ÉTUDE ACOUSTIQUE

Célérité du Son dans un Gaz Parfait

Célérité du Son dans un Gaz Parfait

Détermination de la Célérité du Son dans un Gaz Parfait

Comprendre le Calcul de la Célérité du Son

La célérité (ou vitesse) du son dans un gaz n'est pas constante ; elle dépend des propriétés thermodynamiques du gaz. Pour un gaz considéré comme parfait, la célérité du son (\(c\)) dépend de son indice adiabatique (\(\gamma\)), de sa température absolue (\(T\)), et de sa masse molaire (\(M\)). La formule de Newton-Laplace permet de calculer cette vitesse, qui est cruciale dans de nombreux domaines de la physique et de l'ingénierie, de l'aérodynamique à l'acoustique des salles.

Données de l'étude

On souhaite déterminer la célérité du son dans de l'hélium (He), un gaz monoatomique léger, à température ambiante.

Caractéristiques du gaz et conditions :

  • Gaz étudié : Hélium (He), supposé parfait.
  • Indice adiabatique pour un gaz monoatomique (\(\gamma\)) : \(1.67\)
  • Masse molaire de l'hélium (\(M\)) : \(4.0026 \, \text{g/mol}\)
  • Constante universelle des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • Température ambiante (\(T_{\text{°C}}\)) : \(25 \, ^\circ\text{C}\)
Schéma : Agitation Thermique et Propagation du Son
Propagation du son (c) Température T > 0 K Agitation thermique

La propagation du son est une transmission de proche en proche de la vibration, dont la vitesse dépend de l'agitation thermique des particules du gaz.

Questions à traiter

  1. Convertir la température ambiante en Kelvin (K), l'unité requise pour les calculs thermodynamiques.
  2. Calculer la célérité du son (\(c\)) dans l'hélium à cette température. Assurez-vous d'utiliser des unités cohérentes (kg pour la masse molaire).
  3. Analyser qualitativement comment la célérité du son dans l'hélium se comparerait à celle dans un gaz plus lourd comme le dioxyde de carbone (CO\(_2\), \(M \approx 44 \, \text{g/mol}\)), à la même température.

Correction : Calcul de la Célérité

Question 1 : Conversion de la Température

Principe :

La température utilisée dans la formule des gaz parfaits et ses dérivées doit être la température absolue, exprimée en Kelvin (K). La conversion depuis les degrés Celsius (°C) s'effectue en ajoutant 273.15.

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_{(\text{K})} = T_{(\text{°C})} + 273.15\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_{(\text{K})} &= 25 + 273.15 \\ &= 298.15 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La température à utiliser pour le calcul est de \(298.15 \, \text{K}\).

Question 2 : Calcul de la Célérité du Son (\(c\))

Principe :

On utilise la formule de Newton-Laplace qui relie la célérité du son aux propriétés thermodynamiques du gaz. Une attention particulière doit être portée à la cohérence des unités : la masse molaire doit être convertie en kilogrammes par mole (kg/mol) pour être compatible avec les Joules (qui sont des kg·m²/s²).

Formule(s) utilisée(s) :
\[c = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\]
Données spécifiques et conversion :
  • \(\gamma = 1.67\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
  • \(T = 298.15 \, \text{K}\)
  • \(M = 4.0026 \, \text{g/mol} = 0.0040026 \, \text{kg/mol}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} c &= \sqrt{\frac{1.67 \times 8.314 \, \frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \times 298.15 \, \text{K}}{0.0040026 \, \frac{\text{kg}}{\text{mol}}}} \\ &= \sqrt{\frac{4141.45}{0.0040026} \, \frac{\text{J}}{\text{kg}}} \\ &= \sqrt{1034689.7 \, \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \\ &\approx 1017.2 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La célérité du son dans l'hélium à 25 °C est d'environ \(1017 \, \text{m/s}\).

Quiz Intermédiaire : Si la température du gaz augmente, la célérité du son...

Question 3 : Influence de la Masse Molaire

Analyse :

La formule de la célérité, \(c = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\), montre que la vitesse du son est inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse molaire (\(c \propto 1/\sqrt{M}\)). Cela signifie que, à température égale, un gaz plus lourd (avec une masse molaire \(M\) plus grande) transmettra le son plus lentement.

L'hélium (He) a une masse molaire d'environ \(4 \, \text{g/mol}\), tandis que le dioxyde de carbone (CO\(_2\)) a une masse molaire d'environ \(44 \, \text{g/mol}\). L'indice adiabatique du CO\(_2\) (\(\gamma \approx 1.3\)) est également différent. Cependant, l'effet de la masse molaire, qui est 11 fois plus grande, est prépondérant.

Conclusion : La célérité du son dans le dioxyde de carbone sera significativement plus faible que dans l'hélium à la même température, principalement en raison de sa masse molaire beaucoup plus élevée.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. La célérité du son dans un gaz dépend principalement de :

2. Pourquoi la voix d'une personne qui a inhalé de l'hélium devient-elle plus aiguë ?

Glossaire

Célérité du son (\(c\))
Vitesse de propagation d'une onde sonore dans un milieu donné. Elle dépend des propriétés physiques du milieu.
Gaz Parfait
Modèle thermodynamique décrivant le comportement de gaz réels à basse pression. Il suppose que les particules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas à distance.
Indice Adiabatique (\(\gamma\))
Rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant (\(\gamma = C_p / C_v\)). Il caractérise la réponse du gaz à une compression ou détente rapide (adiabatique).
Constante Universelle des Gaz Parfaits (\(R\))
Constante physique qui apparaît dans la loi des gaz parfaits (\(PV=nRT\)). Sa valeur est d'environ \(8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
Masse Molaire (\(M\))
Masse d'une mole de substance (atomes ou molécules). Unité S.I. : kilogramme par mole (kg/mol).
Célérité du Son - Exercice d'Application en Acoustique
Interférence de Deux Sources Sonores
Interférence de Deux Sources Sonores

Modélisation de l'Interférence de Deux Sources Sonores Modélisation de l'Interférence de Deux Sources Sonores Comprendre l'Interférence Acoustique Lorsque les ondes sonores provenant de deux ou plusieurs sources se rencontrent en un point de l'espace, leurs amplitudes...

Fréquence de Coupure d’un Guide d’Ondes
Fréquence de Coupure d’un Guide d’Ondes

Calcul de la Fréquence de Coupure d'un Guide d'Ondes Calcul de la Fréquence de Coupure d'un Guide d'Ondes Comprendre la Fréquence de Coupure Un guide d'ondes est une structure qui contraint les ondes (acoustiques ou électromagnétiques) à se propager dans une direction...

Coefficients de Réflexion et de Transmission
Coefficients de Réflexion et de Transmission

Détermination des Coefficients de Réflexion et Transmission Détermination des Coefficients de Réflexion et de Transmission Comprendre la Réflexion et la Transmission Lorsqu'une onde sonore voyageant dans un premier milieu rencontre l'interface avec un second milieu,...

Sommation de Niveaux Sonores Incohérents
Sommation de Niveaux Sonores Incohérents

Sommation de Niveaux Sonores Incohérents Sommation de Niveaux Sonores Incohérents Comprendre l'Addition des Décibels En raison de la nature logarithmique de l'échelle des décibels, on ne peut pas simplement additionner arithmétiquement les niveaux sonores. Tenter...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *