Dimensionnement de Plots Anti-Vibratiles

Acoustique : Dimensionnement de Plots Anti-Vibratiles pour Isoler une Machine

Dimensionnement de Plots Anti-Vibratiles pour Isoler une Machine

Contexte : Couper le Pont aux Vibrations

Lorsqu'une machine vibrante est fixée rigidement à une structure (comme un plancher), ses vibrations se propagent librement, transformant le bâtiment en un gigantesque haut-parleur. Pour éviter ce phénomène, on intercale des "plots" ou supports élastiques. L'objectif est de créer un filtre mécanique qui piège les vibrations à la source. Le succès de cette opération dépend entièrement du bon dimensionnement de ces plots. Un mauvais choix peut n'avoir aucun effet, voire pire, amplifier les vibrations par résonance.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est au cœur du métier de l'acousticien et de l'ingénieur en maintenance. Il s'agit d'un problème d'optimisation : trouver les supports (les "ressorts") qui, pour une machine donnée (la "masse"), créent un système dont le comportement vibratoire est idéal pour l'isoler de son environnement.

Objectifs Pédagogiques

Déterminer la fréquence de forçage d'une machine tournante.
Calculer la fréquence propre cible d'un système d'isolation en fonction de l'efficacité désirée.
Dimensionner la raideur totale requise pour un système de supports anti-vibratiles.
Répartir la charge et la raideur sur plusieurs points de support.
Comprendre la notion d'efficacité d'isolation et son lien avec le rapport des fréquences.

Données de l'étude

On doit isoler un groupe froid de masse \(m = 400 \, \text{kg}\). Ce groupe est supporté par 4 plots identiques. La principale source de vibration est le compresseur, qui tourne à une vitesse de \(N = 2900 \, \text{tr/min}\). Pour garantir le confort acoustique, on vise une efficacité d'isolationEfficacité d'Isolation (η) : Pourcentage de la force vibratoire qui est bloquée par le système d'isolation. Une efficacité de 90% signifie que seulement 10% de la vibration est transmise. de 90%.

Schéma de la Machine sur Plots

Données techniques :

Masse du groupe : \(m = 400 \, \text{kg}\)
Nombre de plots : 4
Vitesse de rotation : \(N = 2900 \, \text{tr/min}\)
Efficacité d'isolation visée : \(\eta = 90\%\)

Questions à traiter

Calculer la fréquence de forçage (\(f_{\text{e}}\)) du groupe froid.
Déterminer la fréquence propre maximale (\(f_{\text{n,max}}\)) que le système d'isolation (machine + plots) doit avoir pour atteindre l'efficacité visée.
En déduire la raideur totale (\(k_{\text{totale}}\)) puis la raideur individuelle (\(k_{\text{plot}}\)) que chaque plot doit posséder.

Correction : Dimensionnement de Plots Anti-Vibratiles

Question 1 : Fréquence de Forçage (fe)

Principe :

La première étape de tout problème d'isolation vibratoire est d'identifier la ou les fréquences que l'on doit isoler. Pour une machine tournante, la principale source de vibration est le balourd (léger déséquilibre du rotor), qui génère une force à la fréquence de rotation. On doit donc convertir la vitesse de rotation, généralement donnée en tours par minute (tr/min), en une fréquence de forçage, en Hertz (Hz), qui correspond à des tours par seconde.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La fréquence de forçage est l'ennemi à combattre. C'est la "note" que chante la machine. Tout notre travail de dimensionnement consistera à concevoir un système de suspension qui soit "sourd" à cette note spécifique.

Formule(s) utilisée(s) :

f_{\text{e}} \, (\text{Hz}) = \frac{N \, (\text{tr/min})}{60}

Donnée(s) :

Vitesse de rotation : \(N = 2900 \, \text{tr/min}\)

Calcul(s) :

f_{\text{e}} = \frac{2900}{60} \approx 48.33 \, \text{Hz}

Points de vigilance :

Ne pas oublier les harmoniques : Bien que la fréquence fondamentale soit la plus importante, des vibrations peuvent aussi exister à des fréquences multiples (2xf, 3xf...). Pour des machines complexes (moteurs à pistons, etc.), le spectre de vibration peut être riche. On se concentre ici sur la fréquence la plus basse et la plus énergétique.

Le saviez-vous ?

Résultat : La fréquence de forçage principale du groupe est d'environ 48.33 Hz.

Question 2 : Fréquence Propre Cible (fn,max)

Principe :

L'efficacité d'une isolation vibratoire dépend directement du rapport entre la fréquence de forçage (\(f_{\text{e}}\)) et la fréquence propre du système (\(f_{\text{n}}\)). Pour obtenir une bonne isolation, il faut que \(f_{\text{n}}\) soit significativement plus basse que \(f_{\text{e}}\). La formule de la transmissibilité (le rapport de la force transmise sur la force appliquée) nous permet de relier l'efficacité d'isolation souhaitée à ce rapport de fréquences, et donc de trouver la fréquence propre maximale à ne pas dépasser.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La règle empirique la plus importante de l'isolation vibratoire est la "règle de \(\sqrt{2}\)". L'isolation ne commence que lorsque le rapport \(f_{\text{e}}/f_{\text{n}}\) est supérieur à \(\sqrt{2} \approx 1.41\). En dessous de cette valeur, le système AMPLIFIE les vibrations. C'est pourquoi on vise toujours un rapport d'au moins 2 ou 3 pour être en sécurité.

Formule(s) utilisée(s) :

\eta = 1 - \frac{1}{\left(\frac{f_{\text{e}}}{f_{\text{n}}}\right)^2 - 1}

Cette formule relie l'efficacité \(\eta\) au rapport des fréquences, en négligeant l'amortissement.

Donnée(s) :

Efficacité visée \(\eta = 0.9\) (pour 90%)
Fréquence de forçage \(f_{\text{e}} \approx 48.33 \, \text{Hz}\)

Calcul(s) :

1. On isole le rapport de fréquences dans la formule :

\left(\frac{f_{\text{e}}}{f_{\text{n}}}\right)^2 - 1 = \frac{1}{1-\eta} \implies \frac{f_{\text{e}}}{f_{\text{n}}} = \sqrt{\frac{1}{1-\eta} + 1}

2. Calcul du rapport de fréquences requis :

\frac{f_{\text{e}}}{f_{\text{n}}} = \sqrt{\frac{1}{1-0.9} + 1} = \sqrt{\frac{1}{0.1} + 1} = \sqrt{10 + 1} = \sqrt{11} \approx 3.317

3. Calcul de la fréquence propre maximale :

f_{\text{n,max}} = \frac{f_{\text{e}}}{3.317} = \frac{48.33}{3.317} \approx 14.57 \, \text{Hz}

Points de vigilance :

Négliger l'amortissement : La formule utilisée est une simplification qui ne tient pas compte de l'amortissement. En réalité, l'amortissement réduit légèrement l'efficacité de l'isolation dans la zone utile (quand \(f_e > \sqrt{2} f_n\)). Cependant, pour le pré-dimensionnement, cette approche est conservatrice et largement acceptée.

Le saviez-vous ?

Résultat : Pour une efficacité de 90%, la fréquence propre du système doit être inférieure à 14.57 Hz.

Question 3 : Raideur des Plots Anti-Vibratiles

Principe :

Maintenant que nous connaissons la masse de la machine et la fréquence propre que nous devons atteindre, nous pouvons inverser la formule de la fréquence propre pour en déduire la seule inconnue restante : la raideur totale (\(k_{\text{totale}}\)) que le système de suspension doit avoir. Une fois cette raideur totale déterminée, il suffit de la diviser par le nombre de supports pour trouver la raideur que chaque plot individuel doit présenter.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'étape finale du dimensionnement. Le résultat, \(k_{\text{plot}}\), est la spécification technique que l'on va utiliser pour chercher un produit dans le catalogue d'un fournisseur de plots anti-vibratiles. On cherchera un plot capable de supporter la charge (poids/4) et ayant la raideur calculée.

Formule(s) utilisée(s) :

k = m \times (2\pi f_{\text{n}})^2

k_{\text{plot}} = \frac{k_{\text{totale}}}{N_{\text{plots}}}

Donnée(s) :

Masse \(m = 400 \, \text{kg}\)
Fréquence propre cible \(f_{\text{n}} = 14.57 \, \text{Hz}\)
Nombre de plots : 4

Calcul(s) :

1. Calcul de la raideur totale requise :

\begin{aligned} k_{\text{totale}} &= 400 \times (2\pi \times 14.57)^2 \\ &= 400 \times (91.54)^2 \\ &= 400 \times 8379.6 \\ &\approx 3 \, 351 \, 840 \, \text{N/m} \quad (\text{ou } \approx 3352 \, \text{kN/m}) \end{aligned}

2. Calcul de la raideur par plot :

k_{\text{plot}} = \frac{3351840}{4} = 837 \, 960 \, \text{N/m} \quad (\text{ou } \approx 838 \, \text{kN/m})

Points de vigilance :

Répartition des charges : Nous avons supposé que la masse est répartie équitablement sur les 4 plots. Si le centre de gravité de la machine n'est pas au centre géométrique des supports, certains plots supporteront plus de poids que d'autres. Il faudrait alors choisir des plots de raideurs différentes pour que la "flèche" (l'écrasement sous le poids) soit la même pour tous, afin que la machine reste de niveau.

Le saviez-vous ?

Résultat : Il faut choisir 4 plots ayant chacun une raideur d'environ 838 kN/m.

Simulation de Dimensionnement

Faites varier la masse de la machine et l'efficacité d'isolation souhaitée pour voir comment évolue la raideur totale que les supports doivent fournir. Le graphique montre la fréquence propre cible et la fréquence de la machine.

Paramètres du Projet

Masse de la machine (400 kg)

Efficacité d'Isolation Cible (90 %)

Fréquence Propre Cible

Raideur Totale Requise

Fréquences du Système (Hz)

Le Saviez-Vous ?

Dans les studios d'enregistrement de classe mondiale, on utilise le principe de la "boîte dans la boîte". La pièce d'enregistrement est construite sur un plancher flottant, complètement désolidarisé du reste du bâtiment par des plots anti-vibratiles. Cela permet d'atteindre des niveaux d'isolation acoustique et vibratoire extrêmes, bloquant les bruits les plus faibles venant de l'extérieur (métro, circulation...).

Foire Aux Questions (FAQ)

Est-ce que l'amortissement est important pour l'isolation ?

C'est un point subtil. Pour l'isolation en régime permanent (quand la machine tourne à sa vitesse nominale), un amortissement élevé dégrade légèrement l'efficacité. Cependant, l'amortissement est crucial pour limiter l'amplitude des vibrations lors du passage par la résonance au démarrage et à l'arrêt de la machine. On choisit donc un amortissement de compromis.

Peut-on utiliser des ressorts métalliques au lieu de plots en caoutchouc ?

Oui. Les ressorts métalliques permettent d'atteindre des fréquences propres très basses (donc une excellente isolation) car ils peuvent être très souples. Cependant, ils n'ont quasiment aucun amortissement et transmettent très bien les hautes fréquences. On les utilise donc souvent en combinaison avec un matériau amortissant pour obtenir le meilleur des deux mondes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour une machine donnée, si on veut augmenter l'efficacité de l'isolation de 85% à 95%, la fréquence propre du système doit :

Augmenter.
Rester la même, il faut plus d'amortissement.
Diminuer.

2. Une machine de 100 kg est posée sur 4 plots. Si on la remplace par une machine de 200 kg sur les mêmes plots, la fréquence propre du système va :

Diminuer (divisée par \(\sqrt{2}\)).
Augmenter (multipliée par \(\sqrt{2}\)).
Être divisée par 2.

Glossaire

Isolation Vibratoire: Technique consistant à désolidariser une source de vibration de son support à l'aide d'éléments élastiques (plots, ressorts) pour réduire la transmission des forces vibratoires.
Fréquence de Forçage (\(f_{\text{e}}\)): Fréquence à laquelle une force extérieure excite un système. Pour une machine tournante, c'est généralement la fréquence de rotation.
Efficacité d'Isolation (\(\eta\)): Pourcentage de la force vibratoire générée par la source qui est arrêtée par le système d'isolation. Une efficacité de 90% signifie que 90% de la vibration est bloquée et 10% est transmise.
Raideur (k): Propriété d'un ressort ou d'un support élastique qui décrit sa résistance à la déformation. C'est la force nécessaire pour produire un déplacement unitaire. Unité : N/m.
Transmissibilité (T): Rapport entre l'amplitude de la force transmise à la structure support et l'amplitude de la force générée par la machine. C'est une mesure de la performance de l'isolation (\(T = 1 - \eta\)).

D’autres exercices d’acoustique appliquée:

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

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Questions à traiter

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Question 1 : Fréquence de Forçage (fe)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Fréquence Propre Cible (fn,max)

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Raideur des Plots Anti-Vibratiles

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation de Dimensionnement

Paramètres du Projet

Fréquences du Système (Hz)

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

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