L'étude du rayonnement acoustique des sources multipolaires est essentielle en aéroacoustiqueBranche de l'acoustique étudiant les bruits générés par des écoulements fluides turbulents.. Si une sphère pulsante se comporte comme un monopôle et une sphère oscillante comme un dipôle, la déformation d'un volume fluide sans variation de volume ni force résultante génère un rayonnement de type quadripôleSource sonore constituée de deux dipôles opposés, caractérisée par une efficacité radiative faible aux basses fréquences.. C'est le mécanisme prédominant du bruit de jet (théorie de Lighthill).

Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de comprendre la directivité complexe et la dépendance fréquentielle des sources quadripolaires, souvent négligées en acoustique architecturale mais cruciales en acoustique des transports.

Objectifs Pédagogiques

Déterminer le champ de pression rayonnée par un quadripôle longitudinal.
Analyser la directivité du rayonnement en champ lointain.
Comparer l'efficacité radiative par rapport aux monopôles et dipôles.

Données de l'étude

On considère un quadripôle longitudinal constitué de deux dipôles alignés sur l'axe \(z\), ou de manière équivalente, de trois sources monopôlaires ponctuelles alignées : une source centrale d'amplitude \(-2Q\) en \(z=0\), et deux sources latérales d'amplitude \(+Q\) en \(z = +d\) et \(z = -d\). On s'intéresse au champ de pression acoustique généré en champ lointain.

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Valeur
Milieu	Air standard (20°C)
Vitesse du son \(c_0\)Célérité des ondes acoustiques.	340 m/s
Masse volumique \(\rho_0\)	1.2 kg/m³

Schéma du Quadripôle Longitudinal

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance de séparation	\(d\)	0.05	m
Fréquence	\(f\)	1000	Hz
Débit massique source	\(Q_0\)	0.01	kg/s

Questions à traiter

Calculer le nombre d'onde acoustique \(k\).
Vérifier l'hypothèse de source compacte.
Établir l'expression de la pression acoustique en champ lointain.
Déterminer l'expression de la directivité du quadripôle.
Calculer le niveau de pression acoustique pour un angle donné.

Les bases théoriques

Le rayonnement acoustique dépend de la nature de la source.

Pression d'un monopôle
Une source ponctuelle rayonne de manière omnidirectionnelle.

Champ monopolaire

p(r,t) = j\omega Q_0 \frac{e^{j(\omega t - kr)}}{4\pi r}

Condition de champ lointain
Distance d'observation grande devant la longueur d'onde.

Critère de Fraunhofer

r \gg \lambda \quad \text{et} \quad r \gg d

Approximation de la source compacte
La source est petite devant la longueur d'onde.

Source compacte

kd \ll 1

Correction : Étude du rayonnement d'un quadripôle acoustique

Question 1 : Calcul du nombre d'onde \(k\)

Principe

Le nombre d'ondeReprésente la variation spatiale de la phase. \(k = 2\pi / \lambda\). \(k\) relie la fréquence temporelle à la propagation spatiale. C'est l'équivalent spatial de la pulsation.

Mini-Cours

Le nombre d'onde \(k\) (en rad/m) est défini comme \(2\pi\) divisé par la longueur d'onde \(\lambda\). Il indique combien de radians de phase l'onde accumule par mètre parcouru. C'est un paramètre fondamental pour caractériser la propagation.

Remarque Pédagogique

C'est une grandeur clé pour adimensionner les problèmes d'acoustique via le produit \(kr\) (distance acoustique) ou \(kd\) (taille acoustique).

Normes

ISO 80000-3 : Grandeurs et unités d'espace et de temps. Cette norme définit le nombre d'onde angulaire comme une grandeur dérivée fondamentale pour les phénomènes ondulatoires.

Formule(s)

Formules utilisées

Nombre d'onde

\begin{aligned} k &= \frac{\omega}{c_0} \\ &= \frac{2\pi f}{c_0} \end{aligned}

Hypothèses

Le milieu est considéré comme un fluide parfait, homogène et isotrope (air standard à 20°C), sans écoulement moyen.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence	\(f\)	1000	Hz
Célérité	\(c_0\)	340	m/s

Astuces

Pour \(f=1000\) Hz dans l'air, \(\lambda \approx 34\) cm. On peut estimer \(k \approx 18\) rad/m de tête car \(2\pi \approx 6.28\).

Relation Temps-Espace

Calcul(s)

Calcul Principal

On applique numériquement la formule du nombre d'onde en insérant la fréquence \(f\) et la célérité \(c_0\) :

Calcul de k

\begin{aligned} k &= \frac{2 \times \pi \times 1000}{340} \\ &= \frac{6283.18}{340} \\ &\approx 18.48 \text{ rad/m} \end{aligned}

On obtient une valeur d'environ 18.48 radians par mètre, ce qui correspond au déphasage subi par l'onde sur une distance d'un mètre.

Réflexions

La valeur obtenue est cohérente pour une fréquence audible moyenne. Un nombre d'onde de 18 signifie que la phase tourne de \(18\) radians par mètre, soit environ 3 cycles complets (\(3 \times 2\pi \approx 18.8\)) par mètre.

Points de vigilance

Ne pas confondre fréquence \(f\) (Hz) et pulsation \(\omega\) (rad/s), ni nombre d'onde \(k\) (rad/m) et longueur d'onde \(\lambda\) (m).

Points à Retenir

\(k\) augmente linéairement avec la fréquence.
Dimension de \(k\) : \(L^{-1}\).
Relation fondamentale : \(c = \omega / k\).

Le saviez-vous ?

Dans l'eau, \(c \approx 1500\) m/s, donc \(k\) serait environ 4.5 fois plus petit pour la même fréquence, ce qui signifie que les ondes sont "plus longues" dans l'eau.

FAQ

Pourquoi utilise-t-on k ?

Pour simplifier l'écriture des ondes harmoniques sous la forme \(e^{j(\omega t - kx)}\) au lieu de traîner des facteurs \(\lambda\).

k ≈ 18.48 rad/m

A vous de jouer
Calculez \(k\) pour \(f=500\) Hz.

📝 Mémo
Plus la fréquence est élevée, plus le nombre d'onde est grand.

Question 2 : Vérification de l'hypothèse de source compacte

Principe

L'approximation des sources multipolaires repose sur la condition que la source soit petite devant la longueur d'onde, c'est-à-dire \(kd \ll 1\). C'est ce qu'on appelle l'hypothèse de compacité acoustique.

Mini-Cours

Si la source n'est pas compacte, les différences de phase entre les points de la source ne peuvent pas être linéarisées par un développement de Taylor. On entrerait alors dans un régime d'interférences complexes (diffraction, lobes secondaires).

Remarque Pédagogique

C'est une condition sine qua non pour utiliser les modèles analytiques simples (monopôle, dipôle, quadripôle ponctuels). Si \(kd\) est grand, la source ne rayonne plus comme un point.

Normes

En métrologie acoustique (ex: ISO 3744), on considère souvent une source comme "ponctuelle" si la distance de mesure est au moins 2 fois la plus grande dimension de la source, ce qui est lié à la compacité relative.

Formule(s)

Critère de compacité

kd \ll 1

Hypothèses

Source de dimension caractéristique \(d\) (demi-séparation), fréquence fixe.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(k\)	18.48 rad/m
\(d\)	0.05 m

Astuces

Une règle empirique courante est \(d < \lambda/6\), ce qui correspond à \(kd < 1\). C'est une vérification rapide à faire mentalement.

Comparaison d'Échelle (Compacité)

Calcul(s)

Calcul Principal

On multiplie le nombre d'onde calculé précédemment par la dimension caractéristique de la source :

\begin{aligned} kd &= 18.48 \times 0.05 \\ &= 0.924 \end{aligned}

Le produit adimensionnel obtenu est de 0.924, ce qui nous permet de statuer sur la validité de l'approximation.

Réflexions

Ici, \(kd \approx 0.92\), ce qui est proche de 1. L'hypothèse est limite. Pour une étude rigoureuse, il faudrait utiliser des modèles plus complexes, mais dans le cadre de cet exercice académique, nous supposerons l'approximation valide pour observer le comportement qualitatif.

Points de vigilance

Attention : Pour \(kd \approx 1\) ou \(kd > 1\), le modèle analytique simple sous-estime généralement la complexité du champ rayonné (effets directifs dus à la géométrie réelle).

Points à Retenir

Compacte : \(kd \ll 1\) (rayonnement simple).
Non-compacte : interférences complexes.

Le saviez-vous ?

Pour les très hautes fréquences (longueur d'onde très petite), on abandonne l'acoustique ondulatoire pour l'acoustique géométrique (traçage de rayons).

FAQ

Que faire si la source n'est pas compacte ?

Il faut discrétiser la source en une distribution de monopôles élémentaires et intégrer l'intégrale de Rayleigh numériquement.

kd ≈ 0.92 (Limite)

A vous de jouer
Si \(d=0.01\)m, quelle est la valeur de \(kd\) ?

📝 Mémo
Compacité = Source petite devant \(\lambda\).

Question 3 : Pression acoustique en champ lointain

Principe

On somme les contributions des trois monopôles avec leurs phases respectives. Le quadripôle est constitué de deux dipôles opposés, créant une interférence destructive forte. C'est le principe de superposition linéaire.

Mini-Cours

Le quadripôle peut être vu mathématiquement comme la dérivée spatiale seconde du champ monopolaire (tenseur des contraintes de Lighthill). C'est une "double" différence de phase qui réduit considérablement l'efficacité à basse fréquence.

Remarque Pédagogique

C'est l'essence de l'interférence destructive : les sources s'annulent mutuellement presque parfaitement, ne laissant échapper qu'un résidu d'ordre supérieur (termes en \(k^2\)).

Normes

Bien qu'il s'agisse d'un développement théorique, la validité des mesures de telles sources en champ libre est régie par la norme ISO 3745 (Salles anéchoïques et semi-anéchoïques), qui définit les critères pour qu'un environnement soit considéré comme "champ libre" (décroissance en 1/r).

Formule(s)

Somme des pressions complexes

p_{\text{tot}} = \sum p_i

Hypothèses

On se place en champ lointain (\(r \gg d\)) et on utilise l'approximation de la source compacte (\(kd \ll 1\)) pour faire un développement limité de la phase.

Donnée(s)

Source	Position	Amplitude
Latérale 1	\(+d\)	\(+Q\)
Centrale	0	\(-2Q\)
Latérale 2	\(-d\)	\(+Q\)

Astuces

Astuce mathématique : \(e^{x} + e^{-x} - 2 = 2(\cosh(x) - 1) \approx x^2\) (Taylor ordre 2). C'est l'identité clé ici.

Principe d'Interférence Destructive

Calcul(s)

Calcul Intermédiaire

La distance approximative des sources est \(r \pm d\cos\theta\). La pression totale est la somme des 3 termes, en factorisant le terme monopolaire central :

\begin{aligned} p_{\text{tot}} &= p_{+Q}(z=d) + p_{-2Q}(z=0) + p_{+Q}(z=-d) \\ &\approx \frac{j\omega Q_0}{4\pi r} e^{j(\omega t - kr)} \left[ e^{jkd\cos\theta} - 2 + e^{-jkd\cos\theta} \right] \end{aligned}

Calcul Principal

On utilise le développement de Taylor pour l'exponentielle \(e^x \approx 1 + x + x^2/2\) avec \(x = jkd\cos\theta\). Les termes d'ordre 0 (1) et d'ordre 1 (x) s'annulent à cause de la symétrie :

\begin{aligned} \left[ \dots \right] &\approx \left(1 + jkd\cos\theta - \frac{(kd\cos\theta)^2}{2}\right) - 2 + \left(1 - jkd\cos\theta - \frac{(kd\cos\theta)^2}{2}\right) \\ &= 1 + 1 - 2 + jkd\cos\theta - jkd\cos\theta - \frac{k^2d^2\cos^2\theta}{2} - \frac{k^2d^2\cos^2\theta}{2} \\ &= -k^2d^2\cos^2\theta \end{aligned}

En remplaçant ce terme résiduel dans l'expression globale de la pression, on obtient la formule finale du quadripôle :

p(r, \theta, t) \approx -\frac{k^2 Q_0 d^2}{4\pi r} \cos^2(\theta) e^{j(\omega t - kr)}

Réflexions

Le résultat montre que l'amplitude dépend du carré de la fréquence (via \(k^2\)), ce qui confirme la très faible efficacité à basse fréquence. Le signe moins indique une opposition de phase globale par rapport au monopôle d'origine.

Points de vigilance

Ne pas oublier le terme de directivité \(\cos^2(\theta)\) qui est fondamental pour le quadripôle longitudinal et le distingue du monopôle (isotrope).

Points à Retenir

Quadripôle = efficacité faible à basse fréquence (pente de +12 dB/octave).

Le saviez-vous ?

C'est pourquoi le bruit de jet (quadripolaire) domine sur le bruit de combustion (monopolaire) uniquement à haute vitesse (loi en \(M^8\)).

FAQ

Pourquoi un signe moins ?

Il vient du \(j^2 = -1\) lors de la double dérivation spatiale ou du développement de Taylor à l'ordre 2.

Expression établie (voir ci-dessus)

A vous de jouer
Quelle est la dépendance en \(k\) ?

📝 Mémo
Quadripôle = \(k^2\).

Question 4 : Directivité du Quadripôle

Analyse

L'expression finale de la pression contient le terme de directivité \(D(\theta)\) qui module l'amplitude en fonction de l'angle d'observation.

Mini-Cours

La directivité décrit la variation spatiale de l'amplitude sonore. Elle est souvent représentée par un diagramme polaire normalisé par le maximum. Pour un quadripôle longitudinal, l'énergie est concentrée dans l'axe des sources.

Remarque Pédagogique

Visualiser les lobes aide à comprendre où le son est le plus fort (dans l'axe) et où il est nul (perpendiculairement).

Normes

La mesure de la directivité se fait selon la norme ISO 3745 qui spécifie les positions des microphones sur une sphère enveloppante.

Formule(s)

Fonction de Directivité

D(\theta) = \cos^2(\theta)

Hypothèses

Symétrie de révolution autour de l'axe z (problème axisymétrique), source ponctuelle vue de loin.

Donnée(s)

Angle	Valeur \(D(\theta)\)
0° (Axe)	1 (Max)
90° (Perp)	0 (Nul)

Astuces

La forme est celle d'un "8" très pincé, plus étroit que celui d'un dipôle (qui est en \(\cos\theta\)).

Diagramme Polaire (Directivité)

Calcul(s)

Calcul Principal

On évalue la fonction pour des angles clés pour tracer la forme :

\(\theta = 0^\circ \implies \cos^2(0) = 1\) (Maximum de rayonnement)
\(\theta = 45^\circ \implies \cos^2(45) = 0.5\) (-3 dB, largeur à mi-hauteur)
\(\theta = 90^\circ \implies \cos^2(90) = 0\) (-\(\infty\) dB, silence théorique)

Réflexions

Le rayonnement est nul sur tout le plan médian (\(z=0\)). C'est une caractéristique forte d'annulation de phase due à la symétrie centrale.

Points de vigilance

Ne pas confondre avec le quadripôle latéral (4 sources en carré) dont la directivité est en forme de trèfle à 4 feuilles (\(\sin(2\theta)\)).

Points à Retenir

Max dans l'axe, nul à la perpendiculaire.

Le saviez-vous ?

Cette directivité explique en partie le "silence relatif" ressenti lorsqu'on se trouve exactement sur le côté (90°) d'un jet propulsif, par rapport à l'arrière.

FAQ

Est-ce toujours symétrique ?

Pour ce modèle longitudinal théorique, oui. Dans un vrai jet, la convection de l'écoulement déforme les lobes vers l'aval (effet Doppler convectif).

Directivité en \(\cos^2(\theta)\)

A vous de jouer
Valeur à 60° ? (\(\cos(60)=0.5\))

📝 Mémo
Lobes pincés dans l'axe.

Question 5 : Calcul du niveau de pression (SPL)

Hypothèses

On cherche le niveau à \(r=10\text{m}\) pour \(\theta=0\) (dans l'axe de rayonnement maximum).

Mini-Cours

Le niveau de pression acoustique (SPL) est une échelle logarithmique exprimée en décibels (dB), définie par rapport au seuil d'audition humaine (20 microPascals).

Remarque Pédagogique

Un niveau faible indique une source peu efficace. Les calculs d'amplitude physique donnent souvent des valeurs très petites en Pascals, d'où l'utilité du dB.

Normes

La pression de référence dans l'air est fixée par la norme ISO 1683 : \(p_{\text{ref}} = 2 \times 10^{-5}\) Pa (20 µPa).

Formule(s)

Niveau SPL

L_p = 20 \log_{10}\left( \frac{|p|}{p_{\text{ref}}} \right)

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(r\)	10 m
\(p_{\text{ref}}\)	20 µPa

Astuces

Si \(p\) est de l'ordre de \(10^{-5}\), on est proche du seuil d'audition (0 dB). Un résultat négatif est possible mathématiquement (sous le seuil de référence), bien que rare en pratique industrielle.

Échelle des Décibels (dB)

Calcul(s)

Amplitude

On calcule d'abord la pression efficace (amplitude) en remplaçant les termes par leurs valeurs numériques :

\begin{aligned} |p| &= \frac{18.48^2 \times 0.01 \times 0.05^2}{4 \pi \times 10} \\ &= \frac{341.51 \times 0.01 \times 0.0025}{125.66} \\ &= \frac{0.00854}{125.66} \\ &\approx 6.79 \times 10^{-5} \text{ Pa} \end{aligned}

Niveau dB

On convertit ensuite cette pression en niveau décibel :

\begin{aligned} L_p &= 20 \log_{10}\left( \frac{6.79 \times 10^{-5}}{2 \times 10^{-5}} \right) \\ &= 20 \log_{10}(3.395) \\ &= 20 \times 0.531 \\ &\approx 10.6 \text{ dB} \end{aligned}

Réflexions

C'est un niveau extrêmement faible, à peine audible (comparable au bruit d'une respiration calme). Cela démontre l'inefficacité radiative du mécanisme quadripolaire à cette fréquence et ce débit.

Points de vigilance

Ne pas oublier le facteur 20 dans le log car on travaille en pression (amplitude) et non en puissance (énergie, facteur 10).

Points à Retenir

Efficacité très faible à basse fréquence.

Le saviez-vous ?

Pour obtenir un niveau fort avec un quadripôle, il faudrait une vitesse d'écoulement très élevée (nombre de Mach proche de 1), car la puissance croît en \(M^8\).

FAQ

Pourquoi si faible ?

L'annulation presque totale des sources en opposition de phase laisse très peu d'énergie s'échapper.

Lp ≈ 10.6 dB

A vous de jouer
Si la fréquence double, quel est le gain en dB ?

📝 Mémo
Quadripôle = Source inefficace à basse fréquence.

Schéma Bilan

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Voici la synthèse des points clés méthodologiques et physiques abordés dans cet exercice :

🔑
Source : Le quadripôle modélise le bruit aérodynamique généré par les turbulences d'un écoulement (jets), sans injection de masse ni force résultante sur le fluide.
📐
Puissance : La puissance acoustique rayonnée varie comme la puissance 8 de la vitesse d'écoulement (Loi de Lighthill : \(W \propto M^8\)). C'est pourquoi le bruit de jet domine à haute vitesse.
⚠️
Efficacité : À basse vitesse (Mach << 1), le quadripôle est une source extrêmement inefficace comparée au monopôle (\(M^4\)) ou au dipôle (\(M^6\)).
💡
Directivité : La directivité présente des lobes marqués (en trèfle ou pincés), avec des zones de silence relatif (annulation de phase) perpendiculaires aux axes des sources.

"Monopôle = Volume, Dipôle = Force, Quadripôle = Turbulence."

🎛️ Simulateur : Directivité Quadripolaire

Paramètres

Angle \(\theta\) (degrés) : 0°

Fréquence \(f\) (Hz) : 1000

Facteur Directivité \(|\cos^2\theta|\) :-

Atténuation (dB) :-

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la dépendance de la puissance acoustique d'un quadripôle en fonction du nombre de Mach \(M\) ?

\(M^4\)
\(M^8\)
\(M^6\)

2. Quelle condition physique génère un quadripôle ?

Tensions de cisaillement sans force résultante
Injection de masse périodique

📚 Glossaire

Aéroacoustique: Branche de l'acoustique étudiant la génération de bruit par des écoulements fluides turbulents ou des interactions fluide-structure.
Quadripôle: Source élémentaire constituée de deux dipôles opposés. Elle représente les fluctuations de contraintes de Reynolds dans un fluide.
Nombre de Mach (\(M\)): Rapport de la vitesse de l'écoulement sur la vitesse du son. Paramètre critique pour l'efficacité radiative (\(M^8\)).
Loi de Lighthill: Loi fondamentale stipulant que la puissance acoustique d'un jet libre varie comme la puissance 8 de sa vitesse caractéristique.
Champ lointain: Zone située à une distance grande devant la longueur d'onde (\(r \gg \lambda\)) où l'onde devient localement plane et l'amplitude décroît en \(1/r\).

Le Saviez-vous ?

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Étude du rayonnement d’un quadripôle acoustique

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma du Quadripôle Longitudinal

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Étude du rayonnement d'un quadripôle acoustique

Question 1 : Calcul du nombre d'onde \(k\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Relation Temps-Espace

Calcul(s)

Calcul Principal

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Vérification de l'hypothèse de source compacte

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Comparaison d'Échelle (Compacité)

Calcul(s)

Calcul Principal

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Pression acoustique en champ lointain

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Principe d'Interférence Destructive

Calcul(s)

Calcul Intermédiaire

Calcul Principal

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Directivité du Quadripôle

Analyse

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Diagramme Polaire (Directivité)

Calcul(s)

Calcul Principal

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

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