Dans un orchestre symphonique, les timbales sont des instruments à percussion accordables. La hauteur de la note émise dépend de la tension appliquée à la membrane. Nous allons étudier le comportement vibratoire d'une membrane circulaire en calculant sa Fréquence FondamentaleLa fréquence la plus basse à laquelle le système oscille naturellement. (mode 0,1). Cet exercice permet de comprendre le lien entre les paramètres physiques (tension, masse, dimensions) et le son produit.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre l'application directe de l'équation des ondes en coordonnées polaires et l'importance des conditions aux limites (bords fixés) qui imposent des fréquences spécifiques (quantification).

Objectifs Pédagogiques

Calculer la célérité des ondes transversales sur une membrane.
Déterminer la fréquence du mode fondamental.
Analyser l'influence de la tension mécanique sur la hauteur de la note.

Données de l'étude

On considère une membrane de timbale circulaire, parfaitement flexible, de rayon \(R\), tendue avec une tension linéique uniforme \(T\). La masse surfacique de la membrane est notée \(\sigma\).

Fiche Technique de la Timbale

Caractéristique	Valeur
Rayon de la membrane (\(R\))	30 cm
Tension linéique (\(T\))	1800 N/m
Masse Surfacique (\(\sigma\))Masse par unité de surface (kg/m²), caractérise l'inertie de la membrane.	0.20 kg/m²

Schéma du Système

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité SI
Rayon	\(R\)	0.30	\(\text{m}\)
Tension	\(T\)	1800	\(\text{N}\cdot\text{m}^{-1}\)
Masse Surfacique	\(\sigma\)	0.20	\(\text{kg}\cdot\text{m}^{-2}\)

Questions à traiter

Calculer la célérité \(c\) des ondes transversales sur la membrane.
En déduire la fréquence \(f_{01}\) du mode fondamental.
Si on augmente la tension de 20%, comment évolue la fréquence ?
Quelle serait la fréquence si le rayon de la timbale était réduit de moitié (toutes choses égales par ailleurs) ?

Les bases théoriques

La vibration d'une membrane est régie par l'équation des ondes à deux dimensions. Les fréquences propres dépendent de la géométrie et des propriétés physiques du matériau.

Équation de propagation (Coordonnées Polaires)
Le déplacement \(z(r, \theta, t)\) de la membrane suit l'équation d'onde suivante :

\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial z}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 z}{\partial \theta^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 z}{\partial t^2}

Pour le mode fondamental (symétrie radiale), le terme en \(\theta\) s'annule.

Célérité de l'onde
La vitesse de propagation des ondes (célérité) sur une membrane tendue dépend uniquement de la tension appliquée et de l'inertie de la membrane.

Formule de la célérité

c = \sqrt{\frac{T}{\sigma}}

Où :

\(c\) est la célérité en \(\text{m/s}\).
\(T\) est la tension linéique en \(\text{N/m}\).
\(\sigma\) est la masse surfacique en \(\text{kg/m}^2\).

Fréquences Propres (Modes)
Pour une membrane circulaire fixée sur ses bords, les fréquences sont données par les zéros des fonctions de Bessel \(J_n(x)\). Le mode fondamental correspond au premier zéro de \(J_0\).

Fréquence du mode fondamental (0,1)

f_{01} = \frac{\alpha_{01}}{2\pi R} \cdot c \approx \frac{2.405}{2\pi R} \sqrt{\frac{T}{\sigma}}

Où :

\(\alpha_{01} \approx 2.405\) est la première racine de la fonction de Bessel d'ordre 0.
\(R\) est le rayon de la membrane.

Correction : Détermination de la fréquence propre d'une membrane de timbale

Question 1 : Calcul de la célérité \(c\)

Principe Physique

La célérité représente la vitesse à laquelle l'énergie vibratoire se propage dans le milieu. C'est un paramètre intrinsèque au matériau et à son état de contrainte. Elle résulte d'un équilibre dynamique entre :

La Force de Rappel (Tension \(T\)) : C'est la "raideur" du système. Plus la membrane est tendue, plus elle "veut" revenir vite à sa position d'équilibre, ce qui accélère la propagation.
L'Inertie (Masse surfacique \(\sigma\)) : C'est la résistance au mouvement. Plus la membrane est lourde par unité de surface, plus elle est difficile à accélérer, ce qui ralentit la propagation.

Mini-Cours : Analogie et Dimensions

Analogie 1D : Cette formule est l'équivalent 2D de la corde vibrante (\(c = \sqrt{F / \mu}\)).

Analyse Dimensionnelle : Vérifions la cohérence des unités. \[ \begin{aligned} \left[ \frac{T}{\sigma} \right] &= \frac{\text{N} \cdot \text{m}^{-1}}{\text{kg} \cdot \text{m}^{-2}} \\ &= \frac{(\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}) \cdot \text{m}^{-1}}{\text{kg} \cdot \text{m}^{-2}} \\ &= \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2} = \left( \frac{\text{m}}{\text{s}} \right)^2 \end{aligned} \] En prenant la racine carrée, on obtient bien \(\text{m} \cdot \text{s}^{-1}\) (vitesse).

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas la célérité de l'onde (constante, ~100 m/s) avec la vitesse transversale des points de la membrane (qui oscille et est nulle aux extremums).

Normes et Matériaux

Les membranes modernes (type Remo ou Evans) sont souvent en Mylar (polyester). Une épaisseur standard de 7.5 mil (environ 0.19 mm) correspond environ à notre masse surfacique de 0.20 kg/m². Notre valeur de 0.20 kg/m² est donc réaliste pour une peau fine.

Formule(s)

Célérité

c = \sqrt{\frac{T}{\sigma}}

Hypothèses

On suppose la membrane parfaitement souple (sa raideur de flexion est négligeable devant la tension) et isotrope (propriétés identiques dans toutes les directions).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension	\(T\)	1800	\(\text{N/m}\)
Masse surfacique	\(\sigma\)	0.20	\(\text{kg/m}^2\)

Astuces

Vérifiez toujours l'homogénéité : \(\sqrt{\text{N/m} / (\text{kg/m}^2)} = \sqrt{\text{m}^2/\text{s}^2} = \text{m/s}\).

Paramètres Initiaux

Calcul(s)

Calcul Intermédiaire

On commence par substituer les valeurs numériques de la tension \(T\) et de la masse surfacique \(\sigma\) dans le rapport :

\begin{aligned} \frac{T}{\sigma} &= \frac{1800}{0.20} \\ &= 9000 \text{ m}^2/\text{s}^2 \end{aligned}

Ce résultat intermédiaire représente le carré de la vitesse.

Calcul Principal

Application numérique

On finalise le calcul en prenant la racine carrée de la valeur obtenue précédemment pour trouver la célérité \(c\) :

Calcul de c

\begin{aligned} c &= \sqrt{9000} \\ &\approx 94.868... \\ &\approx 94.87 \text{ m/s} \end{aligned}

On obtient une vitesse de propagation de près de 95 mètres par seconde.

Schéma (Résultat)

Vitesse de propagation

Réflexions

Le résultat est cohérent. C'est une vitesse élevée (presque 340 km/h), ce qui permet à l'instrument de réagir rapidement aux frappes.

Points de vigilance

Attention aux unités de T ! Si on vous donne une tension totale en Newtons, il faut la diviser par la longueur du périmètre concerné pour avoir des \(\text{N/m}\).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

\(c\) augmente avec la racine de la tension.
\(c\) diminue avec la racine de la masse surfacique.

Le saviez-vous ?

La vitesse des ondes sur une peau de tambour est beaucoup plus lente que la vitesse du son dans l'air (340 m/s), mais plus rapide que les vagues à la surface de l'eau.

FAQ

La vitesse dépend-elle de la fréquence ?

Sur une membrane idéale, non (milieu non dispersif). Mais en réalité, la raideur de flexion de la peau crée une légère dispersion, rendant les aigus un peu plus rapides.

La célérité de l'onde est \(c \approx 94.87 \text{ m/s}\).

A vous de jouer
Si la tension double (3600 N/m), quelle est la nouvelle célérité ?

📝 Mémo
Tension \(\nearrow\) \(\Rightarrow\) Vitesse \(\nearrow\). Masse \(\nearrow\) \(\Rightarrow\) Vitesse \(\searrow\).

Question 2 : Calcul de la fréquence fondamentale \(f_{01}\)

Principe Physique : Ondes Stationnaires

Une onde qui se propage sur la membrane se réfléchit sur les bords fixes. En se superposant, les ondes créent des ondes stationnaires. Seules certaines fréquences peuvent exister durablement : ce sont les modes propres.

Mini-Cours : Les Fonctions de Bessel

Pourquoi ce facteur étrange 2.405 ?

Pour une corde 1D, les modes sont des sinusoïdes \(\sin(kx)\) qui s'annulent à \(x=\pi, 2\pi\).
Pour un disque 2D, la symétrie radiale impose des solutions appelées Fonctions de Bessel de première espèce, notées \(J_0(x)\). Le profil de la vibration ressemble à une vague circulaire qui s'amortit.

Le premier point où \(J_0(x)\) s'annule (le premier "zéro") est \(x_1 \approx 2.4048\). C'est ce chiffre qui détermine la fréquence la plus basse possible (le mode fondamental).

Remarque Pédagogique

Le mode fondamental est souvent noté (0,1) : 0 diamètre nodal (pas de coupure type tarte) et 1 cercle nodal (le bord fixe).

Normes

Les timbales d'orchestre sont accordées sur une plage précise. Une timbale de 30 cm (environ 12 pouces) est très petite (type "timbale piccolo" ou tom de batterie), donc on s'attend à une fréquence assez élevée ( > 100 Hz).

Formule(s)

Fréquence propre fondamentale

f_{01} = \frac{\alpha_{01}}{2\pi R} \times c

Avec \(\alpha_{01} \approx 2.405\).

Hypothèses

On considère que la membrane est fixée rigidement sur tout son pourtour. C'est une condition aux limites de Dirichlet : le déplacement vertical \(z\) est nul en \(r=R\).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Rayon \(R\)	30 cm = 0.30 m
Célérité \(c\)	94.87 m/s

Astuces

Piège classique : Le rayon est donné en cm. Il est impératif de le convertir en mètres :

\begin{aligned} R &= 30 \text{ cm} \\ &= 30 \times 10^{-2} \text{ m} \\ &= 0.30 \text{ m} \end{aligned}

Condition aux limites

Calcul(s)

Calcul du facteur géométrique

On calcule d'abord le terme géométrique qui dépend du rayon et de la constante de Bessel :

\begin{aligned} \frac{2.405}{2\pi R} &= \frac{2.405}{2\pi \times 0.30} \\ &= \frac{2.405}{1.885} \\ &\approx 1.2759 \text{ m}^{-1} \end{aligned}

Ce facteur représente l'inverse d'une longueur caractéristique de l'onde.

Calcul Principal

Application numérique

On multiplie le facteur géométrique précédemment calculé par la célérité \(c\) pour obtenir la fréquence en Hertz :

Calcul de f

\begin{aligned} f_{01} &= \frac{2.405}{2\pi R} \times c \\ &\approx 1.2759 \times 94.87 \\ &\approx 121.04 \text{ Hz} \end{aligned}

La fréquence fondamentale obtenue est d'environ 121 vibrations par seconde.

Schéma (Résultat)

Visualisation du Mode Fondamental (coupe)

La membrane vibre en un seul bloc (toute la surface monte et descend en phase).

Réflexions Musicales

121 Hz correspond approximativement à un Si1 (Si de la première octave). C'est une fréquence basse médium.

Points de vigilance

Ne pas confondre Diamètre et Rayon dans la formule. Utiliser \(2\pi R\) revient à utiliser le périmètre (\(\pi D\)).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

La fréquence dépend de la géométrie (\(R\)) et du matériau (\(c\)).
Les bords sont fixes (Nœuds), le centre vibre au maximum (Ventre).

Le saviez-vous ?

Le mode (0,1) n'est pas le mode le plus audible sur une timbale ! Le "pitch" entendu correspond souvent au mode (1,1) (qui a un diamètre nodal).

FAQ

Pourquoi la fréquence n'est-elle pas un harmonique entier ?

C'est la particularité des systèmes 2D circulaires. Les modes supérieurs ne sont pas \(2f, 3f\), mais \(1.59f, 2.14f\), etc.

La fréquence fondamentale est \(f_{01} \approx 121 \text{ Hz}\).

A vous de jouer
Si on remplace la peau par une membrane plus lourde (\(\sigma = 0.80\) kg/m²), la fréquence est divisée par 2. Quelle est sa valeur ?

📝 Mémo
Calculer d'abord la vitesse c, puis appliquer le facteur géométrique \( \approx 2.405 / \text{périmètre} \).

Question 3 : Analyse qualitative (Tension)

Principe de l'Accordage

On cherche à comprendre la sensibilité de l'instrument. L'accordage consiste à modifier la tension \(T\) pour ajuster la fréquence \(f\). Est-ce qu'un petit tour de clé de tension change radicalement la note ? C'est une question de variation relative.

Mini-Cours : Relation Non-Linéaire

La racine carrée : La relation fondamentale est \(f \propto \sqrt{T}\). La fonction racine carrée est une fonction "amortissante".

Pour doubler la fréquence (monter d'une octave), il faut quadrupler la tension (\(2^2 = 4\)) ! Cela signifie qu'il faut exercer des forces mécaniques considérables pour atteindre les notes aiguës.

Pour les petits ajustements, on peut utiliser l'approximation : une variation de 1% de la tension entraîne une variation de 0.5% de la fréquence.

Remarque Pédagogique

Il est beaucoup plus élégant et sûr de raisonner en ratios (multiplicateurs) plutôt que de refaire tout le calcul avec \(T = 1800 + 360\)... Cela évite les erreurs d'arrondi intermédiaires.

Normes Musicales

En musique occidentale, un demi-ton correspond à un changement de fréquence d'environ 6% (\(\times 1.059\)). Un ton entier correspond à environ 12% (\(\times 1.122\)).

Formule(s)

Relation de proportionnalité

\frac{f_{\text{new}}}{f_{\text{old}}} = \sqrt{\frac{T_{\text{new}}}{T_{\text{old}}}}

Hypothèses

On suppose que le rayon \(R\) (géométrie) et la masse surfacique \(\sigma\) (quantité de matière) restent strictement constants pendant l'étirement.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Augmentation Tension	+20% (\(T_{\text{new}} = 1.20 \times T_{\text{old}}\))

Astuces

Connaitre ses carrés parfaits : \(1.1^2 = 1.21\). Donc \(\sqrt{1.20}\) doit être très légèrement inférieur à 1.1 (soit un peu moins de 10%).

État Initial

Calcul(s)

Calcul du Ratio

Application numérique

On calcule le facteur multiplicatif de la fréquence, qui est la racine carrée du facteur d'augmentation de la tension :

\begin{aligned} \text{Ratio} &= \sqrt{1.20} \\ &\approx 1.0954 \end{aligned}

Ce ratio de 1.0954 indique une augmentation relative de \(9.54\%\) de la fréquence.

Nouvelle Fréquence

On applique ce ratio à la fréquence initiale \(f_{\text{old}}\) pour trouver la nouvelle fréquence \(f_{\text{new}}\) :

\begin{aligned} f_{\text{new}} &= 1.0954 \times 121.04 \\ &\approx 132.6 \text{ Hz} \end{aligned}

La note monte d'environ 11.5 Hz.

Schéma (Résultat)

Relation Cause-Effet

Réflexions

L'augmentation de 9.5% est proche d'un ton entier (environ 12%). Une augmentation de 20% de la tension est donc nécessaire pour monter la note d'un peu moins d'un ton.

Points de vigilance

Ne jamais dire "la fréquence augmente de 20%". C'est l'erreur la plus classique. La racine carrée "écrase" toujours les variations.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

\(f\) est proportionnelle à \(\sqrt{T}\).
L'accordage est une relation non-linéaire.

Le saviez-vous ?

Sur les timbales modernes, une pédale permet de modifier cette tension instantanément. Le mécanisme est complexe car il doit tirer sur toutes les vis du pourtour uniformément pour que la peau reste plane.

FAQ

Est-ce que la masse change quand on tend la peau ?

En toute rigueur, oui. L'effet de Poisson fait que la peau s'amincit quand on l'étire, donc \(\sigma\) diminue légèrement. Cela renforcerait l'augmentation de fréquence, mais l'effet est minime devant la variation de tension.

La fréquence augmente d'environ 9.5% (132.6 Hz).

A vous de jouer
Si on détend la peau de 19% (le facteur devient 0.81), quel est le nouveau ratio de fréquence ?

📝 Mémo
Tension \(\times X\) \(\rightarrow\) Fréquence \(\times \sqrt{X}\).

Question 4 : Influence du rayon \(R\) (Loi d'Échelle)

Principe : La taille compte

On étudie l'impact de la dimension géométrique de l'instrument sur sa tessiture. C'est la loi fondamentale de l'acoustique instrumentale : les grands volumes résonnent lentement (grave), les petits volumes résonnent vite (aigu).

Mini-Cours : Proportionnalité Inverse

La relation \(f \propto 1/L\) : Cette loi est universelle en acoustique linéaire. Elle s'applique aux cordes (longueur \(L\)), aux tuyaux d'orgue (hauteur \(H\)) et aux membranes (rayon \(R\)).

Mathématiquement, c'est une hyperbole. Si \(R\) devient très grand, \(f\) tend vers 0 (infrasons). Si \(R\) tend vers 0, \(f\) tend vers l'infini (ultrasons).

Remarque Pédagogique

C'est pour cela que dans une famille d'instruments (violon, alto, violoncelle, contrebasse), la taille augmente systématiquement pour atteindre les notes graves.

Normes

Les timbales standard vont de 20 pouces (aigu) à 32 pouces (grave). Notre rayon de 30 cm correspond à un diamètre d'environ 23-24 pouces, soit une taille moyenne/haute.

Formule(s)

Relation Fréquence - Rayon

f_{01} = \frac{K}{R} \quad \text{avec} \quad K = \frac{2.405}{2\pi}\sqrt{\frac{T}{\sigma}}

Ici, \(K\) est une constante qui regroupe toutes les propriétés physiques (tension, matière). Seule la géométrie change.

Hypothèses

On suppose que la tension \(T\) et la masse surfacique \(\sigma\) sont rigoureusement identiques sur la petite et la grande timbale.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Nouveau Rayon \(R_{\text{new}}\)	\(R / 2\)

Astuces

L'inverse de \(1/2\) est 2. \( \frac{1}{0.5} = 2 \). C'est une manipulation de fraction élémentaire mais essentielle.

Taille Initiale

Calcul(s)

Analyse Algébrique

On exprime la nouvelle fréquence en remplaçant \(R\) par \(R/2\) dans la formule :

\begin{aligned} f_{\text{new}} &= \frac{K}{(R/2)} \\ &= 2 \times \frac{K}{R} \\ &= 2 \times f_{\text{old}} \end{aligned}

La manipulation montre que diviser le dénominateur par 2 revient à multiplier le résultat total par 2.

Calcul Principal

Application numérique

On multiplie simplement la fréquence initiale (121 Hz) par 2 :

Calcul de la nouvelle fréquence

\begin{aligned} f_{\text{new}} &= 2 \times 121 \\ &= 242 \text{ Hz} \end{aligned}

La fréquence double, passant à 242 Hz.

Schéma (L'Octave)

Taille vs Fréquence

Réflexions

Multiplier la fréquence par 2 correspond exactement à monter d'une octave en musique. C'est l'intervalle le plus consonant.

Points de vigilance

Ne pas confondre avec l'aire. Si on divise le rayon par 2, l'aire (\(\pi R^2\)) est divisée par 4, mais la fréquence n'est multipliée que par 2.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

\(f\) est inversement proportionnelle à \(R\).
Diviser la taille par 2 monte la note d'une octave (x2).

Le saviez-vous ?

Les petites timbales (appelées "piccolo") de 20 pouces sont utilisées pour jouer les notes les plus aiguës du registre, inaccessibles aux grandes timbales de 32 pouces sans tendre la peau à l'extrême (risque de rupture).

FAQ

Et si on changeait la forme (carrée) ?

La fréquence changerait car les modes propres d'un carré ne sont pas ceux d'un cercle (le facteur 2.405 changerait), mais la relation de proportionnalité avec la taille caractéristique \(1/L\) resterait vraie.

La nouvelle fréquence serait de 242 Hz (Octave supérieure).

A vous de jouer
Si on veut un son deux fois plus grave (60.5 Hz), par combien faut-il multiplier le rayon ?

📝 Mémo
Dimensions \(\div 2\) \(\rightarrow\) Fréquence \(\times 2\).

Schéma Bilan de l'Exercice

Synthèse des paramètres influençant la note de la timbale.

📝 Grand Mémo : Acoustique des Membranes

Points clés pour réussir vos calculs de fréquences propres :

🔑
Point Clé 1 : Rôle de la Tension
Plus on tend la peau, plus le son est aigu (\(f\) augmente avec \(T\)). Relation en racine carrée.
📐
Point Clé 2 : Rôle de la Masse
Plus la peau est lourde (épaisse), plus le son est grave (\(f\) diminue avec \(\sigma\)).
⚠️
Point Clé 3 : Unités
Toujours convertir le rayon en mètres (SI) avant de calculer.
📏
Point Clé 4 : Dimensions
La fréquence est inversement proportionnelle à la taille. Demi-taille = Double fréquence.

🎛️ Simulateur d'Accordage

Modifiez la tension et la masse de la peau pour observer l'impact sur la fréquence (hauteur de la note).

Paramètres de la Timbale

Tension (T) : 1800 N/m

Masse surfacique (\(\sigma\)) : 0.20 kg/m²

Célérité c : - m/s

Fréquence f : - Hz

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Si on quadruple la tension de la membrane, la fréquence est :

Quadruplée (x4)
Doublée (x2)
Divisée par 2

2. Quelle est l'unité SI de la masse surfacique \(\sigma\) ?

kg/m²
kg/m
kg

📚 Glossaire Acoustique

Fondamentale: La fréquence de vibration la plus basse d'un système oscillant.
Harmonique: Fréquence multiple de la fondamentale (dans les systèmes linéaires 1D), ou modes supérieurs (2D).
Nœud: Point ou ligne de la membrane qui reste immobile durant la vibration.
Ventre: Zone de la membrane où l'amplitude de vibration est maximale.

Le Saviez-vous ?

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Fréquence propre d’une membrane de timbale

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique de la Timbale

Schéma du Système

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Détermination de la fréquence propre d'une membrane de timbale

Question 1 : Calcul de la célérité \(c\)

Principe Physique

Mini-Cours : Analogie et Dimensions

Remarque Pédagogique

Normes et Matériaux

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Paramètres Initiaux

Calcul(s)

Calcul Intermédiaire

Calcul Principal

Schéma (Résultat)

Vitesse de propagation

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Calcul de la fréquence fondamentale \(f_{01}\)

Principe Physique : Ondes Stationnaires

Mini-Cours : Les Fonctions de Bessel

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Condition aux limites

Calcul(s)

Calcul du facteur géométrique

Calcul Principal

Schéma (Résultat)

Visualisation du Mode Fondamental (coupe)

Réflexions Musicales

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Analyse qualitative (Tension)

Principe de l'Accordage

Mini-Cours : Relation Non-Linéaire

Remarque Pédagogique

Normes Musicales

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

État Initial

Calcul(s)

Calcul du Ratio

Nouvelle Fréquence

Schéma (Résultat)

Relation Cause-Effet

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Influence du rayon \(R\) (Loi d'Échelle)

Principe : La taille compte

Mini-Cours : Proportionnalité Inverse

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces