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Étude des modes de vibration d’une corde de violon

Exercice : Modes de Vibration d'une Corde de Violon

Étude des modes de vibration d’une corde de violon

Contexte : L'étude des ondes stationnairesOndes résultant de l'interférence entre une onde et son reflet, présentant des points fixes (nœuds) et des points de vibration maximale (ventres)..

La corde de violon, fixée à ses deux extrémités, est un exemple classique de système physique produisant des ondes stationnaires. Lorsqu'elle est frottée par l'archet ou pincée, elle vibre selon des fréquences spécifiques appelées modes propresLes fréquences naturelles de vibration d'un système. Pour une corde, cela inclut la fondamentale et tous ses harmoniques. de vibration. La fréquence la plus basse est la fréquence fondamentaleLa plus basse fréquence de vibration d'un objet (n=1), qui détermine la hauteur de la note perçue. (qui définit la hauteur de la note), et les fréquences multiples sont les harmoniquesFréquences qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale (f2 = 2*f1, f3 = 3*f1, etc.). (qui définissent le timbre du son).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les lois de l'acoustique (Lois de Mersenne) pour déterminer les caractéristiques sonores d'un instrument, liant ainsi la physique des ondes à l'art de la musique.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la formation des ondes stationnaires sur une corde fixe.
Savoir calculer la célérité d'une onde sur une corde tendue.
Appliquer la loi de Mersenne pour trouver la fréquence fondamentale.
Calculer les fréquences des premiers harmoniques et comprendre leur relation.

Données de l'étude

Nous étudions la corde de Sol (G3) d'un violon standard. La corde est tendue entre le sillet et le chevalet. Nous allons analyser ses propriétés vibratoires en supposant qu'elle est parfaitement flexible et homogène.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Instrument	Violon (Corde de Sol G3)
Type de phénomène	Onde stationnaire transversale
Extrémités	Fixes (Nœuds de vibration)

Modélisation de la Corde Vibrante

Nom du Paramètre	Description ou Formule	Valeur	Unité
Longueur vibrante (L)	Distance entre les deux points fixes	32.5	cm
Tension (T)	Force appliquée à la corde	60	N (Newton)
Masse linéique (μ)	Masse par unité de longueur (m/L)	1.5	g/m

Questions à traiter

Calculer la célérité (vitesse) de l'onde sur la corde.
Calculer la fréquence fondamentale (f1) de la corde (Mode 1).
Calculer la fréquence du deuxième harmonique (f2) (Mode 2).
Calculer la fréquence du troisième harmonique (f3) (Mode 3).
Sans calculatrice, que se passerait-il si la tension (T) était quadruplée (T' = 4T) ?

Les bases sur l'Acoustique des Cordes

La vibration d'une corde fixée à ses deux extrémités ne peut se faire que selon certaines fréquences. Ces modes de vibration créent des ondes stationnaires, caractérisées par des nœuds (points immobiles) et des ventres (amplitude maximale).

1. Célérité de l'onde (Formule de Taylor)
La vitesse (célérité) d'une onde transversale sur une corde ne dépend que des propriétés physiques de la corde : sa tension (T) et sa masse par unité de longueur (masse linéique μ). \[ v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \] Où \(T\) est en Newtons (N) et \(\mu\) en kilogrammes par mètre (kg/m).

2. Modes propres et Loi de Mersenne
Une onde stationnaire ne peut exister que si la longueur de la corde (L) est un multiple entier de la demi-longueur d'onde (\(\lambda/2\)).
Mode \(n=1\) (Fondamental): \(L = \frac{1 \cdot \lambda_1}{2}\)
Mode \(n=2\) (Harmonique 2): \(L = \frac{2 \cdot \lambda_2}{2}\)
...
Mode \(n\): \(L = \frac{n \cdot \lambda_n}{2}\)
En utilisant la relation \(v = \lambda \cdot f\), on obtient la loi de Mersenne pour les fréquences des modes propres : \[ f_n = n \cdot \frac{v}{2L} = n \cdot f_1 \] Où \(f_1 = \frac{v}{2L}\) est la fréquence fondamentale.

Correction : Étude des modes de vibration d’une corde de violon

Question 1 : Calculer la célérité (vitesse) de l'onde sur la corde.

Principe

La vitesse de propagation d'une onde sur une corde (célérité) n'est pas la vitesse du son dans l'air. C'est une vitesse qui dépend uniquement des caractéristiques mécaniques de la corde elle-même : à quel point elle est tendue (T) et à quel point elle est lourde (masse linéique μ).

Mini-Cours

La formule de Taylor nous dit que plus la corde est tendue (T élevé), plus l'onde va vite. Inversement, plus la corde est lourde (μ élevé), plus elle est "difficile" à mettre en mouvement, et plus l'onde va lentement. La relation est \(v = \sqrt{T/\mu}\).

Remarque Pédagogique

La première étape de tout problème d'acoustique de corde est presque toujours de calculer la célérité. C'est la valeur "v" qui relie les propriétés physiques (T, μ) aux propriétés musicales (fréquences).

Normes

En physique, l'utilisation du Système International (SI) est la norme. Cela garantit que les formules fonctionnent.
Force (T) \(\rightarrow\) Newtons (N)
Masse \(\rightarrow\) Kilogrammes (kg)
Longueur \(\rightarrow\) Mètres (m)
Masse linéique (μ) \(\rightarrow\) Kilogrammes par mètre (kg/m)

Formule(s)

Nous utilisons la formule de Taylor pour la célérité.

v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}

Hypothèses

Nous supposons que la corde est parfaitement flexible (pas de raideur propre) et que l'amplitude de la vibration est faible (ce qui est le cas en pratique).

Corde parfaitement homogène.
Tension constante sur toute la longueur.

Donnée(s)

Nous extrayons les données de l'énoncé et les convertissons aux unités SI.

Paramètre	Symbole	Valeur (Énoncé)	Valeur (SI)
Tension	T	60 N	60 N
Masse linéiqueMasse de la corde par unité de longueur. C'est une mesure de "l'inertie" de la corde.	μ	1.5 g/m	0.0015 kg/m

Astuces

Le piège classique ici est l'unité de la masse linéique. Pensez : "grammes" \(\rightarrow\) "kilo-grammes". Il faut diviser par 1000. \(1.5 \text{ g/m} = 1.5 \times 10^{-3} \text{ kg/m}\).

Schéma (Avant les calculs)

Un schéma conceptuel montrant les deux forces qui gouvernent la vitesse : la Tension (force de rappel) et la Masse linéique (inertie).

Bilan des forces sur un segment de corde

Calcul(s)

Nous allons appliquer la formule de Taylor, \(v = \sqrt{T/\mu}\), en utilisant les valeurs en unités SI.

Étape 1 : Conversion de la masse linéique (rappel)

La tension \(T\) est déjà en Newtons (N), mais la masse linéique \(\mu\) est en grammes par mètre (g/m). Nous devons la convertir en kilogrammes par mètre (kg/m) pour être cohérent avec le Newton (qui est en \(kg \cdot m/s^2\)).

\begin{aligned} \mu &= 1.5 \text{ g/m} \\ &= 1.5 \times 10^{-3} \text{ kg/m} \\ &= 0.0015 \text{ kg/m} \end{aligned}

Nous avons donc \(\mu = 0.0015 \text{ kg/m}\).

Étape 2 : Application de la formule de célérité

Maintenant que nous avons \(T = 60 \text{ N}\) et \(\mu = 0.0015 \text{ kg/m}\), nous pouvons les substituer dans la formule de Taylor et calculer la célérité \(v\).

\begin{aligned} v &= \sqrt{\frac{T}{\mu}} \\ &= \sqrt{\frac{60 \text{ N}}{0.0015 \text{ kg/m}}} \\ &= \sqrt{40000} \\ &= 200 \text{ m/s} \end{aligned}

Note : Le calcul intermédiaire \(\frac{60}{0.0015}\) donne 40000. La racine carrée de 40000 est 200.

La célérité de l'onde sur la corde est donc de 200 m/s.

Schéma (Après les calculs)

Non applicable pour ce calcul. Le résultat est une valeur, pas un diagramme.

Réflexions

Une vitesse de 200 m/s. Est-ce rapide ? C'est beaucoup plus lent que la vitesse du son dans l'air (environ 340 m/s), mais c'est un ordre de grandeur typique pour les cordes d'instruments. L'onde fait des allers-retours très rapides sur la corde.

Points de vigilance

L'erreur n°1 est l'unité de \(\mu\). Si vous ne convertissez pas les grammes en kilogrammes, votre résultat sera faux d'un facteur \(\sqrt{1000}\) (environ 31.6) !

Points à retenir

La célérité \(v\) sur la corde est une propriété MÉCANIQUE. Elle dépend de \(T\) et \(\mu\). Elle est indépendante de la fréquence ou de la longueur.

Célérité \(v = \sqrt{T/\mu}\).
Unités SI : N et kg/m.

Le saviez-vous ?

C'est en tendant plus ou moins la corde (en tournant la cheville) que le musicien ajuste la Tension (T). En augmentant T, \(v\) augmente, et donc (comme on le verra) la fréquence \(f\) augmente : la note devient plus aiguë.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La célérité de l'onde sur la corde est \(v = 200 \text{ m/s}\).

A vous de jouer

La corde s'use et sa masse linéique augmente à \( \mu = 2.0 \text{ g/m}\). Quelle est la nouvelle célérité (avec T = 60 N) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 : Célérité

Concept Clé : Vitesse de l'onde sur la corde.
Formule : \(v = \sqrt{T/\mu}\).
Vigilance : Unités SI (kg/m).

Question 2 : Calculer la fréquence fondamentale (f1) de la corde (Mode 1).

Principe

La fréquence fondamentale est la note la plus basse que la corde peut produire. Elle correspond au mode de vibration le plus simple (n=1), où la corde vibre en un seul "fuseau" (un seul ventre au milieu, et deux nœuds aux extrémités).

Mini-Cours

Pour le mode fondamental (n=1), la longueur de la corde (L) correspond exactement à une demi-longueur d'onde (\(\lambda_1/2\)). On a donc \(L = \lambda_1 / 2\), ce qui donne \(\lambda_1 = 2L\).
En utilisant la relation générale \(v = \lambda \cdot f\), on peut isoler la fréquence : \(f_1 = v / \lambda_1\).
En combinant les deux, on obtient la formule de la fondamentale : \(f_1 = v / (2L)\).

Remarque Pédagogique

Cette fréquence \(f_1\) est la "note" que l'on entend. Tous les autres sons produits par la corde (les harmoniques) sont des multiples de celle-ci et servent à créer le "timbre" (la "couleur" du son).

Normes

Pour les fréquences, l'unité du Système International est le Hertz (Hz), qui équivaut à un cycle par seconde (s⁻¹). Pour que la formule \(f = v / (2L)\) donne des Hertz, il faut que \(v\) soit en m/s et \(L\) en mètres (m).

Formule(s)

Formule de la fréquence fondamentale (Mode n=1 de la loi de Mersenne).

f_1 = \frac{v}{2L}

Hypothèses

On suppose que les extrémités (sillet et chevalet) sont des nœuds de vibration parfaits, ce qui est une très bonne approximation.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q1 et une donnée de l'énoncé, en veillant aux unités SI.

Paramètre	Symbole	Valeur (Énoncé)	Valeur (SI)
Célérité (de Q1)	v	200 m/s	200 m/s
Longueur vibrante	L	32.5 cm	0.325 m

Astuces

Le piège est l'unité de Longueur. Pensez : "centi-mètres" \(\rightarrow\) "mètres". Il faut diviser par 100. \(32.5 \text{ cm} = 0.325 \text{ m}\).

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre le mode fondamental (n=1). La corde vibre en un seul fuseau. La longueur d'onde \(\lambda_1\) est deux fois plus grande que la corde.

Mode Fondamental (n=1)

Calcul(s)

Nous appliquons la formule de la fondamentale, \(f_1 = v / (2L)\), avec les valeurs en SI.

Étape 1 : Conversion de la longueur (rappel)

La célérité \(v\) est en m/s. Nous devons donc convertir la longueur \(L\) de centimètres (cm) en mètres (m).

L = 32.5 \text{ cm} = 0.325 \text{ m}

La longueur vibrante est de 0.325 m.

Étape 2 : Calcul de la fréquence f1

Avec \(v = 200 \text{ m/s}\) et \(L = 0.325 \text{ m}\), nous substituons ces valeurs dans la formule de la fréquence fondamentale.

\begin{aligned} f_1 &= \frac{v}{2L} \\ &= \frac{200}{2 \times 0.325} \\ &= \frac{200}{0.65} \\ &\approx 307.69 \text{ Hz} \end{aligned}

Le calcul \(\frac{200}{0.65}\) donne environ 307.69. L'unité est le Hertz (Hz), car c'est des \((m/s) / m = 1/s = s^{-1}\).

Schéma (Après les calculs)

Non applicable pour ce calcul.

Réflexions

La fréquence de la corde Sol (G3) est théoriquement de 196 Hz. Notre calcul donne 307.69 Hz. Cela signifie que les données de l'énoncé (T, L, μ) ne correspondent pas à une corde de Sol, mais plutôt à une note proche du Ré#4. C'est un exercice de physique, les données sont là pour le calcul !

Points de vigilance

1. Ne pas oublier le "2" dans la formule \(f_1 = v / (2L)\). Une erreur fréquente est d'écrire \(f = v/L\).
2. L'unité de Longueur (cm \(\rightarrow\) m).

Points à retenir

La fréquence fondamentale (la note) dépend de \(v\) et \(L\). C'est la brique de base de tous les autres modes.

Fondamentale \(f_1 = v / (2L)\).
\(v\) est la célérité (Q1).
\(L\) est la longueur en MÈTRES.

Le saviez-vous ?

Comment le violoniste joue-t-il différentes notes ? En posant un doigt sur la touche, il raccourcit la longueur vibrante (L). Si L diminue, \(f_1 = v / (2L)\) augmente : la note est plus aiguë. Il ne change ni T ni μ, seulement L !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La fréquence fondamentale de la corde est \(f_1 \approx 307.69 \text{ Hz}\).

A vous de jouer

Le violoniste joue une autre note en raccourcissant la corde à L = 0.30 m (v reste 200 m/s). Quelle est la nouvelle fréquence fondamentale ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 : Fondamentale

Concept Clé : Note la plus basse (n=1).
Formule : \(f_1 = v / (2L)\).
Vigilance : Unités SI (m/s et m).

Question 3 : Calculer la fréquence du deuxième harmonique (f2) (Mode 2).

Principe

Le deuxième harmonique (aussi appelé "première octave" ou "Mode 2") est la deuxième fréquence naturelle de la corde. Elle vibre en deux "fuseaux", avec un nœud supplémentaire exactement au milieu de la corde.

Mini-Cours

Pour le mode 2 (n=2), la relation des modes propres \(f_n = n \cdot f_1\) devient très simple.
La fréquence du deuxième harmonique est simplement le double de la fréquence fondamentale. \[ f_2 = 2 \cdot f_1 \] On peut aussi le retrouver par la longueur d'onde : \(L = \lambda_2\). Donc \(f_2 = v / \lambda_2 = v / L\).
Si on compare à \(f_1 = v / (2L)\), on voit bien que \(f_2 = 2 \cdot f_1\).

Remarque Pédagogique

En musique, doubler la fréquence correspond à monter d'une octave. Le deuxième harmonique sonne comme la "même note", mais en plus aigu. C'est la relation la plus importante en harmonie musicale.

Normes

Aucune nouvelle norme. L'unité reste le Hertz (Hz).

Formule(s)

Relation des harmoniques.

f_n = n \cdot f_1 \] \[ \text{Pour n=2 : } f_2 = 2 \cdot f_1

Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que précédemment (corde parfaite, extrémités fixes).

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Question 2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence fondamentale	f1	307.69	Hz
Mode	n	2	-

Astuces

Il n'y a pas de piège ici. La relation entre les harmoniques d'une corde idéale est une simple multiplication. C'est ce qui rend le son des instruments à cordes (et à vent) "harmonieux" à l'oreille.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre le mode 2 (n=2). La corde vibre en deux fuseaux. La longueur d'onde \(\lambda_2\) est exactement égale à la longueur de la corde.

Mode 2 (Harmonique 2)

Calcul(s)

La fréquence du deuxième harmonique (\(f_2\)) est simplement le double de la fréquence fondamentale (\(f_1\)) que nous venons de calculer.

On pose la formule et on calcule en utilisant \(f_1 \approx 307.69 \text{ Hz}\) :

\begin{aligned} f_2 &= 2 \cdot f_1 \\ &= 2 \times 307.69 \text{ Hz} \\ &= 615.38 \text{ Hz} \end{aligned}

La fréquence du deuxième harmonique est de 615.38 Hz.

Schéma (Après les calculs)

Non applicable pour ce calcul.

Réflexions

La fréquence est de 615.38 Hz, soit exactement le double de 307.69 Hz. Si le musicien effleure la corde en son milieu (créant un nœud) tout en jouant, ce son (l'harmonique 2) est la seule note qui peut exister. C'est la technique des "harmoniques" au violon.

Points de vigilance

Aucun point de vigilance majeur, si ce n'est de bien utiliser la valeur \(f_1\) calculée précédemment et non une autre valeur (comme la célérité \(v\)).

Points à retenir

Les fréquences des harmoniques sont des multiples ENTIERS de la fondamentale.

\(f_2 = 2 \times f_1\)
\(f_3 = 3 \times f_1\)
\(f_n = n \times f_1\)

Le saviez-vous ?

Le timbreLa "couleur" ou "qualité" d'un son, qui distingue un violon d'un piano jouant la même note. Le timbre est déterminé par la présence et l'intensité des différents harmoniques. d'un son (ce qui fait qu'un violon ne sonne pas comme une flûte) est déterminé par le "mélange" de ces harmoniques. L'archet excite la corde d'une manière qui produit une "recette" spécifique de f1, f2, f3, etc., ce qui donne le son riche du violon.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La fréquence du deuxième harmonique est \(f_2 = 615.38 \text{ Hz}\).

A vous de jouer

Un diapason donne le La 440 (A4). C'est la fréquence fondamentale \(f_1\) de la corde de La. Quelle est la fréquence de son deuxième harmonique \(f_2\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 : Harmonique 2

Concept Clé : Mode n=2, première octave.
Formule : \(f_2 = 2 \cdot f_1\).

Question 4 : Calculer la fréquence du troisième harmonique (f3) (Mode 3).

Principe

Le troisième harmonique (Mode 3) est la troisième fréquence naturelle de la corde. Elle vibre en trois "fuseaux", avec deux nœuds supplémentaires sur la corde (à L/3 et 2L/3).

Mini-Cours

Comme pour le deuxième harmonique, la relation est une simple multiplication.
Pour le mode 3 (n=3), la relation des modes propres \(f_n = n \cdot f_1\) donne : \[ f_3 = 3 \cdot f_1 \] Cet harmonique est musicalement très important car il forme une "quinte" (plus une octave) avec la fondamentale, ce qui enrichit considérablement le son.

Remarque Pédagogique

La série \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\), \(f_4\)... est appelée la "série harmonique". C'est la base de toute la théorie musicale occidentale. Comprendre cette série, c'est comprendre pourquoi certaines notes "sonnent bien" ensemble.

Normes

Aucune nouvelle norme. L'unité reste le Hertz (Hz).

Formule(s)

Relation des harmoniques pour n=3.

f_3 = 3 \cdot f_1

Hypothèses

Mêmes hypothèses que précédemment.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Question 2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence fondamentale	f1	307.69	Hz
Mode	n	3	-

Astuces

Pour plus de précision, vous pouvez repartir de la formule de base : \(f_3 = 3 \cdot (v / 2L) = 3 \cdot (200 / (2 \cdot 0.325)) = 3 \cdot (200 / 0.65)\). Cela évite les erreurs d'arrondi si vous avez mal calculé \(f_1\).

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma montre le mode 3 (n=3). La corde vibre en trois fuseaux.

Mode 3 (Harmonique 3)

Calcul(s)

De la même manière, la fréquence du troisième harmonique (\(f_3\)) est le triple de la fréquence fondamentale (\(f_1\)).

On pose la formule et on calcule en utilisant \(f_1 \approx 307.69 \text{ Hz}\) :

\begin{aligned} f_3 &= 3 \cdot f_1 \\ &= 3 \times 307.69 \text{ Hz} \\ &= 923.07 \text{ Hz} \end{aligned}

La fréquence du troisième harmonique est de 923.07 Hz.

Schéma (Après les calculs)

Non applicable pour ce calcul.

Réflexions

La fréquence est de 923.07 Hz. Ce "mélange" de 307.69 Hz, 615.38 Hz et 923.07 Hz (et des suivants) est ce qui est émis par la corde lorsque l'archet la frotte "normalement".

Points de vigilance

Ne pas confondre "harmonique 3" (qui est \(f_3\)) et "troisième harmonique" (qui est aussi \(f_3\)). Le seul piège est "octave" : la "première octave" est \(f_2\), la "deuxième octave" est \(f_4\).

Points à retenir

La série harmonique est \(f_1, 2 \cdot f_1, 3 \cdot f_1, 4 \cdot f_1, ...\)

Le saviez-vous ?

Les cloches d'église sont un exemple d'instrument NON-harmonique. Leurs fréquences de vibration ne sont PAS des multiples entiers de la fondamentale. C'est ce qui leur donne ce son "de cloche" si particulier et complexe.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La fréquence du troisième harmonique est \(f_3 = 923.07 \text{ Hz}\).

A vous de jouer

Sur la même corde de La (\(f_1 = 440 \text{ Hz}\)), quelle est la fréquence du troisième harmonique \(f_3\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 : Harmonique 3

Concept Clé : Mode n=3.
Formule : \(f_3 = 3 \cdot f_1\).

Question 5 : Sans calculatrice, que se passerait-il si la tension (T) était quadruplée (T' = 4T) ?

Principe

Cette question teste la compréhension des relations de proportionnalité dans les formules. Nous voulons savoir comment la fréquence fondamentale \(f_1\) est affectée si on change la tension \(T\).

Mini-Cours

Regardons les deux formules clés :
1. \(v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\)
2. \(f_1 = \frac{v}{2L}\)
On peut les combiner en une seule "grande" formule (Loi de Mersenne) : \[ f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \] Cette formule nous dit que \(f_1\) est directement proportionnelle à la RACINE CARRÉE de la tension (\(f_1 \propto \sqrt{T}\)).

Remarque Pédagogique

C'est une question de "sens physique". Si on tend plus la corde (T augmente), la note devient plus aiguë (f augmente). Mais de combien ? La relation \(\sqrt{T}\) n'est pas linéaire.

Normes

Pas de normes, c'est une analyse de relation.

Formule(s)

Analyse de proportionnalité.

f_1 \propto \sqrt{T} \] \[ \frac{f_1'}{f_1} = \frac{\sqrt{T'}}{\sqrt{T}}

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma nécessaire, c'est une analyse de formule.

Calcul(s)

Nous analysons la relation de proportionnalité en posant le rapport entre la nouvelle fréquence \(f_1'\) (avec la nouvelle tension \(T'\)) et l'ancienne fréquence \(f_1\) (avec l'ancienne tension \(T\)).

Étape 1 : Poser et simplifier le rapport

On écrit le rapport en utilisant la formule complète \(f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}\). Les termes constants \(\frac{1}{2L}\) et \(\sqrt{\mu}\) (car on ne change que T) s'annulent :

\begin{aligned} \frac{f_1'}{f_1} &= \frac{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T'}{\mu}}}{\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}} \\ &= \frac{\sqrt{T'}}{\sqrt{T}} \\ &= \sqrt{\frac{T'}{T}} \end{aligned}

On obtient la relation de proportionnalité : le rapport des fréquences est égal au rapport de la racine carrée des tensions.

Étape 2 : Insérer la nouvelle tension (T' = 4T)

On nous dit que \(T' = 4T\). Nous remplaçons \(T'\) par \(4T\) dans l'équation de rapport que nous venons de trouver :

\begin{aligned} \frac{f_1'}{f_1} &= \sqrt{\frac{4 \cdot T}{T}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2 \end{aligned}

Le rapport des fréquences \(\frac{f_1'}{f_1}\) est donc égal à 2.

En isolant \(f_1'\), on obtient la relation finale :

f_1' = 2 \cdot f_1

Cela confirme que quadrupler la tension ne fait que doubler la fréquence.

Schéma (Après les calculs)

Non applicable.

Réflexions

Pour doubler la fréquence (monter d'une octave), il ne faut pas doubler la tension, mais la quadrupler ! C'est une information cruciale pour les fabricants d'instruments. Doubler la tension (T' = 2T) n'augmenterait la fréquence que d'un facteur \(\sqrt{2} \approx 1.414\) (environ une quarte augmentée).

Points de vigilance

Ne pas supposer une relation linéaire ! L'erreur serait de dire "T est 4x plus grand, donc f est 4x plus grande". C'est faux. La fréquence est 2x plus grande.

Points à retenir

La fréquence est proportionnelle à la racine carrée de la tension.

\(f \propto \sqrt{T}\)
Pour doubler la fréquence (\(f' = 2f\)), il faut quadrupler la tension (\(T' = 4T\)).

Le saviez-vous ?

Les cordes de piano dans les aigus sont sous des tensions extrêmes. La tension totale exercée par toutes les cordes sur le cadre en fonte d'un piano de concert peut dépasser 20 tonnes !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Si la tension est quadruplée (T' = 4T), la fréquence fondamentale est doublée (f' = 2f).

A vous de jouer

On garde \(f_1 = 307.69 \text{ Hz}\) avec T=60N. Quelle serait la nouvelle fréquence si on divise la tension par 4 (T' = 15 N) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 : Proportionnalité

Concept Clé : Relation entre f et T.
Formule : \(f \propto \sqrt{T}\).
Cas Clé : T \(\rightarrow\) 4T \(\implies\) f \(\rightarrow\) 2f (Octave).

Outil Interactif : Simulateur de Corde

Utilisez les curseurs pour modifier la Tension (T) et la Longueur (L) de la corde et observez en temps réel l'impact sur la célérité et la fréquence fondamentale. La masse linéique est fixée à μ = 1.5 g/m (0.0015 kg/m).

Paramètres d'Entrée

Tension (T) (N) 60 N

Longueur (L) (m) 0.325 m

Résultats Clés

Célérité (v) (m/s) -

Fondamentale (f1) (Hz) -

Glossaire

Célérité (v): Vitesse de propagation de l'onde sur la corde (en m/s). Dépend de T et μ.
Fréquence (f): Nombre de vibrations par seconde (en Hertz, Hz). Perçue comme la "hauteur" d'un son.
Fréquence fondamentale (f1): La plus basse fréquence de vibration naturelle (mode n=1). C'est la note principale jouée.
Harmoniques (f_n): Fréquences multiples entiers de la fondamentale (f2=2*f1, f3=3*f1...).
Masse linéique (μ): Masse de la corde par unité de longueur (en kg/m). Mesure l'inertie de la corde.
Mode propre: Une des fréquences et formes de vibration naturelles du système (fondamentale ou harmonique).
Nœud: Point sur une onde stationnaire qui ne bouge pas (amplitude nulle).
Onde stationnaire: Onde vibratoire avec des points fixes (nœuds) et des points d'amplitude maximale (ventres), résultant de l'interférence de l'onde avec ses propres réflexions.
Tension (T): Force (en Newtons, N) qui tend la corde.
Timbre: La "couleur" ou "qualité" d'un son, qui distingue un violon d'un piano jouant la même note. Le timbre est déterminé par la présence et l'intensité des différents harmoniques.
Ventre: Point sur une onde stationnaire où l'amplitude de vibration est maximale.

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