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Détermination du « comma pythagoricien »

Exercice : Le Comma Pythagoricien

Détermination du Comma Pythagoricien

Contexte : L'acoustique musicale et la gamme pythagoricienneSystème d'accord musical basé sur un empilement de quintes pures (rapport 3/2)..

Cet exercice vise à comprendre un problème fondamental de la théorie musicale : l'incompatibilité entre des octaves pures (rapport 2/1) et des quintes pures (rapport 3/2). En essayant de construire un cycle de quintes pour revenir à la note de départ (par exemple, Do), on découvre un léger décalage après 12 quintes. Ce décalage, qui empêche le "cycle" de se fermer parfaitement, est appelé le comma pythagoricienLe petit intervalle (rapport ≈ 1.0136) entre 12 quintes pures et 7 octaves pures.. Nous allons le calculer et comprendre ses implications.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler les rapports de fréquence et à les convertir en 'cents', l'unité de mesure logarithmique des intervalles musicaux.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la construction de la gamme pythagoricienne par cycle de quintes.
Calculer l'écart de fréquence entre 12 quintes pures et 7 octaves pures.
Convertir cet écart (le comma) en 'cents' pour en saisir la valeur perceptive.

Données de l'étude

Nous allons modéliser le problème en utilisant les rapports de fréquence fondamentaux de l'acoustique musicale.

Rapports Fondamentaux

Intervalle	Rapport de Fréquence
Octave Pure	2/1
Quinte Pure	3/2
Unisson	1/1

Cycle des Quintes (Spirale) vs Octaves (Cercle)

Paramètre	Symbole	Valeur	Description
Nombre de quintes	\(N_q\)	12	Nombre de quintes dans le cycle
Nombre d'octaves	\(N_o\)	7	Nombre d'octaves correspondantes

Questions à traiter

Calculer le rapport de fréquence total de 12 quintes pures empilées.
Calculer le rapport de fréquence total de 7 octaves pures empilées.
Déterminer le rapport entre ces deux résultats (le comma pythagoricien) sous forme de fraction irréductible.
Calculer la valeur décimale de ce comma (au moins 5 décimales).
Convertir la valeur de ce comma en 'cents' (au moins 1 décimale).

Les bases sur les Ratios et Cents

Pour résoudre cet exercice, il faut comprendre comment les intervalles musicaux s'additionnent (en se multipliant) et comment les convertir en une échelle logarithmique (les cents) pour faciliter leur comparaison.

1. Multiplication des intervalles
En acoustique, les intervalles (ratios de fréquence) ne s'ajoutent pas, ils se multiplient. Pour 'ajouter' deux quintes (rapport 3/2), on multiplie leurs rapports : \((3/2) \times (3/2) = 9/4\). Pour empiler 'N' fois un intervalle 'R', on le met à la puissance N. \[ R_{\text{total}} = R^N \]

2. L'unité 'Cent'
Le 'cent' est une mesure logarithmique d'un intervalle. Une octave (rapport 2/1) est *définie* comme contenant exactement 1200 cents. Un demi-ton au tempérament égal vaut 100 cents. La formule de conversion d'un rapport R en cents est : \[ \text{Valeur (cents)} = 1200 \times \log_2(R) \]

Correction : Détermination du Comma Pythagoricien

Question 1 : Calculer le rapport de fréquence total de 12 quintes pures empilées.

Principe

Pour empiler 12 quintes, nous n'allons pas additionner les rapports, mais les multiplier. Cela revient à élever le rapport de la quinte pure (3/2) à la puissance 12, conformément à la règle vue dans les rappels.

Mini-Cours

Lorsqu'on monte d'une quinte, on multiplie la fréquence par 3/2. Monter de 12 quintes revient à faire cette opération 12 fois de suite : \(F_0 \times (3/2) \times (3/2) \times \dots \text{ (12 fois)}\). Le rapport total par rapport à la fréquence de départ \(F_0\) est donc \((3/2)^{12}\).

Remarque Pédagogique

L'astuce ici est de bien comprendre que les intervalles s'additionnent en multipliant leurs rapports. C'est la clé de toute l'acoustique musicale. On "ajoute" 12 quintes, donc on *multiplie* 12 fois le rapport 3/2 par lui-même.

Conventions (Normes)

En acoustique musicale et en musicologie, la "norme" est d'utiliser les rapports de fractions simples (intervalles purs) comme base de construction des gammes, comme le fait la gamme pythagoricienne. Le rapport 3/2 est la convention pour la quinte "pure" ou "juste".

Formule(s)

Rapport de N quintes

R_{\text{N quintes}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{N}

Hypothèses

Nous supposons que nous sommes dans un système "juste" ou "pur", où le rapport de la quinte est *exactement* 3/2, sans aucun tempérament (ajustement).

L'intervalle de quinte est pur : \(R_q = 3/2\).
Les 12 quintes sont identiques et s'enchaînent parfaitement.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé pour cette question.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rapport Quinte Pure	\(R_q\)	3/2	Ratio
Nombre de quintes	\(N_q\)	12	Nombre

Astuces

Pour calculer \(3^{12}\) sans calculatrice, vous pouvez regrouper : \(3^{12} = (3^3)^4 = 27^4\). De même pour \(2^{12} = (2^6)^2 = 64^2 = 4096\). Connaître ses puissances de 2 est très utile !

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser l'empilement comme une progression géométrique des fréquences.

Progression des fréquences par quintes

Calcul(s)

Nous appliquons la formule \(R_{\text{total}} = R^N\) avec R = 3/2 et N = 12. Chaque étape est détaillée ci-dessous.

Étape 1 : Substitution dans la formule

On remplace R par 3/2 et N par 12. La puissance s'applique au numérateur (3) et au dénominateur (2).

\begin{aligned} R_{\text{12 quintes}} &= \left(\frac{3}{2}\right)^{12} \\ &= \frac{3^{12}}{2^{12}} \end{aligned}

Cette équation montre que le rapport total est le rapport de \(3^{12}\) sur \(2^{12}\). Nous devons maintenant calculer ces deux valeurs.

Étape 2 : Calcul du numérateur (\(3^{12}\))

On peut regrouper les puissances pour simplifier : \(3^{12} = (3^6)^2\).
Calcul de \(3^6\): \(3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 729\).
Calcul final : \(729^2 = 729 \times 729\). Voici le résultat :

3^{12} = 531441

C'est une très grande valeur qui représente le numérateur de notre fraction.

Étape 3 : Calcul du dénominateur (\(2^{12}\))

On utilise l'astuce des puissances de 2 : \(2^{12} = 2^{10} \times 2^2\).
Nous savons que \(2^{10} = 1024\).
Calcul final : \(1024 \times 4\). Voici le résultat :

2^{12} = 4096

C'est le dénominateur de notre fraction.

Étape 4 : Résultat fractionnaire

En combinant les deux, on obtient la fraction finale irréductible représentant le rapport de 12 quintes.

R_{\text{12 quintes}} = \frac{531441}{4096}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est un rapport numérique, il n'y a pas de schéma de résultat pertinent pour cette étape seule.

Réflexions

Le nombre 531441/4096 est un rapport "pur" (il ne contient que des puissances de 2 et 3). Sa valeur est d'environ 129.75. Cela signifie que 12 quintes nous emmènent à une fréquence environ 130 fois plus élevée que celle de départ. Pour le comparer à notre point de départ, il faudra le 'réduire' de plusieurs octaves (ce que fait la Q2).

Points de vigilance

Ne pas faire \( (3/2) \times 12 \). C'est l'erreur la plus commune. On multiplie les rapports (progression géométrique), on n'additionne pas (progression arithmétique).

Points à retenir

"Ajouter" des intervalles musicaux = *Multiplier* leurs rapports de fréquence.
Empiler N intervalles identiques de rapport R donne un rapport total de \(R^N\).

Le saviez-vous ?

La gamme pythagoricienne a été la gamme standard en Occident pendant tout le Moyen Âge, précisément à cause de la pureté de sa quinte (3/2), qui est l'intervalle le plus consonant après l'octave.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

Le rapport de fréquence total de 12 quintes pures est la fraction \( \frac{531441}{4096} \).

A vous de jouer

Sur le même principe, quel serait le rapport de fréquence de 3 quintes pures (formant une Douzième) ? (Réponse en décimal)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Empilement d'intervalles (multiplication).
Formule Essentielle : \(R_{\text{total}} = R^N\).
Calcul : \((3/2)^{12} = 3^{12} / 2^{12}\).
Résultat : \(531441/4096\).

Question 2 : Calculer le rapport de fréquence total de 7 octaves pures empilées.

Principe

De la même manière que pour la question 1, nous allons élever le rapport de l'octave pure (2/1) à la puissance 7.

Mini-Cours

L'octave est l'intervalle le plus 'parfait' après l'unisson. Doubler la fréquence (\(\times 2\)) donne la même note, mais plus aiguë. 7 octaves nous amènent à la même *classe de note* (par exemple, d'un Do à un autre Do, 7 octaves plus haut) que les 12 quintes.

Remarque Pédagogique

Cette étape est simple, mais cruciale. Elle établit la 'cible', la référence que le cycle des quintes est censé atteindre pour 'fermer' le cercle musical parfaitement.

Conventions (Normes)

L'utilisation du rapport 2/1 pour l'octave est une convention universelle dans presque toutes les cultures musicales et est basée sur une réalité physique (la 2ème harmonique).

Formule(s)

Rapport de N octaves

\begin{aligned} R_{\text{N octaves}} &= \left(\frac{2}{1}\right)^{N} \\ &= 2^N \end{aligned}

Hypothèses

Nous supposons une octave parfaitement pure (rapport 2/1).

L'intervalle d'octave est pur : \(R_o = 2/1\).

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé pour cette question.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Rapport Octave Pure	\(R_o\)	2/1	Ratio
Nombre d'octaves	\(N_o\)	7	Nombre

Astuces

Il est très utile de connaître ses puissances de 2 par cœur ! \(2^7 = 128\). Autre astuce : \(2^{10} = 1024\) (environ 1000). Donc \(2^7 = 2^{10} / 2^3 = 1024 / 8 = 128\).

Schéma (Avant les calculs)

Une progression similaire à la Q1, mais avec le rapport 2.

Progression des fréquences par octaves

Calcul(s)

Nous appliquons la formule \(R_{\text{total}} = R^N\) avec R = 2 et N = 7.

Étape 1 : Substitution dans la formule

On remplace R par 2 (ou 2/1) et N par 7.

\begin{aligned} R_{\text{7 octaves}} &= \left(\frac{2}{1}\right)^{7} \\ &= 2^7 \end{aligned}

Le calcul est donc simplement \(2^7\).

Étape 2 : Calcul de la puissance

\(2^7 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\)
On peut regrouper : \((2^3) \times (2^3) \times 2 = 8 \times 8 \times 2 = 64 \times 2\). On obtient :

\[ 2^7 = 128 \]

Le rapport de 7 octaves est donc exactement 128.

Schéma (Après les calculs)

Non applicable, le résultat est un nombre simple.

Réflexions

Le nombre 128 est notre référence "parfaite". Nous allons maintenant comparer le rapport des quintes (\(\approx 129.75\) de la Q1) à ce 128 pour trouver l'écart.

Points de vigilance

Ne pas confondre les 7 octaves avec les 12 quintes. Ce sont les deux bornes de notre comparaison. 12 quintes couvrent *presque* le même ambitus (étendue) que 7 octaves.

Points à retenir

7 octaves pures = Rapport de fréquence de \(2^7 = 128\).

Le saviez-vous ?

L'oreille humaine perçoit les rapports de fréquence de manière logarithmique. L'écart entre 100 Hz et 200 Hz (une octave) "sonne" de la même taille que l'écart entre 400 Hz et 800 Hz (aussi une octave).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le rapport de fréquence total de 7 octaves pures est de 128.

A vous de jouer

Quel serait le rapport de fréquence de 3 octaves pures ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Rapport de l'octave.
Formule Essentielle : \(R_{\text{total}} = 2^N\).
Calcul : \(2^7\).
Résultat : 128.

Question 3 : Déterminer le rapport entre ces deux résultats (le comma pythagoricien).

Principe

Le comma est le "décalage" entre les deux intervalles. Pour trouver l'écart sous forme de rapport, nous divisons le rapport le plus grand (celui des 12 quintes) par le rapport le plus petit (celui des 7 octaves).

Mini-Cours

En acoustique, pour trouver l'écart (l'intervalle) entre deux notes (R1 et R2), on fait le rapport (la division) R1 / R2. C'est l'opération inverse de la multiplication : "soustraire" des intervalles revient à diviser leurs rapports.

Remarque Pédagogique

Nous divisons le plus grand (\(\approx 129.75\)) par le plus petit (128) pour obtenir un rapport supérieur à 1. C'est plus intuitif à analyser qu'un rapport inférieur à 1.

Conventions (Normes)

Cet écart spécifique, \((3/2)^{12} / 2^7\), est universellement nommé le "Comma Pythagoricien" (noté \(C_p\)).

Formule(s)

Définition du Comma Pythagoricien

C_p = \frac{R_{\text{12 quintes}}}{R_{\text{7 octaves}}}

Hypothèses

On suppose que les deux calculs (Q1 et Q2) partent de la même fréquence de base \(F_0\), qui s'annule lors de la division : \(\frac{F_{12}}{F_0} / \frac{F_7}{F_0} = \frac{F_{12}}{F_7}\).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions 1 et 2.

Paramètre	Valeur (Fraction)
\(R_{\text{12 quintes}}\)	531441 / 4096
\(R_{\text{7 octaves}}\)	128 / 1

Astuces

Il est plus simple de manipuler les puissances : \(\frac{3^{12} / 2^{12}}{2^7}\). Diviser par \(2^7\) revient à multiplier le dénominateur par \(2^7\). On additionne les exposants au dénominateur : \(2^{12} \times 2^7 = 2^{12+7} = 2^{19}\).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'écart (le comma) sur une ligne de fréquences (non linéaire).

Visualisation du Comma (Rapports)

Calcul(s)

Nous divisons le rapport des 12 quintes (de Q1) par le rapport des 7 octaves (de Q2).

Étape 1 : Poser la division avec les fractions

Diviser par 128 revient à multiplier par son inverse (1/128). On substitue les valeurs de Q1 et Q2.

\begin{aligned} C_p &= \frac{R_{\text{12 quintes}}}{R_{\text{7 octaves}}} = \frac{ \left( \frac{531441}{4096} \right) }{128} \\ &= \frac{531441}{4096} \times \frac{1}{128} \\ &= \frac{531441}{4096 \times 128} \end{aligned}

Cela nous donne une fraction unique à calculer.

Étape 2 : Poser la division avec les puissances (recommandé)

Il est plus simple d'utiliser les puissances d'origine (\(R_{12q} = 3^{12}/2^{12}\) et \(R_{7o} = 2^7\)) pour voir la structure mathématique.

\begin{aligned} C_p &= \frac{ \left( \frac{3^{12}}{2^{12}} \right) }{2^7} \\ &= \frac{3^{12}}{2^{12} \times 2^7} \end{aligned}

On applique la règle d'addition des exposants au dénominateur : \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

\begin{aligned} C_p &= \frac{3^{12}}{2^{12+7}} \\ &= \frac{3^{12}}{2^{19}} \end{aligned}

Ceci est la définition formelle du comma pythagoricien.

Étape 3 : Calculer les valeurs finales

Nous avons déjà les valeurs de la Q1. Numérateur : \(3^{12} = 531441\).
Dénominateur : \(2^{19} = 2^{12} \times 2^7 = 4096 \times 128\). Calculons ce produit :

4096 \times 128 = 524288

Nous avons maintenant le numérateur et le dénominateur de la fraction finale.

Le résultat final est donc la fraction irréductible :

C_p = \frac{531441}{524288}

Réflexions

Le numérateur (531441) est une puissance de 3, le dénominateur (524288) est une puissance de 2. Ils n'ont aucun diviseur commun autre que 1, la fraction est donc irréductible. C'est la définition mathématique exacte du comma.

Points de vigilance

Attention au sens de la division. Si on calcule \(R_o / R_q\), on obtient l'inverse (\(\approx 0.9865\)), ce qui est correct mais moins facile à interpréter comme un "dépassement".

Points à retenir

Le Comma Pythagoricien \(C_p\) est le rapport (division) entre 12 quintes pures et 7 octaves pures.
\(C_p = \frac{3^{12}}{2^{19}}\).

Le saviez-vous ?

Il existe d'autres commas ! Le plus célèbre est le "comma syntonique" (\(81/80\)), qui représente l'écart entre une tierce pythagoricienne (construite par 4 quintes) et une tierce "juste" (rapport 5/4).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le comma pythagoricien est la fraction irréductible \( \frac{531441}{524288} \).

A vous de jouer

Quel est le rapport inverse (7 octaves / 12 quintes) ? (Réponse en décimal, 4 chiffres après la virgule)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Calcul du Comma (division des rapports).
Formule : \(C_p = R_{\text{12q}} / R_{\text{7o}}\).
Résultat : \(\frac{3^{12}}{2^{19}} = \frac{531441}{524288}\).

Question 4 : Calculer la valeur décimale de ce comma (au moins 5 décimales).

Principe

Il suffit d'effectuer la division de la fraction obtenue à la question 3 à l'aide d'une calculatrice pour obtenir une valeur décimale approchée.

Mini-Cours

La valeur décimale nous donne une idée du *pourcentage* d'écart. Un rapport de 1.01364 signifie que la note issue des quintes est environ 1.36% plus haute en fréquence que la note issue des octaves. C'est ce pourcentage que l'on convertira ensuite en 'cents'.

Remarque Pédagogique

Garder suffisamment de décimales est crucial pour la prochaine étape (le calcul en cents), qui est une fonction logarithmique très sensible aux petits écarts près de 1.

Conventions (Normes)

En acoustique, on garde souvent 5, 6, voire plus de décimales pour les calculs de rapports fins avant de les convertir en cents.

Formule(s)

Division simple

C_p = \text{Numérateur} \div \text{Dénominateur}

Hypothèses

Aucune, c'est un calcul mathématique direct.

Donnée(s)

Nous utilisons la fraction de la question 3.

Partie	Valeur
Numérateur	531441
Dénominateur	524288

Astuces

Non applicable.

Calcul(s)

Nous effectuons simplement la division de la fraction obtenue à la question 3.

Opération

Nous posons la fraction à calculer :

C_p = \frac{531441}{524288}

À la calculatrice, cela donne le rapport décimal :

531441 \div 524288 = 1.0136432647...

On nous demande d'arrondir à 5 décimales (cinq chiffres après la virgule) :

C_p \approx 1.01364

Réflexions

Le rapport est supérieur à 1 (d'environ 1.36%), ce qui confirme que l'empilement de 12 quintes "dépasse" l'empilement de 7 octaves. Si le cycle fermait parfaitement, le rapport serait de 1.0.

Points de vigilance

Ne pas arrondir trop tôt ! Arrondir à 1.014, par exemple, faussera complètement le calcul en cents de la prochaine question.

Points à retenir

Le rapport du comma pythagoricien est d'environ \(1.01364\).

Le saviez-vous ?

Si un La (A) est à 440 Hz, la note équivalente atteinte par 12 quintes serait à \(440 \times 128 \times 1.01364 \approx 57074.5\) Hz, alors que la note atteinte par 7 octaves serait à \(440 \times 128 = 56320\) Hz. L'écart est très net !

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La valeur décimale du comma pythagoricien est d'environ 1.01364.

A vous de jouer

En utilisant le résultat \(\approx 1.01364\), calculez la valeur de son inverse (\(1 / 1.01364\)) ? (4 chiffres après la virgule)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Valeur décimale du comma.
Calcul : \(531441 \div 524288\).
Résultat : \(\approx 1.01364\).

Question 5 : Convertir la valeur de ce comma en 'cents' (au moins 1 décimale).

Principe

Nous utilisons la formule de conversion logarithmique vue dans les rappels, appliquée au rapport décimal trouvé à la question 4. Cela permet de traduire le rapport de fréquence en un écart perceptif sur une échelle linéaire.

Mini-Cours

Le 'cent' transforme les multiplications (rapports) en additions. C'est l'échelle de perception de l'oreille. Un comma de X cents signifie que l'intervalle est 'plus grand' de X cents. On peut maintenant *additionner* et *soustraire* des cents, ce qui est plus simple mentalement.

Remarque Pédagogique

Cette conversion est la plus importante de l'exercice. Elle donne une valeur (23.4 cents) que l'on peut *comparer* à d'autres intervalles (comme le demi-ton, 100 cents) pour juger de son importance perceptive.

Conventions (Normes)

La définition de l'octave comme valant 1200 cents est une convention (créée par Alexander Ellis) universellement acceptée en musicologie et en acoustique.

Formule(s)

Conversion Rapport vers Cents

\text{Cents} = 1200 \times \log_2(R)

Changement de base du logarithme

\log_2(R) = \frac{\log_{10}(R)}{\log_{10}(2)}

Hypothèses

On utilise les définitions standard du 'cent' et du logarithme en base 2.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la question 4.

Paramètre	Symbole	Valeur (Approchée)
Rapport du Comma	\(R\)	1.013643...
Constante \(\log_{10}(2)\)	-	0.30103

Astuces

La plupart des calculatrices n'ont pas de touche \(\log_2\). On utilise la formule de changement de base : \(\log_2(R) = \frac{\log_{10}(R)}{\log_{10}(2)}\) (ou avec le logarithme népérien \(\ln\)).

Calcul(s)

Nous utilisons la formule de conversion en 'cents' avec le rapport \(R = 1.01364326...\) de la Q4.

Étape 1 : Poser la formule complète

On utilise la formule de changement de base avec le logarithme en base 10 (\(\log_{10}\)). La formule à calculer est la suivante :

\begin{aligned} \text{Cents} &= 1200 \times \log_2(R) \\ &= 1200 \times \frac{\log_{10}(R)}{\log_{10}(2)} \end{aligned}

C'est notre outil de conversion. Nous allons maintenant substituer les valeurs.

Étape 2 : Substitution des valeurs

On remplace R par sa valeur (Q4) et \(\log_{10}(2)\) par sa constante (0.30103).

\text{Cents} = 1200 \times \frac{\log_{10}(1.01364326...)}{\log_{10}(2)}

Calculons d'abord le logarithme du numérateur : \(\log_{10}(1.01364326...) \approx 0.00586606...\). On remplace les valeurs numériques :

\text{Cents} = 1200 \times \frac{0.00586606...}{0.30103}

C'est l'expression numérique finale à résoudre.

Étape 3 : Calcul du \(\log_2(R)\)

On calcule d'abord la division, qui est le \(\log_2\) du rapport.

\log_2(R) = \frac{0.00586606...}{0.30103} \approx 0.0194868...

Cette valeur (environ 0.0195) est le rapport du comma exprimé en "nombre d'octaves".

Étape 4 : Calcul final des cents

On multiplie ce résultat par 1200 (le nombre de cents dans une octave) pour obtenir la valeur perceptive.

\text{Cents} = 1200 \times 0.0194868... \approx 23.3841...

En arrondissant à une décimale, comme demandé :

\text{Cents} \approx 23.4

Le décalage est donc de 23.4 cents.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de l'écart sur une échelle en Cents.

Écart en Cents

Réflexions

Le comma pythagoricien vaut environ 23.4 cents. C'est un intervalle petit mais tout à fait audible. Pour référence, un demi-ton (l'écart entre Do et Do# sur un piano) vaut 100 cents. Le comma vaut donc presque un quart de demi-ton. C'est ce décalage que les systèmes de "tempérament" (comme le tempérament égal) cherchent à répartir et à "cacher" en raccourcissant légèrement chaque quinte.

Points de vigilance

Attention à la formule de changement de base ! C'est \(\log(R) / \log(2)\), et non l'inverse. N'oubliez pas non plus de multiplier par 1200 à la fin, et non par 100.

Points à retenir

La valeur du comma pythagoricien est d'environ \(23.4\) cents.
Cette valeur est fixe et mathématique : \(1200 \times \log_2(3^{12}/2^{19})\).

Le saviez-vous ?

Dans le "tempérament égal" (utilisé sur nos pianos), on "triche" en raccourcissant chaque quinte de 1/12e de ce comma (\(\approx 2\) cents) pour que le cycle "ferme" parfaitement. Une quinte tempérée vaut \(\approx 700\) cents, au lieu de \(\approx 702\) cents pour une quinte pure.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le comma pythagoricien vaut environ 23,4 cents.

A vous de jouer

Un demi-ton (au tempérament égal) vaut 100 cents. Quel est son rapport de fréquence ? (Formule : \(R = 2^{(C/1200)}\)). (3 chiffres après la virgule)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Conversion en Cents.
Formule : \(1200 \times \log_2(R)\) ou \(1200 \times \frac{\log_{10}(R)}{\log_{10}(2)}\).
Résultat : \(\approx 23.4\) cents.

Outil Interactif : Simulateur d'Intervalles

Utilisez cet outil pour voir comment les rapports de fréquence des quintes et des octaves divergent. Le graphique montre l'accumulation du comma (en cents) lorsque l'on ajoute des quintes.

Paramètres d'Entrée

Nombre de Quintes (Nq) 12

Nombre d'Octaves (No) 7

Résultats Clés (Pour Nq=12 et No=7)

Ratio Total Quintes (R_q) -

Ratio Total Octaves (R_o) -

Glossaire

Rapport de Fréquence: Ratio entre la fréquence d'une note et une note de référence. Ex: 2/1 pour l'octave, 3/2 pour la quinte.
Cent (musique): Unité logarithmique de mesure d'un intervalle. 1 octave = 1200 cents. 1 demi-ton tempéré = 100 cents.
Gamme Pythagoricienne: Système d'accord musical basé sur un empilement de quintes pures (rapport 3/2).
Tempérament: Système d'accord qui modifie légèrement les intervalles purs (comme la quinte) pour "fermer le cycle" et répartir le comma.
Comma Pythagoricien: Le petit intervalle (rapport ≈ 1.0136, ~23.4 cents) résultant de la différence entre 12 quintes pures et 7 octaves pures.

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