ÉTUDE ACOUSTIQUE

Étude d’un résonateur de Helmholtz

Acoustique : Étude d'un résonateur de Helmholtz

Étude d'un résonateur de Helmholtz : calcul de la fréquence de résonance

Contexte : Le Son d'une Bouteille qui Chante

Lorsqu'on souffle sur le goulot d'une bouteille vide, on produit un son grave et pur. Ce phénomène est une manifestation du résonateur de HelmholtzSystème acoustique formé d'une cavité rigide (le volume d'air) et d'un col (le goulot), qui oscille à une fréquence de résonance grave spécifique.. Le système se comporte comme un oscillateur masse-ressort : le volume d'air dans la bouteille agit comme un ressort compressible, et la "masse" d'air contenue dans le goulot oscille, entrant et sortant. Ce système possède une fréquence de résonance naturelle qui dépend uniquement de sa géométrie. Ce principe est fondamental en acoustique, des caisses de guitare aux caissons de basse en passant par les systèmes d'échappement des voitures.

Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de modéliser un phénomène acoustique complexe avec une formule relativement simple. Il met en lumière comment des paramètres géométriques (volume, surface et longueur d'une ouverture) peuvent être ajustés pour "accorder" un système afin qu'il résonne à une fréquence désirée, un principe de base de l'ingénierie acoustique.

Objectifs Pédagogiques

  • Définir les composantes d'un résonateur de Helmholtz (cavité, col).
  • Comprendre l'analogie mécanique du système masse-ressort.
  • Appliquer la formule de la fréquence de résonance de Helmholtz.
  • Calculer la longueur effective d'un col en tenant compte de la correction d'extrémité.
  • Analyser l'influence de chaque paramètre géométrique sur la fréquence de résonance.

Données de l'étude

On modélise une bouteille en verre comme un résonateur de Helmholtz. Ses caractéristiques sont les suivantes :

  • Volume interne de la cavité : \(V = 750 \, \text{cm}^3\)
  • Longueur du goulot (le "col") : \(l = 5 \, \text{cm}\)
  • Rayon interne du goulot : \(r = 9 \, \text{mm}\)

On prendra la célérité du son dans l'air comme étant \(v = 340 \, \text{m/s}\).

Modèle du Résonateur de Helmholtz
Volume V Col (S, L)

Questions à traiter

  1. Calculer la surface \(S\) du col et son volume \(V\) en unités du Système International.
  2. Calculer la longueur effective \(L'\) du col, en utilisant la formule de correction \(L' = l + 1.6 \times r\).
  3. Calculer la fréquence de résonance \(f_H\) du résonateur.

Correction : Étude d'un résonateur de Helmholtz

Question 1 : Calcul des Paramètres Géométriques (S et V)

Principe :
Volume V Col S, l

La première étape est de convertir toutes les grandeurs géométriques dans les unités du Système International (mètres, mètres carrés, mètres cubes) pour assurer la cohérence des calculs. Le volume de la cavité et la surface du col sont les deux paramètres principaux du résonateur.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La conversion d'unités est une source d'erreur majeure en physique. Il faut être particulièrement vigilant avec les volumes : \(1 \, \text{m}^3 = (100 \, \text{cm})^3 = 1,000,000 \, \text{cm}^3\). Une erreur ici fausserait complètement le résultat final.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ S = \pi \times r^2 \]
\[ 1 \, \text{m}^3 = 10^6 \, \text{cm}^3 \]
Donnée(s) :
  • Volume de la cavité : \(V = 750 \, \text{cm}^3\)
  • Rayon du col : \(r = 9 \, \text{mm} = 0.009 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} V_{\text{m}^3} &= 750 \, \text{cm}^3 \times \frac{1 \, \text{m}^3}{10^6 \, \text{cm}^3} \\ &= 750 \times 10^{-6} \, \text{m}^3 \\ &= 0.00075 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} S &= \pi \times (0.009)^2 \\ &= \pi \times 0.000081 \\ &\approx 0.000254 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unités Mixtes : L'énoncé donne des cm³, des cm et des mm. Il est crucial de tout standardiser en mètres avant de commencer les calculs de la fréquence pour éviter les confusions.

Le saviez-vous ?

Le principe du résonateur de Helmholtz est utilisé pour fabriquer des absorbeurs de bruit très efficaces à basse fréquence. Ce sont des panneaux perforés avec une cavité derrière, conçus pour résonner et dissiper l'énergie d'une fréquence de bruit spécifique, comme le bourdonnement d'un transformateur.

FAQ en rapport avec la question :
Le volume du col compte-t-il dans le volume total V ?

En théorie, non. \(V\) représente le volume de la cavité principale qui agit comme un "ressort". Le volume d'air dans le col est considéré comme la "masse" oscillante. Dans la pratique, pour une bouteille, le volume du col est si petit par rapport au volume de la cavité qu'il est négligeable.

Résultat : Le volume est \(V = 7.5 \times 10^{-4} \, \text{m}^3\) et la surface du col est \(S \approx 2.54 \times 10^{-4} \, \text{m}^2\).

Question 2 : Calcul de la Longueur Effective du Col (L')

Principe :

L'air ne se contente pas d'osciller à l'intérieur du goulot. Une certaine quantité d'air juste à l'intérieur et juste à l'extérieur de l'ouverture est "entraînée" dans le mouvement. Pour tenir compte de cette masse d'air supplémentaire, on utilise une longueur "effective" \(L'\), qui est la longueur physique du col \(l\) à laquelle on ajoute un terme de correction proportionnel au rayon.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette correction est un exemple de la différence entre un modèle physique simple et la réalité. Le modèle de base ne fonctionne qu'avec cette longueur "corrigée". Omettre ce terme conduit à une erreur significative dans le calcul de la fréquence.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L' = l + 1.6 \times r \]
Donnée(s) :
  • Longueur physique du col : \(l = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}\)
  • Rayon du col : \(r = 9 \, \text{mm} = 0.009 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} L' &= 0.05 + (1.6 \times 0.009) \\ &= 0.05 + 0.0144 \\ &= 0.0644 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Le bon coefficient : Le coefficient de correction (ici 1.6) peut varier légèrement selon les sources (parfois 1.7 ou 8/(3\(\pi\)) \(\approx\) 0.85 pour chaque extrémité). Il est important d'utiliser celui spécifié dans l'énoncé. Il représente la correction pour les deux extrémités du col (interne et externe).

Le saviez-vous ?

Cette même correction de longueur s'applique aux évents (bass-reflex) des enceintes acoustiques. Les concepteurs l'utilisent pour accorder précisément la résonance du caisson à une basse fréquence, afin d'étendre la réponse en grave du haut-parleur.

FAQ en rapport avec la question :
La longueur effective dépend-elle de la forme du goulot ?

Oui. La formule \(L' = l + 1.6r\) est une approximation pour un col cylindrique simple. Si le goulot est évasé ou a une forme plus complexe, le calcul de la longueur effective devient beaucoup plus compliqué.

Résultat : La longueur effective du col est \(L' = 0.0644 \, \text{m}\).

Question 3 : Calcul de la Fréquence de Résonance (\(f_H\))

Principe :

Une fois tous les paramètres géométriques connus et exprimés en unités SI, on peut les injecter dans la formule de Helmholtz pour trouver la fréquence de résonance du système. Cette fréquence dépend de la vitesse du son, et de la géométrie du résonateur.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Observez la formule : la fréquence augmente avec la vitesse du son (\(v\)) et la surface du col (\(S\)), mais diminue avec le volume de la cavité (\(V\)) et la longueur du col (\(L'\)). Cela a des conséquences intuitives : une plus grosse bouteille (plus de volume) sonnera plus grave ; un goulot plus large (plus de surface) sonnera plus aigu.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f_H = \frac{v}{2\pi} \sqrt{\frac{S}{V \times L'}} \]
Donnée(s) :
  • Célérité du son : \(v = 340 \, \text{m/s}\)
  • Volume de la cavité : \(V = 0.00075 \, \text{m}^3\)
  • Surface du col : \(S \approx 0.000254 \, \text{m}^2\)
  • Longueur effective du col : \(L' = 0.0644 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} f_H &= \frac{340}{2\pi} \sqrt{\frac{0.000254}{0.00075 \times 0.0644}} \\ &\approx 54.11 \times \sqrt{\frac{0.000254}{0.0000483}} \\ &\approx 54.11 \times \sqrt{5.259} \\ &\approx 54.11 \times 2.293 \\ &\approx 124.08 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Calcul final : L'enchaînement des opérations est crucial. Il faut d'abord calculer le produit au dénominateur sous la racine, puis la division, puis la racine carrée, et enfin multiplier par le terme \((v/2\pi)\).

Le saviez-vous ?

Une fréquence de 124 Hz correspond à peu près à la note Si (B2), une note de basse. C'est la raison pour laquelle le son d'une bouteille est si grave, même si la bouteille est petite. La grande "élasticité" du volume d'air par rapport à la petite "masse" d'air dans le goulot crée un oscillateur de très basse fréquence.

FAQ en rapport avec la question :
Que se passe-t-il si on remplit la bouteille à moitié d'eau ?

Remplir la bouteille diminue le volume de la cavité d'air \(V\). Comme \(V\) est au dénominateur dans la racine, diminuer \(V\) va augmenter la fréquence de résonance. Le son produit en soufflant sera donc plus aigu, ce que l'on peut facilement expérimenter.

Résultat : La fréquence de résonance de la bouteille est d'environ \(124 \, \text{Hz}\).

Simulation d'un Résonateur de Helmholtz

Modifiez les dimensions de la cavité et du col pour voir comment la fréquence de résonance est affectée. Observez l'impact de chaque paramètre.

Paramètres du Résonateur
Fréquence de Résonance
Réponse en Fréquence

Pour Aller Plus Loin : Les Autres Modes de la Cavité

Plus qu'une seule note : Le résonateur de Helmholtz ne décrit que la toute première et la plus grave des résonances d'une cavité. La cavité elle-même, comme un tuyau d'orgue, possède ses propres modes de résonance internes à des fréquences beaucoup plus élevées. Ces modes sont responsables de la "coloration" du son dans les médiums et les aigus. C'est la combinaison de la résonance de Helmholtz grave et des modes de cavité plus aigus qui donne à une guitare sa signature sonore complète.

Le Saviez-Vous ?

Le son caractéristique d'une voiture de sport à l'arrêt n'est pas seulement dû au moteur. Les ingénieurs acousticiens conçoivent le système d'échappement comme une série de résonateurs de Helmholtz complexes pour sculpter le son, en amplifiant certaines fréquences basses pour donner un grondement satisfaisant, tout en atténuant d'autres fréquences jugées désagréables.

Foire Aux Questions (FAQ)

Est-ce que la forme de la cavité est importante ?

Pour la fréquence de Helmholtz, non. C'est l'une des beautés du modèle : seule la valeur du volume \(V\) compte, pas la forme de la bouteille (qu'elle soit sphérique, cubique ou complexe). Cependant, la forme de la cavité a un impact majeur sur les fréquences de résonance plus aiguës (les modes de la cavité).

Comment fonctionne un ocarina ?

Un ocarina est un résonateur de Helmholtz à la base. Le volume est le corps de l'instrument. En bouchant ou débouchant les trous, le joueur ne change pas la longueur d'une colonne d'air (comme une flûte), mais il change la surface totale et la longueur effective de l'ouverture. En modifiant S et L', il modifie la fréquence de résonance de Helmholtz et donc la note jouée.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour obtenir une note plus grave avec un résonateur de Helmholtz, il faut :

2. Le "ressort" dans l'analogie mécanique d'un résonateur de Helmholtz est :

Glossaire

Résonateur de Helmholtz
Système acoustique composé d'une cavité rigide de volume \(V\) communiquant avec l'extérieur par un col de surface \(S\) et de longueur \(L\). Il résonne à une fréquence grave spécifique.
Fréquence de Résonance
Fréquence à laquelle un système oscille avec une amplitude maximale lorsqu'il est excité. Pour un résonateur de Helmholtz, elle est déterminée par sa géométrie.
Col (ou Goulot)
Le "tuyau" court qui relie la cavité à l'extérieur. La masse d'air qu'il contient est la "masse" du système masse-ressort.
Cavité
Le volume principal du résonateur. L'air qu'il contient agit comme un ressort en se comprimant et se détendant.
Longueur Effective
La longueur physique du col augmentée d'un terme de correction pour tenir compte de la masse d'air "entraînée" aux extrémités de l'ouverture.
Étude d'un résonateur de Helmholtz : calcul de la fréquence de résonance

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