ÉTUDE ACOUSTIQUE

Fréquence de Coupure d’un Guide d’Ondes

Calcul de la Fréquence de Coupure d'un Guide d'Ondes

Calcul de la Fréquence de Coupure d'un Guide d'Ondes

Comprendre la Fréquence de Coupure

Un guide d'ondes est une structure qui contraint les ondes (acoustiques ou électromagnétiques) à se propager dans une direction spécifique. En raison des réflexions sur les parois, toutes les fréquences ne peuvent pas se propager librement. Il existe une fréquence minimale, appelée fréquence de coupure, en dessous de laquelle l'onde ne peut pas se propager et est rapidement atténuée. Seules les fréquences supérieures à la fréquence de coupure du mode considéré peuvent voyager le long du guide. Cet exercice se concentre sur le calcul de cette fréquence pour le mode le plus simple dans un guide d'ondes acoustique rectangulaire.

Données de l'étude

On étudie un conduit de ventilation de section rectangulaire, considéré comme un guide d'ondes acoustique à parois rigides.

Caractéristiques du guide et du milieu :

  • Largeur du guide (\(L_x\)) : \(30 \, \text{cm}\)
  • Hauteur du guide (\(L_y\)) : \(20 \, \text{cm}\)
  • Le guide est rempli d'air.
  • Célérité du son dans l'air (\(c\)) : \(340 \, \text{m/s}\)
Schéma : Propagation dans un Guide d'Ondes
f < fc f > fc

En dessous de la fréquence de coupure (fc), l'onde est évanescente (atténuée). Au-dessus, elle se propage.

Questions à traiter

  1. Convertir les dimensions du guide en mètres.
  2. Calculer la fréquence de coupure \(f_{c,10}\) du premier mode transverse horizontal (mode (1,0)).
  3. Calculer la fréquence de coupure \(f_{c,01}\) du premier mode transverse vertical (mode (0,1)).
  4. Identifier la fréquence de coupure globale du guide, qui est la plus basse de toutes les fréquences de coupure possibles.

Correction : Calcul de la Fréquence de Coupure d'un Guide d'Ondes

Question 1 : Conversion des Dimensions

Principe :

Toutes les dimensions doivent être exprimées en unités du Système International (mètres) pour être utilisées dans les formules de physique avec la célérité en m/s.

Calcul :
  • \(L_x = 30 \, \text{cm} = 0.30 \, \text{m}\)
  • \(L_y = 20 \, \text{cm} = 0.20 \, \text{m}\)
Résultat Question 1 : Les dimensions du guide sont \(L_x=0.30\) m et \(L_y=0.20\) m.

Question 2 : Fréquence de Coupure du Mode (1,0)

Principe :

La fréquence de coupure pour un mode (m,n) donné dans un guide rectangulaire est déterminée par les dimensions du guide, la célérité du son et les indices du mode (m, n). Le mode (1,0) est le premier mode qui peut se propager en raison de la dimension horizontale \(L_x\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{c,mn} = \frac{c}{2} \sqrt{ \left( \frac{m}{L_x} \right)^2 + \left( \frac{n}{L_y} \right)^2 }\]
Calcul pour le mode (m=1, n=0) :
\[ \begin{aligned} f_{c,10} &= \frac{340 \, \text{m/s}}{2} \sqrt{ \left( \frac{1}{0.30 \, \text{m}} \right)^2 + \left( \frac{0}{0.20 \, \text{m}} \right)^2 } \\ &= 170 \times \sqrt{ \left( \frac{1}{0.30} \right)^2 + 0 } \\ &= 170 \times \frac{1}{0.30} \\ &\approx 566.67 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La fréquence de coupure du mode (1,0) est d'environ \(567 \, \text{Hz}\).

Question 3 : Fréquence de Coupure du Mode (0,1)

Principe :

De manière similaire, le mode (0,1) est le premier mode qui peut se propager en raison de la dimension verticale \(L_y\). On utilise la même formule générale avec m=0 et n=1.

Calcul pour le mode (m=0, n=1) :
\[ \begin{aligned} f_{c,01} &= \frac{340 \, \text{m/s}}{2} \sqrt{ \left( \frac{0}{0.30 \, \text{m}} \right)^2 + \left( \frac{1}{0.20 \, \text{m}} \right)^2 } \\ &= 170 \times \sqrt{ 0 + \left( \frac{1}{0.20} \right)^2 } \\ &= 170 \times \frac{1}{0.20} \\ &= 850 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La fréquence de coupure du mode (0,1) est de \(850 \, \text{Hz}\).

Question 4 : Fréquence de Coupure Globale du Guide

Principe :

La première fréquence qui peut se propager dans le guide, quel que soit le mode, est la plus petite de toutes les fréquences de coupure possibles (en excluant le mode (0,0) qui correspond à une onde plane et a une fréquence de coupure nulle). Il s'agit donc du minimum entre \(f_{c,10}\) et \(f_{c,01}\).

Comparaison :

On compare les fréquences de coupure des premiers modes :

  • \(f_{c,10} \approx 567 \, \text{Hz}\)
  • \(f_{c,01} = 850 \, \text{Hz}\)

La plus petite de ces deux fréquences est \(f_{c,10}\).

Résultat Question 4 : La fréquence de coupure globale du guide est \(f_c = f_{c,10} \approx 567 \, \text{Hz}\). En dessous de cette fréquence, aucune onde acoustique (sauf l'onde plane) ne peut se propager sur une longue distance dans ce conduit.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la largeur (\(L_x\)) d'un guide d'ondes, sa fréquence de coupure globale...

2. Une fréquence inférieure à la fréquence de coupure...

Glossaire

Guide d'Ondes
Structure physique qui confine et dirige la propagation des ondes le long d'une trajectoire définie.
Fréquence de Coupure (\(f_c\))
Fréquence minimale à partir de laquelle un mode de propagation peut exister et se propager dans un guide d'ondes. En dessous de cette fréquence, le mode est dit "évanescent".
Mode de Propagation
Configuration spatiale spécifique de l'onde qui peut se propager dans le guide. Dans un guide rectangulaire, les modes sont indexés par deux entiers (m,n) qui correspondent au nombre de demi-longueurs d'onde sur la largeur et la hauteur.
Onde Évanescente
Onde dont l'amplitude décroît exponentiellement avec la distance. Elle ne transporte pas d'énergie sur de longues distances et existe typiquement pour les fréquences inférieures à la fréquence de coupure.
Fréquence de Coupure - Exercice d'Application en Acoustique Fondamentale

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