ÉTUDE ACOUSTIQUE

Étude de la Fonction de la Membrane Basilaire

Étude de la Fonction de la Membrane Basilaire dans la Cochlée

Étude de la Fonction de la Membrane Basilaire dans la Cochlée

Comprendre la Tonotopie Cochléaire

La cochlée, l'organe de l'audition situé dans l'oreille interne, est responsable de la transformation des vibrations sonores en signaux nerveux. À l'intérieur se trouve la membrane basilaire, une structure flexible dont les propriétés mécaniques varient sur sa longueur. Elle est étroite et rigide près de la base (proche de l'oreille moyenne) et devient large et souple vers l'apex (son extrémité). Cette graduation permet une analyse fréquentielle du son : les hautes fréquences font vibrer la base de la membrane, tandis que les basses fréquences se propagent plus loin et font vibrer l'apex. Cette organisation spatiale des fréquences est appelée tonotopie, et c'est le fondement de notre capacité à distinguer les différentes hauteurs de son.

Données de l'étude

On étudie la relation entre la fréquence d'un son pur et la position de vibration maximale le long de la membrane basilaire humaine, qui mesure environ 35 mm de long.

Formule de Greenwood (approximation) :

La position \(x\) (en mm, depuis l'apex) du pic de vibration pour une fréquence \(f\) (en Hz) peut être modélisée par la formule suivante :

\[ x(f) = \frac{35}{ \log_{10}(165.4 + f) - \log_{10}(165.4) } \times \log_{10}\left( \frac{165.4 + f_{\text{max}}}{165.4 + f} \right) \]

Pour simplifier, nous utiliserons une formule approximative, valable pour des fréquences supérieures à 500 Hz :

\[ x(f) \approx A \cdot \log_{10}(B/f) \]

où \(A\) et \(B\) sont des constantes. Par des mesures expérimentales, on a déterminé que pour deux fréquences, les pics sont aux positions suivantes :

  • Pour \(f_1 = 1000\) Hz, \(x_1 = 21\) mm
  • Pour \(f_2 = 4000\) Hz, \(x_2 = 10.5\) mm
Schéma : Cochlée Déroulée et Tonotopie
Base (rigide) Apex (souple) Hautes Fréquences Basses Fréquences

Les hautes fréquences provoquent une vibration maximale près de la base de la cochlée, tandis que les basses fréquences se propagent jusqu'à l'apex.

Questions à traiter

  1. Mettre en place un système de deux équations à deux inconnues (A et B) en utilisant les données expérimentales.
  2. Résoudre ce système pour trouver les valeurs des constantes A et B.
  3. Utiliser le modèle calibré pour prédire la position du pic de vibration pour un son de 8000 Hz.
  4. À quelle fréquence s'attend-on à trouver le pic de vibration tout au bout de l'apex (\(x \approx 35\) mm) ?

Correction : Étude de la Fonction de la Membrane Basilaire dans la Cochlée

Question 1 : Mise en Place du Système d'Équations

Principe :

On utilise la formule approximative \(x(f) = A \cdot \log_{10}(B/f)\) et on remplace les variables par les deux paires de données expérimentales pour obtenir deux équations distinctes.

Équations :
\[ (1): \quad 21 = A \cdot \log_{10}\left(\frac{B}{1000}\right) \]
\[ (2): \quad 10.5 = A \cdot \log_{10}\left(\frac{B}{4000}\right) \]

Question 2 : Résolution du Système

Principe :

On peut résoudre ce système par substitution. Une méthode efficace est de diviser l'équation (1) par l'équation (2) pour éliminer la constante A. On utilise ensuite les propriétés des logarithmes (\(\log(a/b) = \log(a) - \log(b)\)) pour trouver B, puis A.

Calcul :

1. Diviser (1) par (2) :

\[ \begin{aligned} \frac{21}{10.5} &= \frac{A \cdot \log_{10}(B/1000)}{A \cdot \log_{10}(B/4000)} \\ 2 &= \frac{\log_{10}(B) - \log_{10}(1000)}{\log_{10}(B) - \log_{10}(4000)} \\ 2(\log_{10}(B) - \log_{10}(4000)) &= \log_{10}(B) - \log_{10}(1000) \\ 2\log_{10}(B) - 2\log_{10}(4000) &= \log_{10}(B) - \log_{10}(1000) \\ \log_{10}(B) &= 2\log_{10}(4000) - \log_{10}(1000) \\ \log_{10}(B) &= \log_{10}(4000^2) - \log_{10}(1000) \\ \log_{10}(B) &= \log_{10}\left(\frac{16,000,000}{1000}\right) = \log_{10}(16000) \\ B &= 16000 \end{aligned} \]

2. Remplacer B dans l'équation (1) pour trouver A :

\[ \begin{aligned} 21 &= A \cdot \log_{10}\left(\frac{16000}{1000}\right) \\ 21 &= A \cdot \log_{10}(16) \\ A &= \frac{21}{\log_{10}(16)} \\ A &\approx \frac{21}{1.204} \approx 17.44 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le modèle est approximativement \(x(f) \approx 17.44 \cdot \log_{10}(16000/f)\).

Question 3 : Prédiction pour 8000 Hz

Principe :

On utilise maintenant le modèle que nous avons calibré avec nos constantes A et B pour prédire la position du pic pour une nouvelle fréquence.

Calcul :
\[ \begin{aligned} x(8000) &\approx 17.44 \cdot \log_{10}\left(\frac{16000}{8000}\right) \\ &= 17.44 \cdot \log_{10}(2) \\ &\approx 17.44 \times 0.301 \\ &\approx 5.25 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le pic de vibration pour un son de 8000 Hz se situerait à environ \(5.25 \, \text{mm}\) de l'apex.

Question 4 : Fréquence à l'Apex

Principe :

L'apex correspond à \(x=35\) mm. On résout l'équation pour trouver la fréquence \(f\) qui donnerait cette position. (Note : notre modèle est une simplification et pourrait ne pas être exact à de si basses fréquences).

Calcul :
\[ \begin{aligned} 35 &= 17.44 \cdot \log_{10}\left(\frac{16000}{f}\right) \\ \frac{35}{17.44} &= \log_{10}\left(\frac{16000}{f}\right) \\ 2.006 &\approx \log_{10}(16000) - \log_{10}(f) \\ \log_{10}(f) &\approx \log_{10}(16000) - 2.006 \\ \log_{10}(f) &\approx 4.204 - 2.006 = 2.198 \\ f &\approx 10^{2.198} \approx 157.8 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Selon ce modèle, une fréquence d'environ \(158 \, \text{Hz}\) produirait un pic de vibration à l'apex de la cochlée.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Une perte auditive affectant principalement la base de la cochlée entraînerait des difficultés à entendre...

2. La tonotopie est un principe d'organisation qui...

Glossaire

Cochlée
Organe de l'oreille interne en forme de spirale, responsable de la transduction du signal mécanique sonore en signal nerveux. C'est l'analyseur de fréquence du système auditif.
Membrane Basilaire
Structure élastique à l'intérieur de la cochlée qui vibre en réponse aux ondes sonores. Ses propriétés mécaniques varient sur sa longueur, ce qui lui permet de décomposer les sons complexes en leurs différentes fréquences.
Tonotopie
Organisation spatiale des fréquences le long d'une structure auditive. Dans la cochlée, les hautes fréquences sont codées à la base et les basses fréquences à l'apex. Cette organisation est conservée tout au long des voies auditives jusqu'au cerveau.
Transduction
Processus de conversion d'une forme d'énergie en une autre. En audition, les cellules ciliées de la cochlée assurent la transduction mécano-électrique, convertissant les vibrations de la membrane basilaire en potentiels d'action neuronaux.
Fonction de la Membrane Basilaire - Exercice d'Application en Bioacoustique

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