si le plancher vibre à une fréquence d'excitation \(f_{\text{exc}} = 10\) Hz, calculer le rapport de transmissibilité (TR) et l'atténuation en décibels (dB).

Les bases sur les Systèmes SDOF

Un système Masse-Ressort-Amortisseur à un degré de liberté (SDOF) est le modèle le plus simple pour étudier les vibrations. Son équation de mouvement est : \( m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t) \). Dans notre cas (excitation par la base), l'équation devient \( m\ddot{z} + c\dot{z} + kz = -m\ddot{y} \) où \(z = x - y\).

1. Fréquence Propre et Amortissement
Ces paramètres définissent le comportement intrinsèque du système. \[ \text{Pulsation propre non amortie: } \omega_{\text{n}} = \sqrt{\frac{k}{m}} \text{ (rad/s)} \] \[ \text{Amortissement critique: } c_{\text{c}} = 2\sqrt{km} = 2m\omega_{\text{n}} \text{ (Ns/m)} \] \[ \text{Rapport d'amortissement: } \zeta = \frac{c}{c_{\text{c}}} \]

2. Transmissibilité (TR)
C'est le rapport entre l'amplitude de la vibration transmise (à la masse) et l'amplitude de la vibration d'excitation (de la base). Soit \(r = \omega / \omega_{\text{n}}\) le rapport des fréquences. \[ TR = \frac{|X|}{|Y|} = \sqrt{\frac{1 + (2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}} \]

Correction : Calcul du Système Masse-Ressort-Amortisseur

Question 1 : Calculer la pulsation propre (\(\omega_{\text{n}}\)) et la fréquence propre (\(f_{\text{n}}\))

Principe

La fréquence propre (ou naturelle) est la fréquence à laquelle le système "préfère" osciller. C'est la caractéristique la plus importante d'un système vibrant. Elle ne dépend que de la masse et de la raideur.

Mini-Cours

La pulsation propre \(\omega_{\text{n}}\) (rad/s) est la vitesse angulaire de l'oscillation. La fréquence propre \(f_{\text{n}}\) (Hz) est le nombre d'oscillations par seconde. Elles sont liées par la relation \( \omega_{\text{n}} = 2\pi f_{\text{n}} \). En isolation vibratoire, l'objectif est d'avoir une fréquence propre bien inférieure à la fréquence d'excitation.

Remarque Pédagogique

Pensez à la fréquence propre comme au "point faible" du système. C'est la fréquence qu'il faut à tout prix éviter d'exciter pour ne pas entrer en résonance. C'est pourquoi on la calcule toujours en premier.

Normes

Il n'y a pas de norme spécifique pour ce calcul de base, mais les principes découlent des lois fondamentales de la dynamique de Newton. Les applications (ex: isolation de bâtiments) sont régies par des normes qui fixent des limites de vibration admissibles.

Formule(s)

Nous utilisons les définitions de base.

Pulsation propre non amortie

\omega_{\text{n}} = \sqrt{\frac{k}{m}}

Fréquence propre non amortie

f_{\text{n}} = \frac{\omega_{\text{n}}}{2\pi}

Hypothèses

Pour ce modèle simple, nous posons les hypothèses suivantes :

Le système est linéaire (la force du ressort est proportionnelle au déplacement : \(F=kx\)).
Le système a un seul degré de liberté (la masse ne peut se déplacer que verticalement).
La masse du ressort et de l'amortisseur est négligeable devant la masse \(m\).

Donnée(s)

Nous avons besoin de la masse et de la raideur. Ces deux valeurs proviennent directement des "Données de l'étude" (l'énoncé).

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Masse	m	10	kg	Énoncé
Raideur	k	4000	N/m	Énoncé

Astuces

Assurez-vous que les unités sont cohérentes (kg, N/m) avant le calcul. Le résultat de \(\sqrt{k/m}\) sera en rad/s.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé (Modélisation SDOF) montre bien la masse \(m\) et la raideur \(k\) que nous utilisons ici. L'amortisseur \(c\) n'intervient pas dans ce calcul (fréquence *non amortie*).

Modélisation SDOF (Focus sur m et k)

Calcul(s)

Nous allons maintenant substituer ces valeurs (k=4000, m=10) dans les formules.

Étape 1 : Calcul de la pulsation propre \(\omega_{\text{n}}\)

On prend la formule \(\omega_{\text{n}} = \sqrt{k/m}\). On remplace \(k\) par 4000 N/m et \(m\) par 10 kg.

\begin{aligned} \omega_{\text{n}} &= \sqrt{\frac{k}{m}} \\ &= \sqrt{\frac{4000 \text{ N/m}}{10 \text{ kg}}} \\ &= \sqrt{400} \\ &= 20 \text{ rad/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la fréquence propre \(f_{\text{n}}\)

On utilise la relation \(f_{\text{n}} = \omega_{\text{n}} / 2\pi\). On remplace \(\omega_{\text{n}}\) par la valeur juste calculée (20 rad/s).

\begin{aligned} f_{\text{n}} &= \frac{\omega_{\text{n}}}{2\pi} \\ &= \frac{20}{2\pi} \\ &\approx \frac{20}{2 \times 3.14159...} \\ &\approx 3.183 \text{ Hz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce calcul ne produit pas de diagramme, mais il définit la position de la "montagne" (pic de résonance) sur le graphique de transmissibilité, que nous verrons à la question 5 et dans le simulateur.

Réflexions

Le système a une fréquence propre d'environ 3.18 Hz. Cela signifie que si le plancher vibre à cette fréquence, le système entrera en résonancePhénomène d'amplification maximale des vibrations lorsque la fréquence d'excitation est égale ou très proche de la fréquence propre du système., entraînant des vibrations de très grande amplitude.

Points de vigilance

Ne pas confondre pulsation \(\omega\) (en rad/s) et fréquence \(f\) (en Hz). Les ingénieurs acousticiens parlent presque toujours en Hz, mais les formules de base utilisent \(\omega\). Gardez toujours \(\omega = 2\pi f\) à l'esprit.

Points à retenir

La pulsation propre \(\omega_{\text{n}}\) (en rad/s) et la fréquence propre \(f_{\text{n}}\) (en Hz) sont liées par \(2\pi\).
Augmenter la masse ou diminuer la raideur réduit la fréquence propre.

Le saviez-vous ?

En isolation de bâtiment, on vise des fréquences propres très basses (souvent < 10 Hz) pour isoler des bruits de pas (excitation > 20 Hz). Pour cela, on utilise des masses lourdes (dalles de béton) sur des ressorts très souples (ex: plots en caoutchouc ou en liège).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La pulsation propre non amortie est \(\omega_{\text{n}} = 20\) rad/s, et la fréquence propre non amortie est \(f_{\text{n}} \approx 3.18\) Hz.

A vous de jouer

Que deviendrait la pulsation propre \(\omega_{\text{n}}\) si la masse était de 20 kg (k=4000 N/m) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Fréquence propre (dépend de m et k).
Formule Essentielle : \(\omega_{\text{n}} = \sqrt{k/m}\).

Question 2 : Calculer le coefficient d'amortissement critique (\(c_{\text{c}}\))

Principe

L'amortissement critique est la quantité exacte d'amortissement nécessaire pour qu'un système revienne à l'équilibre le plus rapidement possible sans osciller. C'est une valeur de référence théorique qui dépend de la masse et de la raideur.

Mini-Cours

L'amortissement critique \(c_{\text{c}}\) est le seuil qui sépare deux comportements :

Si \(c < c_{\text{c}}\), le système est sous-amorti : il oscille en s'atténuant.
Si \(c \ge c_{\text{c}}\), le système est sur-amorti ou critique : il revient à l'équilibre sans dépasser la position 0.

En vibro-acoustique, on est presque toujours en régime sous-amorti.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas l'amortissement \(c\) (une propriété physique de l'amortisseur, en Ns/m) avec le rapport d'amortissement \(\zeta\) (un nombre sans dimension, voir Q3). \(c_{\text{c}}\) est le "pont" entre les deux.

Normes

Pas de norme applicable ici. C'est un calcul de définition.

Formule(s)

On peut le calculer de deux façons équivalentes.

Amortissement critique (méthode 1)

c_{\text{c}} = 2\sqrt{km}

Amortissement critique (méthode 2)

c_{\text{c}} = 2m\omega_{\text{n}}

Hypothèses

On suppose que l'amortissement est de type "visqueux", c'est-à-dire que la force d'amortissement est proportionnelle à la vitesse (\(F_c = c\dot{x}\)). C'est une bonne approximation pour les amortisseurs hydrauliques.

Donnée(s)

Pour cette formule, nous avons besoin de :

\(m = 10\) kg (Source: Énoncé)
\(\omega_{\text{n}} = 20\) rad/s (Source: Résultat de la Question 1)

Astuces

Utiliser la formule \(c_{\text{c}} = 2m\omega_{\text{n}}\) est souvent plus rapide si vous avez déjà calculé \(\omega_{\text{n}}\) à la question 1. C'est ce que nous allons faire.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul de \(c_{\text{c}}\) dépend de \(m\) et \(k\). Il est indépendant de l'amortisseur \(c\) réellement présent.

Dépendance de \(c_{\text{c}}\)

Calcul(s)

Calcul de \(c_{\text{c}}\) avec la méthode 2 (plus rapide)

On utilise la formule \(c_{\text{c}} = 2m\omega_{\text{n}}\). On substitue \(m=10\) (de l'énoncé) et \(\omega_{\text{n}}=20\) (du calcul Q1).

\begin{aligned} c_{\text{c}} &= 2 \times m \times \omega_{\text{n}} \\ &= 2 \times 10 \text{ kg} \times 20 \text{ rad/s} \\ &= (2 \times 10 \times 20) \text{ Ns/m} \\ &= 400 \text{ Ns/m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma pertinent pour ce résultat numérique.

Réflexions

Il faudrait un amortisseur de 400 Ns/m pour amortir critiquement ce système. Notre amortisseur réel (c = 40 Ns/m) est bien plus faible. Cela nous amène à la question suivante.

Points de vigilance

L'unité de \(c_{\text{c}}\) est la même que \(c\) : Ns/m (Newton-seconde par mètre). Vérifiez vos unités : \(\text{kg} \times (\text{rad/s}) = \text{kg/s}\). Comme \(F=ma \rightarrow N = \text{kg} \cdot \text{m/s}^2\), on a \(\text{kg} = \text{Ns}^2\text{/m}\). Donc \(\text{kg/s} = (\text{Ns}^2\text{/m}) \text{/ s} = \text{Ns/m}\). L'unité est correcte.

Points à retenir

\(c_{\text{c}}\) est la valeur "seuil" d'amortissement.
Elle dépend uniquement de la masse et de la raideur.

Le saviez-vous ?

Les portes équipées de "ferme-portes" (amortisseurs) sont souvent réglées pour être légèrement sur-amorties (\(\zeta > 1\)) afin qu'elles se ferment lentement sans claquer, mais sans osciller.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le coefficient d'amortissement critique est \(c_{\text{c}} = 400\) Ns/m.

A vous de jouer

Que vaudrait \(c_{\text{c}}\) si la raideur était de 16000 N/m (m=10 kg) ? (Indice: recalculez \(\omega_{\text{n}}\) d'abord)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Amortissement critique (valeur de référence).
Formule Essentielle : \(c_{\text{c}} = 2m\omega_{\text{n}}\).

Question 3 : Calculer le rapport d'amortissement (\(\zeta\))

Principe

Le rapport d'amortissement (ou "damping ratio") \(\zeta\) (zêta) est un nombre sans dimension qui compare l'amortissement réel du système (\(c\)) à l'amortissement critique (\(c_{\text{c}}\)). C'est ce rapport qui détermine le comportement du système.

Mini-Cours

La valeur de \(\zeta\) définit le régime d'oscillation :

\(\zeta < 1\) : Régime sous-amorti (pseudo-périodique). Le système oscille avec une amplitude qui décroît exponentiellement.
\(\zeta = 1\) : Régime critique. Retour à l'équilibre le plus rapide possible, sans oscillation.
\(\zeta > 1\) : Régime sur-amorti (apériodique). Retour à l'équilibre lent, sans oscillation.

Remarque Pédagogique

En acoustique et vibration, \(\zeta\) est souvent très faible. Pour les structures métalliques (ponts, bâtiments), \(\zeta\) est de l'ordre de 0.01 à 0.05. Pour nos plots anti-vibratiles, il est souvent un peu plus élevé (0.1 à 0.3) pour contrôler la résonance.

Normes

Pas de norme applicable ici. C'est un calcul de définition.

Formule(s)

Rapport d'amortissement

\zeta = \frac{c}{c_{\text{c}}}

Hypothèses

Aucune nouvelle hypothèse par rapport à la Q2.

Donnée(s)

Nous avons besoin de l'amortissement réel (de l'énoncé) et de l'amortissement critique (calculé juste avant).

\(c = 40\) Ns/m (Source: Énoncé)
\(c_{\text{c}} = 400\) Ns/m (Source: Résultat de la Question 2)

Astuces

\(\zeta\) est un rapport, il n'a pas d'unité. Si vous obtenez une unité, c'est que vous avez fait une erreur (probablement en confondant \(c\) et \(k\)).

Schéma (Avant les calculs)

On compare l'amortisseur réel \(c\) (issu de l'énoncé) à la valeur \(c_{\text{c}}\) (calculée en Q2).

Comparaison \(c\) vs \(c_{\text{c}}\)

Calcul(s)

Calcul de \(\zeta\)

On prend la formule \(\zeta = c/c_{\text{c}}\). On substitue \(c=40\) (de l'énoncé) et \(c_{\text{c}}=400\) (du calcul Q2).

\begin{aligned} \zeta &= \frac{c}{c_{\text{c}}} \\ &= \frac{40 \text{ Ns/m}}{400 \text{ Ns/m}} \\ &= \frac{40}{400} \\ &= 0.1 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Un \(\zeta\) de 0.1 correspond à un régime sous-amorti, qui oscille comme suit (réponse à une impulsion) :

Réponse d'un système sous-amorti (\(\zeta \approx 0.1\))

Réflexions

Nous avons \(\zeta = 0.1\). Puisque \(\zeta < 1\), le système est sous-amorti. Cela signifie que si on le "tape" (impulsion), il va osciller autour de sa position d'équilibre avant de s'arrêter. C'est typique pour la plupart des structures mécaniques et des systèmes d'isolation.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(c\), \(c_{\text{c}}\) et \(\zeta\). Ce sont trois concepts liés mais différents :

\(c\) : L'amortissement physique réel (Ns/m).
\(c_{\text{c}}\) : L'amortissement de référence (critique) (Ns/m).
\(\zeta\) : Le rapport des deux (sans dimension).

Points à retenir

\(\zeta = c / c_{\text{c}}\) est le paramètre clé qui définit le régime d'amortissement.
\(\zeta < 1\) signifie "sous-amorti", le cas le plus courant en vibration.

Le saviez-vous ?

Les amortisseurs de voiture sont un excellent exemple de système \(\zeta \approx 1\). On veut que la suspension absorbe un nid-de-poule (une impulsion) et revienne à l'équilibre immédiatement, sans "rebondir" (sous-amorti) ni être trop "dure" (sur-amorti).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le rapport d'amortissement est \(\zeta = 0.1\). Le système est sous-amorti.

A vous de jouer

Que vaudrait \(\zeta\) si l'amortisseur réel était \(c = 600\) Ns/m (avec \(c_{\text{c}} = 400\) Ns/m) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : \(\zeta\) (zêta) classifie le système (sous-amorti, critique, sur-amorti).
Formule Essentielle : \(\zeta = c / c_{\text{c}}\).

Question 4 : Calculer la pulsation propre amortie (\(\omega_{\text{d}}\)) et la fréquence propre amortie (\(f_{\text{d}}\))

Principe

Pour un système sous-amorti (\(\zeta < 1\)), l'amortissement "ralentit" très légèrement les oscillations libres. La nouvelle pulsation (amortie) \(\omega_{\text{d}}\) est légèrement inférieure à la pulsation non amortie \(\omega_{\text{n}}\). C'est la fréquence à laquelle le système oscille *réellement* s'il est laissé libre.

Mini-Cours

La pulsation propre amortie \(\omega_{\text{d}}\) (pour "damped") est toujours inférieure à \(\omega_{\text{n}}\). Si l'amortissement devient critique (\(\zeta = 1\)), alors \(\omega_{\text{d}} = 0\), ce qui signifie que le système n'oscille plus du tout, ce qui est cohérent.

Remarque Pédagogique

En pratique, cette valeur est surtout importante pour les analyses de "réponse impulsionnelle" (comment le système réagit à un choc). Pour la "réponse fréquentielle" (excitation continue), on utilise surtout \(\omega_{\text{n}}\).

Normes

Pas de norme applicable ici. C'est un calcul de définition.

Formule(s)

Pulsation propre amortie

\omega_{\text{d}} = \omega_{\text{n}} \sqrt{1 - \zeta^2}

Fréquence propre amortie

f_{\text{d}} = \frac{\omega_{\text{d}}}{2\pi}

Hypothèses

Ce calcul n'est valide que si le système est sous-amorti (\(\zeta < 1\)). Si \(\zeta \ge 1\), la racine carrée devient nulle ou imaginaire, et le concept de "fréquence amortie" n'a plus de sens (puisque le système n'oscille pas).

Donnée(s)

Nous avons besoin des deux caractéristiques fondamentales du système que nous avons calculées précédemment :

\(\omega_{\text{n}} = 20\) rad/s (Source: Résultat Q1)
\(\zeta = 0.1\) (Source: Résultat Q3)

Astuces

Pour de faibles amortissements (\(\zeta \le 0.2\)), la fréquence amortie \(f_{\text{d}}\) est très proche de la fréquence non amortie \(f_{\text{n}}\). Souvent, en ingénierie, on les suppose égales pour simplifier. Vérifions ici la différence.

Schéma (Avant les calculs)

Nous allons calculer \(\omega_{\text{d}}\) en utilisant \(\omega_{\text{n}}\) et \(\zeta\).

Influence de \(\zeta\) sur \(\omega_{\text{n}}\)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de \(\omega_{\text{d}}\)

On utilise \(\omega_{\text{d}} = \omega_{\text{n}} \sqrt{1 - \zeta^2}\). On substitue \(\omega_{\text{n}}=20\) (de Q1) et \(\zeta=0.1\) (de Q3).

\begin{aligned} \omega_{\text{d}} &= \omega_{\text{n}} \sqrt{1 - \zeta^2} \\ &= 20 \times \sqrt{1 - (0.1)^2} \\ &= 20 \times \sqrt{1 - 0.01} \\ &= 20 \times \sqrt{0.99} \\ &\approx 20 \times 0.99498... \\ &\approx 19.8996 \text{ rad/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(f_{\text{d}}\)

On utilise \(f_{\text{d}} = \omega_{\text{d}} / 2\pi\). On remplace \(\omega_{\text{d}}\) par la valeur juste calculée.

\begin{aligned} f_{\text{d}} &= \frac{\omega_{\text{d}}}{2\pi} \\ &= \frac{19.8996...}{2\pi} \\ &\approx 3.167 \text{ Hz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On constate que la pulsation amortie est très légèrement inférieure à la pulsation non amortie.

Comparaison \(\omega_n\) vs \(\omega_d\)

Réflexions

Comme prévu, la fréquence propre amortie (\(f_{\text{d}} \approx 3.17\) Hz) est très légèrement inférieure à la fréquence propre non amortie (\(f_{\text{n}} \approx 3.18\) Hz). La différence est de moins de 0.5%. L'astuce est donc validée : pour un faible amortissement, \(f_{\text{d}} \approx f_{\text{n}}\).

Points de vigilance

Ne pas confondre \(f_{\text{d}}\) (fréquence de l'oscillation *libre* amortie) avec la fréquence du pic de résonance *forcée*. Le pic de résonance en amplitude (réponse à une excitation) se produit à une fréquence \(\omega_{\text{p}} = \omega_{\text{n}} \sqrt{1-2\zeta^2}\), qui est encore différente ! Pour \(\zeta=0.1\), \(\omega_{\text{p}} \approx 19.8\) rad/s.

Points à retenir

L'amortissement réduit la fréquence propre (légèrement).
Pour \(\zeta\) faible, \(f_{\text{d}} \approx f_{\text{n}}\).

Le saviez-vous ?

Le "Log-Decrement" (décrément logarithmique) est une méthode expérimentale pour trouver \(\zeta\). On tape sur la structure, on mesure l'amplitude de deux pics successifs \(x_{\text{1}}\) et \(x_{\text{2}}\), et on calcule \(\delta = \ln(x_{\text{1}}/x_{\text{2}})\). On a alors \(\zeta \approx \delta / (2\pi)\).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La pulsation propre amortie est \(\omega_{\text{d}} \approx 19.9\) rad/s, et la fréquence propre amortie est \(f_{\text{d}} \approx 3.17\) Hz.

A vous de jouer

Que vaudrait \(\omega_{\text{d}}\) si \(\zeta = 0.5\) (avec \(\omega_{\text{n}} = 20\) rad/s) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : L'amortissement réduit la fréquence propre (légèrement).
Formule Essentielle : \(\omega_{\text{d}} = \omega_{\text{n}} \sqrt{1 - \zeta^2}\).

Question 5 : Calculer la transmissibilité (TR) et l'isolation à \(f_{\text{exc}} = 10\) Hz

Principe

C'est le cœur du problème d'isolation. Nous voulons savoir quelle part de la vibration du plancher (à 10 Hz) est transmise au moteur. Un TR de 1 signifie 100% de transmission. Un TR < 1 signifie isolation. Un TR > 1 signifie amplification.

Mini-Cours

La courbe de transmissibilité (TR en fonction de \(r = f/f_{\text{n}}\)) a 3 zones :

\(r < 1\) : Le système est "rigide". TR \(\approx\) 1. (Pas d'isolation)
\(r = 1\) : Résonance. TR \(\gg\) 1. (Amplification)
\(r > \sqrt{2}\) : Zone d'isolation. TR < 1. Plus \(r\) est grand, meilleure est l'isolation.

Remarque Pédagogique

Le but de l'isolation est de s'assurer que la fréquence d'excitation la plus basse (\(f_{\text{exc}}\)) est bien plus grande que la fréquence propre du système (\(f_{\text{n}}\)). On vise \(r = f_{\text{exc}}/f_{\text{n}} > \sqrt{2}\).

Normes

Les normes acoustiques (ex: ISO) fixent des objectifs d'isolation en dB en fonction du type de local et de la source de bruit (ex: -20 dB pour une salle de spectacle).

Formule(s)

Rapport de fréquence

r = \frac{\omega_{\text{exc}}}{\omega_{\text{n}}} = \frac{2\pi f_{\text{exc}}}{\omega_{\text{n}}}

Transmissibilité (TR)

TR = \sqrt{\frac{1 + (2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}}

Isolation (dB)

\text{Isolation (dB)} = 20 \log_{10}(TR)

Hypothèses

On suppose que le système est en régime permanent (l'excitation vibre à 10 Hz depuis "longtemps").

Donnée(s)

Pour ce calcul, nous avons besoin d'une nouvelle information de l'énoncé (la fréquence d'excitation) et de nos résultats précédents.

\(f_{\text{exc}} = 10\) Hz (Source: Énoncé de la Question 5)
\(\omega_{\text{n}} = 20\) rad/s (Source: Résultat Q1)
\(f_{\text{n}} \approx 3.183\) Hz (Source: Résultat Q1)
\(\zeta = 0.1\) (Source: Résultat Q3)

Astuces

Pour le calcul de \(r\), vous pouvez utiliser les pulsations (\(\omega_{\text{exc}}/\omega_{\text{n}}\)) ou les fréquences (\(f_{\text{exc}}/f_{\text{n}}\)). C'est un rapport, le \(2\pi\) s'annule. \(f_{\text{n}} \approx 3.18\) Hz. Donc \(r = 10 / 3.18 \approx 3.14\). C'est plus rapide !

Schéma (Avant les calculs)

Nous allons calculer un point sur la courbe de transmissibilité. Nous sommes à \(r \approx 3.14\), donc bien dans la zone d'isolation (à droite de \(r=\sqrt{2} \approx 1.41\)).

Position sur la courbe de Transmissibilité

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du rapport de fréquence \(r\)

On utilise \(r = \omega_{\text{exc}} / \omega_{\text{n}}\). On utilise \(f_{\text{exc}}=10\) (de l'énoncé) pour trouver \(\omega_{\text{exc}}\), puis on compare à \(\omega_{\text{n}}=20\) (de Q1).

\begin{aligned} \omega_{\text{exc}} &= 2\pi f_{\text{exc}} = 2\pi \times 10 \text{ Hz} \approx 62.83 \text{ rad/s} \\ r &= \frac{\omega_{\text{exc}}}{\omega_{\text{n}}} = \frac{62.83 \text{ rad/s}}{20 \text{ rad/s}} \approx 3.1416 \end{aligned}

(Astuce : On aurait aussi pu calculer \(r = f_{\text{exc}} / f_{\text{n}} = 10 \text{ Hz} / 3.183 \text{ Hz} \approx 3.1416\))

Étape 2 : Calcul des termes intermédiaires

Pour simplifier la formule finale, on calcule \(r^2\) et \((2\zeta r)^2\). On utilise \(r \approx 3.1416\) (calculé ci-dessus) et \(\zeta = 0.1\) (de Q3).

\begin{aligned} r^2 &\approx (3.1416)^2 \approx 9.87 \\ (2\zeta r) &= (2 \times 0.1 \times 3.1416) \approx 0.6283 \\ (2\zeta r)^2 &\approx (0.6283)^2 \approx 0.3948 \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de TR

On insère les termes intermédiaires dans la grande formule de transmissibilité.

\begin{aligned} TR &= \sqrt{\frac{1 + (2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}} \\ &= \sqrt{\frac{1 + 0.3948}{(1 - 9.87)^2 + 0.3948}} \\ &= \sqrt{\frac{1.3948}{(-8.87)^2 + 0.3948}} \\ &= \sqrt{\frac{1.3948}{78.68 + 0.3948}} = \sqrt{\frac{1.3948}{79.07}} \\ &\approx \sqrt{0.01764} \approx 0.1328 \end{aligned}

Étape 4 : Calcul de l'isolation en dB

On convertit le rapport \(TR\) en décibels (dB). Un rapport < 1 donnera un résultat en dB négatif, ce qui signifie une atténuation.

\begin{aligned} \text{Isolation (dB)} &= 20 \log_{10}(TR) \\ &= 20 \log_{10}(0.1328) \\ &\approx 20 \times (-0.8768) \\ &\approx -17.54 \text{ dB} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est un point sur le graphique de transmissibilité. Une atténuation de -17.5 dB (TR \(\approx\) 0.133) est une bonne isolation.

Résultat sur la courbe de Transmissibilité

Réflexions

Un TR de 0.133 signifie que l'amplitude des vibrations transmises au moteur n'est que de 13.3% de l'amplitude du plancher. Une atténuation de -17.5 dB est une isolation correcte. On voit que l'amortissement (terme \(2\zeta r\)) augmente légèrement la transmissibilité dans cette zone (le terme \(1+(2\zeta r)^2\)), mais il est crucial pour contrôler le pic à la résonance.

Points de vigilance

La "règle d'or" de l'isolation est d'avoir \(r > \sqrt{2}\) (soit \(f_{\text{exc}} > \sqrt{2} \times f_{\text{n}}\)). Notre \(f_{\text{n}} \approx 3.18\) Hz, donc \(\sqrt{2} \times f_{\text{n}} \approx 4.5\) Hz. Puisque notre excitation est à 10 Hz, nous sommes bien dans la zone d'isolation.

Points à retenir

L'isolation (TR < 1) ne commence que lorsque \(f_{\text{exc}} > f_{\text{n}} \times \sqrt{2}\).
Un résultat en dB négatif signifie une atténuation (isolation). Un dB positif signifie une amplification.

Le saviez-vous ?

Si l'amortissement était nul (\(\zeta=0\)), la formule se simplifierait en \(TR = 1 / |1-r^2|\). Pour \(r=\pi\), \(TR = 1 / |1-9.87| = 1/8.87 \approx 0.112\). L'isolation serait meilleure (-19 dB) ! Mais à la résonance, le TR serait infini. L'amortissement est donc un compromis : il dégrade l'isolation en haute fréquence mais sauve le système à la résonance.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le rapport de transmissibilité est \(TR \approx 0.133\). L'isolation vibratoire est d'environ \(-17.5\) dB.

A vous de jouer

Que vaudrait le TR si le moteur était en résonance ( \(f_{\text{exc}} \approx 3.18\) Hz, donc \(r \approx 1\)) ? (Astuce : si \(r=1\), \(TR \approx 1/(2\zeta)\) )

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Transmissibilité (TR). Isolation si \(r > \sqrt{2}\).
Formule Essentielle : \(TR = \sqrt{\frac{1 + (2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2 + (2\zeta r)^2}}\).
Résultat : \(TR \approx 0.133\), ce qui correspond à une isolation de \(-17.5\) dB.

Outil Interactif : Simulateur de Fréquence Propre et de Transmissibilité

Utilisez les curseurs pour voir comment la masse et la raideur affectent la fréquence propre du système. Le graphique montre la courbe de transmissibilité (TR) pour un amortissement fixe \(\zeta = 0.1\), en fonction de la fréquence d'excitation.

Paramètres d'Entrée

Masse (m) (kg) 10 kg

Raideur (k) (N/m) 4000 N/m

Résultats Clés

Fréquence Propre (fn) - Hz

Amort. Critique (cc) - Ns/m

Glossaire

Pulsation Propre (\(\omega_{\text{n}}\)): La pulsation (en rad/s) à laquelle un système oscille naturellement sans amortissement. \(\omega_{\text{n}} = \sqrt{k/m}\).
Rapport d'Amortissement (\(\zeta\)): Nombre sans dimension (\(\zeta = c/c_{\text{c}}\)) qui décrit comment les oscillations d'un système s'atténuent après une perturbation.
Transmissibilité (TR): Rapport de l'amplitude de la vibration transmise à l'amplitude de la vibration d'excitation. Une valeur < 1 indique une isolation.
Résonance: Phénomène d'amplification des vibrations lorsque la fréquence d'excitation (\(f_{\text{exc}}\)) est très proche de la fréquence propre (\(f_{\text{n}}\)) du système.

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