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Dimensionnement de Plots Anti-Vibratiles

Exercice : Plots Anti-Vibratiles en Acoustique

Dimensionnement de Plots Anti-Vibratiles

Contexte : L'isolation vibratoireTechnique visant à réduire la transmission des vibrations d'une source (machine) vers une structure (sol)..

Une Centrale de Traitement d'Air (CTA) de 500 kg est installée au dernier étage d'un immeuble de bureaux. Elle génère des vibrations dues à son moteur tournant à 3000 tours/minute (RPM), causant une gêne sonore et structurelle aux étages inférieurs. Pour remédier à cela, nous devons désolidariser la machine du sol en l'installant sur 4 plots anti-vibratiles identiques. Notre objectif est de calculer les propriétés de ces plots pour atteindre une isolation vibratoire d'au moins 90%.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser un problème industriel (machine vibrante) en un système masse-ressort simple, et à calculer la raideur de ressort (plot) nécessaire pour atteindre un objectif d'isolation précis.

Objectifs Pédagogiques

Calculer une fréquence d'excitation (\(f_e\)) à partir d'un régime moteur (RPM).
Comprendre la relation entre isolation (\(I\)), transmissibilité (\(T\)), et fréquence propre (\(f_0\)).
Déterminer la raideur (\(k\)) requise pour un plot anti-vibratile.
Calculer l'écrasement statique (\(\Delta L_{\text{st}}\)) correspondant.

Données de l'étude

Le système à étudier est la CTA posée sur ses 4 plots. La charge sera supposée uniformément répartie.

Schéma de principe

Données Numériques

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse totale de la machine	\(M\)	500	kg
Vitesse de rotation moteur	RPM	3000	tr/min
Nombre de plots	\(N\)	4	-
Objectif d'isolation	\(I\)	90	%
Accélération gravitationnelle	\(g\)	9.81	m/s²

Questions à traiter

Calculer la fréquence d'excitation (\(f_e\)) de la machine en Hertz (Hz).
Déterminer la transmissibilité (\(T\)) maximale admissible pour atteindre 90% d'isolation.
Calculer la fréquence propre (\(f_0\)) maximale requise pour le système masse-ressort.
En déduire la raideur (\(k_{\text{plot}}\)) requise pour *chaque* plot (en N/m).
Calculer l'écrasement statique (\(\Delta L_{\text{st}}\)) attendu pour chaque plot (en mm).

Les bases de l'Isolation Vibratoire

Pour isoler une machine, on la désolidarise du sol avec des ressorts (les plots). Le but est que la fréquence propreFréquence à laquelle un système masse-ressort oscille naturellement. du système (machine + plots) soit très différente de la fréquence d'excitationFréquence de la force perturbatrice (vibration) appliquée au système. de la machine. Pour qu'il y ait isolation (atténuation), il faut impérativement que \(f_e > \sqrt{2} \cdot f_0\).

1. Fréquence d'Excitation (\(f_e\))
C'est la fréquence de la vibration. Pour une machine tournante, elle est directement liée aux RPM (tours par minute). \[ f_e \text{ (en Hz)} = \frac{\text{RPM}}{60} \]

2. Fréquence Propre (\(f_0\))
C'sest la fréquence à laquelle le système (masse + ressort) oscille naturellement s'il est perturbé. Elle dépend de la masse (\(M\)) et de la raideur totale (\(k_{\text{total}}\)). \[ f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_{\text{total}}}{M}} \]

3. Transmissibilité (\(T\)) et Isolation (\(I\))
L'isolation \(I\) est le pourcentage de vibration *bloqué*. La transmissibilitéRapport entre la force transmise au sol et la force générée par la machine. \(T\) est la fraction de vibration qui *passe* quand même. \[ I = (1 - T) \times 100\% \quad \text{ou} \quad T = 1 - \frac{I}{100} \] Dans la zone d'isolation (quand \(f_e \gg f_0\)), la formule simplifiée est : \[ T \approx \frac{1}{(\frac{f_e}{f_0})^2 - 1} \]

Correction : Dimensionnement de Plots Anti-Vibratiles

Question 1 : Calculer la fréquence d'excitation (\(f_e\))

Principe

La fréquence d'excitation (\(f_e\)) est la fréquence à laquelle la machine "force" le système à vibrer. Pour un moteur, c'est sa vitesse de rotation, convertie d'unités "par minute" en unités "par seconde" (Hz).

Mini-Cours

Une machine tournant à \(N\) tours par minute (RPM) effectue \(N\) cycles en 60 secondes. La fréquence, qui est le nombre de cycles *par seconde*, est donc simplement \(N / 60\). Cette fréquence est aussi appelée la "fondamentale".

Remarque Pédagogique

C'est la première étape de tout problème de vibration : identifier la (ou les) fréquence(s) à isoler. Sans cela, tout calcul est impossible. On l'appelle aussi la "fréquence perturbatrice".

Normes

Pas de norme spécifique ici, c'est une conversion d'unité standard (minutes en secondes).

Formule(s)

Conversion RPM en Hz

f_e \text{ (en Hz)} = \frac{\text{RPM}}{60}

Hypothèses

On suppose que la vibration principale est générée par la rotation du moteur (balourd) et qu'il n'y a pas d'autres sources majeures de vibration (par exemple, un réducteur ou une pompe à une vitesse différente).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse de rotation	RPM	3000	tr/min

Astuces

Pour convertir rapidement de tête : 3000 RPM / 60 = 300 / 6 = 50 Hz. Si vous avez des doutes, pensez "combien de fois 60 dans 3000 ?".

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montre bien la source de vibration (Moteur 3000 RPM) comme étant la cause de la perturbation.

Conversion RPM (tr/min) en Hz (tr/s)

Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule

On remplace RPM par sa valeur :

f_e = \frac{3000}{60} = 50 \text{ Hz}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une fréquence unique, notre cible à isoler.

Fréquence d'Excitation (\(f_e\))

Réflexions

La machine vibre 50 fois par seconde. C'est notre fréquence "ennemie" : nous devons concevoir un système qui n'aime pas cette fréquence.

Points de vigilance

Ne pas confondre RPM (tours/minute) et Hz (tours/seconde). C'est une erreur classique. Pensez aussi aux "harmoniques" : une machine peut vibrer à 50 Hz, mais aussi à 100 Hz (H2), 150 Hz (H3), etc. On se concentre ici sur la fondamentale (H1), qui est la plus énergétique.

Points à retenir

La fréquence d'excitation \(f_e\) est la vitesse de la machine en tours/seconde (Hz).
\(f_e = \text{RPM} / 60\).

Le saviez-vous ?

En Europe, le courant électrique tourne à 50 Hz. Les moteurs électriques standards (asynchrones) tournent donc à une vitesse *proche* de 3000 RPM (un peu moins, ex: 2850 RPM) ou 1500 RPM (ex: 1450 RPM). 50 Hz est donc une fréquence de vibration extrêmement courante dans l'industrie et le bâtiment.

FAQ

Non applicable pour cette étape.

Résultat Final

La fréquence d'excitation (\(f_e\)) est de 50 Hz.

A vous de jouer

La meilleure façon d'apprendre, c'est de pratiquer ! Que serait \(f_e\) si la machine tournait à 1800 RPM ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Fréquence d'excitation = vitesse de la machine.
Formule Essentielle : \(f_e = \text{RPM} / 60\).

Question 2 : Déterminer la transmissibilité (\(T\)) maximale

Principe

L'isolation (\(I\)) est le pourcentage de vibration *bloqué* (90%). La transmissibilité (\(T\)) est le pourcentage de vibration qui *passe* (le reste). Les deux sont complémentaires et leur somme vaut 1 (ou 100%).

Mini-Cours

Transmissibilité (T) et Isolation (I) sont deux faces d'une même pièce. La relation est directe : \(I = (1-T) \times 100\%\). Si T=0.1, l'isolation est de 90%. Si T=1, l'isolation est de 0% (tout passe). Si T>1, on est en zone de résonance (amplification).

Remarque Pédagogique

Pensez simple : "Je veux bloquer 90% de la vibration. Donc, je n'autorise que 10% (soit un facteur de 0.1) à passer." C'est ce 0.1 qui est la valeur de T à utiliser dans les formules de physique.

Normes

Pas de norme spécifique ici, c'est un calcul de base. L'objectif de 90% (ou une atténuation de -20 dB) est un standard courant en acoustique du bâtiment pour une bonne isolation.

Formule(s)

Relation Isolation - Transmissibilité

T = 1 - \frac{I}{100}

Hypothèses

On suppose que l'isolation est l'unique objectif et que le chiffre de 90% est une cible ferme.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Objectif d'isolation	\(I\)	90	%

Astuces

La transmissibilité est un facteur (sans unité), alors que l'isolation est un pourcentage. Ne mélangez pas les deux dans les formules. Convertissez toujours le pourcentage d'isolation en facteur (0.9) avant de le soustraire de 1.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'objectif : 100% de la vibration est divisée en une partie isolée et une partie transmise.

Objectif d'Isolation (90%)

Calcul(s)

Étape 1 : Application de la formule

On remplace l'isolation \(I\) par sa valeur (90%) :

T_{\text{max}} = 1 - \frac{90}{100}

T_{\text{max}} = 1 - 0.9 = 0.1

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme que notre cible de transmissibilité est un facteur de 0.1.

Réflexions

Pour isoler à 90%, il faut que seulement 10% (soit un facteur de 0.1) de la force vibratoire soit transmise au sol. C'est ce \(T = 0.1\) que nous utiliserons dans les calculs suivants.

Points de vigilance

Ne pas confondre 0.1 (facteur) et 10% (pourcentage). Le calcul de T doit être en facteur (décimal) pour les formules de physique.

Points à retenir

La transmissibilité \(T\) est la fraction de vibration qui passe.
\(I\) (en %) + \(T \times 100\) (en %) = 100%.

Le saviez-vous ?

Une isolation de 90% (T=0.1) correspond à une atténuation de -20 dB (car \(20 \log_{10}(0.1) = -20\)). 99% (T=0.01) correspond à -40 dB.

FAQ

Non applicable pour cette étape.

Résultat Final

La transmissibilité maximale admissible (\(T\)) est de 0.1.

A vous de jouer

Quelle serait la transmissibilité \(T\) pour une isolation de 95% ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : \(I\) = bloqué, \(T\) = transmis.
Formule Essentielle : \(T = 1 - I/100\).

Question 3 : Calculer la fréquence propre (\(f_0\)) maximale

Principe

Maintenant que nous connaissons \(f_e\) (50 Hz) et \(T\) (0.1), nous pouvons utiliser la formule de transmissibilité (simplifiée pour la zone d'isolation) pour trouver le rapport \(f_e/f_0\). En isolant \(f_0\), nous trouverons la fréquence propre maximale que notre système doit avoir.

Mini-Cours

La formule de transmissibilité (simplifiée, sans amortissement) est \(T = 1 / ( (f_e/f_0)^2 - 1 )\). Pour qu'il y ait isolation, on doit avoir \(f_e/f_0 > \sqrt{2}\). Plus ce rapport est grand, meilleure est l'isolation.

Remarque Pédagogique

Le but est de trouver \(f_0\). On connaît T et \(f_e\). Nous n'avons pas besoin de la masse ou de la raideur pour cette étape. On va d'abord trouver le rapport \( (f_e/f_0) \), puis on isolera \(f_0\).

Normes

Non applicable pour cette étape de calcul.

Formule(s)

Formule d'isolation (simplifiée)

T \approx \frac{1}{(\frac{f_e}{f_0})^2 - 1}

Hypothèses

On suppose que l'amortissement (\(\zeta\)) des plots est nul ou négligeable. C'est une hypothèse de sécurité (elle donne l'isolation la plus faible) et elle est réaliste pour les plots en élastomère aux petites amplitudes.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Transmissibilité max.	\(T\)	0.1	-
Fréq. d'excitation	\(f_e\)	50	Hz

Astuces

Pour être en isolation, il faut \(f_e/f_0 > \sqrt{2} \approx 1.41\). Ici, notre rapport est de 3.317, donc nous sommes bien en zone d'isolation. En bureau d'études, on prendrait une marge de sécurité (ex: viser 14 Hz au lieu de 15.07 Hz) pour garantir le résultat.

Schéma (Avant les calculs)

Graphique de la transmissibilité (T) en fonction du rapport de fréquence (\(f_e/f_0\)). On cherche le rapport qui donne T = 0.1.

Courbe de Transmissibilité

Calcul(s)

Étape 1 : Manipulation algébrique (isoler \(f_0\))

Nous devons réarranger la formule pour trouver \(f_0\). D'abord, isolons le rapport \((f_e/f_0)\).

T = \frac{1}{(\frac{f_e}{f_0})^2 - 1}

On inverse les deux côtés (ou produit en croix) :

(\frac{f_e}{f_0})^2 - 1 = \frac{1}{T}

On passe le '1' de l'autre côté :

(\frac{f_e}{f_0})^2 = \frac{1}{T} + 1

On applique la racine carrée :

\frac{f_e}{f_0} = \sqrt{\frac{1}{T} + 1}

Enfin, on isole \(f_0\) :

f_0 = \frac{f_e}{\sqrt{\frac{1}{T} + 1}}

Étape 2 : Application numérique

Maintenant, on remplace \(T\) par 0.1 et \(f_e\) par 50 Hz :

f_0 = \frac{50}{\sqrt{\frac{1}{0.1} + 1}}

f_0 = \frac{50}{\sqrt{10 + 1}} = \frac{50}{\sqrt{11}}

f_0 \approx \frac{50}{3.317} \approx 15.07 \text{ Hz}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat montre l'écart nécessaire entre \(f_0\) et \(f_e\).

Écart de Fréquence Requis

Réflexions

Le système (machine + plots) doit avoir une fréquence propre de 15.07 Hz. C'est bien plus bas que 50 Hz, ce qui est logique. Si on avait trouvé 40 Hz, on se serait trompé (on serait proche de la résonance).

Points de vigilance

Attention à ne pas inverser \(f_e\) et \(f_0\) dans la formule. C'est toujours (fréquence d'excitation / fréquence propre). Si le rapport est plus petit que 1, la formule donne un résultat négatif, ce qui est un bon indicateur d'erreur.

Points à retenir

L'isolation est efficace quand \(f_e\) est au moins 3 fois plus grande que \(f_0\).
Le rapport \(f_e/f_0\) est la clé de l'isolation.

Le saviez-vous ?

Cette formule simplifiée ne marche que dans la zone d'isolation. Si \(f_e = f_0\), la formule tend vers l'infini (résonance). Si \(f_e < \sqrt{2} \cdot f_0\), T > 1 (amplification).

FAQ

Non applicable pour cette étape.

Résultat Final

La fréquence propre maximale requise (\(f_0\)) est d'environ 15.07 Hz.

A vous de jouer

Quelle serait la \(f_0\) requise pour 95% d'isolation ? (Indice: T=0.05)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : L'isolation dépend du *rapport* \(f_e/f_0\).
Formule Essentielle : \(f_0 = f_e / \sqrt{(1/T) + 1}\).

Question 4 : En déduire la raideur (\(k_{\text{plot}}\)) requise

Principe

La fréquence propre (\(f_0\)) est dictée par la masse (\(m\)) et la raideur (\(k\)). Maintenant que nous connaissons la fréquence propre cible (15.07 Hz) et la masse par plot, nous pouvons "inverser" la formule de \(f_0\) pour trouver la raideur \(k\) que chaque plot doit avoir.

Mini-Cours

La formule de la fréquence propre est \(f_0 = (1/2\pi) \sqrt{k/m}\). On doit l'inverser pour trouver k. Attention, la masse \(m\) est la masse *par plot* et \(k\) est la raideur *par plot*. La physique reste la même, que l'on considère le système total (\(M_{\text{total}}\) et \(k_{\text{total}}\)) ou un seul plot (\(m\) et \(k\)).

Remarque Pédagogique

La machine pèse 500 kg au total, répartis sur 4 plots. Chaque plot "voit" donc une masse de 500 / 4 = 125 kg. C'est ce \(m=125\text{ kg}\) qu'il faut utiliser dans le calcul de la raideur *d'un* plot.

Normes

Non applicable pour cette étape de calcul.

Formule(s)

Masse par plot

m = \frac{M_{\text{total}}}{N}

Fréquence propre

f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}

Hypothèses

On suppose que la masse est uniformément répartie sur les 4 plots. Si le centre de gravité était décalé, les plots ne porteraient pas tous la même charge.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse totale	\(M\)	500	kg
Nombre de plots	\(N\)	4	-
Fréq. propre requise	\(f_0\)	15.07	Hz

Astuces

Gardez la valeur de \( (2\pi f_0) \) (aussi appelée \(\omega_0\), la pulsation propre) en mémoire dans votre calculatrice (\(2 \cdot \pi \cdot 15.07 \approx 94.686\)). Mettez-la au carré, *puis* multipliez par la masse. Cela évite les erreurs d'arrondi.

Schéma (Avant les calculs)

On réutilise le schéma de l'énoncé, en se concentrant sur un seul plot qui supporte 1/4 de la masse.

Modèle "par plot"

Calcul(s)

Étape 1 : Masse par plot (\(m\))

On remplace les valeurs connues :

m = \frac{500 \text{ kg}}{4} = 125 \text{ kg}

Étape 2 : Manipulation algébrique (isoler \(k\))

On part de la formule de la fréquence propre :

f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}

On multiplie par \(2\pi\) :

2\pi f_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

On met les deux côtés au carré pour enlever la racine :

(2\pi f_0)^2 = \frac{k}{m}

On isole \(k\) en multipliant par \(m\) :

k = (2\pi f_0)^2 \cdot m

Étape 3 : Application numérique

On utilise \(m = 125\) kg et \(f_0 = 15.07\) Hz :

k_{\text{plot}} = (2 \cdot \pi \cdot 15.07)^2 \cdot 125

k_{\text{plot}} = (94.686)^2 \cdot 125

k_{\text{plot}} \approx 8965.4 \cdot 125 \approx 1,120,675 \text{ N/m}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul nous donne la propriété requise pour le ressort.

Réflexions

Le résultat est 1,120,675 Newtons par mètre. C'est une valeur difficile à lire. On la convertit souvent :

\(1,120.7 \text{ kN/m}\) (kiloNewtons par mètre)
\(1120.7 \text{ N/mm}\) (Newtons par millimètre)

C'est cette valeur que l'on utilisera pour chercher un plot dans un catalogue fabricant (en vérifiant qu'il supporte bien 125 kg).

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'utiliser la masse totale (500 kg) au lieu de la masse par plot (125 kg). Cela donnerait une raideur 4 fois trop grande et l'isolation serait mauvaise. Pensez toujours "par plot".

Points à retenir

La raideur \(k\) est calculée pour la masse \(m\) qu'elle supporte.
Les raideurs s'additionnent en parallèle : \(k_{\text{total}} = k_1 + k_2 + k_3 + k_4\).
Le rapport \(k_{\text{total}} / M_{\text{total}}\) est le même que \(k_{\text{plot}} / m\), c'est pourquoi on peut calculer par plot.

Le saviez-vous ?

Si les plots étaient en série (l'un au-dessus de l'autre), ce seraient les inverses des raideurs qui s'ajouteraient (\(1/k_{\text{total}} = 1/k_1 + 1/k_2\)), ce qui rendrait le système plus souple.

FAQ

Résultat Final

La raideur requise pour chaque plot (\(k_{\text{plot}}\)) est d'environ 1,120,675 N/m (ou 1120.7 N/mm).

A vous de jouer

Si on utilisait 6 plots au lieu de 4 (m=83.33 kg), quelle serait la raideur \(k\) par plot (en N/m) pour garder la même \(f_0\)?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : La raideur \(k\) est calculée pour la masse \(m\) qu'elle supporte.
Formule Essentielle : \(k = (2\pi f_0)^2 \cdot m\).

Question 5 : Calculer l'écrasement statique (\(\Delta L_{\text{st}}\))

Principe

L'écrasement (ou flèche) statique est la distance dont le plot s'affaisse sous le poids *statique* (non vibrant) de la machine. C'est une donnée essentielle car elle est souvent plus facile à mesurer que la raideur \(k\). Il y a une relation directe entre \(f_0\) et \(\Delta L_{\text{st}}\).

Mini-Cours

On peut trouver l'écrasement statique de deux façons :
1. Par la Loi de Hooke : La force (le Poids \(P=m \cdot g\)) est égale à la raideur (\(k\)) fois l'écrasement (\(\Delta L_{\text{st}}\)). On isole \(\Delta L_{\text{st}} = P / k\).
2. Par la "Formule Magique" : En combinant les formules de \(f_0\) et de la loi de Hooke, on trouve une relation directe qui ne dépend que de \(g\). C'est un raccourci très puissant.

Remarque Pédagogique

La "formule magique" \(\Delta L_{\text{st}} \approx (15.8/f_0)^2\) est très utile sur le terrain. Elle permet de *vérifier* une installation. Si vous mesurez l'écrasement d'un plot avec un réglet (ex: 2.5 mm), vous pouvez en déduire la fréquence propre (\(f_0 \approx 15.8 / \sqrt{2.5} \approx 10\text{ Hz}\)) sans connaître ni la masse ni la raideur !

Normes

Non applicable pour cette étape de calcul.

Formule(s)

Loi de Hooke (statique)

P = k \cdot \Delta L_{\text{st}} \quad \text{où } P = m \cdot g

Fréquence propre

f_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}

Hypothèses

On utilise l'accélération gravitationnelle \(g = 9.81\text{ m/s}^2\).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse par plot	\(m\)	125	kg
Raideur par plot	\(k\)	1,120,675	N/m
Fréquence propre	\(f_0\)	15.07	Hz
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Vérifiez toujours que les deux méthodes (par \(k\) et par \(f_0\)) donnent le même résultat (ou presque, à cause des arrondis). C'est une excellente auto-vérification. Si elles divergent, vous avez une erreur dans le calcul de \(k\) ou de \(f_0\).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'écrasement statique : la masse \(m\) exerce un poids \(P\) qui comprime le ressort d'une distance \(\Delta L_{\text{st}}\).

Écrasement Statique

Calcul(s)

Méthode 1 : Par la raideur (Loi de Hooke)

Étape 1a : Manipulation algébrique
On part de la loi de Hooke, où la force est le poids \(P = m \cdot g\).

P = k \cdot \Delta L_{\text{st}} \quad \Rightarrow \quad m \cdot g = k \cdot \Delta L_{\text{st}}

On isole l'écrasement \(\Delta L_{\text{st}}\) :

\Delta L_{\text{st}} = \frac{m \cdot g}{k}

Étape 1b : Application numérique
On utilise les valeurs \(m=125\) kg, \(g=9.81\) m/s², et \(k=1,120,675\) N/m :

\Delta L_{\text{st}} = \frac{125 \cdot 9.81}{1,120,675} = \frac{1226.25 \text{ N}}{1,120,675 \text{ N/m}}

\Delta L_{\text{st}} \approx 0.001094 \text{ m} \quad \Rightarrow \quad 1.1 \text{ mm}

Méthode 2 : Par la fréquence propre (Formule "magique")

Étape 2a : Manipulation algébrique
Cette méthode combine les deux formules. On part de ce qu'on a trouvé à la Q4 :

k = (2\pi f_0)^2 \cdot m

Et on le substitue dans la formule de la Méthode 1, \(\Delta L_{\text{st}} = (m \cdot g) / k\) :

\Delta L_{\text{st}} = \frac{m \cdot g}{(2\pi f_0)^2 \cdot m}

Les masses \(m\) s'annulent !

\Delta L_{\text{st}} = \frac{g}{(2\pi f_0)^2}

Étape 2b : Application numérique
On utilise \(g = 9.81\) m/s² et \(f_0 = 15.07\) Hz :

\Delta L_{\text{st}} = \frac{9.81}{(2 \cdot \pi \cdot 15.07)^2} = \frac{9.81}{(94.686)^2}

\Delta L_{\text{st}} = \frac{9.81}{8965.4} \approx 0.001094 \text{ m} \quad \Rightarrow \quad 1.1 \text{ mm}

(Note : La formule \(\Delta L_{\text{st (mm)}} \approx (15.8/f_0)^2\) est la même équation, mais pré-calculée avec \(g=9.81\) et la conversion en mm, comme expliqué dans la FAQ ci-dessous.)

Schéma (Après les calculs)

Le résultat nous donne la flèche statique requise.

Résultat : Écrasement Requis

Réflexions

Les deux méthodes donnent le même résultat ! En pratique, l'ingénieur n'a pas besoin de connaître la raideur \(k\). Il peut simplement dire au fournisseur : "J'ai besoin de 4 plots capables de supporter 125 kg chacun, et qui s'écrasent de 1.1 mm sous cette charge."

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est sur les unités. La formule \(\Delta L_{\text{st}} = (m \cdot g) / k\) (Méthode 1) ou \(\Delta L_{\text{st}} = g / (2\pi f_0)^2\) (Méthode 2) donne le résultat en **mètres**, car on utilise les unités du Système International (kg, m/s², N/m, Hz=1/s).

Points à retenir

\(f_0\) et \(\Delta L_{\text{st}}\) sont inversement liés.
Pour une isolation basse fréquence (un \(f_0\) très bas), il faut un écrasement statique très important (un ressort très mou).

Le saviez-vous ?

C'est pour cela que les studios d'enregistrement sont parfois construits sur d'énormes ressorts qui ont un écrasement statique de plusieurs centimètres, pour isoler des vibrations très basses fréquences (métro, camions). On parle de "boîte dans la boîte".

FAQ

Résultat Final

L'écrasement statique requis pour chaque plot est d'environ 1.1 mm.

A vous de jouer

Quel serait l'écrasement statique requis (en mm) si on visait une \(f_0\) de 10 Hz ? (Utilisez la formule magique \((15.8/f_0)^2\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : La flèche statique \(\Delta L_{\text{st}}\) est directement liée à \(f_0\).
Formule Essentielle : \(\Delta L_{\text{st}} = g / (2\pi f_0)^2\) (en mètres).
Raccourci : \(\Delta L_{\text{st (mm)}} \approx (15.8 / f_0)^2\).

Outil Interactif : Simulateur d'Isolation

Utilisez les curseurs pour voir comment la masse et la raideur totale influencent la fréquence propre du système et l'efficacité de l'isolation (calculée pour notre fréquence d'excitation de 50 Hz).

Paramètres d'Entrée

Masse de la machine (M) (kg) 500 kg

Raideur totale (k) (N/m) 4482700 N/m

Résultats Clés (pour \(f_e = 50\) Hz)

Fréquence Propre (\(f_0\)) 15.07 Hz

Isolation (\(I\)) 90.0 %

Glossaire

Fréquence Propre (\(f_0\)): Fréquence à laquelle un système masse-ressort oscille naturellement lorsqu'il est perturbé (frappé ou lâché). Dépend de la masse et de la raideur.
Fréquence d'Excitation (\(f_e\)): Fréquence de la force perturbatrice (vibration) appliquée au système. Pour une machine tournante, c'est sa vitesse de rotation (RPM/60).
Raideur (\(k\)): Propriété d'un ressort (ou plot) à résister à la déformation. C'est la force nécessaire pour un écrasement donné. Mesurée en N/m.
Résonance: Phénomène d'amplification massive des vibrations qui se produit lorsque la fréquence d'excitation (\(f_e\)) est égale ou très proche de la fréquence propre (\(f_0\)).
Transmissibilité (\(T\)): Rapport (fraction) entre la force transmise au sol et la force générée par la machine. \(T=0.1\) signifie que 10% de la vibration passe.
Écrasement Statique (\(\Delta L_{\text{st}}\)): Aussi appelé "flèche statique". C'est l'affaissement du plot sous le simple poids (non vibrant) de la machine.

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