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Identification des sources de bruit d’un jet subsonique

Exercice : Bruit d'un Jet Subsonique

Identification des Sources de Bruit d'un Jet Subsonique

Contexte : Le Jet SubsoniqueÉcoulement de fluide à une vitesse inférieure à celle du son (Mach < 1). C'est la source de bruit dominante des avions civils au décollage..

Le bruit des jets est une préoccupation majeure en aéroacoustique, notamment pour l'aviation civile et l'impact environnemental. Comprendre d'où vient ce bruit et comment il est généré est la première étape pour le réduire. Cet exercice se concentre sur un jet subsonique simple, isotherme (à température ambiante), débouchant dans l'atmosphère. Nous utiliserons les théories fondamentales pour décomposer ce bruit complexe en ses composantes principales.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer l'analogie de Lighthill et les lois d'échelle (comme la loi en \(V^8\)) pour estimer la puissance acoustique et identifier les caractéristiques fréquentielles du bruit d'un jet.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre l'origine du bruit de mélange dans un jet.
Appliquer l'analogie de Lighthill pour estimer la puissance acoustique.
Utiliser le nombre de Strouhal pour prédire la fréquence de pic du bruit.
Différencier la directivité des composantes du bruit.

Données de l'étude

On étudie un jet d'air subsonique débouchant d'une tuyère circulaire dans une chambre anéchoïque (milieu sans écho).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de Jet	Simple, subsonique, isotherme
Fluide	Air
Condition Ambiante	Standard (niveau de la mer)

Schéma de l'Installation d'Essai

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Diamètre de la tuyère	\(D\)	0.05	m
Vitesse d'éjection	\(V_j\)	250	m/s
Vitesse du son ambiant	\(c_0\)	340	m/s
Masse volumique ambiante	\(\rho_0\)	1.2	kg/m³

Questions à traiter

Calculer le nombre de Mach d'éjection (\(M_j\)).
Estimer la puissance acoustique totale (\(W_a\)) émise par le jet en utilisant l'analogie de Lighthill.
Estimer la fréquence de pic (\(f_p\)) du bruit de mélange.
Identifier les deux principales composantes spectrales du bruit de mélange d'un jet subsonique.
Expliquer comment la directivité du bruit (direction d'émission) change avec la fréquence.

Les bases sur l'Aéroacoustique des Jets

L'aéroacoustique étudie le bruit généré par les écoulements. Pour les jets, la théorie de base est l'analogie acoustique de Lighthill (1952), qui modélise le bruit comme étant généré par les fluctuations turbulentes (sources quadrupolaires) dans l'écoulement.

1. Analogie de Lighthill et Puissance Acoustique (Loi en \(V^8\))
Pour un jet subsonique, Lighthill a démontré que la puissance acoustique totale (\(W_a\)) est proportionnelle à la vitesse d'éjection à la puissance 8. C'est la fameuse "loi en \(V^8\)". \[ W_a \approx K \cdot \rho_0 \cdot \frac{V_j^8}{c_0^5} \cdot D^2 \] Où \(K\) est une constante empirique (environ \(3 \times 10^{-5}\) pour un jet simple).

2. Nombre de Strouhal (\(S_t\))
Le bruit de jet n'est pas à une seule fréquence, mais s'étale sur un large spectre (bruit large bande). La fréquence de pic (\(f_p\)), où l'énergie est maximale, est caractérisée par le nombre de Strouhal, \(S_t\). \[ S_t = \frac{f \cdot D}{V_j} \] Pour le bruit de mélange, le pic se situe empiriquement autour de \(S_t \approx 0.2\).

Correction : Identification des Sources de Bruit d'un Jet Subsonique

Question 1 : Calculer le nombre de Mach d'éjection (\(M_j\))

Principe

Le nombre de Mach est un nombre sans dimension qui compare la vitesse d'un objet (ou d'un écoulement) à la vitesse du son dans le même milieu. Il définit le régime d'écoulement : subsonique (\(M < 1\)), sonique (\(M = 1\)) ou supersonique (\(M > 1\)).

Mini-Cours

Le nombre de Mach d'éjection, \(M_j\), est simplement le rapport entre la vitesse d'éjection du jet, \(V_j\), et la vitesse du son dans le milieu ambiant, \(c_0\). Pour un jet isotherme, on utilise \(c_0\) comme référence.

Remarque Pédagogique

Ce premier calcul est fondamental. Il permet de situer l'écoulement dans son régime (subsonique) et de confirmer que les théories du bruit de mélange (sans ondes de choc) sont bien applicables.

Normes

Il n'y a pas de "norme" à proprement parler pour le calcul du Mach, mais il s'agit d'une définition standard en mécanique des fluides, utilisée internationalement (ISO, etc.).

Formule(s)

Définition du Nombre de Mach

M_j = \frac{V_j}{c_0}

Hypothèses

On suppose que le jet est "isotherme", c'est-à-dire que sa température est la même que celle de l'air ambiant. Par conséquent, la vitesse du son est la même à l'intérieur et à l'extérieur du jet (\(c_j = c_0\)).

Fluide = Air (gaz parfait).
Conditions ambiantes standards.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse d'éjection	\(V_j\)	250	m/s
Vitesse du son ambiant	\(c_0\)	340	m/s

Astuces

Vérifiez toujours que les deux vitesses sont dans la même unité (ici, m/s). Le résultat doit être sans dimension. Si \(M_j \ge 1\), l'exercice change de nature (apparition d'ondes de choc).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé montrant la tuyère et le jet est suffisant pour ce premier calcul, qui ne dépend que des vitesses.

Calcul(s)

Application de la formule

\begin{aligned} M_j &= \frac{V_j}{c_0} \\ M_j &= \frac{250 \text{ m/s}}{340 \text{ m/s}} \\ M_j &\approx 0.735 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma de résultat spécifique pour ce calcul, si ce n'est de situer le point \(M_j = 0.735\) sur un axe de Mach, bien dans la zone subsonique.

Réflexions

Le résultat \(M_j \approx 0.735\) est bien inférieur à 1. Le jet est donc clairement subsonique, comme l'indiquait l'énoncé. Il n'y aura pas de bruit de choc.

Points de vigilance

Pour les jets chauds (non-isothermes), on calcule parfois le Mach avec la vitesse du son *dans* le jet (\(c_j\)). Ici, le jet est isotherme, donc \(c_j = c_0\).

Points à retenir

Le nombre de Mach \(M = V/c\) est la clé pour définir un régime d'écoulement.
\(M < 1\) \(\rightarrow\) Subsonique (notre cas).
\(M > 1\) \(\rightarrow\) Supersonique (génère des ondes de choc).

Le saviez-vous ?

Les premiers avions de chasse, comme le Bell X-1, ont dû surmonter d'énormes problèmes d'instabilité en approchant \(M = 1\), ce qu'on appelait le "mur du son".

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Résultat Final

Le nombre de Mach d'éjection est \(M_j \approx 0.735\).

A vous de jouer

Si la vitesse du jet monte à \(V_j = 300 \text{ m/s}\), que devient le nombre de Mach ? (Arrondir à 3 décimales)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Nombre de Mach (régime d'écoulement).
Formule Essentielle : \(M_j = V_j / c_0\).
Point de Vigilance Majeur : Subsonique \(M < 1\).

Question 2 : Estimer la puissance acoustique totale (\(W_a\))

Principe

La puissance acoustique (\(W_a\)) est l'énergie sonore totale émise par le jet par seconde, mesurée en Watts (W). L'analogie de Lighthill prédit que cette puissance est proportionnelle à la vitesse d'éjection à la puissance 8.

Mini-Cours

La "loi en \(V^8\)" de Lighthill est la pierre angulaire de l'aéroacoustique. Elle stipule que pour un écoulement libre (comme un jet), le bruit généré par la turbulence (sources quadrupolairesType de source sonore, plus complexe qu'un monopôle (source pulsante) ou un dipôle (source vibrante). Le bruit de la turbulence est de nature quadripolaire.) est extrêmement sensible à la vitesse. Doubler la vitesse du jet (x2) multiplie la puissance acoustique par \(2^8 = 256\).

Remarque Pédagogique

La loi en \(V^8\) est la découverte la plus célèbre de l'aéroacoustique. Elle explique pourquoi un avion au décollage (haute vitesse) est exponentiellement plus bruyant qu'un avion à l'atterrissage (basse vitesse).

Normes

Ce calcul n'est pas basé sur une norme de construction (comme l'Eurocode), mais sur un modèle physique fondamental (l'analogie de Lighthill) et une constante empirique (\(K\)) validée par de nombreuses expériences en laboratoire.

Formule(s)

Loi de Lighthill (échelle en \(V^8\))

W_a = K \cdot \rho_0 \cdot \frac{V_j^8}{c_0^5} \cdot D^2

Hypothèses

Nous supposons que la formule de Lighthill est applicable et nous utilisons une constante d'efficacité empirique \(K \approx 3 \times 10^{-5}\) pour un jet subsonique simple, isotherme.

Le jet est subsonique (\(M_j < 1\)).
L'observateur est en champ lointain (loin du jet).
Le bruit de combustion (interne) est négligé.

Donnée(s)

Toutes les données de l'énoncé sont nécessaires.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Constante K	\(K\)	3e-5	(sans dim.)
Masse volumique	\(\rho_0\)	1.2	kg/m³
Vitesse jet	\(V_j\)	250	m/s
Vitesse son	\(c_0\)	340	m/s
Diamètre	\(D\)	0.05	m

Astuces

Ce calcul implique de très grands nombres (\(250^8\)) et de très petits nombres. Il est impératif d'utiliser une calculatrice et de gérer les exposants (puissances de 10) avec soin. Vérifiez que toutes les unités sont en S.I. (m, s, kg).

Schéma (Avant les calculs)

Aucun schéma supplémentaire n'est requis pour ce calcul, qui est une application numérique directe de la formule.

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul des termes en puissance

\begin{aligned} V_j^8 &= (250)^8 \approx 1.526 \times 10^{19} \\ c_0^5 &= (340)^5 \approx 4.543 \times 10^{11} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du terme géométrique

D^2 = (0.05)^2 = 0.0025 \text{ m}^2

Étape 3 : Assemblage final

\begin{aligned} W_a &= (3 \times 10^{-5}) \cdot (1.2) \cdot \frac{1.526 \times 10^{19}}{4.543 \times 10^{11}} \cdot 0.0025 \\ W_a &\approx (3.6 \times 10^{-5}) \cdot (3.359 \times 10^7) \cdot 0.0025 \\ W_a &\approx 3.023 \text{ W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

On peut représenter ce résultat sur un graphique logarithmique (Puissance vs Vitesse) pour visualiser la pente de 8, caractéristique de la loi en \(V^8\). Le simulateur interactif ci-dessous le démontre.

Visualisation de la loi en V⁸

Réflexions

Une puissance acoustique de 3 Watts est considérable. Pour mettre en perspective, un cri humain puissant ne dégage qu'environ 0.001 Watt. Cela correspond à un niveau de pression acoustique (SPL) d'environ 125 dB à 1 mètre, ce qui est extrêmement bruyant et dangereux pour l'ouïe.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier la puissance 8 sur la vitesse et la puissance 5 sur la vitesse du son. Une petite erreur sur \(V_j\) a un impact énorme sur le résultat final. Assurez-vous aussi que \(K\) est la bonne constante (elle change pour les jets chauds).

Points à retenir

Si vous ne deviez retenir que quelques points clés de cette question, ce seraient ceux-là.

La puissance acoustique suit la loi en \(V^8\).
Elle est proportionnelle à la surface du jet (\(D^2\)).
Elle est inversement proportionnelle à \(c_0^5\), ce qui rend les jets plus bruyants à haute altitude (où \(c_0\) est plus faible) à vitesse égale.

Le saviez-vous ?

La constante \(K\) vaut environ \(3 \times 10^{-5}\) pour les jets subsoniques, mais grimpe à \(1 \times 10^{-4}\) pour les jets supersoniques. La formule change aussi pour les jets chauds (Moteurs d'avion réels).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La puissance acoustique totale émise est estimée à \(W_a \approx 3.02\) Watts.

A vous de jouer

Si l'on doublait la vitesse du jet (\(V_j = 500\) m/s), par quel facteur la puissance \(W_a\) serait-elle multipliée ? (Entrez le facteur, pas la puissance finale).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Loi en \(V^8\) de Lighthill.
Formule Essentielle : \(W_a \propto V_j^8\).
Point de Vigilance Majeur : Calcul des exposants et unités S.I.

Question 3 : Estimer la fréquence de pic (\(f_p\)) du bruit de mélange

Principe

Le bruit de jet n'est pas une note pure, mais un "souffle" (bruit large bande). Il possède cependant une fréquence "dominante", appelée fréquence de pic (\(f_p\)), où l'énergie sonore est maximale. Cette fréquence est liée aux plus grosses structures turbulentes dans le jet.

Mini-Cours

La relation entre la fréquence, la vitesse et la taille est donnée par le nombre de Strouhal (\(S_t\)). Pour le bruit de mélange d'un jet subsonique, des décennies d'expériences ont montré que le pic d'énergie se situe à un nombre de Strouhal d'environ 0.2.

Remarque Pédagogique

Le nombre de Strouhal est l'outil principal pour "penser" les fréquences en mécanique des fluides. Il relie la physique (V, D) à l'acoustique (f). Un Strouhal bas signifie un son "grave" par rapport à la taille de l'objet, un Strouhal élevé signifie un son "aigu".

Normes

Comme pour la puissance, il ne s'agit pas d'une norme mais d'une loi d'échelle empirique. La valeur \(S_t \approx 0.2\) est une constante universellement reconnue pour le pic spectral du bruit de mélange d'un jet circulaire simple.

Formule(s)

Nombre de Strouhal

S_t = \frac{f_p \cdot D}{V_j}

Fréquence de Pic (isolée)

f_p = \frac{S_t \cdot V_j}{D}

Hypothèses

On suppose que le bruit est dominé par les grandes structures turbulentes (instabilité de Kelvin-Helmholtz) dont la taille est proportionnelle au diamètre \(D\).

Le jet est subsonique.
La constante de Strouhal pour le pic est \(S_t = 0.2\).

Donnée(s)

On utilise les données du jet et la valeur empirique du Strouhal.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Strouhal de pic	\(S_t\)	0.2	(sans dim.)
Vitesse jet	\(V_j\)	250	m/s
Diamètre	\(D\)	0.05	m

Astuces

Pensez à la relation : \(f_p\) est proportionnelle à la vitesse (plus rapide = plus aigu) et inversement proportionnelle au diamètre (plus gros = plus grave). Cela permet de vérifier le sens de la variation.

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser les grandes structures turbulentes (tourbillons) dont la taille est de l'ordre du diamètre D. C'est leur "passage" qui fixe la fréquence.

Structures Turbulentes et Fréquence

Calcul(s)

Application de la formule

\begin{aligned} f_p &= \frac{0.2 \cdot 250 \text{ m/s}}{0.05 \text{ m}} \\ f_p &= \frac{50}{0.05} \\ f_p &= 1000 \text{ Hz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat \(f_p = 1000\) Hz représente le sommet (le "pic") du spectre de bruit large bande du jet.

Spectre de Bruit du Jet

Réflexions

Le pic d'énergie sonore du jet est attendu à 1000 Hz (ou 1 kHz). C'est une fréquence moyenne, en plein centre de la plage de sensibilité de l'oreille humaine, ce qui explique pourquoi ce bruit est si gênant.

Points de vigilance

La valeur \(S_t \approx 0.2\) est une approximation pour l'émission globale. En réalité, différentes parties du jet émettent à différents Strouhal.

Points à retenir

Si vous ne deviez retenir que quelques points clés de cette question, ce seraient ceux-là.

Le nombre de Strouhal \(S_t = fD/V_j\) est l'outil clé pour l'analyse fréquentielle.
Les jets plus larges (D grand) sont plus graves (f_p faible).
Les jets plus rapides (Vj grand) sont plus aigus (f_p élevée).

Le saviez-vous ?

Les chevrons (dents de scie) à l'arrière des moteurs d'avion modernes (comme sur le Boeing 787) servent à "casser" ces grandes structures turbulentes pour réduire le bruit à basse fréquence (le pic) en le déplaçant vers de plus hautes fréquences, plus facilement absorbées par l'atmosphère.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Résultat Final

La fréquence de pic du bruit de mélange est estimée à \(f_p = 1000\) Hz.

A vous de jouer

Si l'on doublait le diamètre de la tuyère (\(D = 0.1\) m), quelle serait la nouvelle fréquence de pic (en Hz) ? (Le jet serait plus "grave").

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Nombre de Strouhal (échelle fréquence-vitesse-taille).
Formule Essentielle : \(f_p = S_t \cdot V_j / D\).
Valeur à retenir : Pic de bruit de jet à \(S_t \approx 0.2\).

Question 4 : Identifier les deux principales composantes spectrales du bruit de mélange

Principe

Le "bruit de mélange" n'est pas un seul bloc. La turbulence dans le jet est composée de structures de différentes tailles (grosses et petites), et chacune produit un bruit distinct.

Mini-Cours

On distingue deux composantes spectrales principales, toutes deux liées à la turbulence :
1. Bruit des grandes structures (Large-Scale Structures): Ce sont les grands tourbillons cohérents qui se forment dans le jet. Ils sont très efficaces pour produire du son et sont responsables du pic à basse fréquence (le "rugissement") que nous avons calculé à la Q3. Ce bruit est très directif vers l'aval.
2. Bruit des petites structures (Fine-Scale Structures): C'est le bruit généré par la "cascade turbulente", où les grands tourbillons se brisent en tourbillons de plus en plus petits. Ce processus génère le bruit à haute fréquence (le "sifflement"). Ce bruit est moins directif, émis plus près de la tuyère.

Points à retenir

Le spectre du bruit de jet est la somme de ces deux composantes.
Grandes structures \(\rightarrow\) Basse Fréquence (pic) \(\rightarrow\) Directif vers l'aval.
Petites structures \(\rightarrow\) Haute Fréquence \(\rightarrow\) Moins directif.

Résultat Final

Les deux composantes sont : 1. Le bruit des grandes structures turbulentes (pic BF) et 2. Le bruit des petites structures turbulentes (HF).

A vous de jouer

L'analogie de Lighthill modélise ces sources turbulentes comme des sources de type... (Entrez 1 pour Monopolaire, 2 pour Dipolaire, 4 pour Quadripolaire).

Question 5 : Expliquer comment la directivité change avec la fréquence

Principe

Le bruit d'un jet n'est pas émis uniformément dans toutes les directions (il n'est pas isotrope). L'intensité sonore dépend de l'angle d'observation par rapport à l'axe du jet.

Mini-Cours

La directivité dépend fortement de la fréquence, car elle est liée à la source (grande ou petite structure) :
1. Basses Fréquences (BF): Générées par les grandes structures qui se déplacent avec le flux. À cause de l'effet de convection (similaire à l'effet Doppler), le son est "focalisé" vers l'aval, avec une intensité maximale à un angle faible (environ 30° à 45° par rapport à l'axe du jet).
2. Hautes Fréquences (HF): Générées par les petites structures, qui sont plus "fixes" par rapport à la tuyère et moins convectées. Leur émission est donc plus large, avec un maximum d'intensité à des angles plus élevés (autour de 90° par rapport à l'axe).

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre la directivité des deux composantes de bruit.

Directivité du Bruit de Jet (BF vs HF)

Réflexions

Cette différence de directivité est fondamentale. C'est pour cela qu'un avion au décollage n'a pas le même "son" si on est sur le côté de la piste (dominante HF) ou loin derrière l'axe (dominante BF, le "rugissement").

Résultat Final

Les basses fréquences sont directives vers l'aval (angles faibles, 30-45°), tandis que les hautes fréquences sont émises à des angles plus larges (vers 90°).

A vous de jouer

À quel angle (en degrés) percevrait-on le plus de hautes fréquences ? (Entrez 30 ou 90).

Outil Interactif : Simulateur de Puissance Acoustique

Ce simulateur vous permet de voir l'impact de la vitesse (\(V_j\)) et du diamètre (\(D\)) sur la puissance acoustique (\(W_a\)) et la fréquence de pic (\(f_p\)).

Paramètres d'Entrée

Vitesse d'éjection (\(V_j\)) (m/s) 250 m/s

Diamètre (\(D\)) (m) 0.05 m

Résultats Clés

Puissance Acoustique (\(W_a\)) - W

Fréquence de Pic (\(f_p\)) - Hz

Glossaire

Aéroacoustique: Branche de l'acoustique qui étudie le bruit généré par les écoulements d'air (turbulence, etc.) ou par des objets se déplaçant dans l'air.
Nombre de Mach (\(M\)): Rapport entre la vitesse d'un écoulement (\(V\)) et la vitesse du son (\(c\)) dans le milieu. Définit le régime d'écoulement.
Nombre de Strouhal (\(S_t\)): Nombre sans dimension liant une fréquence (\(f\)), une longueur caractéristique (\(D\)) et une vitesse (\(V\)). Utilisé pour décrire les phénomènes périodiques dans les fluides.
Quadrupole: Type de source sonore, plus complexe qu'un monopôle (source pulsante) ou un dipôle (source vibrante). Le bruit de la turbulence est de nature quadripolaire.

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