Calcul de la Fréquence de Coupure d’un Guide d’Ondes
Contexte : L'acoustique des guides d'ondesUne structure qui canalise la propagation des ondes, comme les ondes sonores ou électromagnétiques, en limitant leur expansion à une ou deux dimensions..
Les guides d'ondes sont des composants essentiels dans de nombreux domaines de l'acoustique, de la conception de systèmes de ventilation silencieux à la fabrication d'instruments de musique ou de haut-parleurs. Ils permettent de diriger le son de manière contrôlée. Cependant, un guide d'ondes n'est pas un simple "tuyau" : sa géométrie impose des contraintes physiques fortes sur les ondes qui peuvent s'y propager. Chaque guide possède une fréquence minimale en dessous de laquelle aucune onde ne peut se propager efficacement : c'est la fréquence de coupure. Cet exercice a pour but de vous apprendre à la calculer pour le cas le plus courant : un guide rectangulaire.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à déterminer la bande de fréquence utile d'un conduit acoustique. Comprendre ce concept est fondamental pour concevoir des systèmes où le son doit être transmis (comme un stéthoscope) ou au contraire, atténué (comme un silencieux d'échappement).
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la notion de modes de propagation dans un guide.
- Définir et savoir calculer la fréquence de coupure pour un mode donné.
- Identifier le mode fondamental et déterminer la plage de fonctionnement monomode.
- Appliquer la formule de la fréquence de coupure dans un cas pratique.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de guide | Rectangulaire, parois rigides |
| Fluide de propagation | Air (20°C) |
| Célérité du son dans l'air (c) | 343 m/s |
Section transversale du guide d'ondes
Questions à traiter
- Calculer la fréquence de coupure \(f_{c,10}\) du mode fondamental (TE₁₀).
- Calculer la fréquence de coupure \(f_{c,01}\) du mode (TE₀₁).
- Calculer la fréquence de coupure \(f_{c,20}\) du mode (TE₂₀).
- Déterminer la plage de fréquences pour laquelle le guide est monomode.
- Une onde acoustique de 1500 Hz est envoyée à l'entrée du guide. Se propagera-t-elle ? Justifier.
Les bases sur les Guides d'Ondes Acoustiques
Dans un espace libre, une onde sonore peut se propager dans toutes les directions. Lorsqu'elle est confinée dans un conduit (le guide d'ondes), les réflexions multiples sur les parois créent des interférences. Seules certaines configurations d'ondes stationnaires dans la section transverse, appelées modes de propagation, peuvent se propager le long du guide sans s'annuler.
1. Modes de Propagation (m,n)
Chaque mode est identifié par deux indices entiers (m, n), qui correspondent au nombre de demi-longueurs d'onde de la pression acoustique sur la largeur 'a' et la hauteur 'b' du guide. Le mode (0,0) est une onde plane qui ne peut exister que si le guide est infiniment grand. Le premier mode à pouvoir se propager est appelé le mode fondamental.
2. Fréquence de Coupure \(f_{c,mn}\)
Pour un mode (m,n) donné, la fréquence de coupure est la fréquence minimale que l'onde doit avoir pour se propager. En dessous de \(f_{c,mn}\), l'onde est dite évanescente : son amplitude est atténuée exponentiellement le long du guide et elle ne transporte pas d'énergie. La formule générale pour un guide rectangulaire est :
\[ f_{c,mn} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2} \]
Correction : Calcul de la Fréquence de Coupure d’un Guide d’Ondes
Question 1 : Fréquence de coupure du mode fondamental (TE₁₀)
Principe
Le concept physique ici est que le son, confiné dans un conduit, ne peut s'y propager que si sa demi-longueur d'onde "rentre" dans les dimensions du conduit. Le mode fondamental (1,0) est le plus simple : il correspond au cas où exactement une demi-longueur d'onde s'établit sur la plus grande dimension du guide (la largeur 'a'). C'est le mode qui demande le moins d'énergie pour exister.
Mini-Cours
La propagation des ondes dans un guide est régie par l'équation d'onde avec des conditions aux limites. Pour des parois rigides, la vitesse acoustique normale à la paroi est nulle. La résolution de cette équation montre que seules des solutions discrètes (les modes) existent. Le mode (m,n) a 'm' ventres de pression sur la largeur 'a' et 'n' sur la hauteur 'b'. Le mode fondamental (1,0) est le premier mode non-plan (m ou n ≠ 0) à apparaître lorsque la fréquence augmente.
Remarque Pédagogique
Pour trouver le mode fondamental, identifiez toujours la plus grande dimension du guide. C'est elle qui autorisera la propagation à la plus basse fréquence, car elle peut accommoder la plus grande longueur d'onde. Ici, a > b, donc le premier mode à se propager sera celui qui dépend de 'a', soit (1,0).
Normes
Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour ce calcul, qui relève de la physique fondamentale. Les calculs sont basés sur la théorie des ondes acoustiques en milieu fluide parfait, issue des principes de la mécanique des fluides.
Formule(s)
On part de la formule générale :
En posant m=1 et n=0, le terme en \((\frac{n}{b})^2\) s'annule.
Hypothèses
Pour que cette formule soit valide, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le fluide (l'air) est parfait : non visqueux, et les transformations sont isentropiques.
- Les parois du guide sont infiniment rigides et lisses (réflexion parfaite).
- Le guide est de longueur infinie (pas d'effets de bords aux extrémités).
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée pour ce calcul sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Célérité du son | c | 343 | m/s |
| Largeur du guide | a | 10 | cm |
Astuces
Pour aller plus vite, retenez que la fréquence de coupure du mode fondamental est simplement la célérité du son divisée par deux fois la plus grande dimension de la section.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma représente la distribution de l'amplitude de la pression acoustique pour le mode (1,0). La pression est maximale au centre et nulle sur les parois latérales (selon la largeur 'a').
Distribution de Pression - Mode (1,0)
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion des unités
La cohérence des unités est cruciale. La célérité est en m/s, il faut donc convertir la largeur 'a' en mètres.
Étape 2 : Calcul de la fréquence
On applique la formule simplifiée pour le mode (1,0).
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma conceptuel visualise la position du seuil de coupure. En dessous, la propagation est impossible.
Seuil de Propagation du Mode Fondamental
Réflexions
Ce résultat signifie que pour transporter de l'énergie acoustique à travers ce conduit, les ondes sonores doivent avoir une fréquence d'au moins 1715 Hz. Cela correspond à une note musicale aiguë, proche d'un 'La' de la 6ème octave. Les sons plus graves (basses fréquences) seront bloqués.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est l'oubli de la conversion des dimensions du guide (souvent données en cm ou mm) en mètres pour être cohérent avec la célérité du son en m/s. Une erreur d'un facteur 100 sur 'a' entraîne une erreur d'un facteur 100 sur la fréquence !
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez :
- Le mode fondamental (1,0) dépend de la plus grande dimension 'a'.
- Sa formule simplifiée est \(f_{c,10} = c / 2a\).
- C'est la fréquence minimale absolue pour qu'une onde se propage dans le guide.
Le saviez-vous ?
Le concept de guide d'ondes a été étudié pour la première fois par Lord Rayleigh en 1897 pour les ondes électromagnétiques. La théorie est cependant parfaitement transposable aux ondes acoustiques, car elles obéissent toutes les deux à une équation d'onde similaire. C'est un bel exemple d'unification des concepts en physique !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la largeur du guide 'a' était de 15 cm, quelle serait la nouvelle fréquence de coupure du mode fondamental ?
Question 2 : Fréquence de coupure du mode (TE₀₁)
Principe
Après le mode fondamental qui "teste" la largeur, le mode suivant le plus simple est celui qui "teste" la hauteur 'b'. Le mode (0,1) correspond au cas où une demi-longueur d'onde s'établit sur la hauteur du guide. Comme 'b' est plus petit que 'a', on s'attend à ce que la fréquence nécessaire soit plus élevée.
Mini-Cours
Les modes sont classés par ordre de fréquence de coupure croissante. Après le mode (1,0), le prochain candidat pour la propagation est le mode qui a la deuxième plus basse fréquence de coupure. Il faut donc calculer \(f_{c,01}\) (basé sur 'b') et \(f_{c,20}\) (basé sur 'a') pour voir lequel apparaît en premier. Ce sont les premiers "harmoniques" de la propagation.
Remarque Pédagogique
La logique est la même que pour la première question, mais cette fois, on s'intéresse à la dimension 'b'. La structure du calcul est identique, il suffit de remplacer 'a' par 'b' et d'utiliser les bons indices (m=0, n=1).
Normes
Les calculs restent basés sur la théorie des ondes acoustiques en milieu fluide parfait.
Formule(s)
On part de la formule générale et on pose m=0 et n=1 :
Hypothèses
Les hypothèses (fluide parfait, parois rigides) sont identiques à celles de la question 1.
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée pour ce calcul sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Célérité du son | c | 343 | m/s |
| Hauteur du guide | b | 5 | cm |
Astuces
La fréquence de coupure du mode (0,1) est simplement la célérité du son divisée par deux fois la petite dimension de la section.
Schéma (Avant les calculs)
Ce schéma représente la distribution de l'amplitude de la pression pour le mode (0,1). La pression est maximale au centre et nulle sur les parois supérieure et inférieure (selon la hauteur 'b').
Distribution de Pression - Mode (0,1)
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion des unités
On convertit la hauteur 'b' en mètres.
Étape 2 : Calcul de la fréquence
Réflexions
Cette fréquence est nettement plus élevée que celle du mode fondamental. Cela confirme que la plus petite dimension du guide est plus "contraignante" et requiert une fréquence plus haute (donc une longueur d'onde plus courte) pour permettre la propagation.
Points de vigilance
Attention à ne pas confondre les indices et les dimensions. Le premier indice 'm' est toujours associé à la largeur 'a', et le second indice 'n' à la hauteur 'b'. Inverser les deux est une erreur fréquente.
Points à retenir
Pour cette question, retenez :
- Le mode (0,1) dépend de la plus petite dimension 'b'.
- Sa formule simplifiée est \(f_{c,01} = c / 2b\).
Le saviez-vous ?
Dans les guides d'ondes pour micro-ondes (comme ceux qui amènent le signal à une antenne parabolique), on choisit les dimensions 'a' et 'b' très précisément pour n'autoriser la propagation que du mode fondamental (TE₁₀) sur la plage de fréquence utile. Cela évite la distorsion du signal qui serait causée par l'arrivée de plusieurs modes avec des vitesses de propagation différentes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la hauteur du guide 'b' était de 8 cm, quelle serait la nouvelle fréquence de coupure du mode (TE₀₁) ?
Question 3 : Fréquence de coupure du mode (TE₂₀)
Principe
Ce mode peut être vu comme le premier "harmonique" du mode fondamental. Au lieu d'une seule demi-longueur d'onde sur la largeur 'a', le mode (2,0) en requiert deux (soit une longueur d'onde complète). Physiquement, cela nécessite une fréquence double de celle du mode (1,0) pour "rentrer" dans la même dimension 'a'.
Mini-Cours
Les modes d'ordre supérieur (où m ou n > 1) représentent des distributions de pression plus complexes dans la section du guide. Le mode (2,0) a une ligne nodale (pression nulle) au centre du guide, en plus des parois. Il transporte de l'énergie de manière moins efficace que le mode fondamental et n'est souvent désiré que dans des applications spécifiques de filtrage.
Remarque Pédagogique
Notez la relation linéaire simple : \(f_{c,m0} = m \times f_{c,10}\). Cela signifie que vous pouvez trouver rapidement les fréquences de coupure de tous les modes (m,0) en multipliant simplement la fréquence fondamentale. C'est un raccourci très utile.
Normes
Les calculs restent basés sur la théorie des ondes acoustiques en milieu fluide parfait.
Formule(s)
On utilise la formule générale avec m=2 et n=0.
Hypothèses
Les hypothèses (fluide parfait, parois rigides) sont identiques à celles de la question 1.
Donnée(s)
Les chiffres d'entrée sont les mêmes que pour la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Célérité du son | c | 343 | m/s |
| Largeur du guide | a | 0.10 | m |
Astuces
Puisque vous avez déjà calculé \(f_{c,10} = 1715\) Hz, le calcul le plus rapide est de simplement multiplier ce résultat par 2.
Schéma (Avant les calculs)
La distribution de pression pour le mode (2,0) a deux lobes de pression de signes opposés, séparés par une ligne de pression nulle au centre.
Distribution de Pression - Mode (2,0)
Calcul(s)
Calcul direct :
Calcul par l'harmonique :
Réflexions
Il est intéressant de noter que \(f_{c,20}\) est exactement égale à \(f_{c,01}\). Ce n'est pas une coïncidence, mais une conséquence du fait que la largeur 'a' est exactement le double de la hauteur 'b' (10 cm vs 5 cm). On appelle cela une "dégénérescence modale" : deux modes distincts ont la même fréquence de coupure.
Points de vigilance
Ne supposez pas que \(f_{c,20}\) est toujours le deuxième mode d'ordre supérieur. Si le guide était presque carré (par ex. a=10cm, b=9cm), le mode (0,1) apparaîtrait bien avant le mode (2,0). Il faut toujours calculer les candidats et les comparer.
Points à retenir
Retenez la relation harmonique pour les modes (m,0) et (0,n) :
- \(f_{c,m0} = m \times f_{c,10}\)
- \(f_{c,0n} = n \times f_{c,01}\)
Le saviez-vous ?
La dégénérescence modale est parfois exploitée, par exemple dans les coupleurs d'antennes, mais est souvent évitée dans les guides de transmission car elle peut rendre le comportement du système imprévisible si les deux modes sont excités simultanément.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la largeur du guide 'a' était de 20 cm, quelle serait la nouvelle fréquence de coupure du mode (TE₂₀) ?
Question 4 : Plage de fréquences pour un fonctionnement monomode
Principe
Un guide est dit "monomode" lorsque seul le mode fondamental peut se propager. C'est un état très recherché car il garantit une transmission du signal sans distorsion. Cette plage de fréquences est donc comprise entre la fréquence de coupure du mode fondamental (incluse) et la fréquence de coupure du premier mode d'ordre supérieur (exclue).
Mini-Cours
Lorsqu'une onde se propage en plusieurs modes simultanément (régime multimode), chaque mode possède sa propre vitesse de propagation (vitesse de groupe). Si le signal est complexe (comme la parole), ses différentes composantes fréquentielles se propageront à des vitesses différentes, arrivant "déphasées" à la sortie. Ce phénomène, appelé dispersion, déforme le signal. La plage monomode est la seule où ce phénomène n'existe pas.
Remarque Pédagogique
Le but est de trouver la "fenêtre" de fréquences où un seul mode est "autorisé". Il faut donc identifier le "plancher" (la première fréquence de coupure) et le "plafond" (la deuxième fréquence de coupure la plus basse). La fenêtre se situe entre les deux.
Normes
Ce concept est fondamental dans les normes de télécommunication (pour les fibres optiques et guides d'ondes RF) et en acoustique pour la conception de systèmes de mesure ou de conduits spécifiques.
Formule(s)
Il n'y a pas de nouvelle formule, mais une double inégalité à poser :
Hypothèses
On suppose que l'on peut exciter les modes indépendamment et que la théorie des modes est applicable.
Donnée(s)
On utilise les résultats des questions précédentes :
- \(f_{c,10} = 1715 \text{ Hz}\)
- \(f_{c,01} = 3430 \text{ Hz}\)
- \(f_{c,20} = 3430 \text{ Hz}\)
Astuces
Listez toutes les fréquences de coupure calculées par ordre croissant. La plage monomode est toujours l'intervalle entre la première et la deuxième valeur de cette liste.
Schéma (Avant les calculs)
On place les fréquences calculées sur un axe pour visualiser les "seuils" d'apparition des modes.
Seuils de propagation des modes
Calcul(s)
Il s'agit d'une analyse et non d'un calcul.
Schéma (Après les calculs)
On met en évidence la plage monomode sur l'axe des fréquences.
Plage de fonctionnement monomode
Réflexions
La largeur de la bande monomode (\(3430 - 1715 = 1715\) Hz) est un paramètre de conception important. Un guide avec une bande monomode large est plus polyvalent. On peut l'élargir en choisissant un rapport a/b plus grand (par exemple a=20, b=5).
Points de vigilance
L'erreur classique est sur les bornes de l'intervalle. La borne inférieure est incluse (\([\dots\)) car à \(f_{c,10}\), le mode peut se propager. La borne supérieure est exclue (\(\dots)\)) car à \(f_{c,\text{suivant}}\), un deuxième mode apparaît, et le guide n'est donc plus monomode.
Points à retenir
La plage monomode est l'intervalle \([f_{c, \text{fondamental}}, f_{c, \text{suivant}})\). C'est la plage de fréquences la plus importante pour la transmission de signaux sans distorsion.
Le saviez-vous ?
Les fibres optiques "monomodes", utilisées pour les communications à longue distance (internet), sont des guides d'ondes pour la lumière. Leur "cœur" est si fin (environ 9 micromètres) que la fréquence de coupure du premier mode supérieur est au-delà de la fréquence de la lumière utilisée, garantissant que seul le mode fondamental se propage sur des milliers de kilomètres !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la hauteur 'b' était de 8 cm (et a=10cm), quelle serait la nouvelle limite supérieure de la plage monomode ? (Indice: recalculez \(f_{c,01}\) et comparez-le à \(f_{c,20}\))
Question 5 : Propagation d'une onde à 1500 Hz
Principe
Le guide d'ondes agit comme un filtre passe-haut. Il possède une fréquence seuil en dessous de laquelle il bloque le passage de l'énergie acoustique. Ce seuil est défini par la fréquence de coupure la plus basse de tous les modes possibles, c'est-à-dire celle du mode fondamental.
Mini-Cours
Une onde est dite "évanescente" lorsque son vecteur d'onde dans la direction de propagation devient un nombre imaginaire pur. Cela se produit lorsque \(f < f_{c}\). Mathématiquement, la solution de l'équation d'onde n'est plus une sinusoïde (propagation) mais une exponentielle décroissante (atténuation). L'onde pénètre sur une très courte distance dans le guide puis son amplitude tend vers zéro.
Remarque Pédagogique
La démarche est simple : comparez la fréquence du signal que vous voulez transmettre à la fréquence de coupure fondamentale du guide. Si votre fréquence est plus petite, ça ne passe pas. Si elle est plus grande, ça passe.
Normes
Ce principe de filtrage est utilisé dans la conception de silencieux réactifs, encadrés par des normes sur le bruit des installations industrielles ou des véhicules (normes ISO).
Formule(s)
La condition de propagation est une simple inégalité :
Hypothèses
On suppose que le signal à l'entrée a une fréquence unique et stable de 1500 Hz.
Donnée(s)
Nous avons deux données à comparer :
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Fréquence du signal | 1500 | Hz |
| Fréquence de coupure fondamentale (de Q1) | 1715 | Hz |
Astuces
Nul besoin de recalculer quoi que ce soit. Il s'agit d'une simple comparaison avec un résultat déjà obtenu. C'est une question de pure logique.
Schéma (Avant les calculs)
On positionne la fréquence du signal sur l'axe des fréquences pour voir si elle se trouve dans la zone de propagation ou la zone évanescente.
Position du signal par rapport à la coupure
Calcul(s)
La seule opération est la comparaison :
La condition \(f_{\text{signal}} \ge f_{c, \text{fondamental}}\) n'est pas respectée.
Réflexions
Ce guide d'ondes se comporte comme un filtre qui élimine les sons en dessous de 1715 Hz. C'est un exemple simple de comment la géométrie seule peut être utilisée pour manipuler le son, sans aucune partie mobile ou électronique.
Points de vigilance
Ne vous laissez pas troubler par les autres fréquences de coupure (\(f_{c,01}\), etc.). Si la fréquence du signal est inférieure à la toute première fréquence de coupure, la question est réglée : aucune propagation n'est possible.
Points à retenir
La règle d'or : pour qu'une onde se propage dans un guide, sa fréquence doit être supérieure ou égale à la fréquence de coupure du mode fondamental. C'est une condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait au moins une forme de propagation.
Le saviez-vous ?
Les instruments de musique à vent comme la clarinette ou la flûte sont des guides d'ondes acoustiques complexes. La longueur du tuyau et la position des trous modifient les conditions aux limites et donc les fréquences des modes qui peuvent s'y établir, ce qui permet de produire différentes notes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Une onde de 3000 Hz est envoyée dans le guide. Se propagera-t-elle ?
Outil Interactif : Simulateur de Fréquence de Coupure
Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier les dimensions 'a' (largeur) et 'b' (hauteur) du guide d'ondes et observez en temps réel l'impact sur les fréquences de coupure des modes TE₁₀ et TE₀₁.
Paramètres du Guide
Fréquences de Coupure
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que représente la fréquence de coupure ?
2. Qu'arrive-t-il à une onde dont la fréquence est inférieure à la fréquence de coupure fondamentale ?
3. Si on augmente la largeur 'a' d'un guide rectangulaire, comment évolue la fréquence de coupure du mode fondamental (TE₁₀) ?
4. La plage de fonctionnement monomode est définie entre...
5. Dans la formule \(f_{c,mn} = \frac{c}{2a}\), à quel mode (m,n) fait-on référence ?
- Fréquence de Coupure
- Fréquence minimale requise pour qu'une onde d'un mode spécifique puisse se propager dans un guide d'ondes sans être atténuée.
- Guide d'Ondes
- Structure physique (comme un conduit ou un tuyau) qui contraint les ondes (sonores, électromagnétiques) à se propager dans une direction spécifique.
- Mode de Propagation
- Configuration spatiale stable de l'onde qui peut se déplacer le long du guide. Chaque mode a sa propre fréquence de coupure.
- Mode Fondamental (TE₁₀)
- Le mode de propagation ayant la fréquence de coupure la plus basse dans un guide d'ondes. Pour un guide rectangulaire avec a > b, c'est le mode (1,0).
- Onde Évanescente
- Onde dont la fréquence est inférieure à la fréquence de coupure. Elle ne se propage pas et son énergie est rapidement absorbée sur une courte distance.
D’autres exercices d’acoustique fondamentale:
0 commentaires