Dérivation de l'Équation d'Onde Acoustique

Contexte : Acoustique Fondamentale et Dynamique des Fluides.

L'acoustique est la science du son, qui se propage sous forme d'ondes de pression dans un milieu matériel. Pour comprendre comment le son se déplace, nous devons établir l'équation fondamentale qui régit sa propagation : l'Équation de D'AlembertÉquation aux dérivées partielles décrivant la propagation des ondes à vitesse finie.. Cet exercice détaille la dérivation mathématique de cette équation à partir des lois de conservation de la mécanique des fluides (Euler et Continuité) en supposant des petites perturbations.

🎯 Remarque Pédagogique : Pourquoi cette démonstration est-elle incontournable ?

Cette dérivation n'est pas un simple exercice de style mathématique. Elle constitue la pierre angulaire de toute la physique ondulatoire et représente un point de convergence majeur dans votre formation scientifique. Voici pourquoi il est crucial de la maîtriser en profondeur :

1. Unification des Concepts Physiques :
Cet exercice fait la synthèse entre trois domaines souvent étudiés séparément :
- La Mécanique des Milieux Continus (via les équations d'Euler et de la conservation de la masse).
- La Thermodynamique (via l'hypothèse adiabatique et l'équation d'état du gaz).
- L'Analyse Mathématique (via les opérateurs différentiels vectoriels et la résolution d'EDP).
Vous allez voir comment des lois statiques (Newton) donnent naissance à un phénomène dynamique (l'onde) par leur couplage.
2. L'Art de la Modélisation (Linéarisation) :
C'est l'exemple parfait pour comprendre la méthode des perturbations. Vous apprendrez à distinguer ce qui est négligeable (ordre 2) de ce qui est essentiel (ordre 1). Cette technique est utilisée partout en physique : en optique, en mécanique quantique et en traitement du signal. Comprendre pourquoi on peut jeter le terme \( (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} \) est aussi important que de savoir dériver.
3. Intuition Physique des Opérateurs :
Au-delà des symboles, cet exercice donne un sens physique concret aux opérateurs abstraits :
- Le Gradient (\(\nabla p\)) devient la "force motrice" qui pousse le fluide.
- La Divergence (\(\nabla \cdot \vec{v}\)) devient le "taux de compression" ou d'expansion du volume.
- Le Laplacien (\(\nabla^2 p\)) devient une mesure de la "courbure" du champ de pression, agissant comme une force de rappel élastique.

En résumé : Si vous comprenez cette démonstration, vous comprenez comment la matière inerte peut transporter de l'énergie et de l'information à travers l'espace sans se déplacer elle-même. C'est le secret du son, mais aussi de la lumière et des ondes sismiques.

Objectifs Pédagogiques

Au terme de cet exercice, vous aurez acquis une compréhension profonde des mécanismes fondamentaux de l'acoustique linéaire. Les compétences visées dépassent la simple mémorisation et touchent à la modélisation physique :

1. Maîtriser l'Art de la Linéarisation (Théorie des Perturbations)
Vous apprendrez à distinguer les grandeurs statiques (constantes, ordre 0) des perturbations dynamiques (acoustiques, ordre 1). L'objectif est de comprendre pourquoi et comment on néglige les termes non-linéaires (ordre 2, comme le terme convectif d'Euler). C'est une compétence transversale essentielle en physique, utilisée en optique, en mécanique quantique et en traitement du signal pour rendre solubles des problèmes complexes.
2. Donner un Sens Physique aux Opérateurs Vectoriels
Ne plus voir les opérateurs \(\nabla\) (nabla), \(\nabla \cdot\) (divergence) et \(\Delta\) (laplacien) comme de simples symboles abstraits, mais comme des actions physiques concrètes :
- Gradient : La "pente" de pression qui crée la force motrice.
- Divergence : Le taux d'expansion ou de compression local du fluide.
- Laplacien : La courbure spatiale du champ, agissant comme une "élasticité" du milieu.
3. Comprendre la Genèse de la Propagation
Saisir comment le couplage de deux lois de conservation (Masse et Quantité de Mouvement) qui ne décrivent pas des ondes individuellement, donne naissance, une fois combinées, à une équation d'onde. Vous comprendrez le rôle clé de la compressibilité (thermodynamique) qui transforme l'énergie cinétique en énergie potentielle et inversement, permettant le transport de l'énergie.
4. Analyse Dimensionnelle et Rigueur
Vérifier l'homogénéité des équations à chaque étape pour éviter les erreurs physiques. Comprendre pourquoi le terme \(1/c^2\) apparaît nécessairement devant la dérivée temporelle pour lier l'espace (mètres) et le temps (secondes).

Données de l'étude et Hypothèses

Description du Système Physique

1. L'État d'Équilibre (Le Silence)

Nous considérons un volume infini de fluide (gaz ou liquide) initialement au repos absolu. Dans cet état d'équilibre thermodynamique, le milieu est parfaitement calme et homogène. Il est caractérisé par des grandeurs macroscopiques constantes dans le temps et l'espace :

Une Pression Statique \(p_0\) (ex: 101 325 Pa pour l'air). C'est la force exercée par les chocs aléatoires des molécules sur une paroi virtuelle.
Une Masse Volumique Statique \(\rho_0\) (ex: 1.2 kg/m³). C'est la quantité de matière par unité de volume.
Une Vitesse Moyenne Nulle \(\vec{v}_0 = \vec{0}\). Bien que les molécules bougent individuellement à grande vitesse (agitation thermique), leur mouvement d'ensemble est nul : il n'y a pas de vent.

2. La Perturbation (Le Son)

Une source sonore (ex: membrane de haut-parleur) vient perturber cet équilibre en poussant brièvement une tranche de fluide. Cette action mécanique introduit de l'énergie dans le système et crée des variations locales :

Les particules de fluide sont déplacées de leur position d'équilibre, créant une vitesse locale non nulle \(\vec{v}(\vec{r}, t)\).
Ce déplacement entasse les particules dans certaines zones (Compression, \(\rho > \rho_0\)) et les raréfie dans d'autres (Dépression, \(\rho < \rho_0\)).
Ces variations de densité engendrent instantanément des variations de pression correspondantes \(p'(\vec{r}, t)\) (Pression Acoustique).

3. Le Mécanisme de Propagation

Pourquoi la perturbation ne reste-t-elle pas sur place ? C'est grâce à l'élasticité du milieu. Une zone comprimée (haute pression) va chercher à se détendre en poussant sur la zone voisine (qui est à plus basse pression). Cette force met en mouvement la zone voisine (inertie), qui se comprime à son tour, et ainsi de suite.

L'objectif de cet exercice est de traduire mathématiquement ce jeu de "pousse-toi que je m'y mette" entre l'Inertie (Masse) et l'Élasticité (Pression) pour aboutir à une équation unique décrivant le voyage de l'onde.

Hypothèses Fondamentales Détaillées

Pour passer de la réalité complexe (équations de Navier-Stokes complètes) au modèle acoustique standard, nous posons quatre hypothèses majeures. Il est crucial de comprendre la justification physique de chacune :

Hypothèse	Justification Physique	Conséquence Mathématique
1. Milieu Continu et Homogène	On néglige la structure atomique/moléculaire (l'échelle d'étude est beaucoup plus grande que le libre parcours moyen des molécules). Le milieu est identique partout.	Les propriétés statiques (\(\rho_0, p_0\)) sont des constantes indépendantes de la position \(\vec{r}\). \(\nabla p_0 = \vec{0}\).
2. Fluide Parfait (Non Visqueux)	On néglige les frottements internes (viscosité) et la conduction thermique. C'est une excellente approximation pour la propagation du son sur de courtes distances dans l'air.	Pas de termes de dissipation d'énergie. L'équation de conservation de la quantité de mouvement se réduit à l'Équation d'Euler (au lieu de Navier-Stokes).
3. Transformation Adiabatique	Les oscillations acoustiques sont très rapides (fréquences audibles : 20 Hz - 20 kHz). La chaleur générée lors de la compression n'a physiquement pas le temps de diffuser vers les zones détendues.	Le processus est isentropique (entropie constante). La relation pression-densité est régie par le coefficient adiabatique \(\gamma\) : \(p' = c_0^2 \rho'\).
4. Petites Perturbations (Linéarisation)	L'amplitude de l'onde est très faible devant les grandeurs atmosphériques. Exemple : un son très fort (100 dB) correspond à \(p' \approx 2\) Pa, alors que \(p_0 \approx 101 300\) Pa.	On peut négliger tous les termes d'ordre supérieur ou égal à 2 (ex: \(\rho' \vec{v}\), \(v^2\), etc.). Cela rend les équations linéaires et solubles.

Analyse Géométrique de la Propagation

Pour modéliser mathématiquement le problème, nous devons définir comment la perturbation se comporte dans l'espace. Nous utilisons ici l'approximation de l'onde plane, fondamentale en acoustique des conduits.

Vue Longitudinale (Profil de l'Onde)

Cette vue latérale montre la progression de l'onde le long de l'axe \(x\). Les lignes verticales représentent les fronts d'onde (les crêtes de pression).

Interprétation :

Le vecteur d'onde \(\vec{k}\) indique la direction de transport de l'énergie.
La distance entre deux zones sombres (maxima de pression) correspond à la longueur d'onde \(\lambda\).

Vue Transversale (Section S)

Coupe perpendiculaire à la propagation. C'est ici que l'hypothèse d'onde plane prend tout son sens.

Uniformité :

Sur cette surface \(S\), à un instant \(t\) donné, la pression \(p\) et la vitesse \(v\) sont identiques en tout point. Cela réduit le problème 3D à un problème 1D (selon \(x\)).

Visualisation Microscopique du Fluide

Ce schéma illustre ce qui se passe réellement au niveau des particules lors du passage de l'onde. Notez bien que le dégradé de couleur représente la densité locale du gaz.

⚠️ Distinction Fondamentale : Transport vs Oscillation

Il est crucial de ne pas confondre deux mouvements distincts illustrés ici :

🚀 Le Mouvement de l'Onde (Célérité \(c_0\)) : C'est la zone de compression (en bleu foncé) qui se déplace vers la droite à environ 340 m/s. C'est de l'énergie pure.
📍 Le Mouvement des Particules (Vitesse \(v\)) : Les molécules (points noirs) ne traversent pas l'écran ! Elles oscillent simplement autour de leur position d'équilibre (vecteur rouge) sur quelques micromètres. Elles transmettent la poussée à leurs voisines puis reviennent à leur place.

Décomposition des Variables (Méthode des Perturbations)

Pour tout champ physique \(A(\vec{r}, t)\) (pression, densité ou vitesse), nous écrivons la somme d'une composante statique (constante) et d'une composante dynamique (acoustique) :

Grandeur Physique	Décomposition	Ordre de Grandeur (Air)	Signification
Pression Totale	\(p(\vec{r}, t) = p_0 + p'(\vec{r}, t)\)	\(p_0 \approx 10^5\) Pa \(p' \approx 0.001 - 20\) Pa	\(p_0\) est la pression atmosphérique. \(p'\) est la "pression acoustique" (ce qu'on entend).
Masse Volumique	\(\rho(\vec{r}, t) = \rho_0 + \rho'(\vec{r}, t)\)	\(\rho_0 \approx 1.2\) kg/m³ \(\rho' \ll \rho_0\)	\(\rho_0\) est la densité moyenne de l'air. \(\rho'\) est la fluctuation de densité due à la compression.
Vitesse Particulaire	\(\vec{v}(\vec{r}, t) = \vec{v}_0 + \vec{v}(\vec{r}, t)\)	\(\vec{v}_0 = \vec{0}\) (Vent nul) \(\|\|\vec{v}\|\| \approx \text{mm/s}\)	La vitesse moyenne du vent est nulle. \(\vec{v}\) est la vitesse de vibration locale des molécules d'air.

Questions à traiter

En utilisant les hypothèses ci-dessus, nous allons suivre le cheminement mathématique suivant :

Linéarisation de l'équation de Continuité : Simplifier la loi de conservation de la masse en négligeant les termes d'ordre 2.
Linéarisation de l'équation d'Euler : Simplifier la loi de conservation de la quantité de mouvement (Newton).
Manipulation Temporelle : Dériver l'équation de continuité par rapport au temps pour faire apparaître une dérivée seconde.
Manipulation Spatiale : Prendre la divergence de l'équation d'Euler pour faire apparaître le Laplacien de pression.
Synthèse : Combiner les deux résultats précédents et l'équation d'état pour obtenir l'équation de D'Alembert (équation d'onde).

Les bases théoriques : Les 3 Piliers de l'Acoustique

Pour construire le modèle de propagation du son, nous devons combiner trois domaines de la physique. Aucune de ces lois ne suffit à elle seule pour décrire une onde ; c'est leur interaction qui crée le phénomène.

1. Conservation de la Masse (Équation de Continuité)

Concept Physique : "Rien ne se perd, rien ne se crée, tout se transforme."

Imaginez un petit cube de volume fixe, immobile dans l'espace. La quantité d'air (la masse) à l'intérieur de ce cube ne peut varier que pour une seule et unique raison : de l'air est entré ou sorti à travers les parois. C'est un principe de comptabilité pure.

Le terme \(\nabla \cdot (\rho \vec{v})\) (Divergence du flux de masse) calcule le bilan net des entrées/sorties. Si ce terme est positif, cela signifie que plus de matière sort qu'il n'en rentre (divergence).
Le terme \(\frac{\partial \rho}{\partial t}\) représente la variation du stock (densité) à l'intérieur du cube.

L'équation affirme que la vitesse de diminution du stock est exactement égale au flux sortant net.

Équation de Continuité

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0

2. Conservation de la Quantité de Mouvement (Équation d'Euler)

Concept Physique : La 2ème Loi de Newton (\(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)) appliquée aux fluides.

Pour qu'une particule de fluide accélère, une force doit la pousser. En l'absence de viscosité (fluide parfait, sans frottement) et en négligeant la pesanteur, la seule force capable de mettre le fluide en mouvement est la différence de pression entre deux points.

Le terme \(-\nabla p\) est la force de pression volumique. Le signe moins est fondamental : le fluide est naturellement poussé des zones de Haute Pression vers les zones de Basse Pression (il "descend" la pente de pression).
Le terme de gauche \(\rho \frac{d\vec{v}}{dt}\) représente l'inertie : c'est la masse volumique \(\rho\) multipliée par l'accélération totale de la particule.

Équation d'Euler

\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p

Note : Le terme entre parenthèses est la "dérivée particulaire" (accélération totale), composée de l'accélération locale et de l'accélération convective.

3. Comportement Thermodynamique (Équation d'État)

Concept Physique : L'élasticité du milieu ("L'effet Ressort").

Les deux équations précédentes (Euler et Continuité) décrivent le mouvement, mais il manque un lien crucial : comment le fluide réagit-il quand on le comprime ? Est-il mou comme une éponge ou dur comme de l'acier ? L'équation d'état relie la densité \(\rho\) (combien les molécules sont serrées) à la pression \(p\) (combien elles poussent sur les parois).

Pour de petites variations acoustiques, on utilise un développement de Taylor au premier ordre autour de l'équilibre. On ne s'intéresse pas à la valeur absolue de la pression, mais à la pente de la courbe pression-densité. Cette pente est notée \(c_0^2\).

C'est ce coefficient \(c_0\) qui définit la "raideur" du ressort gazeux. Plus \(c_0\) est grand, plus le milieu est "raide" (difficile à comprimer dynamiquement), et plus l'onde se propagera vite car la force de rappel sera violente.

Équation d'État (Linéarisée)

p(\rho) \approx p(\rho_0) + \underbrace{\left. \frac{\partial p}{\partial \rho} \right|_S}_{c_0^2} (\rho - \rho_0) \quad \Rightarrow \quad p' \approx c_0^2 \rho'

Correction : Dérivation de l'Équation d'Onde Acoustique

Question 1 : Linéarisation de l'Équation de Continuité

1. Principe de la Linéarisation

L'équation de conservation de la masse (\(\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0\)) est intrinsèquement non-linéaire. Pourquoi ? Parce qu'elle contient le produit de deux inconnues : la densité \(\rho\) et la vitesse \(\vec{v}\).

En mathématiques, résoudre une équation contenant un terme \(x \cdot y\) est beaucoup plus complexe que \(x + y\). L'objectif de la linéarisation est de simplifier ce produit en exploitant le fait que les perturbations acoustiques sont minuscules par rapport aux grandeurs atmosphériques. Cela nous permettra de transformer ce problème complexe en une équation linéaire soluble.

2. Mini-Cours : La Théorie des Perturbations

Développement au premier ordre :

Si une grandeur \(X\) varie très peu autour d'une valeur moyenne \(X_0\), on l'écrit \(X = X_0 + \epsilon\), où \(\epsilon \ll X_0\).
Lorsqu'on multiplie deux grandeurs perturbées : \[ (A_0 + a)(B_0 + b) = A_0 B_0 + A_0 b + B_0 a + \underbrace{a \cdot b}_{\approx 0} \] Le terme \(a \cdot b\) est un "infiniment petit d'ordre 2". Si \(a\) et \(b\) valent \(0.001\) (1 millième), leur produit vaut \(0.000001\) (1 millionième). On peut donc le négliger sans commettre d'erreur mesurable.

3. Remarque Pédagogique

Pourquoi négliger les petits termes ?
Ce n'est pas de la paresse ! En gardant les termes d'ordre 2, on entrerait dans le domaine de l'acoustique non-linéaire (ondes de choc, bang supersonique). Pour la parole ou la musique, ces effets sont inexistants. La linéarisation est l'art de garder l'essentiel pour comprendre le phénomène dominant.

4. Formules et Hypothèses

Équation de départ (Continuité)

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0

Décomposition (Perturbations)

\rho(\vec{r}, t) = \rho_0 + \rho'(\vec{r}, t) \] \[ \vec{v}(\vec{r}, t) = \vec{0} + \vec{v}(\vec{r}, t)

\(\rho_0\) : Densité statique (constante dans le temps et l'espace, \(\partial_t \rho_0 = 0\), \(\nabla \rho_0 = \vec{0}\)).
\(\rho'\) : Perturbation de densité (variable, ordre 1).
\(\vec{v}\) : Vitesse acoustique (variable, ordre 1). Notez que la vitesse statique est nulle (pas de vent).

5. Schémas Situation Initiale (Flux de Masse)

Volume de Contrôle

Le bilan de masse : Variation du stock = Entrées - Sorties

6. Calculs Détaillés

Étape A : Substitution

On remplace les variables \(\rho\) et \(\vec{v}\) par leur expression décomposée dans l'équation de continuité :

\begin{aligned} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) &= 0 \\ \frac{\partial (\rho_0 + \rho')}{\partial t} + \nabla \cdot ((\rho_0 + \rho') \vec{v}) &= 0 \end{aligned}

Étape B : Développement des termes

On utilise la linéarité de la dérivée : \((A+B)' = A' + B'\). On développe également le produit à l'intérieur de la divergence :

\begin{aligned} \underbrace{\frac{\partial \rho_0}{\partial t}}_{(1)} + \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho_0 \vec{v} + \rho' \vec{v}) &= 0 \\ \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho_0 \vec{v}) + \underbrace{\nabla \cdot (\rho' \vec{v})}_{(2)} &= 0 \end{aligned}

Analyse des termes :

(1) \(\partial \rho_0 / \partial t\) : Ce terme est strictement nul car la densité statique \(\rho_0\) ne change pas dans le temps (équilibre).
(2) \(\nabla \cdot (\rho' \vec{v})\) : C'est le terme non-linéaire. Il contient le produit de deux grandeurs acoustiques très petites (\(\rho'\) et \(\vec{v}\)). C'est un terme d'ordre 2. Nous le considérons comme négligeable (\(\approx 0\)) par rapport aux autres termes d'ordre 1.

Étape C : Sortie des constantes

Il nous reste le terme \(\nabla \cdot (\rho_0 \vec{v})\). Comme \(\rho_0\) est une constante (le milieu est homogène), elle ne dépend pas de la position \((x,y,z)\). Elle peut donc "traverser" l'opérateur divergence \(\nabla \cdot\) sans être dérivée.

\nabla \cdot (\rho_0 \vec{v}) = \rho_0 (\nabla \cdot \vec{v})

Rappel mathématique : \(\text{div}(k \vec{U}) = k \, \text{div}(\vec{U})\) si \(k\) est constant.

7. Résultat Final Validé

\[ \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \rho_0 (\nabla \cdot \vec{v}) = 0 \]

8. Réflexions Physiques

Que nous dit cette équation simplifiée ?
\(\frac{\partial \rho'}{\partial t} = - \rho_0 (\nabla \cdot \vec{v})\)
Si la divergence est négative (\(\nabla \cdot \vec{v} < 0\), les vitesses convergent vers un point), alors le terme de droite devient positif. Cela implique que la densité augmente (\(\partial \rho' / \partial t > 0\)).
Traduction : Si du fluide s'accumule à un endroit (convergence), la densité à cet endroit augmente. C'est intuitif et rassurant !

Points de vigilance

Erreur classique : Ne jamais dériver \(\rho_0\) par rapport au temps ou à l'espace. Elle agit comme un simple facteur multiplicatif (coefficient d'inertie).

Points à Retenir

Pour cette étape, retenez :

L'hypothèse des petites perturbations élimine le terme quadratique.
L'homogénéité du milieu permet de sortir \(\rho_0\) des dérivées spatiales.
L'équation finale relie linéairement la variation de densité à la divergence de la vitesse.

Le saviez-vous ?

Cette forme simplifiée est valide pour des niveaux sonores allant jusqu'à environ 140 dB. Au-delà, l'hypothèse de linéarité s'effondre et il faut réintégrer les termes négligés (acoustique non-linéaire).

FAQ

Pourquoi la vitesse moyenne \(\vec{v}_0\) est-elle nulle ?

On se place dans un référentiel où le fluide est globalement au repos (pas de vent). S'il y avait un vent constant \(\vec{v}_0\), l'équation changerait légèrement (advection), mais le principe ondulatoire resterait le même. Le son serait simplement "porté" par le vent.

A vous de jouer
Si \(\rho_0 = 1.2\) kg/m³, que vaut le coefficient devant la divergence dans l'équation finale ?

📝 Mémo Rapide
Accumulation de masse (\(\dot{\rho}'\)) = Convergence de vitesse (\(-\text{div}\,\vec{v}\)).

Question 2 : Linéarisation de l'Équation d'Euler

1. Principe : La Dynamique du Fluide

L'équation d'Euler n'est rien d'autre que la Seconde Loi de Newton (\( \sum \vec{F} = m \vec{a} \)) appliquée à une petite parcelle de fluide en mouvement.
La difficulté majeure réside dans le terme d'accélération. Contrairement à un solide rigide, une particule de fluide peut accélérer pour deux raisons :

Accélération Locale : La vitesse change en un point donné au cours du temps (ex: le vent se lève).
Accélération Convective : La particule se déplace vers une zone où la vitesse est différente (ex: l'eau accélère en entrant dans un entonnoir).

Ce deuxième terme est non-linéaire (il contient le carré de la vitesse). La linéarisation va consister à montrer qu'en acoustique, ce terme de transport est négligeable.

2. Mini-Cours : La Dérivée Particulaire

L'accélération totale d'une particule fluide est donnée par la dérivée particulaire (notée \(D/Dt\)) : \[ \vec{a} = \frac{D\vec{v}}{Dt} = \underbrace{\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}}_{\text{Instationnaire}} + \underbrace{(\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v}}_{\text{Convectif}} \]

\(\partial \vec{v} / \partial t\) : Variation temporelle à position fixe.
\((\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v}\) : Variation due au déplacement de la particule dans un champ de vitesse non uniforme.

3. Remarque Pédagogique

L'Argument du Nombre de Mach :
Le rapport entre le terme convectif et le terme local est de l'ordre du nombre de Mach \(M = v/c_0\). En acoustique linéaire, la vitesse des particules est de l'ordre de quelques mm/s, alors que \(c_0 \approx 340\) m/s. Donc \(M \ll 1\). C'est pour cela que l'on peut négliger la convection.

4. Formules et Hypothèses

Équation de départ (Euler)

\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p

Décomposition

\rho = \rho_0 + \rho' \quad ; \quad p = p_0 + p' \quad ; \quad \vec{v} = \vec{0} + \vec{v}

\(\nabla p_0 = \vec{0}\) : La pression atmosphérique est uniforme (pas de vent géostrophique, pas de gradient statique significatif à l'échelle de l'onde).
Les termes d'ordre 2 (produits de petits termes) sont négligés.

5. Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse repos	\(\vec{v}_0\)	\(\vec{0}\)	\(\text{m/s}\)

6. Schémas Situation Initiale (Forces)

Gradient de Pression et Force

7. Calculs Détaillés

Étape A : Substitution dans le terme de gauche (Inertie)

On remplace \(\rho\) et \(\vec{v}\) dans le terme d'accélération :

\begin{aligned} \rho \frac{D\vec{v}}{Dt} &= (\rho_0 + \rho') \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v} \right) \end{aligned}

On développe le produit. Attention, il y a 4 termes potentiels :

\begin{aligned} = \underbrace{\rho_0 \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}}_{\text{Ordre 1}} + \underbrace{\rho' \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}}_{\text{Ordre 2}} + \underbrace{\rho_0 (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v}}_{\text{Ordre 2}} + \underbrace{\rho' (\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v}}_{\text{Ordre 3}} \end{aligned}

Simplification :
1. Le terme \(\rho' \partial_t \vec{v}\) est le produit de deux petites perturbations. Négligeable.
2. Le terme \((\vec{v} \cdot \nabla)\vec{v}\) contient le carré de la vitesse (\(v \times v\)). Négligeable.
Il ne reste que le premier terme.

\text{Gauche} \approx \rho_0 \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}

Étape B : Substitution dans le terme de droite (Forces)

On développe le gradient de pression :

\begin{aligned} -\nabla p &= -\nabla(p_0 + p') \\ &= -\underbrace{\nabla p_0}_{\vec{0}} - \nabla p' \\ &= -\nabla p' \end{aligned}

Le gradient de la pression statique atmosphérique est nul (à l'échelle horizontale locale).

8. Résultat Final Validé

\[ \rho_0 \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = -\nabla p' \]

9. Réflexions Physiques

Cette équation est la version acoustique de \(F = m a\).
\(\rho_0\) est la masse (par unité de volume). \(\partial \vec{v} / \partial t\) est l'accélération. \(-\nabla p'\) est la force motrice.
Elle nous dit que l'air n'accélère que s'il y a un déséquilibre de pression acoustique. Pas de gradient de pression = Pas d'accélération = Pas de son.

Points de vigilance

Attention aux signes : La force est opposée au gradient. Le gradient pointe vers la haute pression (la "montagne"), mais la force pousse vers la basse pression (la "vallée"). D'où le signe moins.

Points à Retenir

Pour cette étape, retenez :

On a linéarisé l'accélération en supprimant le terme convectif non-linéaire.
L'inertie acoustique est portée uniquement par la densité statique \(\rho_0\).
L'équation lie l'accélération temporelle de la vitesse au gradient spatial de la pression.

Le saviez-vous ?

Cette équation d'Euler linéarisée est exactement la même que celle utilisée pour décrire les vagues de faible amplitude à la surface de l'eau (ondes de gravité).

FAQ

Pourquoi ne pas utiliser l'équation de Navier-Stokes ?

Navier-Stokes ajoute un terme de viscosité \(\mu \nabla^2 \vec{v}\). En acoustique dans l'air, ce terme est généralement très petit. On ne l'utilise que si l'on s'intéresse à l'atténuation du son sur de très longues distances ou dans des tubes très fins (capillaires).

A vous de jouer
Si \(\nabla p' = 10\) Pa/m et \(\rho_0 = 1\) kg/m³, quelle est l'accélération (en valeur absolue) ?

📝 Mémo Rapide
Inertie \(\times\) Accélération = Force de Pression.

Question 3 : Manipulation Temporelle de la Continuité

1. Stratégie : Le Problème du Couplage

À ce stade, nous avons deux équations linéaires :
1. Continuité : Relie la variation temporelle de densité \(\partial_t \rho'\) à la divergence de la vitesse \(\nabla \cdot \vec{v}\).
2. Euler : Relie l'accélération temporelle de la vitesse \(\partial_t \vec{v}\) au gradient de pression.

Le problème : Ces équations sont "croisées". La première parle de \(\nabla \cdot \vec{v}\) (dérivée spatiale de \(v\)) alors que la seconde parle de \(\partial_t \vec{v}\) (dérivée temporelle de \(v\)).
La solution : Pour éliminer la vitesse \(\vec{v}\) et obtenir une équation ne contenant que des scalaires (\(\rho\) ou \(p\)), nous devons transformer l'une des équations pour faire apparaître le même terme "pivot".
Ici, nous allons dériver l'équation de continuité par rapport au temps \(t\).

2. Mini-Cours : Commutation des Dérivées (Schwarz)

Théorème de Schwarz : Pour une fonction physique "bien élevée" (continue et dérivable), l'ordre des dérivations n'a pas d'importance. \[ \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right) \] En notation vectorielle, cela signifie que la dérivée temporelle de la divergence est égale à la divergence de la dérivée temporelle : \[ \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \vec{v}) = \nabla \cdot \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right) \] C'est cette propriété magique qui va nous permettre de connecter l'équation de continuité à l'équation d'Euler.

3. Remarque Pédagogique

Pourquoi monter en ordre ?
En dérivant une équation qui contient déjà des dérivées, on obtient des dérivées secondes (accélérations, courbures). C'est le prix à payer pour découpler les variables. Une équation d'onde est toujours du second ordre.

4. Formules et Hypothèses

Équation de départ (Continuité Linéarisée)

\frac{\partial \rho'}{\partial t} + \rho_0 (\nabla \cdot \vec{v}) = 0

Les fonctions sont de classe \(C^2\) (deux fois dérivables).
\(\rho_0\) est constant dans le temps (\(\partial_t \rho_0 = 0\)).

5. Schémas Situation Initiale

Opérateur Dérivée Temporelle

6. Calculs Détaillés

Étape A : Application de l'opérateur

On applique \(\frac{\partial}{\partial t}\) à chaque terme de l'égalité. L'égalité reste vraie car si \(A=B\), alors \(A'=B'\).

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\partial \rho'}{\partial t} + \rho_0 (\nabla \cdot \vec{v}) \right] &= \frac{\partial}{\partial t}[0] \end{aligned}

Étape B : Linéarité et Constantes

1. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
2. La dérivée de 0 est 0.
3. \(\rho_0\) est une constante multiplicative, elle sort de la dérivée.

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \rho'}{\partial t}\right) + \rho_0 \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \cdot \vec{v}) &= 0 \end{aligned}

Étape C : Écriture des dérivées secondes

On simplifie l'écriture : \(\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\partial}{\partial t}) = \frac{\partial^2}{\partial t^2}\). C'est l'accélération de la densité.

\begin{aligned} \frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2} + \rho_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \vec{v}) &= 0 \end{aligned}

Ici, on a le choix. Soit on garde le terme tel quel, soit on permute \(\partial_t\) et \(\nabla \cdot\). Pour la suite, il est souvent plus visuel de permuter pour faire apparaître \(\partial_t \vec{v}\) (l'accélération d'Euler).

\begin{aligned} \frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2} + \rho_0 \nabla \cdot \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right) &= 0 \end{aligned}

7. Résultat Intermédiaire

\[ \frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2} + \rho_0 \nabla \cdot \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right) = 0 \]

8. Réflexions Physiques

Ce résultat est fascinant. Le premier terme \(\frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2}\) représente l'inertie de la compression.
Imaginez un ressort qu'on comprime. La vitesse à laquelle il se comprime est \(\partial \rho' / \partial t\). L'accélération de cette compression est \(\partial^2 \rho' / \partial t^2\).
L'équation nous dit que cette "accélération de densité" est compensée par la divergence de l'accélération du fluide. C'est l'amorce du comportement oscillatoire.

Points de vigilance

Rigueur mathématique : Assurez-vous toujours que le terme \(\rho_0\) est bien devant la dérivée ou la divergence, et non dedans (car \(\nabla \cdot (\rho_0 \vec{v}) = \rho_0 \nabla \cdot \vec{v}\) seulement si \(\rho_0\) est uniforme).

Points à Retenir

Pour cette étape, retenez :

Dériver la continuité par rapport au temps crée une dérivée seconde de la densité.
Cela prépare le terrain pour injecter l'accélération d'Euler (\(\partial_t \vec{v}\)).
L'ordre des dérivées spatiales et temporelles est interchangeable.

Le saviez-vous ?

En dérivant deux fois par rapport au temps, on change l'unité physique. \(\rho\) est en kg/m³. \(\partial \rho / \partial t\) est en kg/(m³·s). \(\partial^2 \rho / \partial t^2\) est en kg/(m³·s²).

FAQ

Pouvait-on faire l'inverse (Dériver Euler en espace) ?

Absolument ! C'est l'autre chemin possible. Si vous prenez la divergence de l'équation d'Euler (ce qu'on fera à la Question 4), vous obtiendrez exactement le même terme croisé. Les deux méthodes se rejoignent au milieu du pont.

A vous de jouer
Si \(\rho\) oscille comme \(\cos(\omega t)\), que vaut \(\partial^2 \rho / \partial t^2\) ?

📝 Mémo Rapide
Dérivée temps sur Continuité \(\to\) Accélération de la densité.

Question 4 : Manipulation Spatiale (Divergence d'Euler)

1. Stratégie : Passer du Vectoriel au Scalaire

L'équation d'Euler (\(\rho_0 \partial_t \vec{v} = -\nabla p'\)) est une équation vectorielle (elle a 3 composantes : x, y, z).
L'équation obtenue à la Question 3 (\(\partial^2_{tt} \rho' + \rho_0 \partial_t (\nabla \cdot \vec{v}) = 0\)) est une équation scalaire (1 seule composante).

Pour pouvoir injecter l'une dans l'autre, nous devons transformer l'équation d'Euler en une expression scalaire compatible. L'outil mathématique pour "écraser" un vecteur en un scalaire tout en gardant son sens physique est l'opérateur Divergence (\(\nabla \cdot\)).

2. Mini-Cours : Divergence et Laplacien

L'Identité Vectorielle Clé :

La divergence d'un gradient est égale au Laplacien : \[ \nabla \cdot (\nabla p) = \Delta p = \nabla^2 p \]
En coordonnées cartésiennes 1D, cela revient à une simple dérivée seconde : \[ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \] Physiquement, si le gradient est la "pente", la divergence du gradient est la "courbure".

3. Remarque Pédagogique

Analogie du Relief :
Imaginez le champ de pression comme un paysage de montagnes.
- Le Gradient (\(\nabla p\)) vous indique la direction de la pente la plus raide.
- Le Laplacien (\(\nabla^2 p\)) vous indique si vous êtes sur un sommet (concavité négative), dans une cuvette (concavité positive) ou sur une plaine (nul).

4. Formules et Hypothèses

Équation de départ (Euler Linéarisée Q2)

\rho_0 \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = -\nabla p'

Les opérateurs spatiaux (\(\nabla\)) et temporels (\(\partial_t\)) commutent (Espace et temps sont indépendants).
L'espace est isotrope (le Laplacien agit de la même façon dans toutes les directions).

5. Schémas Situation Initiale

Opérateur Divergence

La divergence transforme un flux (vecteur) en un taux de variation (scalaire).

6. Calculs Détaillés

Étape A : Application de la divergence

On applique l'opérateur \(\nabla \cdot\) à gauche et à droite de l'équation d'Euler linéarisée :

\begin{aligned} \nabla \cdot \left( \rho_0 \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right) &= \nabla \cdot (-\nabla p') \end{aligned}

Étape B : Traitement du terme de gauche (Inertie)

1. La constante \(\rho_0\) sort de la divergence.
2. On permute les dérivées spatiale (\(\nabla\)) et temporelle (\(\partial_t\)).

\begin{aligned} \text{Gauche} &= \rho_0 \left( \nabla \cdot \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right) \\ &= \rho_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \vec{v}) \end{aligned}

C'est exactement le terme qui nous manquait pour faire le lien avec la Question 3 !

Étape C : Traitement du terme de droite (Pression)

La divergence du gradient est, par définition, le Laplacien.

\begin{aligned} \text{Droite} &= - (\nabla \cdot \nabla) p' \\ &= -\nabla^2 p' \end{aligned}

7. Résultat Intermédiaire

\[ \rho_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \vec{v}) = -\nabla^2 p' \]

8. Réflexions Physiques

Analysons cette équation :
\(\text{Masse} \times \text{Vitesse de variation de l'expansion} = -\text{Courbure de Pression}\)
Cela signifie que la façon dont le fluide se dilate ou se contracte dans le temps est pilotée par la forme géométrique du champ de pression. Si la pression forme une "bosse" (Laplacien négatif), cela va provoquer une accélération de l'expansion (le fluide fuit la bosse).

Points de vigilance

Attention au signe : Le signe moins devant le Laplacien est fondamental. Sans lui, on obtiendrait une équation de type "exponentielle explosive" au lieu d'une équation d'onde oscillante. C'est ce signe qui crée la force de rappel (stabilité).

Points à Retenir

Pour cette étape, retenez :

L'opérateur divergence permet de passer d'une relation de forces (vectorielle) à une relation d'énergie/potentiel (scalaire).
\(\nabla \cdot \nabla = \nabla^2\) (Laplacien).
La permutation des dérivées est la clé de voûte de la démonstration.

Le saviez-vous ?

Le Laplacien \(\nabla^2\) est l'opérateur le plus omniprésent en physique théorique. Il apparaît dans l'équation de la chaleur (Fourier), l'équation de Schrödinger (Mécanique Quantique) et l'équation de Poisson (Gravité et Électrostatique).

FAQ

Pourquoi ne pas utiliser le rotationnel ?

Parce que le son est une onde de compression (longitudinale), pas de cisaillement. En fluide parfait, le mouvement acoustique est irrotationnel (\(\nabla \wedge \vec{v} = \vec{0}\)). L'opérateur pertinent pour décrire la compression/dilatation est la divergence, pas le rotationnel.

A vous de jouer
Si la pression est \(p(x) = x^2\), que vaut son Laplacien \(\nabla^2 p\) en 1D ?

📝 Mémo Rapide
Divergence d'Euler \(\to\) Laplacien de Pression.

Question 5 : Synthèse et Équation de D'Alembert

1. Stratégie : Le Grand Assemblage

Nous arrivons à l'étape finale. Nous avons préparé deux "pièces de puzzle" mathématiques dans les questions précédentes :
Pièce A (Continuité modifiée) : Une équation scalaire contenant une dérivée seconde de la densité et un terme croisé "densité-vitesse".
Pièce B (Euler modifiée) : Une équation scalaire reliant ce même terme croisé au Laplacien de la pression.
L'objectif est d'emboîter ces pièces pour éliminer la vitesse \(\vec{v}\) et la densité \(\rho'\), ne laissant qu'une seule variable maîtresse : la pression acoustique \(p'\).

2. Mini-Cours : L'Opérateur de D'Alembert

L'équation que nous cherchons est de la forme \(\square p' = 0\), où \(\square\) est le D'Alembertien : \[ \square = \Delta - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \] C'est l'opérateur fondamental de la relativité restreinte et de la physique des ondes. Il exprime que ce qui se passe "ici et maintenant" dépend de ce qui s'est passé "ailleurs et avant", reliés par la vitesse limite \(c\).

3. Remarque Pédagogique

La Magie de l'Équation :
Observez bien le résultat final. Nous sommes partis de lois de conservation (Masse, Newton) qui ne parlent pas d'ondes. Mais en les combinant, nous voyons émerger une équation qui oblige la solution à voyager. C'est mathématiquement inévitable : le couplage de l'élasticité et de l'inertie crée la propagation.

4. Formules et Hypothèses

Résultat Q3 (Continuité)

\frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2} + \rho_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \vec{v}) = 0

Résultat Q4 (Euler)

\rho_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \vec{v}) = -\nabla^2 p'

Équation d'État (Thermodynamique)

p' = c_0^2 \rho' \quad \Rightarrow \quad \rho' = \frac{p'}{c_0^2}

Milieu homogène (\(c_0\) est une constante spatiale et temporelle).
Linéarité conservée tout au long du processus.

5. Schémas Synthèse

Le Puzzle Mathématique

L'élimination du terme croisé permet de fusionner la conservation de masse et la dynamique.

6. Calculs Détaillés

Étape A : Substitution du terme croisé

Regardez le terme \(\rho_0 \partial_t (\nabla \cdot \vec{v})\) dans l'équation Q3. D'après l'équation Q4, ce terme vaut exactement \(-\nabla^2 p'\).
Nous remplaçons donc directement dans l'équation Q3 :

\begin{aligned} \underbrace{\frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2}}_{\text{Terme Q3}} + \underbrace{(-\nabla^2 p')}_{\text{Terme Q4}} &= 0 \\ \frac{\partial^2 \rho'}{\partial t^2} - \nabla^2 p' &= 0 \end{aligned}

Nous avons éliminé la vitesse \(\vec{v}\) ! Mais nous avons encore deux variables : \(\rho'\) et \(p'\).

Étape B : Élimination de la densité

Nous utilisons l'équation d'état thermodynamique pour exprimer \(\rho'\) en fonction de \(p'\).
Comme \(p' = c_0^2 \rho'\), alors \(\rho' = \frac{1}{c_0^2} p'\).
On injecte cette expression dans la dérivée temporelle :

\begin{aligned} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left( \frac{1}{c_0^2} p' \right) - \nabla^2 p' &= 0 \end{aligned}

Étape C : Sortie de la constante

L'hypothèse d'homogénéité du milieu signifie que la célérité \(c_0\) est une constante (elle ne dépend pas du temps). On peut donc la sortir de la dérivée :

\begin{aligned} \frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 p'}{\partial t^2} - \nabla^2 p' &= 0 \end{aligned}

C'est la forme standard de l'équation d'onde.

7. Résultat Final Validé

\[ \nabla^2 p' - \frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 p'}{\partial t^2} = 0 \]

8. Réflexions Physiques

Cette équation met en égalité deux aspects fondamentaux de la déformation du fluide :
1. La courbure spatiale (\(\nabla^2 p'\)) : Comment la pression varie d'un point à l'autre (concavité).
2. L'accélération temporelle (\(\partial_{tt} p'\)) : Comment la pression évolue dans le temps en un point.

Le facteur \(1/c_0^2\) agit comme un convertisseur d'unités entre l'espace et le temps. Cela signifie que la courbure spatiale cause une accélération temporelle. C'est exactement le mécanisme d'une corde vibrante ou d'un ressort : une déformation spatiale crée une force de rappel qui accélère la masse.

Points de vigilance

Homogénéité dimensionnelle : Vérifions toujours les unités.
\([\nabla^2 p] = \text{Pa} \cdot \text{m}^{-2}\)
\([c^{-2} \partial_{tt} p] = (\text{m} \cdot \text{s}^{-1})^{-2} \cdot \text{Pa} \cdot \text{s}^{-2} = \text{m}^{-2} \cdot \text{s}^2 \cdot \text{Pa} \cdot \text{s}^{-2} = \text{Pa} \cdot \text{m}^{-2}\)
Ça colle parfaitement !

Points à Retenir

Pour l'examen, retenez :

L'équation finale ne dépend que d'une seule variable (\(p'\)).
Elle est linéaire (pas de \(p'^2\)) et homogène (pas de terme source ici).
La célérité \(c_0\) apparaît comme le lien causal entre l'espace et le temps.

Le saviez-vous ?

Cette même équation (en 3D) régit les ondes électromagnétiques (lumière) et les ondes gravitationnelles. Seule la nature du champ (\(\vec{E}, \vec{B}\) ou métrique \(g_{\mu\nu}\)) et la valeur de la vitesse \(c\) changent. C'est l'universalité de la physique !

FAQ

Peut-on obtenir une équation pour la vitesse ?

Oui, absolument. En manipulant les équations différemment (en prenant le gradient de la continuité et la dérivée temporelle d'Euler), on montre que le vecteur vitesse \(\vec{v}\), la densité \(\rho'\) et le potentiel des vitesses \(\phi\) obéissent tous exactement à la même équation d'onde de D'Alembert.

A vous de jouer
Si le milieu est très compressible (comme un gaz mou), \(c_0\) est faible. Si le milieu est très rigide (comme l'acier), \(c_0\) est...

📝 Mémo Rapide
Laplacien Spatial = (1/c²) \(\times\) Accélération Temporelle.

Synthèse : La "Recette" de l'Onde Acoustique

1. Le Mécanisme Physique : Ressort et Masse

Pour comprendre cette équation, il faut imaginer le fluide comme une série de petites masses reliées par des ressorts. C'est le principe fondamental de toute propagation d'onde mécanique :

L'Équation d'Euler joue le rôle de la Masse (Inertie). Elle nous dit que pour déplacer une particule de fluide, il faut appliquer une force (la différence de pression). La densité \(\rho_0\) représente l'inertie de cette particule : plus le fluide est lourd, plus il est difficile à mettre en mouvement.
L'Équation de Continuité couplée à l'équation d'état joue le rôle du Ressort (Élasticité). Si les particules se rapprochent (convergence de vitesse), la densité augmente. Comme le fluide est élastique (compressible), cette surdensité crée une surpression qui va tenter de repousser les particules.

2. Pourquoi a-t-on besoin de croiser les dérivées ?

Vous avez remarqué que nous avons dérivé la continuité par rapport au temps (\(\partial/\partial t\)) et Euler par rapport à l'espace (\(\nabla \cdot\)). Pourquoi cette complication ?

Le but est l'élimination des variables.

Initialement, nous avons un système "mélangé" : la variation de pression crée du mouvement (Euler), et le mouvement crée de la pression (Continuité). C'est un cercle vicieux.

En croisant les dérivées, nous faisons apparaître le même terme mixte \(\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \cdot \vec{v})\) dans les deux équations. Cela nous permet de soustraire les équations l'une à l'autre pour faire disparaître complètement la vitesse \(\vec{v}\). Il ne reste alors qu'une seule variable : la pression \(p\), qui évolue seule dans l'espace et le temps.

3. Analyse dimensionnelle et Célérité

L'équation finale met en relation deux courbures :

\(\nabla^2 p\) : C'est la courbure spatiale de la pression (comment la pression change d'un point à l'autre). Unité : \(\text{Pa/m}^2\).
\(\frac{\partial^2 p}{\partial t^2}\) : C'est l'accélération temporelle de la pression (comment la pression change d'un instant à l'autre). Unité : \(\text{Pa/s}^2\).

Pour que ces deux termes soient égaux, il faut un facteur de conversion : \(1/c_0^2\).
En effet : \(\frac{1}{(\text{m/s})^2} \times (\text{Pa/s}^2) = \frac{\text{s}^2}{\text{m}^2} \times \frac{\text{Pa}}{\text{s}^2} = \frac{\text{Pa}}{\text{m}^2}\).
Cela confirme mathématiquement que \(c_0\) est bien une vitesse. Physiquement, cela signifie que la variation temporelle (l'oscillation) se propage dans l'espace à cette vitesse précise.

4. Limites du Modèle

Ce modèle est puissant mais repose sur des simplifications importantes qu'il ne faut jamais oublier :

Linéarité : Si le son est trop fort (ex: onde de choc, explosion), les termes d'ordre 2 ne sont plus négligeables. L'onde se déforme et la vitesse dépend de l'amplitude.
Viscosité nulle : Dans la réalité, l'air est visqueux. Sur de très longues distances ou à très hautes fréquences, l'énergie se dissipe en chaleur (atténuation), ce que notre équation ne prédit pas.
Milieu homogène : Si la température change (ex: inversion thermique le soir), \(c_0\) n'est plus constant, et l'onde se courbe (réfraction).

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Voici la synthèse approfondie des concepts fondamentaux. Maîtriser ces trois piliers est indispensable pour comprendre toute la physique ondulatoire.

🔑
Point Clé 1 : Le "Moteur" de l'Onde (Euler + Continuité)
L'équation d'onde n'est pas une formule magique, c'est le résultat inévitable du couplage entre deux principes de conservation :
- Inertie (Euler) : Le fluide a une masse. Pour le déplacer, il faut une force (le gradient de pression). L'équation d'Euler (\(\rho_0 \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} = -\nabla p\)) est la traduction locale de \(F=ma\). Elle nous dit que la différence de pression crée une accélération.
- Élasticité (Continuité + État) : Le fluide est compressible (comme un ressort). Quand des particules convergent vers un point (\(\nabla \cdot \vec{v} < 0\)), la densité augmente localement. L'équation d'état nous dit que cette surdensité crée une surpression ("effet ressort") qui va chercher à repousser les particules.
C'est ce cycle perpétuel "Mouvement \(\to\) Compression \(\to\) Force de rappel \(\to\) Mouvement inverse" qui permet à l'énergie de voyager sans que la matière elle-même ne se déplace sur de grandes distances.
📐
Point Clé 2 : La Puissance de la Linéarisation
En acoustique, nous faisons l'hypothèse des "petites perturbations". Cela signifie que les variations de pression acoustique (quelques Pascals pour la voix humaine) sont infimes comparées à la pression atmosphérique statique (101 325 Pa).
- Pourquoi ? Cela nous permet de négliger les termes quadratiques (comme \(v^2\) ou \(\rho' v\)) qui rendent les équations mathématiquement insolubles à la main.
- La Conséquence Majeure : La linéarité garantit le Principe de Superposition. Deux ondes (deux voix, deux instruments) peuvent se croiser sans se modifier mutuellement. C'est grâce à cela que vous pouvez distinguer un violon d'un piano dans un orchestre. Si l'acoustique n'était pas linéaire, les sons se mélangeraient pour créer de nouvelles fréquences (distorsion d'intermodulation), comme dans une pédale d'effet de guitare saturée.
⚠️
Point Clé 3 : Le Piège de la Thermodynamique (Isotherme vs Adiabatique)
C'est l'erreur historique d'Isaac Newton. Il pensait que le son se propageait à température constante (isotherme). Or, la vitesse réelle est plus élevée.
- Le Processus Réel : La vibration sonore est extrêmement rapide (des centaines de fois par seconde). Lorsque le gaz est comprimé, il s'échauffe. Lorsque qu'il est détendu, il se refroidit. La chaleur n'a pas le temps de s'équilibrer avec les zones voisines.
- La Conséquence : Le processus est donc Adiabatique (sans échange de chaleur). Cela rend le gaz "plus raide" (plus difficile à comprimer) qu'en isotherme. Cette raideur supplémentaire augmente la vitesse du son d'un facteur \(\sqrt{\gamma}\) (environ 1,18 fois plus vite dans l'air), où \(\gamma = 1.4\) est l'indice adiabatique de l'air.

"Le son est une danse microscopique de pression et de vitesse, orchestrée par l'équation d'onde dans un ballet adiabatique."

🎛️ Labo Acoustique : Équation d'État & Niveau Sonore

Explorez la relation linéaire fondamentale en acoustique \( p' = c_0^2 \cdot \rho' \) et visualisez l'impact du milieu sur la pression générée.

🌊 Milieu de propagation

🚀 Célérité du son \(c_0\) 340 m/s

Lent (Gaz lourd) Rapide (Liquide)

🫧 Perturbation Densité \(\rho'\) 0.001 kg/m³

Infime Forte

Pression Acoustique \(p'\) -- Pa (Pascal)

Niveau de Pression -- dB SPL (ref 20µPa)

📚 Glossaire

Isentropique: Se dit d'une transformation thermodynamique qui se déroule à entropie constante (adiabatique et réversible).
Linéarisation: Procédé mathématique consistant à approcher un système complexe par un modèle linéaire en négligeant les termes d'ordre supérieur.
Laplacien: Opérateur différentiel noté \(\Delta\) ou \(\nabla^2\), correspondant à la divergence du gradient. Il apparaît dans l'équation de diffusion et d'onde.
Célérité: Vitesse de propagation d'une onde (à ne pas confondre avec la vitesse des particules du fluide).
Euler (Éq.): Équation décrivant le mouvement d'un fluide parfait (sans viscosité).

Dérivation de l’Équation d’Onde Acoustique

BOÎTE À OUTILS

Titre Outil

À DÉCOUVRIR SUR LE SITE

🎯 Remarque Pédagogique : Pourquoi cette démonstration est-elle incontournable ?

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude et Hypothèses

Description du Système Physique

1. L'État d'Équilibre (Le Silence)

2. La Perturbation (Le Son)

3. Le Mécanisme de Propagation

Hypothèses Fondamentales Détaillées

Analyse Géométrique de la Propagation

Vue Longitudinale (Profil de l'Onde)

Vue Transversale (Section S)

Visualisation Microscopique du Fluide

⚠️ Distinction Fondamentale : Transport vs Oscillation

Décomposition des Variables (Méthode des Perturbations)

Questions à traiter

Les bases théoriques : Les 3 Piliers de l'Acoustique

1. Conservation de la Masse (Équation de Continuité)

2. Conservation de la Quantité de Mouvement (Équation d'Euler)

3. Comportement Thermodynamique (Équation d'État)

Correction : Dérivation de l'Équation d'Onde Acoustique

Question 1 : Linéarisation de l'Équation de Continuité

1. Principe de la Linéarisation

2. Mini-Cours : La Théorie des Perturbations

3. Remarque Pédagogique

4. Formules et Hypothèses

5. Schémas Situation Initiale (Flux de Masse)

Volume de Contrôle

6. Calculs Détaillés

Étape A : Substitution

Étape B : Développement des termes

Étape C : Sortie des constantes

7. Résultat Final Validé

8. Réflexions Physiques

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Linéarisation de l'Équation d'Euler

1. Principe : La Dynamique du Fluide

2. Mini-Cours : La Dérivée Particulaire

3. Remarque Pédagogique

4. Formules et Hypothèses

5. Donnée(s)

6. Schémas Situation Initiale (Forces)

Gradient de Pression et Force

7. Calculs Détaillés

Étape A : Substitution dans le terme de gauche (Inertie)

Étape B : Substitution dans le terme de droite (Forces)

8. Résultat Final Validé

9. Réflexions Physiques

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Manipulation Temporelle de la Continuité

1. Stratégie : Le Problème du Couplage

2. Mini-Cours : Commutation des Dérivées (Schwarz)

3. Remarque Pédagogique

4. Formules et Hypothèses

5. Schémas Situation Initiale

Opérateur Dérivée Temporelle

6. Calculs Détaillés

Étape A : Application de l'opérateur

Étape B : Linéarité et Constantes

Étape C : Écriture des dérivées secondes

7. Résultat Intermédiaire

8. Réflexions Physiques

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Manipulation Spatiale (Divergence d'Euler)

1. Stratégie : Passer du Vectoriel au Scalaire

2. Mini-Cours : Divergence et Laplacien

3. Remarque Pédagogique

4. Formules et Hypothèses