Détermination du "comma pythagoricien"

Contexte : Le Cercle qui ne se Ferme Pas

Depuis l'Antiquité, les musiciens cherchent à construire des gammes harmonieuses. L'une des méthodes les plus anciennes, attribuée à Pythagore, consiste à construire toutes les notes à partir d'un seul intervalle jugé "parfait" : la quinte pureIntervalle musical correspondant à un rapport de fréquences de 3/2. Il est considéré comme le plus consonant après l'octave. (rapport de fréquence de 3/2). En partant d'une note et en montant de quinte en quinte (Do, Sol, Ré, La...), on génère toutes les notes de la gamme. Le problème survient lorsqu'on essaie de "boucler la boucle" : après avoir parcouru 12 quintes, on s'attend à retomber exactement sur la note de départ, mais plusieurs octavesIntervalle musical correspondant à un rapport de fréquences de 2/1. Une note à l'octave supérieure est perçue comme "la même note", mais plus aiguë. plus haut. Or, ce n'est pas le cas. Ce petit décalage, cette "virgule" sonore, est le comma pythagoricien.

Remarque Pédagogique : Ce "défaut" mathématique est l'un des problèmes les plus fondamentaux de la théorie musicale occidentale. Il prouve qu'il est impossible de construire une gamme parfaitement juste à la fois dans les octaves et dans les quintes. La résolution de ce problème a donné naissance aux différents tempéramentsSystème d'accordage qui modifie légèrement les intervalles purs (comme les quintes) pour "répartir" le comma et permettre de jouer dans toutes les tonalités., qui sont des compromis pour rendre la musique possible dans toutes les tonalités.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la construction d'une gamme par le cycle des quintes.
Calculer la fréquence d'une note après une succession d'intervalles musicaux.
Démontrer mathématiquement que 12 quintes pures ne valent pas 7 octaves pures.
Quantifier le comma pythagoricien sous forme de rapport et en cents.
Comprendre la nécessité des tempéraments pour résoudre ce problème.

Données de l'étude

On part d'une note de référence, un Do, de fréquence \(f_0 = 100 \, \text{Hz}\) (cette valeur est choisie pour simplifier les calculs). On cherche à atteindre la note Do située 7 octaves plus haut par deux chemins différents.

Les Deux Chemins Musicaux

Questions à traiter

Calculer la fréquence \(f_{\text{quintes}}\) de la note obtenue en montant 12 quintes pures successives à partir de \(f_0\).
Calculer la fréquence \(f_{\text{octaves}}\) de la note obtenue en montant 7 octaves pures successives à partir de \(f_0\).
Comparer ces deux fréquences en calculant leur rapport (le comma) et en exprimant cet intervalle en cents.

Correction : Détermination du comma pythagoricien

Question 1 : Fréquence par le Cycle des Quintes

Principe :

Monter d'une quinte pure revient à multiplier la fréquence de départ par le rapport \(\frac{3}{2}\). Pour monter de 12 quintes, il faut donc répéter cette opération 12 fois, ce qui équivaut à multiplier la fréquence initiale par \((\frac{3}{2})^{12}\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le cycle des quintes est le fondement de l'harmonie tonale. La relation entre une note et sa quinte (Do et Sol, par exemple) est la plus forte après celle de l'octave. C'est pourquoi construire une gamme sur cette base semblait si naturel aux premiers théoriciens.

Formule(s) utilisée(s) :

f_{\text{quintes}} = f_0 \times \left(\frac{3}{2}\right)^{12}

Donnée(s) :

Fréquence de départ \(f_0 = 100 \, \text{Hz}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} f_{\text{quintes}} &= 100 \times (1.5)^{12} \\ &\approx 100 \times 129.746 \\ &\approx 12974.6 \, \text{Hz} \end{aligned}

Points de vigilance :

Précision du calcul : Le rapport \((\frac{3}{2})^{12}\) est un nombre avec de nombreuses décimales. Il est important de garder une bonne précision tout au long du calcul pour que le faible écart final soit visible.

Le saviez-vous ?

Résultat : La fréquence obtenue après 12 quintes est \(f_{\text{quintes}} \approx 12974.6 \, \text{Hz}\).

Question 2 : Fréquence par le Cycle des Octaves

Principe :

Monter d'une octave pure revient à multiplier la fréquence par 2. Pour atteindre la note située 7 octaves plus haut, il faut multiplier la fréquence de départ par \(2^7\). Ce chemin est considéré comme la référence absolue de justesse, car l'octave est l'intervalle le plus consonant.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le chemin des octaves est notre "étalon d'or". C'est la destination que le chemin des quintes est censé atteindre. Toute déviation par rapport à ce résultat est une "erreur" inhérente au système de construction par les quintes.

Formule(s) utilisée(s) :

f_{\text{octaves}} = f_0 \times 2^7

Donnée(s) :

Fréquence de départ \(f_0 = 100 \, \text{Hz}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} f_{\text{octaves}} &= 100 \times 2^7 \\ &= 100 \times 128 \\ &= 12800 \, \text{Hz} \end{aligned}

Points de vigilance :

Pourquoi 7 octaves ? Le chemin des 12 quintes nous fait monter d'environ 7 octaves. Plus précisément, \( (\frac{3}{2})^{12} \approx 129.7 \), et \( 2^7 = 128 \). Les deux nombres sont très proches, c'est pourquoi la comparaison a un sens musical.

Le saviez-vous ?

Résultat : La fréquence obtenue après 7 octaves est \(f_{\text{octaves}} = 12800 \, \text{Hz}\).

Question 3 : Calcul du Comma Pythagoricien

Principe :

Le comma pythagoricien est le micro-intervalle qui représente l'écart entre la note atteinte par 12 quintes et celle atteinte par 7 octaves. On le quantifie en calculant le rapport de leurs fréquences. Pour une perception plus musicale, on convertit ce rapport en cents, une unité logarithmique où 1200 cents représentent une octave.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le comma est une "erreur" qui doit être gérée. Soit on l'ignore et on a une quinte très dissonante (la "quinte du loup"), soit on la répartit en rendant toutes les quintes légèrement fausses. C'est le choix du tempérament égal, utilisé aujourd'hui, qui rend nos pianos et guitares si polyvalents.

Formule(s) utilisée(s) :

\text{Comma} = \frac{f_{\text{quintes}}}{f_{\text{octaves}}} = \frac{(3/2)^{12}}{2^7}

\text{Valeur en cents} = 1200 \times \log_2(\text{Comma})

Donnée(s) :

\(f_{\text{quintes}} \approx 12974.6 \, \text{Hz}\)
\(f_{\text{octaves}} = 12800 \, \text{Hz}\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \text{Comma} &= \frac{12974.6}{12800} \\ &\approx 1.01364 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Cents} &= 1200 \times \log_2(1.01364) \\ &= 1200 \times \frac{\ln(1.01364)}{\ln(2)} \\ &\approx 1200 \times \frac{0.01355}{0.6931} \\ &\approx 23.46 \, \text{cents} \end{aligned}

Points de vigilance :

Calcul du logarithme : Assurez-vous d'utiliser la bonne base pour le logarithme. La formule des cents utilise un logarithme en base 2. Si votre calculatrice ne le propose pas, vous pouvez utiliser la formule de changement de base : \(\log_2(x) = \ln(x) / \ln(2)\).

Le saviez-vous ?

Résultat : Le comma pythagoricien est un rapport d'environ 1.0136, ce qui correspond à \( \approx 23.5 \, \text{cents}\).

Simulation du Cycle des Quintes

Observez visuellement le décalage entre le cycle des quintes et celui des octaves.

Paramètres de Départ

Fréquence de départ (f₀) (100 Hz)

Fréq. par 7 Octaves

Fréq. par 12 Quintes

Comma (cents)

Visualisation du Décalage

Pour Aller Plus Loin : Les Autres Commas

Un problème, plusieurs commas : Le comma pythagoricien n'est pas le seul "défaut" de la justesse naturelle. Si on essaie d'inclure des tierces pures (rapport 5/4) dans la gamme, un autre écart apparaît : le comma syntonique. Il représente la différence entre quatre quintes pures et deux octaves plus une tierce majeure pure. La gestion de ces deux commas a donné naissance à une multitude de tempéraments complexes à travers l'histoire (mésotonique, de Werckmeister, etc.) avant que le tempérament égal ne s'impose.

Le Saviez-Vous ?

La musique non-occidentale (indienne, arabe, turque...) n'a pas cherché à "résoudre" ce problème de la même manière. Au lieu de cela, elle a intégré ces micro-intervalles dans son système musical, utilisant des gammes avec plus de 12 notes par octave, ce qui leur donne une couleur et une richesse mélodique uniques.

Foire Aux Questions (FAQ)

Le comma pythagoricien dépend-il de la fréquence de départ ?

Non. Le rapport de fréquences \((3/2)^{12} / 2^7\) est une constante mathématique. De même, sa valeur en cents est toujours la même (\(\approx 23.5\)). Changer la fréquence de départ changera les fréquences absolues calculées, mais leur rapport, qui définit l'intervalle, reste inchangé.

Pourquoi ne l'entend-on pas sur un piano moderne ?

Parce qu'un piano moderne est accordé au tempérament égal. Le comma pythagoricien de 23.5 cents est divisé en 12 parts égales (d'environ 2 cents chacune), et chaque quinte est réduite de cette petite quantité. La somme des 12 quintes "fausses" donne alors une octave parfaitement juste. L'erreur est distribuée de manière égale et devient imperceptible.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le comma pythagoricien est la preuve que :

L'octave n'est pas un intervalle juste.
La quinte n'est pas un intervalle juste.
Un cycle de quintes pures ne peut pas coïncider avec un cycle d'octaves pures.

2. Un intervalle de 200 cents correspond à :

Une quinte.
Un ton entier (deux demi-tons).
Une octave.

Glossaire

Gamme Pythagoricienne: Système de construction d'une gamme musicale où toutes les notes sont dérivées d'une succession de quintes pures (rapport 3/2).
Quinte Pure: Intervalle musical correspondant à un rapport de fréquences exact de 3/2.
Octave Pure: Intervalle musical correspondant à un rapport de fréquences exact de 2/1.
Comma Pythagoricien: Le micro-intervalle (rapport \(\approx 1.0136\)) représentant la différence entre 12 quintes pures et 7 octaves pures.
Cent: Unité logarithmique de mesure des intervalles musicaux, où une octave est divisée en 1200 cents. Un demi-ton au tempérament égal vaut 100 cents.
Tempérament: Système d'accordage qui modifie légèrement les intervalles purs pour "résoudre" le problème du comma et permettre de jouer dans toutes les tonalités.

Détermination du « comma pythagoricien »

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Les Deux Chemins Musicaux

Questions à traiter

Correction : Détermination du comma pythagoricien

Question 1 : Fréquence par le Cycle des Quintes

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Fréquence par le Cycle des Octaves

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Calcul du Comma Pythagoricien

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation du Cycle des Quintes

Paramètres de Départ

Visualisation du Décalage

Pour Aller Plus Loin : Les Autres Commas

Le Saviez-Vous ?

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