Étude d'une Cavité Résonante Rectangulaire
Contexte : Acoustique des salles et modes propres.
En acoustique architecturale, toute salle fermée se comporte comme une cavité résonante. À certaines fréquences précises, dépendant des dimensions géométriques de la pièce, des ondes sonores réfléchies par les parois entrent en phase avec les ondes incidentes. Ce phénomène crée des ondes stationnairesSystème d'ondes caractérisé par des nœuds (pression nulle) et des ventres (pression maximale) fixes dans l'espace. qui amplifient considérablement le niveau sonore.
Ces fréquences de résonance sont appelées modes propres de la salle. Lorsqu'un mode est excité (par des enceintes ou un instrument), la salle "chante" à cette fréquence, provoquant une coloration sonore ("boomy") et une réponse temporelle trainante (résonance). Dans les studios, les cinémas maison ou les salles de concert, il est crucial de calculer ces modes, en particulier dans les basses fréquences, pour prévoir les traitements acoustiques nécessaires (bass traps, diffuseurs).
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guide pas à pas dans le calcul théorique des fréquences propres d'une salle rectangulaire vide. Vous apprendrez à utiliser la formule de Rayleigh et à distinguer les trois familles de modes (Axiaux, Tangentiels, Obliques), en comprenant leur hiérarchie énergétique.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre l'origine physique des ondes stationnaires dans une cavité fermée.
- Maîtriser la formule de calcul des fréquences propres pour une géométrie rectangulaire.
- Identifier et différencier les modes axiaux, tangentiels et obliques selon leurs indices \((n, m, l)\).
- Analyser l'influence des paramètres physiques (dimensions, température) sur l'acoustique de la salle.
Données de l'étude
Nous considérons une salle d'écoute de forme parallélépipédique (modèle "shoebox"), vide de tout mobilier. Pour simplifier l'étude, nous supposons que les parois (murs, sol, plafond) sont parfaitement rigides et réfléchissantes (coefficient de réflexion \(R \approx 1\)).
L'objectif est d'identifier les premières fréquences de résonance problématiques situées dans le bas du spectre audible (20 Hz - 200 Hz), zone où le traitement acoustique est le plus difficile.
Fiche Technique / Données
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur de la salle | \(L_x\) | 5,00 | \(\text{m}\) |
| Largeur de la salle | \(L_y\) | 4,00 | \(\text{m}\) |
| Hauteur de la salle | \(L_z\) | 3,00 | \(\text{m}\) |
| Température de l'air | \(T\) | 20 | \(\text{°C}\) |
| Célérité du son (à 20°C) | \(c\) | 340 | \(\text{m/s}\) |
Schéma de la Cavité (Modèle Shoebox)
Questions à traiter
- Calculer la fréquence fondamentale du mode axial selon la longueur (1,0,0).
- Calculer la fréquence fondamentale du mode axial selon la largeur (0,1,0).
- Déterminer la fréquence du premier mode tangentiel au sol (1,1,0).
- Déterminer la fréquence du premier mode oblique (1,1,1).
- Analyser l'impact d'une augmentation de température à 30°C.
Les bases théoriques
Dans un milieu clos, les ondes acoustiques interfèrent. La condition de résonance est atteinte lorsque la distance parcourue par l'onde lors d'un aller-retour correspond à un nombre entier de longueurs d'onde. Cela crée une onde stationnaire qui ne se propage plus mais oscille sur place, accumulant de l'énergie.
L'équation des fréquences propres (Rayleigh)
Pour une salle parallélépipédique de dimensions \(L_x, L_y, L_z\), les fréquences de résonance \(f_{n,m,l}\) sont données par l'équation dérivée de l'équation d'onde de Helmholtz :
Où :
- \(c\) est la célérité du son (\(\text{m/s}\)).
- \(n, m, l\) sont des entiers naturels \((0, 1, 2...)\) appelés indices modaux. Ils représentent le nombre de demi-longueurs d'onde contenues dans chaque dimension respective.
Hiérarchie énergétique des modes :
- Modes Axiaux (2 indices nuls) : L'onde se propage parallèlement à un axe entre deux parois opposées. Ce sont les modes les plus puissants et les plus audibles (0 dB de référence).
- Modes Tangentiels (1 indice nul) : L'onde se réfléchit sur quatre parois (ex: les 4 murs, ou 2 murs + sol/plafond). Ils contiennent moitié moins d'énergie (-3 dB).
- Modes Obliques (0 indice nul) : L'onde se propage en 3D en touchant les six parois. Ils sont deux fois moins énergétiques que les tangentiels (-6 dB).
Correction : Étude d'une Cavité Résonante Rectangulaire
Question 1 : Mode Axial Fondamental (Longueur)
Principe
Le mode axial selon la longueur \(L_x\) est la résonance la plus simple : l'onde fait des allers-retours directs entre le mur avant et le mur arrière. La fréquence fondamentale correspond au cas où la distance \(L_x\) est égale à exactement une demi-longueur d'onde (\(\lambda / 2\)). Les indices sont \((n=1, m=0, l=0)\). C'est généralement le mode le plus grave que la pièce peut soutenir physiquement.
Mini-Cours
Onde Stationnaire et Pression : Pour ce mode (1,0,0), la pression acoustique est maximale contre les murs avant et arrière (ce sont des ventres de pression) et nulle au centre exact de la pièce (c'est un nœud de pression). C'est pour cette raison que les basses fréquences semblent toujours plus fortes lorsque l'on se colle aux murs ou dans les coins, et peuvent sembler disparaître au centre de la pièce.
Remarque Pédagogique
Il faut toujours commencer par calculer le mode axial de la plus grande dimension. C'est lui qui définit la fréquence de coupure basse de la salle (la fréquence en dessous de laquelle aucune résonance modale n'est possible, on entre alors dans la zone de pressurisation).
Normes
L'identification de ces modes est conforme aux pratiques décrites dans l'ISO 3382-1 pour l'analyse des salles, bien que cette norme se concentre davantage sur les temps de réverbération globaux.
Formule(s)
Simplification pour mode axial
Pour un mode axial simple où \(m=0\) et \(l=0\), la racine carrée se simplifie considérablement. Partons de l'équation générale :
On retombe ainsi sur la formule très intuitive de la corde vibrante ou du tuyau fermé : la vitesse divisée par deux fois la longueur.
Hypothèses
Nous supposons :
- Une géométrie parfaitement rectangulaire (pas d'alcôves).
- Des murs infiniment rigides (réflexion totale de l'énergie), ce qui maximise l'amplitude du mode et le rend plus "pointu" (facteur Q élevé).
Donnée(s)
| Dimension | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Longueur | \(L_x\) | 5,00 \(\text{m}\) |
Astuces
Calcul mental rapide : \(\frac{c}{2} \approx 170\). Pour trouver la fréquence d'un mode axial fondamental, divisez simplement 170 par la dimension en mètres. Ex: pour 5m -> 170/5 = 34.
Visualisation 1D du Mode (1,0,0)
Calcul(s)
Calcul Principal
Nous appliquons maintenant la formule simplifiée en remplaçant \(c\) par 340 m/s et la longueur \(L_x\) par 5 mètres :
Le dénominateur étant égal à 10, la division se fait simplement en décalant la virgule. Nous obtenons une fréquence fondamentale de 34 Hz.
Résultat : Fréquence Fondamentale
Réflexions
Cette fréquence de 34 Hz est très grave, à la limite de l'infra-son (le seuil auditif humain est à 20 Hz). Elle sera ressentie physiquement comme une pression ou un tremblement plus qu'entendue distinctement. C'est la note "Do" la plus basse d'un piano standard (approximativement C1).
Points de vigilance
Ne confondez pas le mode fondamental (n=1) avec ses harmoniques. Le mode (2,0,0) existera également dans cette dimension à \(2 \times 34 = 68 \text{ Hz}\), le (3,0,0) à 102 Hz, etc. Chaque dimension génère toute une série harmonique.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Mode Axial (1,0,0) = \(c / 2L\).
- La pression acoustique est maximale contre les murs perpendiculaires à l'axe.
- L'absorption de ces fréquences nécessite des dispositifs volumineux (le quart de la longueur d'onde).
Le saviez-vous ?
Si vous vous placez exactement au milieu de la pièce (à 2,5m), vous n'entendrez quasiment pas cette fréquence de 34 Hz, car vous êtes assis dans un nœud de pression ! C'est le pire endroit pour mettre la position d'écoute principale si vous voulez entendre les sub-basses.
FAQ
Comment traiter ce mode acoustiquement ?
Les modes aussi bas nécessitent des "Bass Traps" très épais ou des résonateurs à membrane (panneaux fléchissants) accordés spécifiquement sur 34 Hz, placés dans les coins où la pression est maximale.
A vous de jouer
Si la longueur de la salle était doublée (10m), la fréquence serait-elle divisée par deux ? (Essayez : 170 / 10)
📝 Mémo
Grande dimension = Fréquence grave. Distance doublée = Fréquence divisée par 2.
Question 2 : Mode Axial (Largeur)
Principe
On s'intéresse maintenant à la résonance entre les murs latéraux gauche et droite (\(L_y = 4\)m). Les indices correspondants sont \((0,1,0)\). C'est le mode fondamental transversal de la pièce.
Mini-Cours
Indépendance des Axes : Dans une salle rectangulaire, les trois dimensions (longueur, largeur, hauteur) génèrent chacune leur propre série harmonique de modes axiaux, indépendamment les unes des autres. Le champ sonore total est la superposition de tous ces modes.
Remarque Pédagogique
Il est important de vérifier si les fréquences des différents axes ne sont pas trop proches. Si \(L_x \approx L_y\), les modes s'empilent à la même fréquence, créant une résonance très forte et une bosse très marquée dans la réponse en fréquence de la salle.
Normes
Pour les studios d'écoute critique, des normes comme l'EBU Tech 3276 recommandent des ratios dimensionnels précis (ex: diagramme de Bolt) pour éviter la superposition des modes. Ici, 5m et 4m sont distincts, ce qui est un bon point de départ.
Formule(s)
Mode Axial selon Y
Hypothèses
On suppose toujours \(c=340 \text{ m/s}\) et des parois latérales parfaitement parallèles et réfléchissantes.
Donnée(s)
| Dimension | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Largeur | \(L_y\) | 4,00 \(\text{m}\) |
Astuces
Plus la dimension est petite, plus la fréquence est élevée. Comme \(L_y < L_x\) (4m < 5m), on s'attend mathématiquement à ce que \(f_y > f_x\).
Schéma Axial Y (Vue de dessus)
Calcul(s)
Calcul Principal
On procède de la même manière que pour la question 1, en utilisant cette fois la largeur \(L_y = 4\) m :
En divisant 340 par 8, nous obtenons exactement 42,5 Hz. C'est la fréquence fondamentale transversale.
Comparaison Spectrale
Réflexions
L'écart entre le mode X (34 Hz) et le mode Y (42,5 Hz) est de 8,5 Hz. C'est une distribution correcte. Si l'écart était inférieur à 5 Hz, les modes pourraient fusionner et causer un problème majeur de "note unique" qui sonne tout le temps.
Points de vigilance
Vérifiez toujours que \(L_z\) (hauteur) ne soit pas un sous-multiple de \(L_y\) ou \(L_x\). Par exemple, si la hauteur était de 2,5m (la moitié de 5m), le mode 2 de la hauteur tomberait exactement sur le mode 1 de la longueur (68 Hz).
Points à Retenir
L'indépendance des axes : modifier la largeur de la pièce pour traiter le mode 42,5 Hz ne changera absolument pas la fréquence du mode de longueur (34 Hz).
Le saviez-vous ?
Dans un cube parfait (ex: 4m x 4m x 4m), les trois modes axiaux seraient à 42,5 Hz. L'énergie serait triplée (+4.8 dB), rendant cette note insupportable à l'écoute.
FAQ
Peut-on supprimer ce mode ?
Non, c'est une propriété physique de la pièce. On ne peut que l'atténuer (le "dégonfler") avec des traitements absorbants pour qu'il résonne moins longtemps.
A vous de jouer
Si la largeur doublait (8m), la fréquence serait ? (Indice: c'est la moitié)
📝 Mémo
Largeur plus petite = Fréquence plus aiguë. Dimension inversement proportionnelle à la fréquence.
Question 3 : Premier Mode Tangentiel (1,1,0)
Principe
Un mode tangentiel implique une réflexion sur quatre surfaces (ici : mur avant, arrière, gauche, droite), tout en étant parallèle aux deux autres (sol/plafond). Les indices sont \((1,1,0)\). L'onde "tourne" dans le plan horizontal de la pièce.
Mini-Cours
Énergie : Les modes tangentiels ont une énergie acoustique moitié moindre que les modes axiaux (-3 dB). Cependant, ils sont plus nombreux et contribuent à lisser la réponse en fréquence de la salle. Ils sont moins susceptibles de causer des défauts majeurs mais participent à l'ambiance sonore globale.
Remarque Pédagogique
On peut voir ce mode comme une combinaison vectorielle des deux modes axiaux précédents. C'est l'hypoténuse acoustique ! \(f_{\text{tangentiel}} = \sqrt{f_{\text{axial\_X}}^2 + f_{\text{axial\_Y}}^2}\).
Normes
Sans objet spécifique, mais important pour la densité modale.
Formule(s)
Formule complète avec l=0
Hypothèses
On néglige l'amortissement aux coins, qui est généralement plus fort pour les modes tangentiels car ils frappent plus de surfaces à chaque cycle.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(1/L_x\) | \(1/5 = 0,2 \text{ m}^{-1}\) |
| \(1/L_y\) | \(1/4 = 0,25 \text{ m}^{-1}\) |
Astuces
Notez que \(\sqrt{a^2 + b^2}\) est toujours supérieur à \(a\) et à \(b\). La fréquence tangentielle sera donc mathématiquement plus élevée que les deux fréquences axiales calculées précédemment.
Propagation Tangentielle (Vue de dessus)
Calcul(s)
Calcul Intermédiaire
Calculons d'abord les termes sous la racine en élevant au carré l'inverse de chaque dimension :
Maintenant, nous additionnons ces deux valeurs pour obtenir le terme global sous la racine :
Calcul Principal
Il ne reste plus qu'à extraire la racine carrée de cette somme et à multiplier le résultat par le facteur de vitesse \(c/2\) (soit 170) :
Le résultat final est d'environ 54,4 Hz.
Résultat
Réflexions
Ce mode à 54,4 Hz vient combler le trou spectral entre le mode axial Y (42,5 Hz) et sa première harmonique (85 Hz) ou celle de X (68 Hz). C'est un élément de liaison important dans la réponse acoustique.
Points de vigilance
Ne pas oublier le facteur \(c/2 = 170\) devant la racine carrée ! Une erreur fréquente est d'oublier la multiplication finale.
Points à Retenir
Les modes tangentiels sont plus difficiles à prédire "à l'oreille" car ils ne correspondent pas à une dimension simple de la pièce, mais à une diagonale 2D.
Le saviez-vous ?
Les modes tangentiels sont souvent responsables du son "brouillon" dans les coins d'une pièce non traitée, car c'est là que les pressions de tous les murs se rejoignent.
FAQ
Sont-ils aussi gênants que les axiaux ?
Moins gênants car moins énergétiques (-3dB), mais ils contribuent au "traînage" global des basses et au flou sonore.
A vous de jouer
Estimez la valeur de \(\sqrt{0.1}\) (indice : \(0.3 \times 0.3 = 0.09\)). Multipliez par 170. Cela vous semble cohérent ?
📝 Mémo
Pythagore acoustique : \(f_{1,1}^2 = f_{1,0}^2 + f_{0,1}^2\). Vérifiez : \(34^2 + 42.5^2 \approx 54.4^2\).
Question 4 : Premier Mode Oblique (1,1,1)
Principe
C'est le mode le plus complexe : l'onde se propage en 3D et rebondit sur les six parois (sol, plafond, murs avant/arrière, murs gauches/droite). Indices \((1,1,1)\). Il représente la diagonale spatiale de la pièce.
Mini-Cours
Densité Modale : À mesure que la fréquence augmente, le nombre de modes obliques explose. Dans les médiums et les aigus, ils finissent par se chevaucher complètement pour créer un champ diffus (la réverbération classique). Dans les graves, ils sont encore isolés.
Remarque Pédagogique
Le mode (1,1,1) est le tout premier mode oblique possible. Il n'existe pas de mode oblique plus grave que celui-ci.
Normes
Non applicable.
Formule(s)
Hypothèses
On intègre maintenant la hauteur \(L_z = 3\) m, souvent oubliée mais cruciale.
Donnée(s)
| Terme | Valeur |
|---|---|
| Terme X + Y (calculé avant) | 0,1025 \(\text{ m}^{-2}\) |
| Terme Z \((1/3)^2\) | 0,1111 \(\text{ m}^{-2}\) |
Astuces
Réutilisez le résultat du calcul tangentiel (0,1025) pour gagner du temps ! Il suffit d'ajouter le terme en Z. L'acoustique est cumulative.
Propagation Oblique (3D)
Calcul(s)
Calcul Principal
Nous additionnons le terme correspondant à la hauteur (0,1111) à la somme partielle précédente (0,1025) :
Enfin, nous prenons la racine carrée de ce total et multiplions par 170 :
Résultat
Réflexions
Bien que moins énergétique (-6 dB par rapport aux axiaux), ce mode peut exciter des résonances structurelles dans les coins trièdres de la pièce. Il est situé plus haut dans le spectre, approchant la zone où les modes commencent à être moins problématiques individuellement.
Points de vigilance
Ne négligez pas la hauteur sous plafond. Dans de nombreux bureaux modernes, le faux-plafond acoustique absorbe ces modes, mais pas dans une salle brute en béton ou un "home studio" dans une chambre.
Points à Retenir
Les modes obliques marquent la transition progressive vers une densité modale plus élevée et un comportement statistique de la salle (réverbération).
Le saviez-vous ?
C'est pour casser ces modes obliques (et le flutter echo) que certains auditoriums ont des murs non parallèles. Cela complexifie le calcul et étale les résonances.
FAQ
Combien y a-t-il de modes en tout ?
Théoriquement une infinité. En pratique, on en calcule des centaines jusqu'à la "fréquence de Schroeder" (environ 200-300 Hz dans une petite salle), au-delà ils sont trop serrés pour être distingués.
A vous de jouer
Si la hauteur était infiniment petite (0), la fréquence tendrait vers... ? (Réflexion théorique : diviser par zéro dans la racine)
📝 Mémo
Plus d'indices non nuls = Fréquence plus élevée. (1,1,1) > (1,1,0) > (1,0,0).
Question 5 : Impact de la Température
Principe
On analyse comment la variation d'un paramètre environnemental (Température) modifie la réponse physique du système. La géométrie de la salle \((L_x, L_y, L_z)\) ne change pas (dilatation négligeable des matériaux de construction), mais le milieu de propagation (l'air) change de propriétés physiques.
Mini-Cours
Thermodynamique : La vitesse du son \(c\) dans un gaz parfait dépend de sa température absolue. Plus l'air est chaud, plus les molécules sont agitées, et plus l'onde de pression se propage vite.
Remarque Pédagogique
C'est un piège classique : on pense souvent que la fréquence est fixée uniquement par la distance (les murs), mais elle dépend fondamentalement de la vitesse ! La relation est \(f = c / \lambda\). Si \(c\) change et \(\lambda\) est fixe (la pièce), alors \(f\) change.
Normes
Les conditions standard sont souvent données à 20°C (293.15 K) pour les fiches techniques.
Formule(s)
Loi de variation de la célérité
Ou formule simplifiée très utile : \(c \approx 20,05 \sqrt{T_{\text{Kelvin}}}\) ou l'approximation linéaire \(c \approx 331,3 + 0,6 \times T_{\text{°C}}\).
Hypothèses
Air sec, gaz parfait, pression atmosphérique standard.
Donnée(s)
| Température | État |
|---|---|
| 20°C | Initial |
| 30°C | Final (Chauffé) |
Astuces
Règle du pouce : La vitesse augmente d'environ 0,6 m/s par degré Celsius supplémentaire. Pour +10°C, ça fait +6 m/s.
Calcul(s)
Calcul Intermédiaire (Vitesse)
Commençons par calculer la nouvelle vitesse du son à 30°C en utilisant la formule précise avec la racine carrée :
L'augmentation de vitesse est donc de \(349 - 340 = 9 \text{ m/s}\) (ce qui est cohérent avec l'approximation linéaire \(0,6 \times 10 = 6\) mais plus précis).
Calcul Principal (Ratio)
Puisque la fréquence \(f\) est directement proportionnelle à la vitesse \(c\) (car \(f = c/\lambda\) et \(\lambda\) est constant), toutes les fréquences augmentent selon le même ratio :
Cela correspond à une augmentation globale de la hauteur des notes de +2,6%.
Réflexions
Pour le mode fondamental à 34 Hz, la nouvelle fréquence sera \(34 \times 1,026 = 34,9 \text{ Hz}\). Le décalage est d'environ 1 Hz. Cela semble peu, mais pour des fréquences plus aiguës (ex: 440 Hz), le décalage devient audible (>10 Hz) et peut poser des problèmes de justesse pour les instruments à vent (qui dépendent aussi de l'air) par rapport aux cordes.
Points de vigilance
Attention : La longueur d'onde \(\lambda\) (fixée par la taille de la pièce) ne change pas ! C'est la fréquence qui s'adapte à la nouvelle vitesse pour satisfaire l'équation.
Points à Retenir
Si T augmente \(\rightarrow\) c augmente \(\rightarrow\) f augmente. Le son devient plus aigu (pitch shift).
Le saviez-vous ?
C'est pourquoi les orchestres doivent se réaccorder si la température de la salle change significativement entre la répétition (salle vide/froide) et le concert (salle pleine/chaude).
FAQ
L'humidité joue-t-elle un rôle ?
Oui, mais son effet sur la vitesse est négligeable comparé à la température. Elle joue surtout sur l'absorption de l'air dans les très hautes fréquences (> 2 kHz).
A vous de jouer
À 0°C, la vitesse est d'environ 331 m/s. Est-ce plus lent ou plus rapide qu'à 20°C ? (Entrez 331 pour confirmer la valeur)
📝 Mémo
Chaleur = Agitation = Son plus rapide = Fréquence plus aiguë.
Schéma Bilan de l'Exercice
Répartition spectrale des modes calculés dans les basses fréquences.
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
Synthèse des points clés :
-
🔑
Point Clé 1 : Pour les modes axiaux (les plus forts), la formule est simple : \(f = \frac{c}{2L}\). C'est la base de tout diagnostic acoustique.
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📐
Point Clé 2 : Les grandes dimensions génèrent les fréquences les plus basses. Il faut traiter en priorité la longueur de la pièce pour les sub-basses.
-
⚠️
Point Clé 3 : Évitez les dimensions multiples (ex: cube, ou L = 2x l). Cela empile les modes et crée des "bosses" énormes dans la réponse en fréquence.
-
💡
Point Clé 4 : La température influence l'accordage de la salle via la vitesse du son. Plus il fait chaud, plus le son est aigu.
🎛️ Simulateur de Modes (Axiaux X et Y)
Modifiez les dimensions de la pièce pour voir évoluer les fréquences fondamentales.
Dimensions (Hauteur fixée à 3m)
📝 Quiz final : Acoustique
1. Quel type de mode contient le plus d'énergie sonore et cause le plus de problèmes ?
2. Pour éviter les résonances "empilées" (superposition de modes), il vaut mieux :
📚 Glossaire
- Mode Propre
- Fréquence spécifique à laquelle un système physique (ici, le volume d'air de la pièce) oscille naturellement avec une grande amplitude lorsqu'il est excité.
- Onde Stationnaire
- Phénomène d'interférence entre une onde incidente et sa réflexion, créant des points immobiles (nœuds) et des points d'amplitude maximale (ventres) qui ne se déplacent pas dans l'espace.
- Fréquence Fondamentale
- La fréquence la plus basse d'une série harmonique ou d'un système résonant. Pour une corde ou une pièce, c'est le mode 1.
- Boomy
- Terme d'argot audio décrivant un son avec des basses fréquences excessives, floues et mal définies, typiquement dues aux résonances modales non traitées.
- Bass Trap
- Dispositif absorbant acoustique épais, placé généralement dans les coins, conçu pour atténuer l'énergie des basses fréquences et réduire les modes.
Le Saviez-vous ?
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