Interférence de Deux Sources Sonores
Contexte : L'acoustique fondamentale et le phénomène d'interférence.
Lorsque deux ondes sonores, issues de sources cohérentes ( vibrant à la même fréquence et avec un déphasage constant), se rencontrent en un point de l'espace, leurs amplitudes s'additionnent. Ce phénomène, appelé interférenceSuperposition de plusieurs ondes (ici sonores) se propageant dans le même milieu., peut entraîner une augmentation de l'intensité sonore (interférence constructive) ou une diminution, voire une annulation (interférence destructive). Cet exercice explore comment la géométrie du système et la longueur d'onde du son déterminent la nature de l'interférence en un point d'écoute donné.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la différence de marcheLa différence entre les distances parcourues par deux ondes depuis leurs sources respectives jusqu'à un même point. et à l'utiliser pour prédire si le son sera fort ou faible en un point précis, une compétence clé en acoustique architecturale et en conception de systèmes de sonorisation.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la longueur d'onde d'un son à partir de sa fréquence et de la célérité.
- Déterminer la distance entre un point d'écoute et plusieurs sources sonores.
- Calculer la différence de marche et en déduire la nature des interférences (constructives ou destructives).
- Appliquer les conditions d'interférence pour trouver les positions des minima et maxima d'intensité.
Données de l'étude
Configuration des sources et du point d'écoute
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence du son | \(f\) | 680 | \(\text{Hz}\) |
| Célérité du son dans l'air | \(c\) | 340 | \(\text{m/s}\) |
| Distance entre les sources | \(d\) | 1.0 | \(\text{m}\) |
| Position du point d'écoute M | \((x_M, y_M)\) | (4.0, 3.0) | \(\text{m}\) |
| Position de la source S₁ | \((x_1, y_1)\) | (0, 0) | \(\text{m}\) |
Questions à traiter
- Calculer la longueur d'onde \(\lambda\) du son émis par les haut-parleurs.
- Déterminer les distances \(r_1\) (de S₁ à M) et \(r_2\) (de S₂ à M). On placera S₁ à l'origine (0,0).
- Calculer la différence de marche \(\delta = |r_2 - r_1|\) au point M.
- En déduire la nature de l'interférence (constructive ou destructive) au point M. Justifier.
- Trouver la plus petite distance \(y > 0\) sur la médiatrice des sources (à \(x=d/2\)) où l'interférence est destructive.
Les bases de l'interférence acoustique
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser deux concepts fondamentaux : la longueur d'onde et la condition d'interférence, qui dépend de la différence de marche.
1. Longueur d'onde (\(\lambda\))
La longueur d'onde est la distance spatiale sur laquelle la forme de l'onde se répète. Elle est inversement proportionnelle à la fréquence. Pour une onde sonore, elle se calcule par la relation :
\[ \lambda = \frac{c}{f} \]
Où \(c\) est la célérité (vitesse) du son et \(f\) est sa fréquence.
2. Conditions d'interférence
La nature de l'interférence en un point dépend de la différence de marche \(\delta = |r_2 - r_1|\).
- Interférence Constructive (son max) : Les ondes arrivent en phase. La différence de marche est un multiple entier de la longueur d'onde. \[ \delta = k \cdot \lambda \quad (k = 0, 1, 2, ...) \]
- Interférence Destructive (son min) : Les ondes arrivent en opposition de phase. La différence de marche est un multiple demi-entier impair de la longueur d'onde. \[ \delta = \left(k + \frac{1}{2}\right) \cdot \lambda \quad (k = 0, 1, 2, ...) \]
Correction : Interférence de Deux Sources Sonores
Question 1 : Calculer la longueur d'onde \(\lambda\)
Principe
La longueur d'onde (\(\lambda\)) est la distance physique que parcourt une onde pendant une période d'oscillation. C'est le "motif" spatial de l'onde. Elle est inversement proportionnelle à la fréquence : plus un son est aigu (haute fréquence), plus sa longueur d'onde est courte.
Mini-Cours
Toute onde progressive périodique est caractérisée par une périodicité temporelle (la période T, ou la fréquence f=1/T) et une périodicité spatiale (la longueur d'onde \(\lambda\)). Ces deux grandeurs sont liées par la célérité (vitesse de propagation) de l'onde dans le milieu : \(c = \lambda / T = \lambda \cdot f\).
Remarque Pédagogique
Cette relation \(c = \lambda \cdot f\) est l'une des formules les plus fondamentales de la physique des ondes. Retenez-la bien, car elle s'applique à toutes les ondes (son, lumière, vagues, etc.), seule la célérité \(c\) change en fonction de l'onde et du milieu.
Normes
Ce calcul relève de la physique fondamentale et n'est pas régi par une norme d'ingénierie spécifique. Cependant, la valeur de la célérité du son (\(c=340 \text{ m/s}\)) est une valeur standardisée pour l'air à une température d'environ 15°C au niveau de la mer.
Formule(s)
L'outil mathématique est la relation liant la longueur d'onde, la célérité et la fréquence :
Hypothèses
On suppose que le son se propage dans un milieu homogène et non dispersif, ce qui signifie que la célérité \(c\) est constante et ne dépend pas de la fréquence.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Célérité du son | \(c\) | 340 | \(\text{m/s}\) |
| Fréquence | \(f\) | 680 | \(\text{Hz}\) |
Astuces
Pour vérifier l'homogénéité de votre calcul, analysez les unités : \((\text{m/s}) / (1/\text{s}) = (\text{m/s}) \cdot \text{s} = \text{m}\). Le résultat est bien une longueur, ce qui est cohérent.
Schéma (Avant les calculs)
Représentation de la longueur d'onde
Calcul(s)
On applique directement la formule avec les valeurs numériques de l'énoncé.
Réflexions
Une longueur d'onde de 50 cm est typique pour une fréquence dans le médium du spectre audible. C'est une dimension macroscopique, ce qui explique pourquoi les phénomènes d'interférence et de diffraction sonores sont observables avec des objets de la vie courante (murs, portes...).
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est une erreur d'unité. Assurez-vous que la fréquence est bien en Hertz (Hz) et non en kilohertz (kHz) avant de faire le calcul.
Points à retenir
La relation fondamentale à maîtriser est \(c = \lambda \cdot f\). Elle permet de passer de la vision temporelle (fréquence) à la vision spatiale (longueur d'onde) d'une onde.
Le saviez-vous ?
La longueur d'onde d'un son détermine sa capacité à contourner les obstacles (diffraction). Les sons graves (grande longueur d'onde) contournent facilement les objets comme les murs, c'est pourquoi on entend souvent les "basses" de la musique du voisin mais pas les aigus.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Un sous-marin émet un sonar à une fréquence de 20 kHz. Sachant que la célérité du son dans l'eau est d'environ 1500 m/s, quelle est la longueur d'onde de ce sonar ?
Question 2 : Déterminer les distances \(r_1\) et \(r_2\)
Principe
Le concept physique est la propagation en ligne droite des ondes dans un milieu homogène. La distance parcourue par chaque onde est la distance géométrique (euclidienne) entre la source et le récepteur.
Mini-Cours
Dans un repère cartésien à deux dimensions, la distance entre un point A de coordonnées \((x_A, y_A)\) et un point B de coordonnées \((x_B, y_B)\) est donnée par le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé par les projections sur les axes. L'hypoténuse de ce triangle est le segment [AB].
Remarque Pédagogique
Le choix judicieux du système de coordonnées est crucial en physique pour simplifier les calculs. Placer une des sources à l'origine (0,0) et l'autre sur un axe est une excellente stratégie qui allège considérablement les expressions mathématiques.
Normes
Ce calcul est basé sur la géométrie euclidienne, qui est le fondement de la mécanique classique et de la physique à notre échelle. Aucune norme d'ingénierie n'est directement applicable ici.
Formule(s)
L'outil mathématique est la formule de la distance entre deux points :
Hypothèses
On suppose que l'espace est un plan euclidien et que les sources sont des points mathématiques (sans dimension).
Donnée(s)
Coordonnées des points : S₁=(0, 0), S₂=(1, 0), M=(4, 3).
Astuces
Pour le calcul de \(r_1\), reconnaissez le triangle rectangle de côtés 3 et 4. C'est un "triangle 3-4-5", un triplet pythagoricien bien connu. L'hypoténuse (la distance \(r_1\)) est donc directement 5, sans même avoir besoin de sortir la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Géométrie du problème
Calcul(s)
Distance \(r_1\) (de S₁(0,0) à M(4,3))
Distance \(r_2\) (de S₂(1,0) à M(4,3))
Réflexions
Le calcul confirme l'intuition du schéma : le point M est plus proche de la source S₂ que de la source S₁. Cette différence de distance est la clé de la suite de l'exercice.
Points de vigilance
Attention à ne pas inverser les coordonnées et à bien mettre au carré les différences avant de les sommer. Une erreur fréquente est de calculer \(\sqrt{(x_B-x_A)} + \sqrt{(y_B-y_A)}\), ce qui est incorrect.
Points à retenir
La maîtrise du calcul de distance dans un repère est une compétence mathématique essentielle pour de nombreux problèmes de physique (mécanique, électromagnétisme, optique, etc.).
Le saviez-vous ?
Le système de positionnement GPS fonctionne sur un principe similaire : un récepteur calcule sa distance à plusieurs satellites (en mesurant le temps de trajet du signal) pour déterminer sa position par trilatération, une généralisation de ce calcul à 3 dimensions.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la distance \(r_1\) et \(r_2\) pour un point M' de coordonnées (0.5, 2.0).
Question 3 : Calculer la différence de marche \(\delta\)
Principe
Le concept physique est que les deux ondes, partant en même temps, parcourent des chemins de longueurs différentes pour arriver au point M. La différence de marche est la longueur du "chemin supplémentaire" parcouru par l'une des ondes par rapport à l'autre.
Mini-Cours
Cette différence de chemin \(\delta\) est directement proportionnelle au déphasage \(\Delta\phi\) (la différence d'état vibratoire) entre les deux ondes à leur arrivée au point M. La relation est \(\Delta\phi = 2\pi \frac{\delta}{\lambda}\). Si \(\delta\) est un multiple de \(\lambda\), le déphasage est un multiple de \(2\pi\) et les ondes sont en phase.
Remarque Pédagogique
C'est cette simple soustraction de distances qui contient toute l'information sur l'issue de la rencontre des ondes. Concentrez-vous sur le calcul précis de cette valeur, car c'est elle qui dictera le résultat final.
Normes
N/A. Ce calcul est une application directe de la géométrie.
Formule(s)
La définition mathématique de la différence de marche est :
Hypothèses
On suppose que le milieu de propagation est parfaitement homogène, ainsi la vitesse du son est la même le long des deux trajets, et la différence de temps de parcours est directement proportionnelle à la différence de marche.
Donnée(s)
On utilise les résultats de la question précédente : \(r_1 = 5.0 \text{ m}\) et \(r_2 \approx 4.243 \text{ m}\).
Astuces
L'utilisation de la valeur absolue signifie que l'on s'intéresse à l'amplitude de la différence, peu importe quelle source est la plus éloignée. Le résultat est toujours positif.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la différence de marche
Calcul(s)
On applique la formule :
Réflexions
La différence de marche est de 75.7 cm. Cette valeur n'est ni nulle, ni très grande. Sa signification physique ne deviendra claire qu'une fois comparée à la longueur d'onde à la question suivante.
Points de vigilance
Faites attention à conserver suffisamment de chiffres significatifs lors du calcul des distances \(r_1\) et \(r_2\) pour que leur différence soit précise.
Points à retenir
La différence de marche \(\delta\) est la quantité centrale qui gouverne tous les phénomènes d'interférence à deux ondes.
Le saviez-vous ?
Les casques à réduction de bruit active utilisent ce principe. Un microphone capte le bruit ambiant, un circuit électronique l'inverse (crée une onde en opposition de phase), et un haut-parleur diffuse ce "contre-bruit". L'interférence destructive entre le bruit et le contre-bruit annule le son perçu.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant vos résultats pour le point M'(0.5, 2.0) de la question précédente, calculez la nouvelle différence de marche \(\delta'\).
Question 4 : Déterminer la nature de l'interférence
Principe
Le concept physique est la superposition des ondes. Si la différence de marche correspond à un nombre entier de longueurs d'onde, les "crêtes" des deux ondes arrivent en même temps et s'additionnent (constructive). Si elle correspond à un nombre entier plus une demi-longueur d'onde, la "crête" d'une onde arrive en même temps que le "creux" de l'autre, et elles s'annulent (destructive).
Mini-Cours
L'intensité d'une onde est proportionnelle au carré de son amplitude. Pour deux sources d'amplitude A, l'amplitude résultante est \(A_{\text{res}} = |2A \cos(\Delta\phi/2)| = |2A \cos(\pi\delta/\lambda)|\). L'intensité est donc \(I_{\text{res}} \propto 4A^2 \cos^2(\pi\delta/\lambda)\). On voit que si \(\delta=k\lambda\), le cosinus vaut \(\pm 1\) et l'intensité est maximale (\(4A^2\)). Si \(\delta=(k+1/2)\lambda\), le cosinus vaut 0 et l'intensité est nulle.
Remarque Pédagogique
Le moyen le plus simple et le plus robuste de déterminer la nature de l'interférence est de calculer le rapport \(\delta/\lambda\). Ce nombre sans dimension vous dit immédiatement "combien de longueurs d'onde" tient dans la différence de marche.
Normes
N/A. Il s'agit des principes de base de la théorie des ondes.
Formule(s)
Les conditions à vérifier sont les suivantes :
Condition d'interférence constructive
Condition d'interférence destructive
avec \(k\) un entier positif ou nul (\(k = 0, 1, 2, ...\)).
Hypothèses
On suppose que les deux sources émettent avec la même amplitude et sont parfaitement en phase.
Donnée(s)
On utilise les résultats des questions précédentes : \(\delta \approx 0.757 \text{ m}\) et \(\lambda = 0.5 \text{ m}\).
Astuces
Regardez le nombre après la virgule du rapport \(\delta/\lambda\). S'il est proche de .0, l'interférence est constructive. S'il est proche de .5, elle est destructive. Sinon, elle est intermédiaire.
Calcul(s)
On calcule le rapport adimensionnel :
Réflexions
Le rapport \(\delta / \lambda\) est très proche de 1.5. Cela signifie que la différence de marche est presque exactement égale à une longueur d'onde et demie (\(\lambda + \lambda/2\)). L'onde ayant parcouru le plus long chemin arrive avec un retard de 1.5 période par rapport à l'autre. Un retard de 1 période la remet en phase, mais le retard de 0.5 période supplémentaire la met en opposition de phase. L'interférence est donc destructive.
Points de vigilance
Ne confondez pas les conditions pour les interférences constructives et destructives. Une erreur classique est d'oublier le "+1/2" pour le cas destructif.
Points à retenir
La nature de l'interférence est déterminée par la comparaison de deux longueurs : la différence de marche \(\delta\) (géométrie) et la longueur d'onde \(\lambda\) (physique de l'onde).
Le saviez-vous ?
Les couleurs irisées que l'on voit sur une bulle de savon ou une nappe d'huile sur l'eau sont dues à l'interférence des ondes lumineuses. La lumière se réfléchit sur les deux surfaces (interne et externe) de la fine couche. La différence de marche dépend de l'épaisseur de la couche et de la longueur d'onde (la couleur), créant des interférences constructives pour certaines couleurs et destructives pour d'autres.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour le point M'(0.5, 2.0), quelle est la nature de l'interférence ? (Utilisez vos résultats des questions précédentes).
Question 5 : Trouver le premier minimum sur la médiatrice
Principe
On cherche un point M'(\(x', y'\)) dans l'espace qui satisfait deux conditions : 1) il est sur la médiatrice du segment [S₁S₂], et 2) il correspond à une interférence destructive. Nous allons analyser ces deux conditions.
Mini-Cours
La médiatrice d'un segment est, par définition, le lieu géométrique des points équidistants des extrémités de ce segment. Si un point M' est sur la médiatrice de [S₁S₂], alors par définition, la distance S₁M' est égale à la distance S₂M'.
Remarque Pédagogique
Cette question est un excellent exemple de l'importance de lier la physique et la géométrie. Avant de se lancer dans des calculs, il faut toujours réfléchir à la signification géométrique de la situation. Parfois, la géométrie seule donne la réponse.
Formule(s)
1. Condition géométrique (M' sur la médiatrice) : \(r'_1 = r'_2\)
Hypothèses
Les sources sont toujours en phase. Le point M' est sur la ligne verticale \(x=d/2=0.5 \text{ m}\).
Calcul(s)
Appliquons la condition géométrique. Pour tout point M'(\(d/2, y\)) sur la médiatrice :
On voit que \(r'_1 = r'_2\) pour n'importe quelle valeur de \(y\). Par conséquent, la différence de marche est :
Réflexions
Le calcul montre que la différence de marche est toujours nulle sur la médiatrice. Une différence de marche nulle (\(\delta=0\)) correspond à la condition d'interférence constructive pour \(k=0\) (\(\delta = 0 \cdot \lambda\)). Il est donc physiquement impossible de trouver une interférence destructive sur la médiatrice lorsque les sources sont en phase. La question, telle qu'elle est posée, n'a pas de solution.
Points de vigilance
Méfiez-vous des questions qui peuvent sembler être des pièges. Il est essentiel de ne pas essayer de forcer un calcul pour trouver un résultat numérique quand la physique sous-jacente montre que c'est impossible. Conclure qu'il n'y a pas de solution est la bonne réponse ici.
Points à retenir
Pour deux sources en phase, la médiatrice est toujours un lieu d'interférence constructive (un maximum d'intensité sonore). C'est la "frange centrale" du motif d'interférence.
Le saviez-vous ?
En optique, l'expérience des fentes de Young est l'analogue lumineux de cet exercice. La lumière passant par deux fentes fines crée une figure d'interférence sur un écran, avec une frange centrale brillante (constructive) sur la médiatrice, prouvant la nature ondulatoire de la lumière.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la source S₂ était en opposition de phase par rapport à S₁, quelle serait la nature de l'interférence en tout point de la médiatrice ?
Outil Interactif : Simulateur d'Interférence
Utilisez les curseurs pour modifier la distance entre les haut-parleurs et la fréquence du son. Observez comment la différence de marche et la nature de l'interférence changent au point M(4, 3). Le graphique montre l'intensité sonore relative le long de la ligne horizontale y=3m.
Paramètres d'Entrée
Résultats au point M(4,3)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la fréquence du son, comment la longueur d'onde change-t-elle ?
2. Une interférence est constructive lorsque la différence de marche est...
3. En un point de la médiatrice du segment [S₁S₂], la différence de marche est...
4. Si on augmente la distance 'd' entre les deux sources, le nombre de franges d'interférence (zones de max/min) dans l'espace...
5. Le phénomène d'interférence est une preuve de la nature...
- Interférence Constructive
- Superposition d'ondes en phase, résultant en une amplitude maximale et une intensité sonore élevée.
- Interférence Destructive
- Superposition d'ondes en opposition de phase, résultant en une amplitude minimale et une intensité sonore faible ou nulle.
- Différence de marche (\(\delta\))
- La différence entre les distances parcourues par deux ondes depuis leurs sources respectives jusqu'à un même point d'observation.
- Longueur d'onde (\(\lambda\))
- La distance sur laquelle le cycle de l'onde se répète. C'est la plus petite distance séparant deux points dans le même état vibratoire.
- Sources cohérentes
- Sources vibrant à la même fréquence et maintenant une relation de phase constante entre elles.
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