Étude de la Diffraction du Son par une Ouverture

Contexte : L'acoustique fondamentale et la diffractionLa diffraction est le phénomène par lequel une onde est déviée de sa trajectoire rectiligne lorsqu'elle rencontre un obstacle ou une ouverture de dimension comparable à sa longueur d'onde..

La diffraction est un phénomène fondamental qui explique pourquoi nous pouvons entendre des sons même lorsque la source n'est pas directement dans notre champ de vision, par exemple, entendre quelqu'un parler depuis une autre pièce à travers une porte ouverte. Cet exercice se concentre sur le calcul de la manière dont un son se propage après avoir traversé une ouverture, en déterminant les zones de silence (minima d'intensité).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à quantifier le phénomène de diffraction et à comprendre comment la fréquence d'un son et la taille d'une ouverture influencent sa propagation dans l'espace.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe de la diffraction de Huygens-Fresnel appliqué au son.
Savoir calculer la longueur d'onde d'un son et l'utiliser dans la formule de diffraction.
Analyser l'influence de la fréquence et de la géométrie sur le diagramme de diffraction.

Données de l'étude

On étudie une onde sonore sinusoïdale pure émise par un haut-parleur. Cette onde plane arrive sur un mur percé d'une ouverture rectangulaire de faible largeur, assimilable à une fente.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type d'onde	Sonore (sinusoïdale pure)
Milieu de propagation	Air à 20°C
Vitesse du son dans l'air (c)	343 m/s

Schéma du phénomène de diffraction

Paramètre	Description	Valeur	Unité
Fréquence du son (f)	Nombre d'oscillations par seconde	1000	Hz
Largeur de l'ouverture (a)	Dimension de la fente	0.5	m

Questions à traiter

Calculer la longueur d'onde (λ) de l'onde sonore.
Le phénomène de diffraction est-il notable dans ces conditions ? Justifier.
Calculer l'angle θ₁ (en degrés) correspondant au premier minimum de diffraction.
Si la fréquence du son est abaissée à 100 Hz, que devient cet angle ? Conclure.

Les bases sur la Diffraction Sonore

La diffraction d'une onde se produit lorsqu'elle rencontre une ouverture ou un obstacle. Selon le principe de Huygens-Fresnel, chaque point de l'ouverture se comporte comme une source secondaire d'ondes sphériques. Ces ondelettes interfèrent entre elles pour créer une nouvelle onde qui se propage dans des directions différentes de l'onde incidente.

1. Longueur d'onde
La longueur d'onde (λ) est la distance spatiale sur laquelle le motif de l'onde se répète. Elle est inversement proportionnelle à la fréquence (f) et dépend de la célérité (c) de l'onde dans le milieu. \[ \lambda = \frac{c}{f} \]

2. Condition de diffraction et minima d'intensité
La diffraction est particulièrement marquée lorsque la longueur d'onde (λ) est de l'ordre de grandeur de la taille de l'ouverture (a). Pour une fente de largeur 'a', les directions angulaires (θ) où l'intensité sonore est nulle (minima) sont données par la condition d'interférence destructive : \[ \sin(\theta_m) = m \frac{\lambda}{a} \] où 'm' est un entier non nul (m = ±1, ±2, ±3, ...).

Correction : Étude de la Diffraction du Son par une Ouverture

Question 1 : Calculer la longueur d'onde (λ) de l'onde sonore.

Principe

Pour déterminer la longueur d'onde, nous utilisons la relation fondamentale liant la célérité de l'onde (vitesse du son), sa fréquence et sa longueur d'onde. C'est la "carte d'identité" de l'onde, décrivant sa périodicité dans l'espace.

Mini-Cours

Une onde est une perturbation qui se propage. Pour une onde périodique, la fréquence (f) est le nombre de cycles par seconde (en Hertz), tandis que la longueur d'onde (λ) est la distance physique d'un cycle complet. La célérité (c) est la vitesse à laquelle cette perturbation voyage. Ces trois grandeurs sont indissociables et liées par la relation fondamentale de la propagation des ondes.

Remarque Pédagogique

Pensez à cette formule comme à la relation "distance = vitesse × temps". Ici, la distance est la longueur d'onde λ, la vitesse est la célérité c, et le temps est la période T (T=1/f). La formule devient donc λ = c × T, ce qui est équivalent à λ = c/f.

Normes

Ce calcul ne fait pas appel à une norme d'ingénierie spécifique (comme un Eurocode), mais repose sur les lois fondamentales de la physique ondulatoire, universellement reconnues.

Formule(s)

\lambda = \frac{c}{f}

Hypothèses

Nous faisons l'hypothèse que le milieu de propagation (l'air) est homogène et isotrope, ce qui signifie que la vitesse du son 'c' est constante dans toutes les directions.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Célérité du son	c	343	m/s
Fréquence	f	1000	Hz

Astuces

Pour un calcul mental rapide, souvenez-vous que pour une fréquence de 1 kHz (1000 Hz), la longueur d'onde dans l'air est d'environ 34 cm. C'est un bon ordre de grandeur à garder en tête.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation d'une longueur d'onde

Calcul(s)

Calcul de la longueur d'onde

\begin{aligned} \lambda &= \frac{343 \, \text{m/s}}{1000 \, \text{Hz}} \\ &= 0.343 \, \text{m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Valeur de la longueur d'onde

Réflexions

La longueur d'onde est de 34.3 cm. C'est une dimension typique pour les sons audibles de fréquence moyenne (voix humaine, musique), ce qui explique pourquoi la diffraction par des objets du quotidien (portes, coins de mur) est un phénomène si courant.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est une erreur d'unité. Assurez-vous que la fréquence est en Hertz (Hz) et non en kilohertz (kHz) avant de faire le calcul. Si la fréquence était donnée à 1 kHz, il fallait la convertir en 1000 Hz.

Points à retenir

La relation inverse entre fréquence et longueur d'onde est fondamentale : plus la fréquence est élevée (son aigu), plus la longueur d'onde est courte. Inversement, plus la fréquence est basse (son grave), plus la longueur d'onde est longue.

Le saviez-vous ?

Les baleines communiquent avec des sons de très basse fréquence (infrasons, < 20 Hz). Leurs "chants" ont des longueurs d'onde de plusieurs dizaines de mètres, ce qui leur permet de se propager sur des milliers de kilomètres dans l'océan en étant très peu affectés par les obstacles.

FAQ

Résultat Final

La longueur d'onde de l'onde sonore est de 0.343 m.

A vous de jouer

Quelle serait la longueur d'onde d'un son de basse très grave à 50 Hz ?

Question 2 : Le phénomène de diffraction est-il notable dans ces conditions ?

Principe

La diffraction est d'autant plus marquée que la longueur d'onde (λ) est grande par rapport à la dimension de l'ouverture (a). On considère généralement le phénomène comme notable si λ est du même ordre de grandeur ou supérieur à a.

Mini-Cours

En physique, comparer des grandeurs en utilisant leur ordre de grandeur est une compétence clé. Cela signifie qu'on ne s'attache pas à la valeur exacte, mais à la puissance de 10 la plus proche. Si deux nombres ont le même ordre de grandeur, leur rapport est proche de 1 (typiquement entre 0.1 et 10). C'est dans ce régime que les phénomènes ondulatoires comme la diffraction et les interférences sont les plus visibles.

Remarque Pédagogique

Une bonne habitude est de toujours calculer le rapport adimensionnel λ/a. Ce rapport est un indicateur direct de l'importance de la diffraction. S'il est très petit, on peut négliger la diffraction. S'il est de l'ordre de 1 ou plus, on doit absolument en tenir compte.

Normes

Il n'y a pas de norme formelle, mais une convention largement acceptée en physique ondulatoire pour définir quand un phénomène est "notable" ou "négligeable".

Formule(s)

Il ne s'agit pas d'une formule de calcul, mais d'une condition de comparaison :

\text{Diffraction notable si } \lambda \approx a

Hypothèses

Nous supposons que l'ouverture est une simple fente dans un mur infiniment mince et grand, ce qui est une idéalisation courante pour ce type de problème.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur d'onde	λ	0.343	m
Largeur de l'ouverture	a	0.5	m

Astuces

Sans même faire de calcul, vous pouvez comparer les chiffres : 0.343 m et 0.5 m. Ils sont clairement du même ordre de grandeur (quelques dizaines de centimètres). La conclusion est donc immédiate.

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison de λ et a

Calcul(s)

Calcul du rapport λ/a

\begin{aligned} \frac{\lambda}{a} &= \frac{0.343 \, \text{m}}{0.5 \, \text{m}} \\ &= 0.686 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Illustration : Diffraction Notable vs Négligeable

Réflexions

Le rapport λ/a est de 0.686, une valeur ni très grande, ni très petite par rapport à 1. Cela confirme que nous sommes dans le régime où la diffraction est maximale. L'onde ne se propagera pas en ligne droite mais s'étalera de manière significative.

Points de vigilance

Attention à ne pas conclure trop vite. Une longueur d'onde de 34 cm peut paraître petite, mais tout est relatif. La comparaison avec la taille de l'obstacle est l'unique critère pertinent.

Points à retenir

Le critère clé de la diffraction est le rapport λ/a. Retenez que si ce rapport s'approche de 1, la diffraction est forte. S'il tend vers 0, on se rapproche de la propagation en ligne droite (optique géométrique).

Le saviez-vous ?

La diffraction de la lumière est plus difficile à observer car sa longueur d'onde est minuscule (environ 400 à 700 nanomètres). Pour la voir, il faut des ouvertures extrêmement fines, comme un cheveu ou les sillons d'un CD, qui agissent comme un réseau de diffraction et décomposent la lumière blanche en arc-en-ciel.

FAQ

Résultat Final

Oui, le phénomène de diffraction est notable car la longueur d'onde (0.343 m) est du même ordre de grandeur que la largeur de l'ouverture (0.5 m).

A vous de jouer

Le même son de 1000 Hz passe par une grande porte de garage de 2.5 m de large. La diffraction est-elle toujours aussi notable ? (Répondez par Oui/Non)

Question 3 : Calculer l'angle θ₁ (en degrés) correspondant au premier minimum de diffraction.

Principe

Le premier minimum de diffraction correspond à la première direction angulaire où les interférences des ondelettes issues de l'ouverture sont complètement destructives. Cela se produit lorsque la différence de marche entre l'onde venant du bord de la fente et celle venant du centre est d'une demi-longueur d'onde.

Mini-Cours

La formule \( a \sin(\theta) = m \lambda \) vient de l'analyse des interférences. Pour le premier minimum (m=1), on peut imaginer diviser la fente en deux moitiés. L'angle \( \theta_1 \) est tel que pour chaque source dans la moitié supérieure, il existe une source dans la moitié inférieure (à distance a/2) dont l'onde parcourt une distance supplémentaire de λ/2. Ces deux ondes arrivent en opposition de phase et s'annulent. En sommant sur toute la fente, l'annulation est totale dans cette direction.

Remarque Pédagogique

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" et non "radians" ou "grades" avant d'utiliser la fonction arc sinus (sin⁻¹ ou asin). C'est une source d'erreur très fréquente en examen.

Normes

Ce calcul est issu de la théorie de la diffraction de Fraunhofer, qui est une approximation du principe de Huygens-Fresnel pour un observateur situé loin de l'ouverture.

Formule(s)

\sin(\theta_1) = 1 \cdot \frac{\lambda}{a}

Hypothèses

On se place dans les conditions de l'approximation de Fraunhofer (champ lointain), ce qui est valable si l'on observe la diffraction à une distance grande par rapport à la taille de l'ouverture.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur d'onde	λ	0.343	m
Largeur de l'ouverture	a	0.5	m

Astuces

Avant de calculer l'arc sinus, vérifiez toujours que la valeur du rapport λ/a est bien comprise entre -1 et 1. Si ce n'est pas le cas, cela signifie qu'il n'y a pas de solution, et donc pas de minimum de diffraction.

Schéma (Avant les calculs)

Direction du premier minimum

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du sinus de l'angle

\begin{aligned} \sin(\theta_1) &= \frac{0.343 \, \text{m}}{0.5 \, \text{m}} \\ &= 0.686 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de l'angle

\begin{aligned} \theta_1 &= \arcsin(0.686) \\ &\approx 43.31^\circ \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de directivité (intensité sonore)

Réflexions

Un angle de plus de 43° est très significatif. Cela montre que le son "s'étale" considérablement après avoir passé l'ouverture. La première zone de silence apparaît à un angle important par rapport à l'axe central, ce qui confirme que la diffraction est forte.

Points de vigilance

Ne confondez pas m=0 avec un minimum. Pour m=0, sin(θ)=0, ce qui correspond à l'axe central (θ=0°). C'est toujours une direction de maximum d'intensité (le lobe principal).

Points à retenir

La formule \( \sin(\theta_m) = m \lambda / a \) est l'outil principal pour localiser les zones de silence. Le premier minimum (m=1) définit la largeur du lobe de diffraction principal, qui contient la majorité de l'énergie sonore.

Le saviez-vous ?

Les acousticiens utilisent ce principe pour concevoir des enceintes "à directivité contrôlée". En utilisant plusieurs haut-parleurs (un réseau), ils peuvent créer des interférences qui annulent le son dans certaines directions (pour ne pas déranger les voisins) et le renforcent dans d'autres (vers les auditeurs).

FAQ

Résultat Final

L'angle du premier minimum de diffraction est d'environ 43.3°.

A vous de jouer

Un son plus aigu de 2000 Hz passe par la même fente. Quel est le nouvel angle du premier minimum ?

Question 4 : Si la fréquence est abaissée à 100 Hz, que devient cet angle ?

Principe

Une fréquence plus basse implique une longueur d'onde plus grande. Nous devons d'abord recalculer la nouvelle longueur d'onde, puis tenter d'appliquer la formule du minimum de diffraction pour analyser le résultat.

Mini-Cours

La fonction mathématique sinus est définie comme le rapport du côté opposé sur l'hypoténuse dans un triangle rectangle. Par définition, sa valeur est toujours comprise entre -1 et 1. Si un calcul physique mène à une équation de type \( \sin(x) = Y \) avec Y > 1, cela ne signifie pas que les maths sont fausses, mais que la situation physique décrite par l'équation est impossible. Il n'existe aucun angle (réel) dont le sinus est supérieur à 1.

Remarque Pédagogique

Cette question est un cas limite conçu pour tester votre compréhension au-delà de la simple application d'une formule. Lorsque vous obtenez un résultat mathématiquement impossible, ne paniquez pas. Cherchez l'interprétation physique : qu'est-ce que cela signifie pour l'onde ?

Normes

Non applicable.

Formule(s)

\lambda' = \frac{c}{f'} \quad \text{et} \quad \sin(\theta'_1) = \frac{\lambda'}{a}

Hypothèses

Les hypothèses restent les mêmes que précédemment.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nouvelle Fréquence	f'	100	Hz

Astuces

Dès que vous calculez une nouvelle longueur d'onde, comparez-la immédiatement à la largeur de la fente 'a'. Si vous constatez que λ' > a, vous pouvez conclure directement qu'il n'y aura aucun minimum de diffraction, car le rapport λ'/a sera supérieur à 1.

Schéma (Avant les calculs)

Onde de grande longueur d'onde face à une petite ouverture

Calcul(s)

Étape 1 : Nouvelle longueur d'onde (λ')

\begin{aligned} \lambda' &= \frac{c}{f'} \\ &= \frac{343 \, \text{m/s}}{100 \, \text{Hz}} \\ &= 3.43 \, \text{m} \end{aligned}

Étape 2 : Tentative de calcul du sinus de l'angle

\begin{aligned} \sin(\theta'_1) &= \frac{\lambda'}{a} \\ &= \frac{3.43 \, \text{m}}{0.5 \, \text{m}} \\ &= 6.86 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Propagation omnidirectionnelle

Réflexions

Le sinus d'un angle ne peut pas être supérieur à 1. Un résultat de 6.86 est physiquement impossible. Cela signifie qu'il n'y a aucun angle pour lequel l'intensité s'annule. L'onde sonore est tellement diffractée (car sa longueur d'onde est bien plus grande que l'ouverture) qu'elle se propage dans toutes les directions après l'ouverture, sans jamais s'annuler.

Points de vigilance

Ne vous arrêtez pas à "erreur mathématique" sur votre calculatrice. L'absence de solution mathématique a une signification physique profonde : l'absence de minima de diffraction et une propagation quasi-omnidirectionnelle.

Points à retenir

La condition d'existence d'au moins un minimum de diffraction est λ ≤ a. Si la longueur d'onde est strictement supérieure à la largeur de la fente, le son se disperse partout et aucune zone de silence n'est formée.

Le saviez-vous ?

C'est exactement pour cette raison que vous pouvez entendre les basses fréquences (sons graves) d'une fête depuis très loin et de n'importe où, alors que les sons aigus (voix, cymbales) sont beaucoup plus directifs et facilement bloqués par les obstacles. Les sons graves ont une grande longueur d'onde et "contournent" les bâtiments bien plus facilement.

FAQ

Résultat Final

Pour une fréquence de 100 Hz, le rapport λ/a est supérieur à 1. Il est donc mathématiquement et physiquement impossible de trouver un angle θ₁ correspondant à un minimum. Il n'y a aucune zone de silence.

A vous de jouer

Quelle est la fréquence maximale pour laquelle il n'y aura AUCUN minimum de diffraction avec cette fente de 0.5 m ?

Outil Interactif : Simulateur de Diffraction

Utilisez ce simulateur pour explorer comment l'angle du premier minimum de diffraction (la première zone de silence) varie en fonction de la fréquence du son et de la largeur de l'ouverture.

Paramètres d'Entrée

Fréquence du son (f) 1000 Hz

Largeur de l'ouverture (a) 0.5 m

Résultats Clés

Longueur d'onde (λ) -

Angle du 1er minimum (θ₁) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la fréquence d'un son augmente, comment l'angle de diffraction du premier minimum évolue-t-il ?

Il augmente.
Il diminue.
Il ne change pas.

2. La diffraction est la plus prononcée lorsque...

La longueur d'onde est très petite devant l'ouverture.
La fréquence est très élevée.
La longueur d'onde est du même ordre de grandeur que l'ouverture.

3. Que se passe-t-il si le rapport λ/a est supérieur à 1 ?

Il n'y a pas de minimum de diffraction.
Il y a une infinité de minima.
L'onde n'est pas diffractée.

Glossaire

Diffraction: Phénomène de déviation de la propagation rectiligne des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle ou une ouverture dont la taille est comparable à leur longueur d'onde.
Longueur d'onde (λ): Distance périodique d'une onde. Pour une onde sonore, c'est la distance entre deux zones consécutives de compression maximale de l'air.
Principe de Huygens-Fresnel: Un principe fondamental stipulant que chaque point atteint par un front d'onde peut être considéré comme une source ponctuelle émettant des ondelettes sphériques secondaires. La nouvelle position du front d'onde est l'enveloppe de ces ondelettes.