Étude des ondes stationnaires

Contexte : Conception acoustique d'un studio d'enregistrement.

Vous êtes chargé de l'étude acoustique d'une salle de contrôle (Control Room). L'objectif est d'identifier les Modes PropresFréquences de résonance naturelles d'une pièce dues aux ondes stationnaires. qui risquent de créer une "coloration" du son dans les basses fréquences. Une distribution inégale de ces modes peut entraîner des notes graves qui résonnent trop fort (ventres de pression) ou qui disparaissent (nœuds).

Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de comprendre comment la géométrie d'une pièce influence directement sa réponse en fréquence dans le bas du spectre sonore.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les fréquences propres axiales, tangentielles et obliques.
Identifier les modes problématiques dans le spectre audible.
Comprendre la notion de distribution modale.

Données de l'étude

On considère une pièce rectangulaire aux parois parfaitement réfléchissantes (parois rigides) comme du béton.

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Valeur
Longueur de la pièce (\(L_{\text{x}}\))	5.00 \(\text{m}\)
Largeur de la pièce (\(L_{\text{y}}\))	4.00 \(\text{m}\)
Hauteur de la pièce (\(L_{\text{z}}\))	3.00 \(\text{m}\)
Célérité du sonVitesse de propagation de l'onde sonore dans l'air. (\(c\))	340 \(\text{m/s}\)

Géométrie de la Salle

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur	\(L_{\text{x}}\)	5.00	\(\text{m}\)
Largeur	\(L_{\text{y}}\)	4.00	\(\text{m}\)
Hauteur	\(L_{\text{z}}\)	3.00	\(\text{m}\)

Questions à traiter

Calculer la fréquence du premier mode axial selon la longueur (\(f_{1,0,0}\)).
Calculer la fréquence du premier mode axial selon la largeur (\(f_{0,1,0}\)).
Calculer la fréquence du premier mode axial selon la hauteur (\(f_{0,0,1}\)).
Calculer la fréquence du premier mode tangentiel au sol (\(f_{1,1,0}\)).
Calculer la fréquence du premier mode oblique (\(f_{1,1,1}\)).

Les bases théoriques

[Petit paragraphe introductif sur la théorie]. Dans une pièce fermée, certaines fréquences entrent en résonance lorsque la longueur de l'onde correspond aux dimensions de la pièce. Ces résonances sont appelées modes propres.

Formule de Rayleigh (Modes Propres)
Pour une pièce rectangulaire aux parois rigides, les fréquences propres sont données par :

f_{n_{\text{x}}, n_{\text{y}}, n_{\text{z}}} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{n_{\text{x}}}{L_{\text{x}}}\right)^2 + \left(\frac{n_{\text{y}}}{L_{\text{y}}}\right)^2 + \left(\frac{n_{\text{z}}}{L_{\text{z}}}\right)^2}

Où :

\(c\) est la célérité du son (340 \(\text{m/s}\)).
\(L_{\text{x}}, L_{\text{y}}, L_{\text{z}}\) sont les dimensions de la salle.
\(n_{\text{x}}, n_{\text{y}}, n_{\text{z}}\) sont des entiers (0, 1, 2...) correspondant à l'ordre du mode.

Classification des Modes
Il existe trois types de modes selon les valeurs des entiers \(n\) :

\text{Axial} > \text{Tangentiel} > \text{Oblique}

Où :

Modes Axiaux : Deux indices sont nuls (ex: 1,0,0). Ce sont les plus énergétiques.
Modes Tangentiels : Un indice est nul (ex: 1,1,0). Onde réfléchie par 4 surfaces.

Distribution Modale
L'objectif est d'éviter que les fréquences ne se chevauchent (coloration) ou ne soient trop espacées.

\Delta f = f_{n+1} - f_n

Où :

Un espacement régulier est recherché pour une réponse neutre.

Correction : Étude des ondes stationnaires

Question 1 : Premier mode axial (Longueur)

Principe

Le mode axial \( (1,0,0) \) correspond à une onde stationnaire s'établissant entre les deux murs séparés par la longueur \( L_{\text{x}} \). C'est généralement la fréquence la plus basse que la pièce peut soutenir (fréquence de coupure basse). On considère ici une propagation unidimensionnelle.

Mini-Cours

Pour un mode axial simple selon l'axe x, la formule se simplifie considérablement car \( n_{\text{y}} = 0 \) et \( n_{\text{z}} = 0 \).

Remarque Pédagogique

Ce mode correspond à une demi-longueur d'onde tenant exactement dans la longueur de la pièce (\( \lambda/2 = L_{\text{x}} \)).

Normes

Ce calcul suit les principes de l'ISO 3382 pour l'évaluation acoustique des salles.

Formule(s)

Formule simplifiée

f_{1,0,0} = \frac{c}{2} \cdot \frac{1}{L_{\text{x}}} = \frac{c}{2 L_{\text{x}}}

Hypothèses

Pour appliquer cette loi, nous posons les hypothèses suivantes :

Parois parfaitement réfléchissantes (béton lisse).
Température standard de 20°C (c=340 \(\text{m/s}\)).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Célérité	\(c\)	340	\(\text{m/s}\)
Longueur	\(L_{\text{x}}\)	5.00	\(\text{m}\)

Astuces

Astuce rapide : comme \( c \approx 340 \), alors \( c/2 = 170 \). La formule devient \( 170 / L \).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'Onde Stationnaire

Calcul(s)

Application numérique

Nous appliquons la formule simplifiée pour le mode axial selon la longueur \(L_{\text{x}}\). On remplace la célérité \(c\) par 340 \(\text{m/s}\) et la longueur \(L_{\text{x}}\) par 5 \(\text{m}\) :

\begin{aligned} f_{1,0,0} &= \frac{c}{2 \times L_{\text{x}}} \\ &= \frac{340}{2 \times 5} \\ &= \frac{340}{10} \\ &= 34 \text{ Hz} \end{aligned}

Le calcul est direct : on divise la vitesse du son par deux fois la longueur de la pièce. Le résultat exact est 34 \(\text{Hz}\).

Schéma (Après les calculs)

Visualisation : Cette onde de 34 Hz est immense (lambda = 10m).

Réflexions

34 Hz est une fréquence très grave, à la limite de l'audible, ressentie physiquement (infra-basses). Un "boost" à cette fréquence sera perceptible près des murs.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre Longeur, Largeur et Hauteur lors de l'attribution des indices (nx, ny, nz) si la pièce n'est pas orientée standard.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Mode 1 = C / 2L
Les modes axiaux sont les plus puissants.

Le saviez-vous ?

Une note de 34 Hz correspond environ à un Do0 (C0) sur un grand piano de concert.

FAQ

Pourquoi diviser par 2 ?

Car un mode propre fondamental correspond à une demi-longueur d'onde qui tient exactement dans la dimension de la pièce.

Le résultat final est 34 \(\text{Hz}\).

A vous de jouer
Si la longueur \(L_{\text{x}}\) était doublée (10m), quelle serait la fréquence ?

📝 Mémo
Fréquence = 170 / Longueur.

Question 2 : Premier mode axial (Largeur)

Principe

On applique le même principe que pour la longueur, mais cette fois-ci selon l'axe transversal (Largeur). L'onde stationnaire se forme entre les murs latéraux. La physique reste identique : réflexion entre deux parois parallèles.

Mini-Cours

Pour l'axe Y (Largeur), les indices sont \( n_{\text{x}} = 0 \), \( n_{\text{y}} = 1 \), \( n_{\text{z}} = 0 \). C'est le mode fondamental de la largeur.

Remarque Pédagogique

Ce mode contribue souvent à la sensation de "largeur" ou de "flou" dans le bas du spectre stéréo, car les enceintes excitent souvent ce mode latéralement.

Normes

Conforme aux recommandations ITU-R BS.1116 pour les salles d'écoute critiques, qui spécifient des ratios dimensionnels idéaux.

Formule(s)

Formule utilisée

f_{0,1,0} = \frac{c}{2 L_{\text{y}}}

Hypothèses

Pour appliquer cette loi, nous posons les hypothèses suivantes :

Pièce parfaitement rectangulaire.
Pas de meubles encombrants modifiant la largeur effective.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Largeur	\(L_{\text{y}}\)	4.00	\(\text{m}\)

Astuces

Rappel : Plus la dimension est petite, plus la fréquence de résonance est élevée. Largeur < Longueur donc Fréquence > 34Hz.

Schéma (Avant les calculs)

Oscillation Transversale

Calcul(s)

Application numérique

De la même manière, pour la largeur \(L_{\text{y}}\), on remplace \(L_{\text{y}}\) par 4 \(\text{m}\) dans la formule :

\begin{aligned} f_{0,1,0} &= \frac{c}{2 \times L_{\text{y}}} \\ &= \frac{340}{2 \times 4} \\ &= \frac{340}{8} \\ &= 42.5 \text{ Hz} \end{aligned}

En divisant 340 par 8, on obtient une fréquence légèrement plus élevée que pour la longueur, ce qui est logique car la dimension est plus petite.

Schéma (Après les calculs)

Comparaison : Le mode de 4m (Orange) est plus "court" et oscille plus vite que celui de 5m (Rouge).

Réflexions

42.5 Hz est proche de la fréquence précédente (34 Hz), mais suffisamment espacée pour ne pas créer de "battement" immédiat. C'est une fréquence clé pour la musique électronique.

Points de vigilance

Ne pas inverser 340 et 4 dans la division ! Vérifiez toujours que le résultat est cohérent (ordre de grandeur 30-60 Hz).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

F = C / 2L
Les dimensions déterminent le timbre grave de la salle.

Le saviez-vous ?

Cette fréquence est proche du Mi0 (E0) d'une guitare basse 4 cordes à vide.

FAQ

Est-ce audible ?

Oui, si vous avez un caisson de basse ou de grandes enceintes. Les petites enceintes de bureau descendent rarement sous 60Hz.

Le résultat final est 42.5 \(\text{Hz}\).

A vous de jouer
Si la largeur est réduite de moitié (2m), quelle est la fréquence ?

📝 Mémo
Largeur = 4m -> 42.5 \(\text{Hz}\).

Question 3 : Premier mode axial (Hauteur)

Principe

Il s'agit de la résonance verticale entre le sol et le plafond. C'est le mode axial selon l'axe Z. C'est souvent le mode le plus constant d'une pièce à l'autre (hauteurs standard de 2.5m à 3m).

Mini-Cours

Les indices sont ici \( n_{\text{x}} = 0 \), \( n_{\text{y}} = 0 \), \( n_{\text{z}} = 1 \). C'est un mode 1D vertical.

Remarque Pédagogique

Ce mode est souvent oublié car on raisonne souvent en plan 2D (vue de dessus), mais il est crucial pour la réponse fréquentielle au point d'écoute.

Normes

La norme ISO 3382 mentionne l'importance de la diffusion verticale pour casser ce mode.

Formule(s)

Formule utilisée

f_{0,0,1} = \frac{c}{2 L_{\text{z}}}

Hypothèses

Pour appliquer cette loi, nous posons les hypothèses suivantes :

Sol dur (béton/carrelage) et plafond dur (béton/plâtre).
Pas de tapis absorbant significatif à cette fréquence basse.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Hauteur	\(L_{\text{z}}\)	3.00	\(\text{m}\)

Astuces

Une hauteur standard de 2.5m donnerait 68 Hz. Ici avec 3m, c'est plus grave, donc la fréquence doit être inférieure à 68 Hz.

Schéma (Avant les calculs)

Onde Verticale

Calcul(s)

Application numérique

Pour le mode vertical, on utilise la hauteur sous plafond \(L_{\text{z}} = 3\) \(\text{m}\) :

\begin{aligned} f_{0,0,1} &= \frac{c}{2 \times L_{\text{z}}} \\ &= \frac{340}{2 \times 3} \\ &= \frac{340}{6} \\ &\approx 56.666... \text{ Hz} \\ &\approx 56.7 \text{ Hz} \end{aligned}

La division de 340 par 6 donne un nombre périodique. On arrondit le résultat à une décimale, soit 56.7 \(\text{Hz}\).

Schéma (Après les calculs)

Ce mode crée un "ventre" de pression au sol et au plafond.

Réflexions

56.7 Hz est une fréquence de ronflement typique, proche de la fréquence secteur (50Hz en Europe, 60Hz US). Si vous entendez un "humm" dans la pièce, vérifiez s'il vient de l'équipement électrique ou de la résonance acoustique.

Points de vigilance

Attention si vous avez un faux plafond acoustique : la hauteur "acoustique" réelle peut différer de la hauteur visible (le son traverse les dalles poreuses et rebondit sur la dalle béton).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Mode vertical = C / 2H
Ce mode est excité par des subwoofers posés au sol.

Le saviez-vous ?

La hauteur sous plafond est souvent la dimension la plus critique car c'est la plus difficile à modifier architecturalement.

FAQ

Et si le sol est de la moquette ?

La moquette absorbe les aigus, mais pas ce mode grave à 56Hz. Il existera toujours avec la même intensité.

Le résultat final est 56.7 \(\text{Hz}\).

A vous de jouer
Si la hauteur double (Cathédrale 6m), quelle est la fréquence ?

📝 Mémo
H=3m -> ~57 \(\text{Hz}\).

Question 4 : Premier mode tangentiel (1,1,0)

Principe

Le mode tangentiel implique une réflexion sur 4 surfaces (les 4 murs verticaux). L'onde tourne dans le plan horizontal, frappant successivement mur avant -> mur droit -> mur arrière -> mur gauche.

Mini-Cours

Les indices sont \( n_{\text{x}} = 1 \), \( n_{\text{y}} = 1 \), \( n_{\text{z}} = 0 \). C'est la combinaison vectorielle des deux premiers modes axiaux (L et l).

Remarque Pédagogique

Bien que moins énergétique que les axiaux (-3dB en théorie), ce mode est important car il peut combler des "trous" spectraux entre les modes axiaux.

Normes

Ce type de mode est particulièrement surveillé dans les normes ISO pour les petites salles de réunion.

Formule(s)

Formule utilisée

f_{1,1,0} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{L_{\text{x}}}\right)^2 + \left(\frac{1}{L_{\text{y}}}\right)^2}

Hypothèses

Angle d'incidence non nul sur les parois. Le mode n'existe que si les 4 murs sont réfléchissants.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur
Longueur	\(L_{\text{x}}\)	5
Largeur	\(L_{\text{y}}\)	4

Astuces

C'est exactement comme le théorème de Pythagore, mais appliqué aux inverses des longueurs !

Schéma (Avant les calculs)

Trajet Tangentiel (Vue de dessus)

Calcul(s)

Application numérique

Pour ce mode tangentiel, nous devons d'abord calculer l'inverse des carrés des dimensions Longueur et Largeur, puis en prendre la racine carrée. On utilise le facteur \( \frac{c}{2} = 170 \) pour simplifier l'écriture :

\begin{aligned} f_{1,1,0} &= 170 \times \sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} \\ &= 170 \times \sqrt{0.2^2 + 0.25^2} \\ &= 170 \times \sqrt{0.04 + 0.0625} \\ &= 170 \times \sqrt{0.1025} \\ &= 170 \times 0.320156... \\ &\approx 54.4 \text{ Hz} \end{aligned}

On remarque que la somme sous la racine (0.1025) correspond à la "distance spectrale". Une fois multiplié par 170, on obtient environ 54.4 \(\text{Hz}\).

Schéma (Après les calculs)

Représentation spectrale :

Réflexions

54.4 Hz est extrêmement proche de 56.7 Hz (mode axial hauteur). Cette proximité (moins de 3Hz d'écart) est un problème acoustique majeur appelé "coïncidence modale". L'énergie va s'accumuler dans cette bande étroite.

Points de vigilance

Attention à bien mettre les termes au carré AVANT de les additionner sous la racine.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Mode plan diagonal (4 murs).
Surveiller la proximité avec les modes axiaux.

Le saviez-vous ?

Les modes tangentiels perdent de l'énergie deux fois plus vite que les modes axiaux à chaque réflexion (car ils frappent plus de surfaces).

FAQ

Pourquoi "Tangentiel" ?

Le terme vient du fait que l'onde se propage tangentiellement à une paire de surfaces (ici le sol/plafond) sans les toucher "frontalement".

Le résultat final est 54.4 \(\text{Hz}\).

A vous de jouer
Arrondissez le résultat à l'entier le plus proche.

📝 Mémo
Attention aux coïncidences (54Hz vs 56Hz).

Question 5 : Premier mode oblique (1,1,1)

Principe

Le mode oblique implique des réflexions sur les 6 parois de la pièce (Murs + Sol + Plafond). L'onde se propage en diagonale dans tout le volume 3D de la pièce, d'un coin inférieur au coin supérieur opposé.

Mini-Cours

Tous les indices sont non-nuls : \( n_{\text{x}} = 1 \), \( n_{\text{y}} = 1 \), \( n_{\text{z}} = 1 \). C'est le mode fondamental "volumique".

Remarque Pédagogique

C'est le mode le plus complexe mais aussi le plus faible énergétiquement (-6dB par rapport aux axiaux) car l'onde perd de l'énergie sur 6 surfaces à chaque cycle.

Normes

ISO 3382 considère ces modes comme faisant partie du champ diffus "précoce".

Formule(s)

Formule utilisée

f_{1,1,1} = \frac{c}{2} \sqrt{\frac{1}{L_{\text{x}}^2} + \frac{1}{L_{\text{y}}^2} + \frac{1}{L_{\text{z}}^2}}

Hypothèses

Réflexion parfaite sur les 6 faces. Pièce vide.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(L_{\text{z}}\)	3

Astuces

C'est la diagonale géométrique du "cube fréquentiel" formé par les inverses des dimensions.

Schéma (Avant les calculs)

Trajet Oblique 3D

Calcul(s)

Application numérique

Pour le mode oblique, nous ajoutons la composante de la hauteur (\(1/L_{\text{z}}^2\)) au calcul précédent. C'est une extension en 3D du théorème de Pythagore :

\begin{aligned} f_{1,1,1} &= 170 \times \sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2} \\ &= 170 \times \sqrt{0.04 + 0.0625 + \left(\frac{1}{9}\right)} \\ &= 170 \times \sqrt{0.1025 + 0.1111...} \\ &= 170 \times \sqrt{0.2136...} \\ &= 170 \times 0.4621... \\ &\approx 78.6 \text{ Hz} \end{aligned}

Le terme lié à la hauteur (0.1111...) pèse lourd dans la balance car c'est la plus petite dimension. Le résultat final nous amène à 78.6 \(\text{Hz}\).

Schéma (Après les calculs)

Le mode oblique se situe plus haut dans le spectre.

Réflexions

On commence à entrer dans le bas-médium. À partir de ces fréquences, la densité modale augmente rapidement, ce qui signifie que les modes sont de plus en plus serrés les uns contre les autres.

Points de vigilance

Ne pas oublier le terme en Z (1/9) qui pèse lourd dans le calcul car c'est la plus petite dimension.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Mode diagonal complet 3D.
Moins critique à traiter individuellement.

Le saviez-vous ?

Dans une grande salle de concert, ces premiers modes sont à quelques Hz seulement, donc inaudibles. Le problème des modes est spécifique aux "petites" pièces (studios, chambres).

FAQ

Est-il gênant ?

Rarement isolément, il contribue à la "réverbération" globale des basses fréquences plutôt qu'à une résonance précise.

Le résultat final est 78.6 \(\text{Hz}\).

A vous de jouer
Arrondissez à l'entier inférieur.

📝 Mémo
3D = Oblique = 78.6 \(\text{Hz}\).

Spectre des Modes (Bilan)

Position des fréquences calculées sur l'axe fréquentiel.

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Voici la synthèse des points clés méthodologiques et physiques abordés dans cet exercice :

🔑
Point Clé 1 : Géométrie
Les modes propres dépendent uniquement des dimensions géométriques de la pièce. Pour changer les fréquences, il faut changer les murs !
📐
Point Clé 2 : Hiérarchie Énergétique
Modes Axiaux (Fort) > Modes Tangentiels (Moyen) > Modes Obliques (Faible).
⚠️
Point Clé 3 : Coïncidence
Éviter que deux modes (ex: tangentiel et axial) ne tombent sur la même fréquence (comme ici à ~55Hz).
💡
Point Clé 4 : Application
Pour traiter ces fréquences, il faut des bass-traps accordés ou très épais positionnés dans les coins.

"Dans les graves, c'est la pièce qui joue de l'instrument."

🎛️ Simulateur interactif de modes

Modifiez les dimensions pour voir l'impact sur les deux premiers modes axiaux.

Paramètres

Longueur \(L_{\text{x}}\) (\(\text{m}\)) : 5.0

Largeur \(L_{\text{y}}\) (\(\text{m}\)) : 4.0

Mode Axial (1,0,0) : - Hz

Mode Axial (0,1,0) : - Hz

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Où la pression acoustique d'un mode est-elle maximale ?

Au centre de la pièce (Nœud)
Près des parois (Ventre)
Elle est constante partout

2. Quel type de mode contient le plus d'énergie ?

Les modes axiaux
Les modes tangentiels
Les modes obliques

📚 Glossaire

Onde Stationnaire: Phénomène résultant de la superposition d'une onde incidente et d'une onde réfléchie, créant des nœuds et des ventres fixes.
Nœud: Point de l'onde stationnaire où l'amplitude (pression) est minimale (nulle).
Ventre: Point de l'onde stationnaire où l'amplitude (pression) est maximale.
Mode Propre: Fréquence spécifique à laquelle un système physique (ici la pièce) oscille naturellement.
Fréquence de Schroeder: Fréquence limite qui sépare la zone modale (basses fréquences) de la zone statistique (hautes fréquences).