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Comparaison des Gammes

Exercice : Comparaison des Gammes en Acoustique

Comparaison des Gammes (Pythagore vs. Tempérament Égal)

Contexte : La gamme musicaleEnsemble de notes choisies pour composer de la musique, définies par des rapports de fréquences..

Depuis l'antiquité, les musiciens et mathématiciens cherchent à "organiser" les sons. La gamme de Pythagore, basée sur un rapport de fréquence simple pour la quinte justeL'intervalle entre deux notes dont le rapport de fréquence est 3/2. C'est la base de la gamme de Pythagore. (3/2), a été fondamentale. Cependant, l'empilement de quintes pures ne "retombe" pas exactement sur un multiple de l'octave (rapport 2/1). Cet écart, le comma pythagoricienLe petit intervalle (env. 23.44 cents) qui sépare 12 quintes pures de 7 octaves pures., pose un problème. Pour le résoudre, la musique occidentale a adopté le tempérament égalSystème de division de l'octave en 12 demi-tons mathématiquement identiques (chacun valant 2^(1/12))., qui divise l'octave en 12 demi-tons mathématiquement égaux.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous fera calculer et comparer les fréquences des notes de ces deux gammes fondamentales pour comprendre pourquoi le tempérament égal est devenu la norme, et quantifier l'écart (le "comma") que Pythagore n'avait pu résoudre.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les fréquences de notes spécifiques dans la gamme de Pythagore.
Calculer les fréquences des mêmes notes dans la gamme à tempérament égal.
Calculer et comprendre la signification du "comma pythagoricien".
Utiliser la notion de "cent" pour comparer des intervalles.

Données de l'étude

Nous allons construire et comparer deux gammes en partant d'une note de base commune, un Do (noté $f_0$), dont la fréquence est fixée à 256 Hz. Cette valeur (dite "Do scientifique") simplifie les calculs car 256 est une puissance de 2 ($2^8$).

Constantes de Calcul

Caractéristique	Valeur
Fréquence de base (Do, $f_0$)	256 Hz
Rapport de Quinte Juste (Pythagore)	3/2 (ou 1.5)
Rapport d'Octave	2/1 (ou 2)
Rapport de Demi-ton (Temp. Égal)	$2^{(1/12)} \approx 1.059463$

Construction de la Quinte (Pythagore)

Note (depuis Do)	Nbr. Demi-tons (Temp. Égal)	Nbr. Quintes (Pythagore)
Do	0	0
Ré	2	2
Mi	4	4
Sol	7	1
La	9	3

Questions à traiter

Gamme de Pythagore : En partant de $f_0 = 256$ Hz, calculez la fréquence du Sol (1 quinte). Puis, en partant du Sol, calculez la fréquence du Ré (1 quinte de plus). N'oubliez pas de normaliser le Ré (le diviser par 2) pour le ramener dans l'octave [256 Hz - 512 Hz].
Gamme à Tempérament Égal : Calculez les fréquences du Sol (n=7 demi-tons) et du Ré (n=2 demi-tons) en utilisant la formule $f_n = f_0 \times 2^{(n/12)}$.
Comparaison des "Do" : Calculez la fréquence du "Do" obtenu après 12 quintes pures (Pythagore) : $f_{\text{pyth}} = f_0 \times (3/2)^{12}$. Calculez la fréquence du "Do" obtenu après 7 octaves pures : $f_{\text{oct}} = f_0 \times 2^7$.
Le Comma Pythagoricien : Calculez le rapport $R = f_{\text{pyth}} / f_{\text{oct}}$ (le comma). Puis, convertissez ce rapport en centsUnité logarithmique de mesure des intervalles musicaux. 1 octave = 1200 cents. en utilisant la formule : $N_{\text{cents}} = 1200 \times \log_2(R)$.
Conclusion : En comparant vos résultats de Q1 et Q2, quel système a la quinte la plus "juste" (proche de 3/2) ? Quel est l'avantage principal du tempérament égal, malgré ses quintes "imparfaites" ?

Les bases sur l'Acoustique Musicale

Pour cet exercice, deux concepts sont clés : la construction des gammes par rapports de fréquence, et la mesure logarithmique des intervalles (le "cent").

1. Gamme de Pythagore (Rapport 3/2)
La gamme de Pythagore est construite sur un seul rapport, la quinte juste (3/2). Pour trouver une nouvelle note, on multiplie la fréquence d'une note de base par 3/2. Si la fréquence obtenue "dépasse" l'octave (devient supérieure à $2 \times f_{\text{base}}$), on la divise par 2 (rapport d'octave) pour la "normaliser" dans l'octave de base. \[ f_{\text{note}} = f_{\text{base}} \times \left(\frac{3}{2}\right)^n \times \left(\frac{1}{2}\right)^k \] Où $n$ est le nombre de quintes et $k$ est le nombre d'octaves nécessaires pour normaliser.

2. Tempérament Égal et le 'Cent'
La gamme à tempérament égal divise l'octave (rapport 2/1) en 12 demi-tons strictement identiques. Le rapport de chaque demi-ton est donc $r = 2^{(1/12)}$.
Une note située à $n$ demi-tons de la base a une fréquence : \[ f_n = f_0 \times (2^{(1/12)})^n = f_0 \times 2^{(n/12)} \] Le cent est une mesure logarithmique de l'intervalle. L'octave (rapport 2/1) est divisée en 1200 cents. Un demi-ton tempéré fait donc exactement 100 cents. \[ N_{\text{cents}} = 1200 \times \log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right) \]

Correction : Comparaison des Gammes

Question 1 : Calcul des notes (Pythagore)

Principe

Nous utilisons la "recette" de Pythagore : on prend la fréquence de base (Do), on la multiplie par 3/2 pour trouver sa quinte (Sol). Puis, on prend ce Sol et on le multiplie à son tour par 3/2 pour trouver *sa* quinte (Ré). Enfin, on vérifie si ce Ré est dans l'octave [256 Hz - 512 Hz]. S'il est au-dessus, on le divise par 2.

Mini-Cours

La construction pythagoricienne est basée sur le "cycle des quintes". Do (0) -> Sol (1) -> Ré (2) -> La (3) -> Mi (4), etc. Nous nous arrêtons à Ré (2 quintes). Le rapport 3/2 (la quinte) est l'intervalle le plus "consonant" après l'octave (rapport 2/1), car c'est le 3ème harmonique ($f \times 3$) normalisé d'une octave ($f \times 3 / 2$).

Remarque Pédagogique

L'étape la plus importante de ce calcul est la "normalisation". Sans elle, chaque note serait de plus en plus aiguë et on sortirait très vite de l'octave de jeu. En divisant par 2, on ramène la note "à sa place" dans la gamme, en conservant son "caractère" (on ramène un Ré aigu à un Ré plus grave).

Normes

Ce calcul n'est pas basé sur une norme moderne (comme l'ISO), mais sur les principes mathématiques et acoustiques établis par l'école de Pythagore vers 500 av. J.-C. C'est un calcul théorique et historique.

Formule(s)

Les formules spécifiques pour cette question sont :

Calcul du Sol (1 quinte)

f_{\text{sol}} = f_0 \times \frac{3}{2}

Calcul du Ré (2 quintes) et Normalisation

f_{\text{ré\_haut}} = f_{\text{sol}} \times \frac{3}{2} \quad \text{puis} \quad f_{\text{ré\_norm}} = \frac{f_{\text{ré\_haut}}}{2}

Hypothèses

Nous posons deux hypothèses fondamentales pour ce système :

L'intervalle de quinte est parfaitement "pur" et correspond au rapport exact 3/2.
L'intervalle d'octave est parfaitement "pur" et correspond au rapport exact 2/1.

Donnée(s)

La seule donnée nécessaire est la fréquence de base :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence de Base (Do)La note de référence sur laquelle la gamme est construite.	$f_0$	256	Hz

Astuces

Multiplier par 3/2, c'est multiplier par 1.5. Diviser par 2, c'est diviser par 2. Les calculs de cette étape peuvent se faire de tête ou très simplement. $256 \times 1.5 = 256 + 128 = 384$.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du "chemin" des quintes pour trouver le Ré.

Cycle des Quintes (Do -> Sol -> Ré)

Calcul(s)

Nous suivons le chemin des quintes, pas à pas. Chaque multiplication par 3/2 équivaut à diviser par 2 puis multiplier par 3 (ou l'inverse).

Étape 1 : Calcul du Sol (1ère quinte)

On applique la formule $f_{\text{sol}} = f_0 \times (3/2)$ avec $f_0 = 256$ Hz.

\begin{aligned} f_{\text{sol}} &= 256 \text{ Hz} \times \frac{3}{2} \\ &= \left( \frac{256}{2} \right) \times 3 \\ &= 128 \times 3 \\ \Rightarrow f_{\text{sol}} &= 384 \text{ Hz} \end{aligned}

La fréquence du Sol pythagoricien est donc de 384 Hz. Cette valeur est bien dans notre octave de référence [256 Hz - 512 Hz], il n'y a pas besoin de la normaliser.

Étape 2 : Calcul du Ré (2ème quinte, non normalisé)

On repart de la note précédente, le Sol (384 Hz), et on lui applique à nouveau le rapport de quinte (3/2).

\begin{aligned} f_{\text{ré\_haut}} &= f_{\text{sol}} \times \frac{3}{2} \\ &= 384 \text{ Hz} \times \frac{3}{2} \\ &= \left( \frac{384}{2} \right) \times 3 \\ &= 192 \times 3 \\ \Rightarrow f_{\text{ré\_haut}} &= 576 \text{ Hz} \end{aligned}

On obtient une fréquence de 576 Hz. C'est bien la note "Ré" (2 quintes au-dessus de Do), mais elle est trop aiguë.

Étape 3 : Normalisation du Ré

Notre octave de référence est [256 Hz - 512 Hz]. La valeur de 576 Hz est supérieure à 512 Hz, elle est donc dans l'octave supérieure. Nous la divisons par 2 pour la ramener.

\begin{aligned} f_{\text{ré\_norm}} &= \frac{576 \text{ Hz}}{2} \\ \Rightarrow f_{\text{ré\_norm}} &= 288 \text{ Hz} \end{aligned}

Le Ré pythagoricien, normalisé dans l'octave du Do de base, a une fréquence de 288 Hz.

Réflexions

Le Sol (384 Hz) est la 3ème harmonique ($128 \times 3$) du Do une octave en dessous ($f_0 / 2 = 128$ Hz). Le Ré (288 Hz) est la 9ème harmonique ($32 \times 9$) du Do trois octaves en dessous ($f_0 / 8 = 32$ Hz). Cela montre que la gamme de Pythagore est "pure" car elle se base sur des rapports d'harmoniques simples (3 et ses puissances).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier la normalisation. Si on vous demande la fréquence du Ré dans la gamme de Do, on s'attend à une fréquence proche de Do (256 Hz), pas une fréquence à l'octave supérieure (576 Hz). Le Ré (288 Hz) est bien la deuxième note de la gamme, après le Do.

Points à retenir

La gamme de Pythagore se construit en multipliant par 3/2.
La "normalisation" (diviser par 2) est essentielle pour ramener les notes dans l'octave de base.
Le Sol est à 1 quinte (384 Hz), le Ré à 2 quintes (288 Hz).

Le saviez-vous ?

Pythagore et ses disciples auraient découvert ces rapports en étudiant les vibrations d'une corde tendue (un "monocorde"). En plaçant un doigt au 2/3 de la corde (rapport 3/2), on obtient la quinte. En plaçant le doigt à la moitié (rapport 2/1), on obtient l'octave.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Dans la gamme de Pythagore basée sur Do = 256 Hz :
- Le Sol (1 quinte) est à 384 Hz.
- Le Ré (2 quintes normalisées) est à 288 Hz.

A vous de jouer

En suivant la même logique, calculez la fréquence du La (la 3ème quinte). Partez du Ré (288 Hz) et montez d'une quinte (x 3/2). Est-il nécessaire de normaliser ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Construction par "cycle des quintes".
Formule : $f_{\text{nouvelle}} = f_{\text{base}} \times (3/2)$.
Action Clé : Normaliser (diviser par 2) si $f > f_0 \times 2$.

Question 2 : Calcul des notes (Temp. Égal)

Principe

Ici, la "recette" est différente. On n'utilise pas le rapport 3/2. On utilise une formule unique où le seul paramètre variable est $n$, le nombre de demi-tons qui sépare la note de la base. Un Sol est à 7 demi-tons du Do. Un Ré est à 2 demi-tons du Do.

Mini-Cours

Le tempérament égal à 12 tons (12-TET) est un "compromis" mathématique. Il force l'octave (rapport 2/1) à être divisée en 12 "pas" (demi-tons) parfaitement identiques. Le rapport de fréquence $r$ de ce demi-ton doit donc être tel que $r \times r \times ... \times r$ (12 fois) soit égal à 2. D'où $r^{12} = 2$, ce qui donne $r = 2^{(1/12)}$.

Remarque Pédagogique

La beauté de ce système est sa prévisibilité. Vous n'avez pas besoin de savoir comment la note a été "construite" (par des quintes ou autres). Il suffit de savoir "combien de cases sur le manche de la guitare" (combien de demi-tons) elle se trouve de la base.

Normes

Bien que nous utilisions Do=256Hz ("Do scientifique") pour la facilité des calculs, la norme internationale moderne (ISO 16) fixe le La (note n=9) à 440 Hz. Le Do de base (n=0) serait alors $440 \times 2^{(-9/12)} \approx 261.63$ Hz. Nos calculs restent valides car les *rapports* entre les notes sont les mêmes.

Formule(s)

Formule Générale (Tempérament Égal)

f_n = f_0 \times 2^{(n/12)}

Valeurs approchées des rapports

2^{(7/12)} \approx 1.498307 \quad | \quad 2^{(2/12)} \approx 1.122462

Hypothèses

Nous supposons que nous sommes dans un système à tempérament égal à 12 tons (12-TET), qui est le système standard de la musique occidentale moderne.

Donnée(s)

Nous avons besoin de la base et des valeurs de $n$.

Paramètre	Symbole	Valeur
Fréquence de Base (Do)	$f_0$	256 Hz
Demi-tons (Ré)	$n_{\text{ré}}$	2
Demi-tons (Sol)	$n_{\text{sol}}$	7

Astuces

Pour les calculs : $2^{(7/12)} \approx 1.498307$ et $2^{(2/12)} \approx 1.122462$. Vous pouvez voir que 1.4983 est très proche de 1.5 (la quinte juste de Pythagore), mais pas identique !

Schéma (Avant les calculs)

Le tempérament égal peut être vu comme un escalier où chaque marche (demi-ton) a exactement la même hauteur (le même rapport de fréquence $2^{(1/12)}$).

Escalier du Tempérament Égal

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du Sol (n=7)

Nous appliquons la formule $f_n = f_0 \times 2^{(n/12)}$ avec $n=7$ (pour le Sol) et $f_0 = 256$ Hz. Nous utilisons la valeur approchée pour $2^{(7/12)}$ qui est $1.498307...$ (visible dans la section "Formule(s)").

\begin{aligned} f_{\text{sol}} &= 256 \text{ Hz} \times 2^{(7/12)} \\ &= 256 \times 1.498307... \\ \Rightarrow f_{\text{sol}} &\approx 383.566 \text{ Hz} \end{aligned}

La fréquence du Sol tempéré est donc d'environ 383.57 Hz (arrondi). C'est très proche, mais légèrement plus bas que le Sol pythagoricien (384 Hz).

Étape 2 : Calcul du Ré (n=2)

De même, nous appliquons la formule pour $n=2$ (pour le Ré). Nous utilisons la valeur approchée pour $2^{(2/12)}$ qui est $1.122462...$.

\begin{aligned} f_{\text{ré}} &= 256 \text{ Hz} \times 2^{(2/12)} \\ &= 256 \times 1.122462... \\ \Rightarrow f_{\text{ré}} &\approx 287.350 \text{ Hz} \end{aligned}

La fréquence du Ré tempéré est d'environ 287.35 Hz. C'est aussi très proche, mais légèrement plus bas que le Ré pythagoricien (288 Hz).

Réflexions

Comparons les deux systèmes :
- Sol : Pythagore (384 Hz) vs. Temp. Égal (383.57 Hz). La quinte de Pythagore est légèrement plus "haute".
- Ré : Pythagore (288 Hz) vs. Temp. Égal (287.35 Hz). Le Ré de Pythagore est aussi légèrement plus "haut".
L'écart est minime, mais c'est cet écart, accumulé sur 12 notes, qui crée le "comma".

Points de vigilance

Ne confondez pas $n=7$ (7 demi-tons au-dessus du Do) avec la 7ème note de la gamme (qui serait un Si). Le Sol est la 5ème note de la gamme (Do-Ré-Mi-Fa-Sol), mais il se situe au 7ème demi-ton (Do, Do#, Ré, Ré#, Mi, Fa, Fa#, Sol).

Points à retenir

La formule du tempérament égal est $f_n = f_0 \times 2^{(n/12)}$.
Chaque demi-ton est un rapport de $2^{(1/12)}$, pas une addition.

Le saviez-vous ?

Le rapport $2^{(1/12)}$ est un nombre irrationnel. Cela signifie que, mathématiquement, aucune note de la gamme tempérée (à part l'octave) n'a un rapport "simple" (une fraction comme 3/2 ou 5/4) avec la fondamentale. C'est un compromis purement mathématique.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Dans la gamme à tempérament égal (Do = 256 Hz) :
- Le Sol (7 demi-tons) est à ~383.57 Hz.
- Le Ré (2 demi-tons) est à ~287.35 Hz.

A vous de jouer

Calculez la fréquence du La (n=9 demi-tons) dans la gamme à tempérament égal. (Indice : $2^{(9/12)} \approx 1.68179$)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : L'octave (rapport 2) est divisée en 12 "pas" égaux.
Formule Essentielle : $f_n = f_0 \times 2^{(n/12)}$.
Valeur Clé : Sol = 7 demi-tons, Ré = 2 demi-tons.

Question 3 : La 'Grande Boucle' (Pythagore vs Octaves)

Principe

On vérifie si, en "empilant" 12 quintes pures, on retombe sur la même note (un Do) que si on "empilait" 7 octaves pures. Pythagore espérait que $(3/2)^{12}$ serait égal à $2^7$. Nous allons vérifier si c'est le cas.

Mini-Cours

Le "cycle des quintes" est la base de l'harmonie occidentale. En 12 étapes (Do-Sol-Ré-La-Mi-Si-Fa#-Do#-Sol#-Ré#-La#-Mi#), on revient à la note de départ (Mi# est un "Do"). Le problème est que 12 pas "purs" (x 3/2) ne valent pas 7 pas d'octave (x 2).

Remarque Pédagogique

L'importance de ce "non-bouclage" est fondamentale. C'est le problème central de l'acoustique musicale que tous les "tempéraments" (arrangements de gamme) ont essayé de résoudre pendant des siècles, jusqu'à l'adoption du tempérament égal.

Normes

Ce calcul est purement théorique et ne suit pas une norme de construction, mais plutôt les principes mathématiques de l'acoustique.

Formule(s)

Fréquence des 12 Quintes

f_{\text{pyth}} = f_0 \times \left(\frac{3}{2}\right)^{12}

Fréquence des 7 Octaves

f_{\text{oct}} = f_0 \times 2^7

Hypothèses

Nous comparons un système "pur" pythagoricien (basé uniquement sur le rapport 3/2) à un système "pur" d'octaves (basé uniquement sur le rapport 2/1).

Donnée(s)

On utilise $f_0 = 256$ Hz, mais on pourrait aussi comparer uniquement les rapports $(3/2)^{12}$ et $2^7$.

$f_0 = 256 \text{ Hz}$ (qui est $2^8$)
$(3/2)^{12} = 531441 / 4096 \approx 129.746337...$
$2^7 = 128$

Astuces

Puisque $f_0 = 2^8$, le calcul de $f_{\text{oct}}$ est simple : $f_{\text{oct}} = 2^8 \times 2^7 = 2^{15} = 32768$. Cela montre que la 7ème octave au-dessus du Do 256 Hz est bien un "vrai" Do.

Schéma (Avant les calculs)

On peut imaginer deux coureurs faisant une course sur 7 octaves. Le "Coureur Octave" fait 7 grands sauts (x2). Le "Coureur Pythagore" fait 12 sauts moyens (x1.5). Vont-ils atterrir au même endroit ?

La Course vers le 7ème Octave

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de $f_{\text{pyth}}$ (le "Do" pythagoricien)

On calcule la fréquence de la note obtenue en montant 12 quintes pures. On part de $f_0 = 256$. Puisque $256 = 2^8$ et $4096 = 2^{12}$, la simplification $\frac{2^8}{2^{12}}$ donne $ \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} $.

\begin{aligned} f_{\text{pyth}} &= 256 \times \left(\frac{3}{2}\right)^{12} \\ &= 256 \times \frac{3^{12}}{2^{12}} \\ &= 256 \times \frac{531441}{4096} \\ &= \frac{256 \times 531441}{4096} \\ &= \frac{531441}{4096 / 256} \quad (\text{car } 4096 = 16 \times 256) \\ &= \frac{531441}{16} \\ \Rightarrow f_{\text{pyth}} &= 33215.0625 \text{ Hz} \end{aligned}

Après 12 quintes pures, on atterrit sur une fréquence de 33215.0625 Hz. C'est le "Do" pythagoricien.

Étape 2 : Calcul de $f_{\text{oct}}$ (le "vrai" Do à la 7e octave)

On calcule la fréquence de la note obtenue en montant 7 octaves pures (rapport 2/1). On part de $f_0 = 256$. On remplace $2^7$ par sa valeur (128) et on multiplie.

\begin{aligned} f_{\text{oct}} &= 256 \times 2^7 \\ &= 256 \times 128 \\ \Rightarrow f_{\text{oct}} &= 32768 \text{ Hz} \end{aligned}

Après 7 octaves pures, on atterrit sur une fréquence de 32768 Hz. C'est le "vrai" Do qui sert de référence.

Réflexions

Les deux valeurs (33215.06 Hz et 32768 Hz) sont clairement différentes. Le cycle des quintes pures ne "se ferme" pas. Le "Do" pythagoricien est plus haut que le "vrai" Do de l'octave. C'est cet écart qui est le comma.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre $f_0 \times (3/2)^{12}$ (qui est 7 octaves *plus* le comma) avec la note que l'on obtiendrait après normalisation. Les 33215 Hz sont la fréquence brute, non normalisée, pour la comparer à la fréquence brute des 7 octaves (32768 Hz).

Points à retenir

L'observation clé est que 12 quintes pures (rapport $(3/2)^{12} \approx 129.75$) ne sont pas égales à 7 octaves pures (rapport $2^7 = 128$).

Le saviez-vous ?

Cette différence est la raison pour laquelle un piano doit être "tempéré". Si un accordeur accordait un piano en suivant un cycle de quintes pures, la dernière quinte (celle qui "referme" le cycle) serait horriblement fausse et inutilisable.

FAQ

Question fréquente pour cette étape.

Résultat Final

Le "Do" pythagoricien (12 quintes) est à 33215.0625 Hz, tandis que le "Do" de la 7ème octave est à 32768 Hz. Les deux ne sont pas égaux.

A vous de jouer

Juste pour voir l'ampleur, quel est le rapport de fréquence $(3/2)^{12}$ ? (Arrondissez à 2 décimales)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Le "cycle des quintes" ne se referme pas.
Comparaison : $(3/2)^{12} \neq 2^7$.
Résultat : $129.75 \neq 128$.

Question 4 : Calcul du Comma en Cents

Principe

Nous avons deux fréquences pour "la même note" (Do) : $f_{\text{pyth}}$ et $f_{\text{oct}}$. Nous allons calculer leur rapport, puis convertir ce rapport en "cents" pour avoir une mesure perceptive de cet écart. Le "cent" est l'outil de mesure standard pour les acousticiens.

Mini-Cours

Le "cent" est une unité logarithmique, ce qui signifie qu'elle correspond mieux à notre perception des sons. Une addition de cents (ex: 100 cents + 100 cents) correspond à une multiplication de rapports de fréquence (ex: $r \times r$). C'est l'outil parfait pour quantifier les intervalles. L'octave vaut 1200 cents, le demi-ton tempéré 100 cents.

Remarque Pédagogique

Le 'cent' est l'outil indispensable de l'acousticien. Il permet de comparer n'importe quel intervalle, peu importe la fréquence de base. Un écart de 5 cents est considéré comme le seuil de perception pour beaucoup de gens.

Normes

La définition du 'cent' (1200 cents par octave) est une norme de fait en acoustique musicale, proposée par Alexander Ellis à la fin du 19ème siècle.

Formule(s)

Calcul du Rapport (Comma)

R = \frac{f_{\text{pyth}}}{f_{\text{oct}}} = \frac{(3/2)^{12}}{2^7}

Conversion en Cents

N_{\text{cents}} = 1200 \times \log_2(R)

Conversion de Logarithme (Calculatrice)

\log_2(R) = \frac{\log_{10}(R)}{\log_{10}(2)} \approx \frac{\log_{10}(R)}{0.30103}

Hypothèses

Nous supposons la définition logarithmique standard du cent.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats (fréquences ou rapports) de la Question 3.

$f_{\text{pyth}} \approx 33215.0625$ Hz
$f_{\text{oct}} = 32768$ Hz

Astuces

Rappel de calcul : Pour calculer $\log_2(R)$ sur une calculatrice standard, vous devez faire $\log_{10}(R) / \log_{10}(2)$ ou $\ln(R) / \ln(2)$.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du Rapport $R$

Pour obtenir la valeur la plus précise, nous calculons le rapport $R$ entre les deux fréquences $f_{\text{pyth}}$ et $f_{\text{oct}}$. On peut aussi le faire en utilisant les rapports purs (les $f_0$ s'annulent). On divise le rapport des 12 quintes $(3/2)^{12}$ par le rapport des 7 octaves $2^7$.

\begin{aligned} R &= \frac{f_{\text{pyth}}}{f_{\text{oct}}} = \frac{f_0 \times (3/2)^{12}}{f_0 \times 2^7} \\ &= \frac{(3/2)^{12}}{2^7} \\ &= \frac{3^{12} / 2^{12}}{2^7} \\ &= \frac{3^{12}}{2^{12} \times 2^7} = \frac{3^{12}}{2^{19}} \\ &= \frac{531441}{524288} \\ \Rightarrow R &\approx 1.01364326... \end{aligned}

Ce rapport $R \approx 1.0136$ est le "Comma Pythagoricien". Il montre que le "Do" pythagoricien est environ 1.36% plus haut que le "vrai" Do.

Étape 2 : Conversion en Cents

On applique la formule de conversion en cents, en utilisant la valeur de R. On montre la conversion du logarithme en base 2 vers la base 10 (ou 'ln') pour l'usage de la calculatrice.

\begin{aligned} N_{\text{cents}} &= 1200 \times \log_2(R) \\ &= 1200 \times \log_2(1.01364326...) \\ &= 1200 \times \left( \frac{\log_{10}(1.01364326...)}{\log_{10}(2)} \right) \\ &= 1200 \times \left( \frac{0.005879...}{0.30103...} \right) \\ &= 1200 \times 0.01953... \\ \Rightarrow N_{\text{cents}} &\approx 23.436 \text{ Cents} \end{aligned}

L'écart, ou comma, est donc d'environ 23.44 cents. C'est cette valeur qui est perceptible par l'oreille humaine.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de l'écart sur une échelle en cents.

Visualisation du Comma Pythagoricien

Réflexions

Un écart de 23.44 cents est petit, mais il est significatif. Il représente presque un quart de demi-ton (qui fait 100 cents). C'est un écart très audible pour une oreille exercée, et il rend la "quinte du loup" (la dernière quinte de la gamme de Pythagore) très dissonante.

Points de vigilance

Ne pas oublier le facteur 1200 dans la formule des cents. Une erreur commune est d'oublier ce 1200 (ou d'utiliser 100), ce qui donne un résultat incorrect.

Points à retenir

Le Comma Pythagoricien est le rapport $(3/2)^{12} / 2^7$.
Sa valeur est d'environ 1.01364.
En cents, cela vaut environ 23.44 cents (presque un quart de demi-ton).

Le saviez-vous ?

Le comma pythagoricien n'est pas le seul 'comma' en musique ! Il y a aussi le 'comma syntonique' (environ 21.5 cents) qui compare la tierce pure (5/4) et la tierce pythagoricienne (obtenue après 4 quintes).

FAQ

Question fréquente pour cette étape.

Résultat Final

Le Comma Pythagoricien est un rapport de ~1.01364, ce qui équivaut à ~23.44 Cents.

A vous de jouer

Une quinte "pure" (Pythagore) vaut $1200 \times \log_2(1.5) \approx 701.955$ cents. Une quinte "tempérée" vaut 7 demi-tons, soit... ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Le "Comma" est l'erreur du cycle des quintes.
Formule : $N_{\text{cents}} = 1200 \times \log_2(R)$.
Valeur : Comma $\approx 23.44$ cents.

Question 5 : Conclusion (Sensation et Avantages)

Formule(s)

Il s'agit d'une réflexion, mais elle se base sur les rapports calculés précédemment. Nous comparons les rapports de quinte (Sol/Do) des deux systèmes.

Rapport Quinte Pythagore

On utilise les valeurs calculées à la Question 1 (Sol=384 Hz, Do=256 Hz).

\frac{f_{\text{sol}}}{f_0} = \frac{384}{256} = 1.5

Le rapport est exactement 1.5, ce qui correspond au rapport pur 3/2.

Rapport Quinte Tempérée

On utilise les valeurs calculées à la Question 2 (Sol $\approx$ 383.566 Hz, Do=256 Hz).

\frac{f_{\text{sol}}}{f_0} = \frac{383.566...}{256} \approx 1.4983

Le rapport est 1.4983... (qui est $2^{(7/12)}$). Ce n'est pas 1.5, mais c'est très proche.

Hypothèses

Cette question est une analyse des résultats, pas un nouveau calcul. Nous nous basons sur les faits établis dans les questions 1 à 4.

Schéma (Après les calculs)

Le tableau suivant résume la confrontation.

Caractéristique	Gamme de Pythagore	Tempérament Égal
Quinte (Sol)	Pure (3/2)	Légèrement fausse (1.4983)
Tierce (Mi)	Très fausse (81/64)	Fausse (1.26)
Transposition	Impossible (Quinte du Loup)	Parfaite

Réflexions

1. Pureté de la Quinte (Q1 vs Q2) :
Pour vérifier cela, nous posons les rapports de Q1 et Q2.
Pythagore (Q1) : $ \frac{f_{\text{sol}}}{f_0} = \frac{384 \text{ Hz}}{256 \text{ Hz}} = 1.5$. C'est exactement le rapport 3/2.
Tempérament Égal (Q2) : $ \frac{f_{\text{sol}}}{f_0} = \frac{383.57 \text{ Hz}}{256 \text{ Hz}} \approx 1.4983$.
Conclusion : La gamme de Pythagore a la quinte la plus "juste" (parfaitement pure).

2. Avantage du Tempérament Égal :
Le problème de Pythagore (le comma) est que si vous jouez un morceau basé sur Do, il sonnera bien, mais si vous le transposez (le jouez en Ré, par exemple), vous tomberez sur la "quinte du loup" et le morceau sonnera faux.
L'avantage du Tempérament Égal est que l'écart (le comma) est "réparti" équitablement entre les 12 notes. Toutes les quintes sont *très légèrement* plus petites (d'environ 2 cents) que la quinte pure, mais elles sont *toutes identiques*. Cela signifie qu'un morceau sonnera de la même manière (au niveau des intervalles) quelle que soit la tonalité de départ (Do, Ré, Sol, etc.).

Points de vigilance

"Juste" en acoustique ne veut pas dire "meilleur". La quinte de Pythagore est plus "juste" (au sens de "pure"), mais le tempérament égal est plus "juste" (au sens de "équitable" et "pratique") pour la musique moderne.

Points à retenir

Pythagore : Quinte pure (3/2), mais problème de comma (23.44 cents) et impossibilité de transposer.
Tempérament Égal : Compromis. Quinte légèrement fausse (d'environ 2 cents), mais tous les demi-tons sont égaux (100 cents), permettant la transposition universelle. C'est le système du piano moderne.

Le saviez-vous ?

Jean-Sébastien Bach a promu ce type de tempérament (pas encore parfaitement "égal", mais "bien tempéré") avec son œuvre "Le Clavier bien tempéré", une collection de préludes et fugues écrits dans les 24 tonalités (majeures et mineures) pour prouver qu'on pouvait jouer dans toutes les tonalités sans sonner faux.

FAQ

Question fréquente pour cette étape.

Résultat Final

Pythagore a la quinte la plus juste (3/2). L'avantage principal du Tempérament Égal est la transposition : on peut jouer dans n'importe quelle tonalité sans qu'elle ne sonne "plus faux" qu'une autre.

A vous de jouer

La quinte de Pythagore (701.955 cents) est plus grande que la quinte tempérée (700 cents). L'écart est d'environ 2 cents (plus précisément, $23.44 / 12 \approx 1.955$). C'est ce petit écart, multiplié par 12, qui crée le comma. Entrez "2".

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Pythagore : Pureté acoustique (quinte juste).
Temp. Égal : Flexibilité musicale (transposition).

Outil Interactif : Simulateur de Série Harmonique

En acoustique, une note (Do=256 Hz) n'est pas un son pur. Elle est composée de sa fréquence fondamentale (Rang 1 = 256 Hz) et d'une série d'harmoniques (Rang 2, Rang 3, etc.) qui sont des multiples entiers. Cet outil calcule la fréquence de ces harmoniques.

Paramètres d'Entrée

Fréquence Fondamentale (f1) (Hz) 256 Hz

Rang de l'Harmonique (n) Rang 3

Résultats Clés

Fréq. Harmonique (f_n = n * f1) -

Rapport à la fondamentale (f_n / f1) -

Glossaire

Comma Pythagoricien: Le petit intervalle (env. 23.44 cents) qui sépare 12 quintes pures (rapport 3/2) de 7 octaves pures (rapport 2/1). C'est le "défaut" mathématique de la gamme de Pythagore.
Tempérament Égal: Système de division de l'octave en 12 demi-tons mathématiquement identiques. Chacun vaut $2^{(1/12)}$ (ou 100 cents). Il permet de jouer dans toutes les tonalités de manière cohérente.
Quinte Juste (ou Pure): L'intervalle entre deux notes dont le rapport de fréquence est 3/2. C'est l'intervalle le plus consonant après l'octave, et la base de la gamme de Pythagore.
Cent: Unité logarithmique de mesure des intervalles musicaux. Une octave est divisée en 1200 cents, et un demi-ton à tempérament égal vaut 100 cents.

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