En acoustique linéaire classique, on suppose que les perturbations de pression sont infinitésimales, ce qui permet de négliger les termes d'ordre supérieur dans les équations d'Euler et de conservation de la masse. Cependant, pour des Sources de Forte PuissanceTransducteurs générant des pressions acoustiques élevées (ex: sonar, lithotripsie)., ces approximations ne tiennent plus. La célérité de l'onde dépend alors localement de la pression, entraînant une déformation du profil de l'onde au cours de la propagation et la génération d'HarmoniquesComposantes fréquentielles multiples de la fréquence fondamentale..

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment une onde purement sinusoïdale à la source s'enrichit en fréquences multiples (2f, 3f...) au fur et à mesure qu'elle se propage, un phénomène crucial en imagerie harmonique échographique.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre l'origine physique de la non-linéarité acoustique.
Calculer le paramètre de non-linéarité $\beta$ d'un fluide.
Déterminer l'amplitude du second harmonique généré à une distance donnée.
Estimer la distance de formation d'une onde de choc.

Données de l'étude

On considère une onde acoustique plane progressive émise par une source sinusoïdale dans de l'eau pure à 20°C. On s'intéresse à la génération du second harmonique à une distance $x$ de la source.

Données Physiques

Paramètre	Valeur
Milieu de propagation	Eau pure (20°C)
Masse volumique au repos ($\rho_0$)	$1000 \, \text{kg/m}^3$
Célérité du son au repos ($c_0$)	$1480 \, \text{m/s}$
Paramètre de non-linéarité ($B/A$)	5.0

Schéma : Évolution du Profil Temporel de Pression

Variable Source	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence	$f$	$1 \, \text{MHz}$	$\text{Hz}$
Pression acoustique initiale	$P_0$	$2 \, \text{MPa}$	$\text{Pa}$
Distance d'observation	$d$	$0.15$	$\text{m}$

Questions à traiter

Calculer la pulsation $\omega$ et le nombre d'onde $k$ du fondamental.
Calculer le coefficient de non-linéarité $\beta$ de l'eau.
Déterminer l'amplitude de la pression du second harmonique $P_2$ à la distance $d$.
Calculer la distance de formation de choc $L_{\text{s}}$.
Comparer $d$ et $L_{\text{s}}$ pour valider l'approximation de faible distorsion.

Les bases théoriques

La propagation non linéaire repose sur le fait que la célérité du son n'est pas constante mais dépend de la vitesse particulaire $u$ et de la pression locale. Les crêtes de pression voyagent plus vite que les creux, ce qui raidit le front d'onde.

Coefficient de Non-Linéarité $\beta$
Il caractérise la capacité d'un fluide à générer des harmoniques. Il dépend du rapport $B/A$ issu de l'équation d'état du fluide.

Définition de Beta

\beta = 1 + \frac{B}{2A}

Amplitude du Second Harmonique ($P_2$)
Pour une onde plane progressive, tant que la distance $x$ est faible devant la distance de choc ($x \ll L_{\text{s}}$), l'amplitude du second harmonique croît linéairement avec la distance.

Solution de Fubini (ordre 2)

P_2(x) \approx \frac{\beta \omega P_0^2}{2 \rho_0 c_0^3} x

Note : Cette formule néglige l'atténuation (absorption) du fluide.

Distance de Choc ($L_{\text{s}}$)
C'est la distance théorique à laquelle le front d'onde deviendrait vertical (discontinuité de pression) en l'absence d'atténuation.

Distance de formation de choc

L_{\text{s}} = \frac{\rho_0 c_0^3}{\beta \omega P_0}

Correction : Génération du Second Harmonique

Question 1 : Pulsation et Nombre d'onde

Principe

Pour étudier la propagation d'une onde, il est fondamental de définir ses caractéristiques temporelles (périodicité dans le temps) et spatiales (périodicité dans l'espace). Ces grandeurs sont reliées par la vitesse de propagation de l'onde dans le milieu, ici $c_0$. On suppose l'onde harmonique pure à la source.

Mini-Cours

Dualité Temps-Espace :
- La pulsation $\omega$ mesure la vitesse de changement de phase par unité de temps (rad/s).
- Le nombre d'onde $k$ mesure le changement de phase par unité de distance (rad/m).
La relation fondamentale est $c = \omega / k$.

Remarque Pédagogique

Il est impératif de travailler avec les unités du système international (SI) avant tout calcul. Une erreur classique est de laisser la fréquence en MHz au lieu de Hz.

Normes

Les fréquences ultrasonores médicales sont standardisées par l'IEC 60601-2-37. La plage typique s'étend de 1 MHz à 20 MHz.

Formules

Pulsation et Nombre d'onde

\omega = 2\pi f \quad \text{et} \quad k = \frac{\omega}{c_0}

Hypothèses

On suppose que le milieu est homogène (vitesse constante) et isotrope (mêmes propriétés dans toutes les directions) pour le calcul du fondamental.

Données

Paramètre	Valeur
Fréquence $f$	1 MHz = $10^6$ Hz
Célérité $c_0$	1480 m/s

Astuces

Pour estimer rapidement $\omega$ : multipliez la fréquence par 6.28. Pour 1 MHz, on attend environ 6 millions de radians par seconde.

Schéma (Avant Calcul)

Caractéristiques de l'Onde

Calculs

On applique directement les définitions. D'abord, le calcul de la pulsation :

Calcul de la pulsation

\begin{aligned} \omega &= 2 \times \pi \times f \\ &= 2 \times 3.14159 \times 1\,000\,000 \\ &\approx 6.283 \times 10^6 \, \text{rad/s} \end{aligned}

Ce résultat intermédiaire de 6.28 millions de rad/s sera utilisé dans tous les calculs suivants.

Le nombre d'onde spatial s'obtient en divisant cette pulsation par la célérité. C'est l'équivalent spatial de la fréquence.

Calcul du nombre d'onde

\begin{aligned} k &= \frac{\omega}{c_0} \\ &= \frac{6.283 \times 10^6}{1480} \\ &\approx 4245 \, \text{m}^{-1} \end{aligned}

Une valeur de 4245 rad/m signifie que la phase de l'onde tourne de 1 radian tous les 0.23 mm environ.

Schéma (Après Calcul)

Résultats Clés

Réflexions

La valeur élevée de $k$ indique que la phase tourne très vite dans l'espace. Cela signifie que la longueur d'onde $\lambda = 2\pi/k$ est très petite (environ 1.5 mm), ce qui permet une bonne résolution spatiale.

Points de vigilance

Ne confondez pas la vitesse de propagation de l'onde ($c_0$) avec la vitesse vibratoire des particules ($u$). Ici, c'est $c_0$ qui intervient.

Points à Retenir

$\omega$ caractérise la source, tandis que $k$ dépend du milieu via $c_0$. Si le milieu change, $k$ change, mais $\omega$ reste constant.

Le saviez-vous ?

Dans les tissus mous humains, la vitesse du son varie peu (environ 1540 m/s), ce qui est proche de celle de l'eau.

FAQ

Pourquoi utiliser la pulsation $\omega$ plutôt que la fréquence $f$ ?

L'utilisation de $\omega$ simplifie l'écriture des équations différentielles et des fonctions sinusoïdales (évite de traîner des facteurs $2\pi$ partout).

$\omega \approx 6.28 \times 10^6 \, \text{rad/s}$ et $k \approx 4245 \, \text{m}^{-1}$

A vous de jouer
Si la fréquence double (f = 2 MHz), que devient la valeur de $k$ ?

📝 Mémo
La base de tout calcul acoustique commence par définir l'échelle spatiale ($k$) et temporelle ($\omega$).

Question 2 : Coefficient de Non-Linéarité $\beta$

Principe

La linéarité acoustique suppose que la densité dépend linéairement de la pression. En réalité, l'équation d'état d'un fluide est plus complexe et peut être développée en série de Taylor : $P = A(\frac{\rho-\rho_0}{\rho_0}) + \frac{B}{2}(\frac{\rho-\rho_0}{\rho_0})^2 + \dots$. Le coefficient $\beta$ synthétise cette non-linéarité thermodynamique et y ajoute un effet cinématique de convection.

Mini-Cours

Signification Physique :
- A : Module de compressibilité adiabatique linéaire ($\rho_0 c_0^2$).
- B : Terme quadratique de l'équation d'état.
- $\beta$ : Coefficient total qui pilote la distorsion de l'onde. Plus il est grand, plus le milieu "déforme" l'onde rapidement.

Remarque Pédagogique

Le paramètre $B/A$ est une propriété intrinsèque du matériau, souvent utilisée pour caractériser les tissus biologiques (ex: foie gras vs sain).

Normes

Il n'y a pas de "norme" de valeur unique, mais des tables de référence. L'eau distillée à 20°C est la référence absolue en métrologie ultrasonore.

Formule(s)

\beta = 1 + \frac{B}{2A}

Hypothèses

On considère une transformation adiabatique (pas d'échange de chaleur) lors du passage de l'onde, ce qui est valide pour les ultrasons.

Données

Paramètre	Valeur	Unité
Rapport $B/A$	5.0	$\text{Sans dimension}$

Astuces

Le terme "1" vient de l'équation du mouvement (Euler), tandis que le terme $B/2A$ vient de l'équation d'état (thermodynamique). N'oubliez pas le "1" !

Schéma (Avant Calcul)

Composition du Coefficient Beta

Calculs

La contribution thermodynamique à la non-linéarité provient du terme quadratique de l'équation d'état, pondéré par 2.

\begin{aligned} \frac{B}{2A} &= \frac{5.0}{2} \\ &= 2.5 \end{aligned}

Ce terme de 2.5 est prépondérant pour les liquides comme l'eau.

Le coefficient final s'obtient en ajoutant l'effet cinématique de transport (convection) qui vaut toujours 1.

\begin{aligned} \beta &= 1 + 2.5 \\ &= 3.5 \end{aligned}

Ce coefficient global sera le multiplicateur de distorsion dans nos formules.

Schéma (Après Calcul)

Échelle de Non-Linéarité

Réflexions

L'eau est un milieu significativement non-linéaire comparé à un gaz parfait adiabatique (où $\beta \approx 1.2$), principalement à cause de sa structure moléculaire complexe (liaisons hydrogène).

Points de vigilance

Une erreur fréquente est de confondre $B/A$ et $\beta$. Vérifiez bien si la formule demande l'un ou l'autre.

Points à Retenir

Pour l'eau : $\beta \approx 3.5$. C'est une constante utile à mémoriser.

Le saviez-vous ?

L'injection de microbulles de gaz dans le sang peut faire monter le paramètre effectif $B/A$ à plusieurs milliers, créant une réponse harmonique géante utilisée pour détecter les vaisseaux sanguins.

FAQ

Est-ce que $\beta$ dépend de la fréquence ?

Non, en première approximation, c'est une constante du matériau indépendante de la fréquence de l'onde excitante.

$\beta = 3.5$ ($\text{Sans dimension}$)

A vous de jouer
Si le milieu est du tissu graisseux avec $B/A = 10$, que vaut $\beta$ ?

📝 Mémo
C'est le "moteur" de la génération d'harmoniques.

Question 3 : Amplitude du Second Harmonique $P_2$

Principe

Lors de la propagation, la non-linéarité agit comme une "source distribuée" tout au long du chemin acoustique. Elle prélève de l'énergie à la fréquence fondamentale ($\omega$) pour la réinjecter à la fréquence double ($2\omega$). Pour des distances faibles, on considère que l'énergie du fondamental reste constante (approximation de l'épuisement négligeable).

Mini-Cours

Solution de Fubini pour les faibles distances :
Cette solution analytique montre que l'amplitude de l'harmonique 2 est proportionnelle à la distance parcourue $x$, à la fréquence $\omega$, et au carré de la pression source $P_0^2$. C'est un effet cumulatif.

Remarque Pédagogique

C'est un calcul de perturbation au second ordre. Le premier ordre est l'onde linéaire classique.

Normes

La maîtrise des niveaux de pression harmonique est essentielle pour respecter l'indice mécanique (MI) en échographie, garantissant la sécurité du patient.

Formule(s)

P_2(d) = \frac{\beta \omega P_0^2}{2 \rho_0 c_0^3} \cdot d

Hypothèses

Onde plane progressive (pas de diffraction).
Pas d'atténuation (viscosité négligée).
Régime de faible distorsion (avant le choc, $x < L_{\text{s}}$).

Données

Paramètre	Valeur	Unité SI
Beta $\beta$	3.5	-
Pulsation $\omega$	$6.283 \times 10^6$	$\text{rad/s}$
Pression Source $P_0$	$2 \times 10^6$	$\text{Pa}$
Masse volumique $\rho_0$	1000	$\text{kg/m}^3$
Célérité $c_0$	1480	$\text{m/s}$
Distance $d$	0.15	$\text{m}$

Astuces

Groupez le terme $\rho_0 c_0^3$ pour le calculer une seule fois. C'est un terme récurrent en acoustique non linéaire.

Schéma (Avant Calcul)

Transfert Spectral d'Énergie

Calculs

On procède par étapes pour éviter les erreurs de puissance de 10.

Étape 1 : Calcul du Dénominateur

Calculons d'abord l'inertie du milieu, représentée par le terme $2\rho_0 c_0^3$. C'est un terme très grand qui va diviser la pression.

\begin{aligned} \text{Denom} &= 2 \rho_0 c_0^3 \\ &= 2 \times 1000 \times (1480)^3 \\ &= 2000 \times 3.241 \times 10^9 \\ &\approx 6.48 \times 10^{12} \, \text{kg}\cdot\text{m/s}^5 \end{aligned}

Ce dénominateur élevé (ordre $10^{12}$) explique pourquoi il faut des pressions sources énormes pour voir des effets non-linéaires.

Étape 2 : Calcul du Numérateur

Evaluons maintenant la 'force' de la source non-linéaire, qui dépend de $\beta$, de la fréquence et du carré de la pression.

\begin{aligned} N &= \beta \omega P_0^2 \\ &= 3.5 \times (6.283 \times 10^6) \times (2 \times 10^6)^2 \\ &= 3.5 \times 6.283 \times 10^6 \times 4 \times 10^{12} \\ &\approx 87.96 \times 10^{18} \\ &\approx 8.796 \times 10^{19} \end{aligned}

Ce numérateur est également gigantesque ($10^{19}$), c'est le combat entre ce terme source et l'inertie du milieu qui dictera l'amplitude finale.

Étape 3 : Division et Distance

Enfin, on combine ces deux termes et on multiplie par la distance de propagation $d$.

\begin{aligned} P_2(0.15) &= \frac{N}{D} \times d \\ &= \frac{8.796 \times 10^{19}}{6.48 \times 10^{12}} \times 0.15 \\ &\approx 13574 \times 0.15 \\ &\approx 2036 \, \text{Pa} \end{aligned}

Le résultat final montre qu'après 15 cm, l'harmonique 2 atteint un niveau audible/mesurable mais reste faible devant la source.

Schéma (Après Calcul)

Comparaison des Amplitudes

Réflexions

On obtient environ 2 kPa pour le second harmonique contre 2000 kPa pour le fondamental. Le rapport est de 0.1%. Cela valide l'hypothèse de "faible distorsion" : l'énergie pompée dans le fondamental est négligeable, donc $P_0$ reste quasi constant.

Points de vigilance

N'oubliez pas d'élever $P_0$ au carré ! C'est le facteur le plus influent. Doubler la pression source quadruple l'harmonique.

Points à Retenir

La génération d'harmonique est cumulative : elle augmente avec la distance de propagation.

Le saviez-vous ?

Les sondeurs de pêche utilisent parfois cette propriété : les harmoniques sont moins diffractés que le fondamental, offrant un faisceau plus fin pour détecter les poissons près du fond.

FAQ

Pourquoi néglige-t-on l'harmonique 3 ?

Son amplitude est proportionnelle à $P_0^3$. Pour des pressions modérées, il est d'un ordre de grandeur inférieur au second harmonique.

$P_2 \approx 2.04 \, \text{kPa}$

A vous de jouer
Si on double la distance d = 0.30 m, que vaut P2 ?

Indice : Relation linéaire avec d.

📝 Mémo
Plus on va loin, plus le son s'enrichit en aigus.

Question 4 : Distance de Choc $L_{\text{s}}$

Principe

La vitesse locale du son dépend de la pression instantanée : $c(t) = c_0 + \beta u(t)$. Les crêtes de pression (où $u > 0$) se déplacent plus vite que $c_0$, et les creux (où $u < 0$) plus lentement. Au bout d'une certaine distance $L_{\text{s}}$, la crête finit par rattraper le creux qui la précède, créant une pente verticale : c'est le choc.

Mini-Cours

Définition Mathématique :
La distance de choc $L_{\text{s}}$ est la distance à laquelle la solution théorique sans atténuation deviendrait multivaluée (ce qui est physiquement impossible), marquant l'apparition d'une discontinuité.

Remarque Pédagogique

C'est une distance caractéristique du système. Elle définit une échelle de longueur pour le problème non-linéaire.

Normes

Le nombre de Gold'berg, utilisé pour classer les régimes non-linéaires, dépend directement de cette longueur de choc par rapport à la longueur d'atténuation.

Formule(s)

L_{\text{s}} = \frac{\rho_0 c_0^3}{\beta \omega P_0}

Hypothèses

Milieu non visqueux (pas d'atténuation contrant le raidissement).
Onde plane.

Données

Paramètre	Valeur
Impédance cubique (Numérateur)	$3.24 \times 10^{12}$
Termes Dénominateur	$\beta=3.5, \omega=6.283\cdot10^6, P_0=2\cdot10^6$

Astuces

Pour mémoriser la tendance : $L_{\text{s}}$ est au dénominateur de la distorsion. Plus la pression ou la fréquence est forte, plus le choc arrive tôt (distance courte).

Schéma (Avant Calcul)

Formation du Choc

Calculs

On reprend le numérateur (impédance cubique) : $3.24 \times 10^{12}$.

Commençons par évaluer le taux de distorsion spatiale au dénominateur, qui combine non-linéarité et puissance source.

\begin{aligned} \text{Denom} &= \beta \times \omega \times P_0 \\ &= 3.5 \times (6.283 \times 10^6) \times (2 \times 10^6) \\ &= 3.5 \times 6.283 \times 2 \times 10^{12} \\ &\approx 43.98 \times 10^{12} \end{aligned}

Cette valeur représente la 'vitesse' à laquelle le front d'onde se déforme par mètre parcouru.

La distance de choc est obtenue en comparant l'impédance du milieu à ce taux de distorsion.

\begin{aligned} L_{\text{s}} &= \frac{3.24 \times 10^{12}}{43.98 \times 10^{12}} \\ &\approx 0.0736 \, \text{m} \end{aligned}

Une distance de 7 cm est extrêmement courte. Cela implique que l'onde se transforme en choc presque immédiatement à l'échelle d'une cuve expérimentale.

Schéma (Après Calcul)

Échelle spatiale

Réflexions

Une distance de 7.4 cm est très courte en acoustique sous-marine, mais courante en médical. Cela signifie que l'onde se transforme très vite en dents de scie.

Points de vigilance

Cette formule n'est valable que pour les ondes planes. Pour une onde focalisée, le choc peut apparaître beaucoup plus tôt près du foyer à cause de la concentration d'énergie.

Points à Retenir

La distance de choc marque la limite de validité des approximations linéaires simples.

Le saviez-vous ?

C'est ce phénomène qui est utilisé dans les lithotripteurs pour briser les calculs rénaux : on focalise pour créer un choc destructeur uniquement sur la pierre.

FAQ

Est-ce que l'onde casse le fluide ?

Non, mais les gradients de pression deviennent si forts que la viscosité et la conductivité thermique absorbent énormément d'énergie au niveau du front.

$L_{\text{s}} \approx 7.36 \, \text{cm}$

A vous de jouer
Si on divise P0 par 2 (P0 = 1 MPa), que devient Ls ?

Indice : P0 est au dénominateur.

📝 Mémo
Limite critique de linéarité.

Question 5 : Analyse de validité

Principe

Pour que le calcul de perturbation effectué à la question 3 soit valide, il faut que l'onde n'ait pas eu le temps de se déformer significativement. Il faut donc comparer la distance d'observation réelle $d$ à la distance caractéristique de formation du choc $L_{\text{s}}$.

Mini-Cours

Nombre de Choc $\sigma$ :
Le ratio $\sigma = d/L_{\text{s}}$ quantifie le degré de non-linéarité.
- Si $\sigma \ll 1$ : Régime quasi-linéaire (notre calcul Q3 est bon).
- Si $\sigma \approx 1$ : Début de saturation.
- Si $\sigma > 1$ : Régime de choc (dents de scie), forte absorption.

Remarque Pédagogique

En physique, vérifier le domaine de validité d'un modèle est aussi important que le calcul lui-même.

Normes

En sécurité ultrasons, on surveille ces indices pour éviter les échauffements locaux dus à l'absorption non-linéaire.

Formule(s)

\sigma = \frac{d}{L_{\text{s}}}

Hypothèses

Comparaison directe des longueurs caractéristiques.

Données

Paramètre	Valeur
Distance d'observation $d$	15 cm
Distance de choc $L_{\text{s}}$	7.36 cm

Astuces

Si la distance d'observation est plus grande que $L_{\text{s}}$, vos calculs linéaires surestiment toujours l'amplitude réelle.

Schéma (Avant Calcul)

Positionnement Relatif

Calculs

Nous allons établir le rapport sans dimension $\sigma$ entre la distance réelle et la distance critique.

\begin{aligned} \sigma &= \frac{d}{L_{\text{s}}} \\ &= \frac{15}{7.36} \\ &\approx 2.04 \end{aligned}

Un résultat supérieur à 1 confirme mathématiquement que le modèle linéaire de Fubini n'est plus applicable physiquement.

Schéma (Après Calcul)

Jauge de Validité

Réflexions

Puisque $\sigma > 1$, l'onde de choc s'est déjà formée avant d'atteindre le point de mesure. L'énergie a été transférée vers des harmoniques très élevés et dissipée par viscosité. La valeur réelle de $P_2$ sera donc inférieure aux 2.04 kPa calculés à la question 3, car ce modèle ne prenait pas en compte la saturation.

Points de vigilance

Ne jamais utiliser aveuglément une formule de perturbation sans vérifier le critère de validité $x \ll L_{\text{s}}$.

Points à Retenir

Au-delà de $L_{\text{s}}$, l'amplitude des harmoniques se stabilise puis décroît : c'est la saturation.

Le saviez-vous ?

C'est ce phénomène de saturation qui limite la puissance maximale transmissible par un sonar. Augmenter la puissance source ne sert plus à rien passé un certain seuil, on ne fait que chauffer l'eau !

FAQ

Quelle formule utiliser alors ?

Il faut résoudre l'équation de Burgers ou utiliser la solution de Fay, qui sont valides même après la formation du choc.

$\text{Modèle Invalide} (\sigma > 1)$

A vous de jouer
Quelle distance maximale $d_{max}$ recommanderiez-vous pour rester dans le domaine valide (disons $\sigma < 0.5$) ?

📝 Mémo
Toujours calculer Ls en premier !

Schéma Bilan : Spectre Fréquentiel

Évolution du contenu spectral au cours de la propagation.

📝 Grand Mémo : Acoustique Non Linéaire

Points clés pour comprendre la génération d'harmoniques :

🔑
Point Clé 1 : Origine
La non-linéarité vient de la dépendance de la célérité $c$ avec la pression acoustique.
📐
Point Clé 2 : Proportionnalité
L'amplitude de l'harmonique 2 croît linéairement avec la distance (au début) et avec le carré de la pression source $P_0^2$.
⚠️
Point Clé 3 : Distance de Choc
Au-delà de $L_{\text{s}}$, l'onde devient une onde de choc (dents de scie) et l'absorption augmente drastiquement.

"Plus c'est fort, plus ça se déforme, plus ça crée des aigus !"

🎛️ Simulateur : Croissance de l'harmonique 2

Visualisez l'évolution de l'amplitude du fondamental ($P_1$) et de l'harmonique 2 ($P_2$) en fonction de la distance.

Paramètres Source

Pression Source $P_0$ (MPa) : 2

Fréquence $f$ (MHz) : 1

Distance de Choc $L_{\text{s}}$ : -

Amplitude $P_2$ à 10cm : -

📝 Quiz final : Avez-vous compris la non-linéarité ?

1. Si je double l'amplitude de la source $P_0$, comment évolue l'amplitude du second harmonique $P_2$ (dans la zone linéaire) ?

Elle est multipliée par 4.
Elle est multipliée par 2.
Elle ne change pas.

2. Quel fluide est le plus non-linéaire (génère le plus d'harmoniques) ?

L'air ($\beta \approx 1.2$)
L'eau ($\beta \approx 3.5$)

📚 Glossaire Acoustique

Fondamental: La composante fréquentielle émise initialement par la source ($f_0$).
Harmonique: Composante créée à une fréquence multiple ($2f_0, 3f_0\dots$) par distorsion.
Onde de choc: Discontinuité brutale de pression et de masse volumique se propageant dans le fluide.
Célérité: Vitesse de propagation de l'onde (vitesse du son).
Impédance: Produit $\rho c$, résistance du milieu au passage de l'onde.

Le Saviez-vous ?

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Variable Source	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence	\(f\)	\(1 \, \text{MHz}\)	\(\text{Hz}\)
Pression acoustique initiale	\(P_0\)	\(2 \, \text{MPa}\)	\(\text{Pa}\)
Distance d'observation	\(d\)	\(0.15\)	\(\text{m}\)

Paramètre	Valeur	Unité SI
Beta \(\beta\)	3.5	-
Pulsation \(\omega\)	\(6.283 \times 10^6\)	\(\text{rad/s}\)
Pression Source \(P_0\)	\(2 \times 10^6\)	\(\text{Pa}\)
Masse volumique \(\rho_0\)	1000	\(\text{kg/m}^3\)
Célérité \(c_0\)	1480	\(\text{m/s}\)
Distance \(d\)	0.15	\(\text{m}\)

Génération du Second Harmonique

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Données Physiques

Schéma : Évolution du Profil Temporel de Pression

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Génération du Second Harmonique

Question 1 : Pulsation et Nombre d'onde

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formules

Hypothèses

Données

Astuces

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Caractéristiques de l'Onde

Calculs

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Résultats Clés

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

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Question 2 : Coefficient de Non-Linéarité \(\beta\)

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Composition du Coefficient Beta

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Échelle de Non-Linéarité

Réflexions

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Transfert Spectral d'Énergie

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Comparaison des Amplitudes

Réflexions

Points de vigilance

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