Calcul de la Hauteur Tonale (Pitch) Perçue d’un Son
Contexte : La PsychoacoustiqueBranche de la science qui étudie la perception subjective des sons par l'être humain, en liant les propriétés physiques d'un son à la sensation qu'il procure..
La perception de la hauteur d'un son, que nous appelons Hauteur Tonale (Pitch)Attribut perceptif d'un son qui permet de le classer sur une échelle allant du grave à l'aigu. C'est la qualité qui permet de juger un son comme étant "plus haut" ou "plus bas" qu'un autre., est un processus fascinant. Pour un son pur (sinusoïdal), la hauteur est directement liée à sa fréquence. Cependant, la plupart des sons que nous entendons, comme ceux des instruments de musique, sont des sons complexes composés de plusieurs fréquences. Notre cerveau doit alors interpréter cet ensemble de fréquences pour en déduire une hauteur unique. Cet exercice explore un phénomène surprenant : la perception d'une hauteur même lorsque sa fréquence correspondante est physiquement absente du son.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à dissocier la fréquence physique d'un son de sa perception psychologique. Vous découvrirez comment le cerveau humain "calcule" la hauteur d'un son en se basant sur la relation entre ses composantes, un principe clé en acoustique musicale et en traitement du signal audio.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la relation entre la fréquence fondamentale et les harmoniques d'un son périodique.
- Calculer la fréquence fondamentale d'un son à partir de son spectre harmonique.
- Expliquer et appliquer le concept de la "fondamentale manquante" (Missing Fundamental).
- Distinguer les propriétés physiques d'un son de ses attributs perceptifs.
Données de l'étude
Spectre de Fréquences
Composition spectrale du son de la cloche
| Partiel | Description | Fréquence (f) | Unité |
|---|---|---|---|
| Partiel 1 | Composante fréquentielle la plus basse détectée | 400 | Hz |
| Partiel 2 | Deuxième composante détectée | 600 | Hz |
| Partiel 3 | Troisième composante détectée | 800 | Hz |
| Partiel 4 | Quatrième composante détectée | 1000 | Hz |
Questions à traiter
- Les fréquences présentes dans le son sont-elles harmoniques ? Si oui, quelle est la fréquence fondamentale (f₀) de cette série harmonique ?
- Quelle est la hauteur tonale (pitch) que l'auditeur est susceptible de percevoir en écoutant ce son ? Justifiez votre réponse.
- Imaginez un deuxième son composé des fréquences 350 Hz, 550 Hz et 750 Hz. Ce son produira-t-il une sensation de hauteur claire ? Pourquoi ?
- Un troisième son est composé des fréquences 540 Hz, 720 Hz et 900 Hz. Quelle est sa hauteur tonale perçue ?
Les bases sur la Perception de la Hauteur Tonale
La perception de la hauteur d'un son complexe repose sur la capacité du système auditif à identifier des motifs et des régularités dans le spectre du son. Pour les sons périodiques (comme ceux de la plupart des instruments de musique), le spectre est composé d'une fréquence fondamentale et de ses multiples entiers, les harmoniques.
1. Fréquence Fondamentale et Harmoniques
La Fréquence FondamentaleLa plus basse fréquence d'un son périodique. La hauteur perçue d'un son est principalement déterminée par sa fréquence fondamentale. (\(f_0\)) est la plus basse fréquence d'un son périodique et correspond à la fréquence de répétition de son motif d'onde. Les HarmoniquesComposantes d'un son complexe dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale. sont des composantes dont les fréquences sont des multiples entiers de \(f_0\). La relation est :
\[ f_n = n \cdot f_0 \]
Où \(f_n\) est la fréquence de l'harmonique de rang \(n\).
2. L'Effet de la Fondamentale Manquante
Le cerveau humain est si doué pour reconnaître les motifs harmoniques qu'il peut déduire la fréquence fondamentale même si elle est physiquement absente du signal sonore. Si le cerveau reçoit les fréquences 400 Hz, 600 Hz, et 800 Hz, il reconnaît l'intervalle commun de 200 Hz et "reconstitue" une hauteur perçue correspondant à 200 Hz. C'est le phénomène de la Fondamentale ManquantePhénomène psychoacoustique où un auditeur perçoit la hauteur d'une fréquence fondamentale même si celle-ci est absente du spectre sonore, en se basant sur la relation entre les harmoniques présentes..
Correction : Calcul de la Hauteur Tonale (Pitch) Perçue d’un Son
Question 1 : Les fréquences présentes dans le son sont-elles harmoniques ? Si oui, quelle est la fréquence fondamentale (f₀) de cette série harmonique ?
Principe
Pour déterminer si une série de fréquences est harmonique, nous devons vérifier si toutes les fréquences sont des multiples entiers d'une fréquence commune, la fondamentale. Cette fondamentale correspond mathématiquement au plus grand commun diviseur (PGCD) des fréquences de la série.
Mini-Cours
Une série de fréquences \(\{f_1, f_2, \dots, f_n\}\) est dite harmonique s'il existe une fréquence \(f_0\) telle que chaque \(f_i\) est un multiple entier de \(f_0\) (\(f_i = n_i \cdot f_0\) avec \(n_i\) entier). Cette fréquence \(f_0\) est la fréquence fondamentale. Par exemple, \(\{100 \, \text{Hz}, 200 \, \text{Hz}, 300 \, \text{Hz}\}\) est une série harmonique de fondamentale \(100 \, \text{Hz}\).
Remarque Pédagogique
L'idée clé est de chercher un "pas" constant entre les fréquences, un intervalle commun. Si vous pouvez identifier ce "pas", vous avez probablement trouvé la fréquence fondamentale. C'est comme trouver la règle d'une suite logique en mathématiques.
Normes
Il n'y a pas de "norme" réglementaire ici, mais le principe se base sur les fondements mathématiques de l'analyse de Fourier, qui stipule que tout signal périodique peut être décomposé en une somme de sinusoïdes dont les fréquences sont des multiples d'une fréquence fondamentale.
Formule(s)
Formule de la Fréquence Fondamentale
Hypothèses
Nous posons les hypothèses suivantes pour le calcul :
- Le son est parfaitement périodique.
- Les fréquences mesurées sont exactes et ne comportent pas d'erreur de mesure.
Donnée(s)
Les fréquences détectées dans le son de la cloche sont listées ci-dessous.
| Partiel | Fréquence (Hz) |
|---|---|
| 1 | 400 |
| 2 | 600 |
| 3 | 800 |
| 4 | 1000 |
Astuces
Pour trouver rapidement le PGCD d'une série de nombres, vous pouvez commencer par calculer la différence entre deux nombres consécutifs. Le PGCD de la série sera un diviseur de cette différence. Ici, la différence est constamment de \(200 \, \text{Hz}\) (\(600-400\), \(800-600\), etc.), ce qui est un excellent indice.
Schéma (Avant les calculs)
Spectre des fréquences données
Calcul(s)
Calcul du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)
Vérification des Rangs Harmoniques
Puisque toutes les fréquences sont des multiples entiers de \(200 \, \text{Hz}\), la série est bien harmonique.
Schéma (Après les calculs)
Série harmonique complète identifiée
Réflexions
Le calcul confirme que les partiels du son de la cloche forment une série harmonique. La fréquence fondamentale de cette série est de \(200 \, \text{Hz}\). Il est crucial de noter que cette fréquence fondamentale n'est pas présente dans les données initiales ; la première composante physique est l'harmonique de rang 2.
Points de vigilance
Ne pas confondre la fréquence la plus basse présente dans le signal (\(400 \, \text{Hz}\)) avec la fréquence fondamentale (\(200 \, \text{Hz}\)). La fondamentale est le plus grand commun diviseur, pas nécessairement la plus petite valeur de la liste.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez :
1. Une série est harmonique si ses membres sont des multiples entiers d'une fréquence de base f₀.
2. f₀ se trouve en calculant le PGCD de toutes les fréquences.
3. La fondamentale f₀ peut être physiquement absente du son.
Le saviez-vous ?
Les non-linéarités de notre oreille interne peuvent physiquement générer des fréquences qui ne sont pas dans le son original. Ainsi, lorsque les harmoniques \(400 \, \text{Hz}\) et \(600 \, \text{Hz}\) atteignent la cochlée, elles peuvent interagir et créer une "distorsion" à la fréquence de leur différence (\(200 \, \text{Hz}\)), renforçant la perception de la fondamentale manquante.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle est la fréquence fondamentale (f₀) pour une série harmonique contenant les fréquences \(\{300, 450, 600\} \, \text{Hz}\) ?
Question 2 : Quelle est la hauteur tonale (pitch) que l'auditeur est susceptible de percevoir en écoutant ce son ? Justifiez votre réponse.
Principe
Le principe psychoacoustique de la "fondamentale manquante" stipule que la hauteur perçue d'un son harmonique est déterminée par sa fréquence fondamentale, même si cette dernière est physiquement absente du signal. Le cerveau reconstitue cette information à partir de l'espacement régulier des harmoniques présentes.
Donnée(s)
Pour cette question, nous utilisons les fréquences physiques présentes dans le son, ainsi que la fréquence fondamentale calculée à la question précédente.
| Paramètre | Valeur | Source |
|---|---|---|
| Spectre Physique | {400, 600, 800, 1000} Hz | Énoncé |
| Fréquence Fondamentale (\(f_0\)) | 200 Hz | Calculée en Question 1 |
Schéma (Avant les calculs)
Spectre Physique du Son
Schéma (Après les calculs)
Contraste entre Spectre Physique et Pitch Perçu
Réflexions
Nous avons établi à la question 1 que la fréquence fondamentale de la série harmonique est de \(200 \, \text{Hz}\). Bien que cette fréquence ne soit pas dans le signal, le système auditif humain détecte la périodicité de \(200 \, \text{Hz}\) dans la structure des harmoniques (\(400, 600, 800 \, \text{Hz}\)...). Par conséquent, la sensation de hauteur générée correspondra à cette fréquence fondamentale reconstituée.
Le saviez-vous ?
Ce phénomène est exploité dans de nombreux appareils audio ! Les petits haut-parleurs (comme ceux des téléphones ou des ordinateurs portables) ne peuvent pas reproduire physiquement les basses fréquences (graves). Pour donner l'illusion d'une basse, les ingénieurs du son ajoutent des harmoniques supérieures. Votre cerveau fait le reste du travail et perçoit la note grave qui est pourtant absente !
Résultat Final
Question 3 : Imaginez un deuxième son composé des fréquences 350 Hz, 550 Hz et 750 Hz. Ce son produira-t-il une sensation de hauteur claire ? Pourquoi ?
Principe
Une sensation de hauteur claire et unique est généralement associée aux sons dont les composantes forment une série d'harmoniques de rangs faibles et consécutifs. Si les fréquences sont des multiples d'une fondamentale, mais de rangs élevés et espacés, le motif est moins évident pour le cerveau, ce qui affaiblit ou rend ambiguë la perception de la hauteur.
Mini-Cours
La force de la perception du pitch dépend de la "densité" des harmoniques. Les théories de la perception de la hauteur (comme la théorie de la périodicité) suggèrent que le cerveau cherche le meilleur "taux de répétition" commun aux composantes. Lorsque les harmoniques sont espacés (ex: rangs 7, 11, 15), plusieurs "taux" peuvent être possibles, créant une ambiguïté perceptive.
Remarque Pédagogique
Ne vous contentez pas de trouver un PGCD. Regardez les rangs des harmoniques qui en résultent. Si vous obtenez une série comme \{7, 11, 15\}, demandez-vous si c'est un motif aussi "simple" et "évident" qu'une série comme \{2, 3, 4\}. La simplicité du motif est un bon indicateur de la clarté de la hauteur perçue.
Normes
Ce concept est formalisé dans les modèles de perception de la hauteur, comme le modèle de hauteur virtuelle de Terhardt. Ces modèles mathématiques prédisent la hauteur perçue en analysant le spectre et en recherchant les "sous-harmoniques" les plus probables, pondérant plus fortement les harmoniques de bas rang.
Formule(s)
Formule du Rang Harmonique
Hypothèses
Nous supposons un auditeur humain standard dans des conditions d'écoute normales.
Donnée(s)
Les fréquences du son à analyser sont \(\{350 \, \text{Hz}, 550 \, \text{Hz}, 750 \, \text{Hz}\}\).
Astuces
Si le PGCD que vous trouvez est très petit par rapport aux fréquences elles-mêmes, méfiez-vous. Un \(f_0\) de \(50 \, \text{Hz}\) pour des fréquences commençant à \(350 \, \text{Hz}\) signifie que les six premières harmoniques sont manquantes. C'est un signe que la perception de la hauteur sera probablement faible.
Schéma (Avant les calculs)
Spectre du deuxième son
Calcul(s)
Calcul du PGCD
Analyse des Rangs Harmoniques
Schéma (Après les calculs)
Analyse des rangs harmoniques espacés
Réflexions
Bien qu'il existe un PGCD (\(50 \, \text{Hz}\)), les harmoniques sont de rangs élevés et très espacés (7, 11, 15). Pour le cerveau, ce motif est beaucoup moins évident à interpréter qu'une suite d'harmoniques consécutifs (comme 2, 3, 4, 5). Un tel son, bien que techniquement harmonique, risque de ne pas produire une sensation de hauteur aussi claire et forte que le premier son. Il pourrait être perçu comme ayant une hauteur ambiguë ou comme un accord de plusieurs notes.
Points de vigilance
Ne concluez pas qu'une hauteur est claire simplement parce que vous avez trouvé un PGCD. L'analyse qualitative des rangs harmoniques (sont-ils faibles ? consécutifs ?) est une étape essentielle de l'interprétation psychoacoustique.
Points à retenir
1. La clarté du pitch dépend de la simplicité du motif harmonique.
2. Les harmoniques de rangs faibles et consécutifs créent une sensation de hauteur forte.
3. Les harmoniques de rangs élevés et espacés créent une sensation de hauteur faible ou ambiguë.
Le saviez-vous ?
Certains instruments, comme les cloches ou les carillons, sont spécifiquement conçus pour avoir des partiels inharmoniques ou des harmoniques de rangs élevés. C'est ce qui leur donne leur timbre riche et complexe, souvent perçu comme métallique et moins "tonal" qu'un violon ou une flûte.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un son est composé de \(\{400, 500, 600\} \, \text{Hz}\). Produit-il un pitch clair ? Si oui, lequel ?
Question 4 : Un troisième son est composé des fréquences 540 Hz, 720 Hz et 900 Hz. Quelle est sa hauteur tonale perçue ?
Principe
Une fois de plus, le concept physique sous-jacent est la recherche d'une périodicité commune dans le signal. La hauteur perçue correspondra à la fréquence fondamentale (le "pas" de la série harmonique), que nous trouvons en calculant le plus grand commun diviseur (PGCD) des fréquences présentes.
Mini-Cours
La capacité du cerveau à effectuer cette "analyse de PGCD" est l'un des piliers des modèles de perception de la hauteur basés sur les motifs ("pattern-based models"). Ces modèles postulent que le système auditif compare les fréquences entrantes à des "gabarits" harmoniques internes pour trouver la fondamentale qui correspond le mieux au motif observé.
Remarque Pédagogique
Face à des nombres plus grands comme ici, ne vous précipitez pas. Décomposez le problème. Cherchez des diviseurs évidents (comme 10) pour simplifier les nombres avant de chercher le PGCD final. Une bonne organisation du calcul est la clé pour éviter les erreurs.
Normes
Ce calcul est une application directe des principes de l'arithmétique (PGCD) au service des théories de la psychoacoustique (perception de la hauteur par reconnaissance de motifs).
Formule(s)
Formule de la Fréquence Fondamentale
Hypothèses
On suppose que les trois fréquences sont les seules composantes significatives du son et que l'auditeur les perçoit comme un son unique et non comme trois sons séparés.
Donnée(s)
Les fréquences composant le son sont \(540 \, \text{Hz}\), \(720 \, \text{Hz}\), et \(900 \, \text{Hz}\).
Astuces
Tous les nombres se terminent par 0, ils sont donc divisibles par 10. Divisez tout par 10 : \(\{54, 72, 90\}\). Tous ces nombres sont dans la table de 9 (et de 18 !). \(\text{PGCD}(54, 72, 90) = 18\). Multipliez par le 10 que vous aviez mis de côté : \(18 \times 10 = 180\).
Schéma (Avant les calculs)
Spectre du troisième son
Calcul(s)
Calcul du PGCD
Analyse des Rangs Harmoniques
Grâce au phénomène de la fondamentale manquante, le cerveau percevra une hauteur correspondant à \(180 \, \text{Hz}\).
Schéma (Après les calculs)
Analyse de la série harmonique
Réflexions
Cet exemple est un cas d'école de la fondamentale manquante. La présence d'harmoniques consécutifs et de bas rangs (3, 4, 5) constitue un indice extrêmement fort pour le système auditif, qui en déduit sans ambiguïté une hauteur tonale correspondant à \(180 \, \text{Hz}\), même si les deux premières harmoniques sont absentes.
Points de vigilance
Assurez-vous de bien calculer le *plus grand* commun diviseur. Par exemple, 90 est aussi un diviseur commun de \{540, 720, 900\}, mais ce n'est pas le plus grand. Choisir \(90 \, \text{Hz}\) comme fondamentale mènerait à une série d'harmoniques \{6, 8, 10\}, ce qui est moins simple que la série \{3, 4, 5\} obtenue avec \(180 \, \text{Hz}\). Le cerveau préfère l'explication la plus simple.
Points à retenir
Cet exercice renforce le concept principal : une série de fréquences qui sont des multiples entiers consécutifs (comme \(3f_0, 4f_0, 5f_0\)) crée une perception de hauteur très forte et non ambiguë, correspondant à la fréquence \(f_0\).
Le saviez-vous ?
On distingue parfois le "pitch spectral" (hauteur liée à des composantes spectrales individuelles) du "pitch de périodicité" (hauteur liée au motif global, comme la fondamentale manquante). Dans les sons très aigus, le pitch de périodicité devient moins saillant, et nous avons tendance à mieux entendre les partiels individuels.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Et si un son était composé de \(600 \, \text{Hz}\), \(750 \, \text{Hz}\) et \(900 \, \text{Hz}\), quelle serait sa hauteur perçue ?
Outil Interactif : Simulateur de Pitch
Ce simulateur vous permet de générer une série d'harmoniques à partir d'une fréquence fondamentale de votre choix. Observez comment la hauteur perçue reste la même même lorsque vous masquez la fondamentale.
Paramètres du Son
Résultats Perceptifs
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un son est composé des fréquences 100 Hz, 200 Hz et 400 Hz. Quelle est sa hauteur perçue ?
2. Le phénomène de la "fondamentale manquante" démontre que...
3. Quel est le 4ème harmonique d'un son dont la fondamentale est de 120 Hz ?
4. Un son composé de 205 Hz, 410 Hz et 820 Hz est...
5. Laquelle de ces séries de fréquences produira la sensation de hauteur la plus ambiguë ?
Glossaire
- Fondamentale Manquante
- Phénomène psychoacoustique où un auditeur perçoit la hauteur d'une fréquence fondamentale même si celle-ci est absente du spectre sonore, en se basant sur la relation entre les harmoniques présentes.
- Fréquence Fondamentale (f₀)
- La plus basse fréquence d'un son périodique. La hauteur perçue d'un son est principalement déterminée par sa fréquence fondamentale.
- Harmonique
- Composante d'un son complexe dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale (2f₀, 3f₀, etc.).
- Hauteur Tonale (Pitch)
- Attribut perceptif d'un son qui permet de le classer sur une échelle allant du grave à l'aigu. C'est la qualité qui permet de juger un son comme étant "plus haut" ou "plus bas" qu'un autre.
- Psychoacoustique
- Branche de la science qui étudie la perception subjective des sons par l'être humain, en liant les propriétés physiques d'un son à la sensation qu'il procure.
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