Barre Défilante Acoustique

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Étude du timbre et contenu harmonique

Étude du Timbre et Contenu Harmonique

Contexte : Le TimbreQualité sonore spécifique d'un instrument, déterminée par la composition de ses harmoniques. et la décomposition spectrale.

Pourquoi une flûte et un violon jouant la même note (par exemple le La 440) sonnent-ils différemment ? La réponse réside dans le timbre de l'instrument. Bien que la note perçue (la hauteur) soit la même, la forme de l'onde sonore diffère. Cet exercice vous propose d'analyser la composition harmonique d'un son complexe pour comprendre comment la superposition de fréquences multiples crée l'identité sonore d'un instrument.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous initiera à l'analyse de Fourier simplifiée, essentielle pour comprendre le traitement du signal, la synthèse sonore et l'acoustique des salles.

Objectifs Pédagogiques

Distinguer fréquence fondamentale et harmoniques.
Calculer les fréquences des harmoniques d'un son complexe.
Interpréter un spectre en fréquences (diagramme spectral).
Comprendre le lien entre la forme d'onde temporelle et le spectre.

Données de l'étude

On analyse le son produit par une corde de guitare vibrant librement. L'enregistrement montre que la corde produit un son complexe périodique.

Fiche Technique

Paramètre	Valeur
Note jouée	La (A3)
Fréquence Fondamentale (\(f_1\))	220 Hz
Vitesse du son (\(c\))	340 m/s

Spectre en Fréquence

Rang de l'harmonique (\(n\))	Fréquence (\(f_n\))	Amplitude Relative
1 (Fondamentale)	220 Hz	100 %
2	?	60 %
3	?	30 %

Questions à traiter

Calculer les fréquences des harmoniques de rang 2, 3 et 4.
Déterminer la période \(T\) du signal sonore global.
Calculer la longueur d'onde \(\lambda\) du son fondamental dans l'air.
Si l'on supprime l'harmonique fondamentale (filtre passe-haut), quelle sera la hauteur perçue (la note) ?
Expliquer comment reconstituer le signal temporel à partir de ce spectre.

Les bases sur l'Acoustique Musicale

Pour résoudre cet exercice, il est nécessaire de comprendre la structure d'un son périodique complexe.

1. Théorème de Fourier
Tout signal périodique complexe peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux simples (les harmoniques) dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale. \[ f_n = n \cdot f_1 \] Où \(f_1\) est la fréquence fondamentale et \(n\) est un entier positif.

2. Période et Fréquence
La relation entre la période temporelle \(T\) (en secondes) et la fréquence \(f\) (en Hertz) est : \[ T = \frac{1}{f} \]

Correction : Étude du Timbre et Contenu Harmonique

Question 1 : Calcul des fréquences harmoniques

Principe

Les harmoniques sont les "briques" qui constituent le son. Leur fréquence n'est pas aléatoire : elle suit une règle mathématique simple de proportionnalité avec la note de base (la fondamentale).

Mini-Cours

L'harmonique de rang \(n\) vibre \(n\) fois plus vite que la fondamentale. C'est ce qui crée la consonance parfaite entre les octaves, les quintes, etc., présentes naturellement dans le son.

Remarque Pédagogique

Identifiez bien la fréquence la plus basse, c'est elle qui sert de base à tout le calcul.

Normes

En musique occidentale, le La3 (A3) est souvent défini à 220 Hz, et le La4 (A4) à 440 Hz (norme ISO 16).

Formule(s)

Fréquence harmonique

f_n = n \times f_1

Hypothèses

On considère la corde comme un oscillateur harmonique idéal produisant un son périodique stable.

Le son est parfaitement périodique.

Donnée(s)

On part de la fréquence fondamentale donnée dans le tableau.

Paramètre	Symbole	Valeur
Fréquence Fondamentale	\(f_1\)	220 Hz

Astuces

Pour vérifier, rappelez-vous que l'octave (harmonique 2) a toujours une fréquence double de la fondamentale.

Schéma (Avant les calculs)

Voici une représentation physique des modes de vibration d'une corde. Chaque mode correspond à une harmonique.

Modes de Vibration d'une Corde

Calcul(s)

Appliquons la formule pour \(n=2\), \(n=3\) et \(n=4\). Pour chaque harmonique, nous multiplions la fréquence de base (220 Hz) par le numéro de l'harmonique.

Harmonique 2

Nous substituons \(n=2\) et \(f_1=220\) dans la formule.

\begin{aligned} f_2 &= 2 \times 220 \\ &= 440 \text{ Hz} \end{aligned}

Ce résultat correspond à la fréquence de l'octave supérieure (La4).

Harmonique 3

Nous substituons maintenant \(n=3\) et conservons la même fondamentale.

\begin{aligned} f_3 &= 3 \times 220 \\ &= 660 \text{ Hz} \end{aligned}

Cette fréquence de 660 Hz correspond à la quinte juste au-dessus de l'octave (Mi5).

Harmonique 4

Enfin, pour la 4ème harmonique, nous multiplions par 4.

\begin{aligned} f_4 &= 4 \times 220 \\ &= 880 \text{ Hz} \end{aligned}

880 Hz est exactement le double de 440 Hz, c'est donc une autre octave (La5).

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma spécifique après calcul pour cette question simple.

Réflexions

On remarque que l'harmonique 2 (440 Hz) correspond à l'octave supérieure (La3 -> La4). L'harmonique 3 (660 Hz) correspond à la quinte (Mi5).

Points de vigilance

Ne confondez pas "harmonique 2" (qui est \(2 \times f_1\)) avec "2ème partiel" ou d'autres termes. En acoustique musicale stricte, \(f_1\) est la première harmonique.

Points à retenir

\(f_n = n \times f_1\)
L'harmonique 2 est l'octave.

Le saviez-vous ?

Les clarinettes ont la particularité de ne produire quasiment que des harmoniques impaires (f1, f3, f5...) dans leur registre grave, ce qui leur donne ce son "creux" caractéristique.

FAQ

Pas de question fréquente pour cette partie.

Résultat Final

Les fréquences sont 440 Hz, 660 Hz et 880 Hz.

A vous de jouer

Si la fondamentale était un La à 440 Hz (A4), quelle serait la fréquence de la 3ème harmonique ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse : Les harmoniques sont des multiples entiers de la fondamentale.

Question 2 : Période du signal global

Principe

Même si le signal est composé de plusieurs fréquences, l'oreille perçoit une hauteur globale. Cette hauteur correspond à la périodicité de répétition du motif complet de l'onde. Ce principe est fondamental en psychoacoustique.

Mini-Cours

La période d'un signal complexe périodique est égale à la période de sa composante fondamentale. C'est le temps minimum au bout duquel le signal se répète à l'identique.

Remarque Pédagogique

Attention aux unités ! La fréquence est souvent en Hertz (Hz) et la période en secondes (s) ou millisecondes (ms).

Normes

L'unité SI de temps est la seconde (s), définie historiquement comme 1/86400 du jour solaire moyen, et aujourd'hui par transition atomique.

Formule(s)

Période temporelle

T = \frac{1}{f_1}

Hypothèses

On suppose que le signal est stationnaire (ne change pas au cours du temps) et strictement périodique, sans bruit.

Donnée(s)

Nous utilisons la fréquence fondamentale.

Paramètre	Valeur
Fréquence (\(f_1\))	220 Hz

Astuces

Pour convertir des secondes en millisecondes, multipliez par 1000. C'est souvent plus lisible pour des sons audibles.

Schéma (Avant les calculs)

Voici à quoi ressemble un signal sur un oscilloscope virtuel. La période T est l'écart entre deux crêtes.

Visualisation Oscilloscope (Temporel)

Calcul(s)

Nous partons de la relation inverse entre période et fréquence. On remplace \(f_1\) par sa valeur de 220 Hz.

\begin{aligned} T &= \frac{1}{220} \\ &\approx 0,00454545... \text{ s} \end{aligned}

Le résultat brut en secondes est très petit et peu parlant. Pour une meilleure lisibilité, nous le convertissons en millisecondes (ms) en multipliant par 1000.

\begin{aligned} T_{\text{ms}} &= 0,004545 \times 1000 \\ &\approx 4,55 \text{ ms} \end{aligned}

Cela signifie que le motif sonore se répète environ 4,55 fois toutes les 10 millisecondes, ou une fois toutes les 4,55 ms.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma précédent reste valide, avec la valeur T = 4,55 ms. Cela représente la durée d'un cycle complet de vibration de la corde.

Réflexions

Notez que la période du signal complexe est égale à la période de la fondamentale. Les harmoniques supérieures "tiennent" un nombre entier de fois dans cette période fondamentale.

Points de vigilance

Ne confondez pas \(T\) (Période) et \(f\) (Fréquence). Ce sont des grandeurs inverses. Une fréquence élevée signifie une période courte.

Points à retenir

\(T = 1/f\)
La période s'exprime en secondes.

Le saviez-vous ?

Pour une note grave à 20 Hz, la période est de 50 ms, ce qui commence à être perceptible comme une pulsation plutôt que comme une note continue.

FAQ

Q: Si j'ajoute une harmonique 2, la période change-t-elle ?
R: Non, la période globale reste celle de la fondamentale car l'harmonique 2 se répète deux fois dans le même intervalle.

Résultat Final

La période est d'environ 4,55 ms.

A vous de jouer

Quelle est la période (en secondes) pour \(f = 50\) Hz ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse : La période est l'inverse de la fréquence.

Question 3 : Longueur d'onde

Principe

La longueur d'onde est la distance physique parcourue par le son durant une période. Elle relie le domaine temporel au domaine spatial. C'est la "taille physique" d'un cycle sonore dans l'air.

Mini-Cours

C'est la distance entre deux points de pression maximale successifs. Plus la fréquence est basse, plus l'onde est "longue" (d'où le terme "grandes ondes").

Remarque Pédagogique

Imaginez la distance entre deux crêtes de vagues successives sur la mer : c'est exactement la même notion, mais pour le son.

Normes

La vitesse du son dans l'air sec est généralement prise à 340 m/s à une température de 15°C. Elle varie avec la température selon la formule approximative \(c \approx 331.3 + 0.606 \cdot T_{\text{°C}}\).

Formule(s)

Longueur d'onde

\lambda = \frac{c}{f}

ou \(\lambda = c \times T\)

Hypothèses

On considère une propagation libre dans l'air homogène et isotrope, sans vent.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur
Vitesse du son	\(c\)	340 m/s
Fréquence	\(f\)	220 Hz

Astuces

Une fréquence de 340 Hz a une longueur d'onde de exactement 1 mètre. C'est un bon repère pour estimer vos résultats.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation spatiale de l'onde sonore.

Longueur d'Onde Spatiale

[Image of sound wavelength in air]

Calcul(s)

Nous appliquons la formule de la longueur d'onde en substituant les valeurs connues : la célérité \(c = 340\) m/s et la fréquence \(f = 220\) Hz.

\lambda = \frac{340}{220}

Pour simplifier le calcul mental, on peut diviser le numérateur et le dénominateur par 20.

\begin{aligned} \lambda &= \frac{34}{22} \\ &= \frac{17}{11} \end{aligned}

Le calcul décimal donne :

\begin{aligned} \lambda &= \frac{17}{11} \\ &\approx 1,54545... \text{ m} \end{aligned}

Enfin, on arrondit le résultat à deux chiffres significatifs après la virgule, ce qui est suffisant pour une application pratique.

\lambda \approx 1,55 \text{ m}

Schéma (Après les calculs)

Pour visualiser cette taille, comparons-la à une taille humaine moyenne.

Comparaison d'échelle

Réflexions

1,55 m est une dimension à "échelle humaine". C'est pourquoi les instruments qui produisent ces notes (violoncelle, guitare) ont des dimensions métriques qui correspondent à des fractions de cette longueur d'onde.

Points de vigilance

Attention à bien utiliser la vitesse du son dans le milieu concerné (l'air ici, ce serait environ 1500 m/s dans l'eau, donnant une longueur d'onde beaucoup plus grande).

Points à retenir

\(\lambda = c/f\)
Basse fréquence = grande longueur d'onde.

Le saviez-vous ?

Pour produire un Do très grave à 32 Hz, un tuyau d'orgue doit mesurer environ 5 mètres de long (pour un tuyau ouvert, \(\lambda/2\)) !

FAQ

Q: La longueur d'onde change-t-elle avec la température ?
R: Oui, car la vitesse du son \(c\) augmente avec la température, donc \(\lambda\) augmente aussi légèrement quand il fait chaud.

Résultat Final

\(\lambda \approx 1,55\) m.

A vous de jouer

Si \(c = 340\) m/s et \(f = 340\) Hz, que vaut \(\lambda\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse : \(\lambda = c/f\).

Question 4 : Suppression de la fondamentale

Principe

C'est un phénomène psycho-acoustique fascinant appelé "fondamentale manquante" ou "résidu". Le cerveau est capable de reconstruire la fondamentale manquante à partir de l'espacement constant des harmoniques restantes.

Mini-Cours

La hauteur d'un son complexe est déterminée par la périodicité globale du signal. Pour un spectre harmonique, cette périodicité correspond à la différence de fréquence entre deux harmoniques consécutives.

Remarque Pédagogique

C'est ce principe qui permet aux petits haut-parleurs (téléphones, écouteurs) de nous faire entendre des voix graves ou des basses qu'ils ne peuvent physiquement pas reproduire (car trop petits pour vibrer à basse fréquence).

Normes

Ce phénomène relève de la psychoacoustique, il n'y a pas de norme ISO, mais c'est un principe universel de la perception auditive humaine décrit par Seebeck dès le 19ème siècle.

Formule(s)

On cherche le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) des fréquences restantes.

f_{\text{perçue}} = \text{PGCD}(f_2, f_3, f_4...)

Hypothèses

On suppose que le système auditif fonctionne normalement et que le spectre est harmonique (les fréquences sont des multiples entiers).

Donnée(s)

Fréquences restantes
440 Hz, 660 Hz, 880 Hz...

Astuces

Regardez simplement l'écart entre les fréquences : 660 - 440 = 220. 880 - 660 = 220. C'est souvent la réponse !

Schéma (Avant les calculs)

Spectre tronqué (Filtre Passe-Haut)

Calcul(s)

Calculons l'écart entre les harmoniques présentes pour trouver la périodicité :

\begin{aligned} \Delta f_1 &= f_3 - f_2 \\ &= 660 - 440 \\ &= 220 \text{ Hz} \\[0.5em] \Delta f_2 &= f_4 - f_3 \\ &= 880 - 660 \\ &= 220 \text{ Hz} \end{aligned}

Nous observons que l'écart est constant. Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 440, 660 et 880 est bien 220.

f_{\text{virtuelle}} = 220 \text{ Hz}

Le cerveau utilise cette périodicité de 220 Hz pour attribuer une hauteur au son.

Schéma (Après les calculs)

Le graphique temporel montrerait que les pics de l'onde combinée (440+660) se répètent tous les 1/220èmes de seconde, même sans la composante à 220 Hz.

Réflexions

Le cerveau "entend" 220 Hz même si l'énergie physique à 220 Hz est nulle. C'est une illusion auditive très utile.

Points de vigilance

La hauteur (la note) reste la même, mais le timbre change radicalement. Le son devient plus fin, moins "plein", un peu comme une voix au téléphone.

Points à retenir

La hauteur est liée à la périodicité globale.
Supprimer la fondamentale ne change pas la note perçue pour un son harmonique.

Le saviez-vous ?

Les cloches d'église ont des partiels non-harmoniques, ce qui rend difficile de leur attribuer une note précise parfois ! On parle de sons inharmoniques.

FAQ

Q: Est-ce toujours vrai ?
R: Seulement pour les sons harmoniques. Pour des sons inharmoniques (cloche, cymbale), la suppression des graves peut changer la perception de hauteur.

Résultat Final

La hauteur perçue reste celle d'un La (220 Hz), mais le timbre sera différent.

A vous de jouer

Si j'ai des harmoniques à 300, 450, 600 Hz... quelle est la fondamentale virtuelle ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse : Pitch résiduel = écart entre harmoniques.

Question 5 : Synthèse additive

Principe

Pour recréer le son temporel à partir du spectre (le graphique des fréquences), on fait l'inverse de l'analyse : c'est la synthèse additive. On additionne mathématiquement les ondes sinusoïdales correspondantes.

Mini-Cours

Chaque barre du spectre correspond à une équation \(A \sin(2\pi f t)\). Le signal total est simplement la somme algébrique de toutes ces équations à chaque instant \(t\).

Remarque Pédagogique

C'est le principe de fonctionnement des orgues (on tire des registres pour ajouter des tuyaux) et des premiers synthétiseurs électroniques.

Normes

On utilise la notation mathématique standard des signaux sinusoïdaux : \(A \sin(\omega t + \phi)\) avec \(\omega = 2\pi f\).

Formule(s)

y(t) = \sum A_n \cdot \sin(2\pi f_n t + \phi_n)

Hypothèses

On néglige les phases (\(\phi_n = 0\)) pour simplifier l'écriture, car l'oreille est peu sensible aux décalages de phase pour des sons stationnaires.

Donnée(s)

On utilise les amplitudes et fréquences du tableau de l'énoncé (f1=220Hz, A1=100%; f2=440Hz, A2=60%; etc.).

Astuces

Rappelez-vous que \(\omega = 2\pi f\). L'argument du sinus est \(\omega t\).

Schéma (Avant les calculs)

Principe de la Synthèse Additive

Calcul(s)

Nous allons construire l'équation du signal en sommant les contributions de chaque harmonique, une par une.

Pour l'harmonique 1 (Fondamentale) : Amplitude = 1, Fréquence = 220 Hz. L'équation est :

\begin{aligned} y_1(t) &= 1 \cdot \sin(2\pi \cdot 220 \cdot t) \\ &= \sin(440\pi t) \end{aligned}

Pour l'harmonique 2 : Amplitude = 0.6, Fréquence = 440 Hz. L'équation est :

\begin{aligned} y_2(t) &= 0,6 \cdot \sin(2\pi \cdot 440 \cdot t) \\ &= 0,6 \sin(880\pi t) \end{aligned}

Pour l'harmonique 3 : Amplitude = 0.3, Fréquence = 660 Hz. L'équation est :

\begin{aligned} y_3(t) &= 0,3 \cdot \sin(2\pi \cdot 660 \cdot t) \\ &= 0,3 \sin(1320\pi t) \end{aligned}

Signal total : En sommant ces trois composantes, nous obtenons l'expression mathématique complète du son :

\begin{aligned} y(t) &= y_1(t) + y_2(t) + y_3(t) \\ &= \sin(440\pi t) + 0,6\sin(880\pi t) + 0,3\sin(1320\pi t) \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

C'est exactement ce que vous verrez dans le simulateur ci-dessous ! La forme n'est plus sinusoïdale mais complexe.

Réflexions

La forme d'onde résultante n'est plus une sinusoïde pure, mais une forme complexe périodique qui contient toute la richesse du timbre.

Points de vigilance

L'amplitude relative est importante pour le timbre. Si f2 est plus fort que f1, le son change de couleur (plus brillant).

Points à retenir

Spectre -> Temporel = Synthèse additive.
Temporel -> Spectre = Analyse de Fourier.

Le saviez-vous ?

Le format MP3 stocke le son non pas comme une onde, mais comme une liste de fréquences (proche du spectre) pour gagner de la place.

FAQ

Q: Peut-on faire n'importe quel son ainsi ?
R: Oui, théoriquement, en additionnant suffisamment de sinusoïdes avec les bonnes amplitudes et phases.

Résultat Final

Le signal est la somme pondérée des sinus aux fréquences harmoniques.

A vous de jouer

Si j'ajoute une harmonique 3 en opposition de phase, cela change-t-il le timbre perçu par l'oreille ? (Question piège : l'oreille est peu sensible à la phase).

Mini Fiche Mémo

Synthèse : Somme des sinus = Signal complexe.

Outil Interactif : Synthétiseur Harmonique

Visualisez comment l'ajout d'harmoniques modifie la forme de l'onde sonore sans changer sa période fondamentale.

Paramètres du Son

Fréquence Fondamentale (\(f_1\)) 220 Hz

Amplitude Harmonique 2 (%) 50 %

Calculs en Temps Réel

Fréquence Harmonique 2 -

Période du signal (\(T\)) -

Glossaire

Fréquence Fondamentale (\(f_1\)): La fréquence la plus basse d'un son périodique, qui détermine la hauteur perçue (la note).
Harmonique: Composante fréquentielle d'un son dont la fréquence est un multiple entier de la fondamentale.
Spectre: Représentation graphique de l'amplitude des composantes fréquentielles d'un son (comme l'histogramme vu dans l'énoncé).
Période (\(T\)): La durée minimale au bout de laquelle le signal sonore se répète à l'identique.

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