Barre Défilante Acoustique

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Modélisation de la vibration d’une cymbale

Modélisation Vibration Cymbale - Correction Détaillée

Modélisation de la vibration d’une cymbale

Contexte : L'Acoustique des IdiophonesInstruments de musique où le son est produit par la vibration du matériau lui-même, sans cordes ni membrane (ex: cymbales, xylophone). circulaires.

Dans cet exercice, nous allons modéliser le comportement acoustique d'une cymbale de type "Ride". Contrairement aux cordes ou aux tuyaux sonores, les percussions métalliques présentent des vibrations complexes et inharmoniques. Nous assimilerons ici la cymbale à une plaque circulaire mince, encastrée en son centre (le pied) et libre sur ses bords.

Remarque Pédagogique : Cet exercice applique la théorie des plaques minces (modèle de Kirchhoff-Love) pour prédire les fréquences propres. Vous comprendrez pourquoi le son d'une cymbale est si riche et différent d'une note de piano.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la célérité des ondes de flexion dans un matériau.
Déterminer les fréquences propres des modes de vibration.
Comprendre l'influence de la géométrie (épaisseur, rayon) sur le timbre.

Données de l'étude

On étudie une cymbale en alliage de Bronze B20 standard.

Fiche Technique (Bronze B20)

Caractéristique	Symbole	Valeur	Unité
Module de Young	\(E\)	100	GPa
Masse volumique	\(\rho\)	8600	kg/m³
Coefficient de Poisson	\(\nu\)	0.34	-
Rayon de la cymbale	\(R\)	25	cm
Épaisseur constante	\(h\)	1.2	mm

Modélisation Géométrique

Questions à traiter

Calculer la célérité théorique \(c_L\) des ondes longitudinales dans le bronze massif.
Déterminer le facteur géométrique \(\gamma = h/R^2\) de la cymbale.
Calculer la fréquence du mode fondamental \((2,0)\) (mode "en selle").
Calculer la fréquence du mode \((3,0)\) et conclure sur l'harmonicité.
Estimer la variation de fréquence si l'épaisseur est réduite de 10% (tournage).

Rappels Théoriques : Plaques Circulaires

La fréquence propre \(f_{kn}\) d'une plaque circulaire (où \(k\) est le nombre de diamètres nodaux et \(n\) le nombre de cercles nodaux) est donnée par :

Formule générale :
\[ f_{kn} = \frac{\pi h}{R^2} \sqrt{\frac{E}{3\rho(1-\nu^2)}} \cdot \beta_{kn}^2 \] Avec \(\beta_{kn}\) une constante sans dimension dépendant des conditions aux limites et du mode \((k,n)\).

Pour le mode fondamental \((2,0)\) (2 diamètres, 0 cercle) : \(\beta_{20}^2 \approx 0.55\) (simplifié pour l'exercice).
Pour le mode supérieur \((3,0)\) (3 diamètres) : \(\beta_{30}^2 \approx 1.35\).

Correction : Modélisation de la vibration d’une cymbale

Question 1 : Célérité des ondes (matériau)

Principe

La vitesse à laquelle une vibration se propage dépend intrinsèquement de la raideur du matériau (\(E\)) et de son inertie (\(\rho\)). C'est la "signature" acoustique du métal.

Mini-Cours

Il existe plusieurs types d'ondes dans les solides (transversales, flexion...). Ici, on calcule souvent une grandeur de référence appelée "célérité des ondes longitudinales dans une barre mince" (\(c_L\)). Elle sert de base pour comparer différents matériaux acoustiques (comme l'acier, l'aluminium ou le bronze).

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas cette vitesse avec la vitesse du son dans l'air (340 m/s). Dans les métaux rigides, le son voyage environ 10 à 15 fois plus vite !

Normes

Aucune norme spécifique n'est requise ici, c'est de la physique des matériaux standard. Le bronze B20 (80% Cuivre, 20% Etain) est le standard historique des cymbales de qualité.

Formule(s)

Célérité longitudinale

c_L = \sqrt{\frac{E}{\rho}}

Hypothèses

On considère le matériau comme isotrope (mêmes propriétés dans toutes les directions) et homogène (pas de bulles d'air ou d'impuretés majeures).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Module de Young	\(E\)	\(100 \times 10^9\)	Pa
Masse volumique	\(\rho\)	\(8600\)	kg/m³

Astuces

Pour vérifier votre calcul mentalement : \(\sqrt{100/8600}\) ressemble à \(\sqrt{100/10000}\) (ordre de grandeur). On s'attend à un résultat de quelques milliers de m/s.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la propagation d'une onde de compression dans la matière.

Onde Longitudinale (Compression)

Calcul(s)

Application numérique détaillée

On commence par diviser le module d'élasticité par la densité.

\begin{aligned} \frac{E}{\rho} &= \frac{100 \times 10^9}{8600} \\ &\approx 11\,627\,906.98 \end{aligned}

Ensuite, on prend la racine carrée de ce résultat intermédiaire pour revenir à une dimension de vitesse (m/s).

\begin{aligned} c_L &= \sqrt{11\,627\,906.98} \\ &\approx 3409.97 \text{ m/s} \end{aligned}

Enfin, nous arrondissons le résultat à une valeur significative cohérente avec la précision des données d'entrée.

\text{Arrondi : } c_L \approx 3410 \text{ m/s}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison visuelle de la célérité calculée avec d'autres matériaux courants.

Comparaison des Célérités (m/s)

Réflexions

Le résultat 3410 m/s est typique des alliages de cuivre. L'acier est plus rapide (~5000 m/s) et l'aluminium aussi, ce qui explique pourquoi les cymbales en laiton ou bronze ont un timbre plus "chaud" et grave à dimensions égales.

Points de vigilance

Attention aux GigaPascals (GPa) ! Il faut impérativement convertir \(100 \text{ GPa}\) en \(100 \times 10^9 \text{ Pa}\) avant de faire la division.

Points à retenir

La célérité ne dépend que du matériau, pas de la forme de l'objet.
Elle augmente avec la raideur (\(E\)) et diminue avec la masse (\(\rho\)).

Le saviez-vous ?

Le bronze est l'un des premiers alliages découverts par l'humanité (âge du bronze). Sa sonorité musicale est exploitée depuis des millénaires pour les cloches et les gongs.

FAQ

Résultat Final

La célérité est d'environ 3410 m/s.

A vous de jouer

Et si c'était de l'acier (\(E=210\) GPa, \(\rho=7800\) kg/m³) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 : \(c = \sqrt{E/\rho}\). Unité : m/s.

Question 2 : Facteur Géométrique

Principe

La géométrie d'une plaque intervient par le rapport entre son épaisseur et le carré de son rayon. C'est ce terme qui rend les cymbales plus épaisses ou plus petites plus aiguës.

Mini-Cours

Dans l'équation des plaques, la fréquence est proportionnelle à l'épaisseur \(h\) (plus c'est épais, plus c'est raide) et inversement proportionnelle au carré du rayon \(R^2\) (plus c'est grand, plus c'est mou).

Remarque Pédagogique

C'est pour cela qu'une petite cymbale "Splash" (petit R) sonne très aigu, et une grosse "Ride" (grand R) sonne plus grave.

Normes

Bien qu'il n'y ait pas de norme ISO pour l'épaisseur, les fabricants (Zildjian, Sabian, Paiste) utilisent des désignations standard ('Thin', 'Medium', 'Heavy') qui correspondent à des plages de poids spécifiques pour un diamètre donné (souvent exprimé en pouces, ex: 20").

Formule(s)

Facteur de forme

\gamma = \frac{h}{R^2}

Hypothèses

On suppose l'épaisseur constante, ce qui est une approximation pour une vraie cymbale qui est souvent plus fine au bord (tapering) pour améliorer la réponse.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur	Unité SI
Epaisseur \(h\)	1.2 mm	0.0012 m
Rayon \(R\)	25 cm	0.25 m

Astuces

Pensez toujours "Mètres, Kilogrammes, Secondes". Convertissez tout avant de calculer.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des dimensions clés.

Dimensions

Calcul(s)

Calcul du dénominateur (Carré du Rayon)

L'influence du rayon étant quadratique, nous devons d'abord élever sa valeur en mètres au carré.

\begin{aligned} R^2 &= (0.25)^2 \\ &= 0.0625 \text{ m}^2 \end{aligned}

Calcul du ratio final

Nous divisons maintenant l'épaisseur par la surface équivalente calculée précédemment pour obtenir notre facteur géométrique \(\gamma\).

\begin{aligned} \gamma &= \frac{0.0012}{0.0625} \\ &= 0.0192 \text{ m}^{-1} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Illustration de l'influence du rapport h/R² sur la rigidité.

Rigidité relative

Réflexions

Ce chiffre 0.0192 ne nous parle pas beaucoup seul, mais il est le multiplicateur géométrique de notre fréquence. Si on doublait le rayon, ce facteur (et donc la fréquence) serait divisé par 4 !

Points de vigilance

Erreur classique : oublier de mettre le rayon au carré ! L'influence du rayon est quadratique, celle de l'épaisseur est linéaire.

Points à retenir

\(f \propto h\)
\(f \propto 1/R^2\)

Le saviez-vous ?

Les cymbales "Ride" ont souvent un rayon d'environ 20 à 22 pouces (50-55 cm), tandis que les "Splash" font 8 à 10 pouces (20-25 cm).

FAQ

Résultat Final

\(\gamma = 0.0192 \text{ m}^{-1}\)

A vous de jouer

Si \(h\) double, le facteur double-t-il ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 : La géométrie dicte la hauteur relative via \(h/R^2\).

Question 3 : Mode Fondamental (2,0)

Principe

Le mode (2,0) est souvent le plus grave audible distinctement sur une cymbale suspendue. Il correspond à une déformation en "selle de cheval" ou "chips".

Mini-Cours

Une plaque circulaire libre vibre selon des modes définis par \(k\) diamètres nodaux (lignes droites passant par le centre) et \(n\) cercles nodaux. Le mode (2,0) a 2 lignes qui se croisent, divisant la cymbale en 4 quartiers qui montent et descendent en alternance.

Remarque Pédagogique

Ce mode est fondamental car c'est celui qui demande le moins d'énergie pour être excité lors d'une frappe au bord.

Normes

En acoustique industrielle, l'analyse modale suit la norme ISO 18431-1 pour l'acquisition des données. Cependant, les luthiers travaillent souvent à l'oreille ou utilisent des tables de fréquences empiriques ("Tap Tuning").

Formule(s)

Fréquence propre simplifiée

f_{20} \approx 0.55 \times c_L \times \gamma

Hypothèses

On utilise un coefficient simplifié 0.55 qui regroupe les constantes du matériau (Poisson) et du mode. On néglige l'effet de la coupole centrale (bell) qui rigidifie la structure réelle.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(c_L\)	3410 m/s
\(\gamma\)	0.0192 m⁻¹

Astuces

Pour multiplier par 0.55, divisez par 2 puis ajoutez 10% au résultat.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de Chladni - Mode (2,0)

Calcul(s)

Étape par étape

D'abord, on multiplie le coefficient par la célérité.

0.55 \times 3410 = 1875.5

Puis on applique le facteur géométrique calculé en Q2.

\begin{aligned} f_{20} &= 1875.5 \times 0.0192 \\ &\approx 36.0096 \\ &\approx 36.0 \text{ Hz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Positionnement de la fréquence fondamentale sur l'échelle audible.

Position sur l'échelle sonore (Hz)

Réflexions

36 Hz est une fréquence très basse, à la limite de l'audible musical (infra-basse). Pour une vraie cymbale, la courbure (la cloche) rigidifie la structure et remonte souvent cette fréquence vers 50-80 Hz. Notre modèle de plaque plate sous-estime la réalité, mais donne le bon ordre de grandeur physique pour une plaque libre.

Points de vigilance

Ne pas oublier l'unité : Hertz (Hz). Vérifiez la cohérence : une grosse plaque vibre lentement.

Points à retenir

Mode (2,0) = forme en selle.
C'est le mode le plus grave.

Le saviez-vous ?

Ernst Chladni saupoudrait du sable sur des plaques pour visualiser ces lignes nodales dès le 18ème siècle. Le sable s'accumule là où ça ne vibre pas.

FAQ

Résultat Final

\(f_{20} \approx 36 \text{ Hz}\)

A vous de jouer

Si \(c_L\) valait 5000, la fréquence monterait-elle ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 : Le fondamental d'une plaque mince est très grave.

Question 4 : Inharmonicité (Mode 3,0)

Principe

Calculons le mode suivant (3 diamètres nodaux) pour voir s'il est un multiple entier du fondamental (comme pour une corde de guitare).

Mini-Cours

Un son est "harmonique" si ses fréquences sont \(f, 2f, 3f...\). Si les rapports sont comme \(1, 2.4, 3.6...\), le son est "inharmonique" ou métallique, typique des percussions. Cela crée un timbre complexe sans hauteur définie.

Remarque Pédagogique

C'est cette propriété qui permet à la cymbale de couper à travers le mix musical ("cutting through the mix") sans entrer en conflit tonal avec la basse ou le piano.

Normes

Contrairement aux instruments classiques accordés selon le tempérament égal (ISO 16), les cymbales n'ont pas de standard de hauteur défini, chaque pièce étant unique en spectre fréquentiel.

Formule(s)

Fréquence mode supérieur

f_{30} \approx 1.35 \times c_L \times \gamma

Hypothèses

Même modèle de plaque plate, on suppose que le facteur de correction matériel est identique.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Coef. Mode 2,0	0.55
Coef. Mode 3,0	1.35

Astuces

Pas besoin de tout recalculer, on peut juste faire le rapport des coefficients : \(1.35 / 0.55\).

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison Harmonique vs Inharmonique

Calcul(s)

Calcul de la fréquence du mode (3,0)

Nous appliquons la formule de fréquence pour le mode supérieur en utilisant son coefficient spécifique (1.35).

1.35 \times 3410 = 4603.5

En multipliant par le facteur géométrique, nous obtenons la fréquence absolue de ce mode.

\begin{aligned} f_{30} &= 4603.5 \times 0.0192 \\ &\approx 88.387 \\ &\approx 88.4 \text{ Hz} \end{aligned}

Calcul du rapport harmonique

Pour vérifier l'harmonicité, nous divisons la fréquence de ce mode supérieur par la fréquence fondamentale.

\begin{aligned} \text{Rapport} &= \frac{f_{30}}{f_{20}} \\ &= \frac{88.4}{36.0} \\ &\approx 2.455 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Spectre fréquentiel comparé.

Spectre Inharmonique Calculé

Réflexions

2.45 n'est pas un entier. Ce n'est ni une octave (2.0), ni une quinte juste (1.5). C'est inharmonique. C'est ce qui donne ce son "métallique" et riche.

Points de vigilance

Ne pas arrondir trop tôt les fréquences pour garder la précision du rapport.

Points à retenir

Les idiophones sont intrinsèquement inharmoniques.
Cela crée un son de type "bruit" musical.

Le saviez-vous ?

Les facteurs de piano font tout pour minimiser l'inharmonicité des cordes (en les filant), alors que les fabricants de cymbales la recherchent !

FAQ

Résultat Final

\(f_{30} \approx 88.4 \text{ Hz}\). Inharmonique.

A vous de jouer

Calculez le rapport si le coef du mode 4,0 était 2.40.

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 : Inharmonicité = timbre métallique riche.

Question 5 : Effet du tournage (épaisseur)

Principe

Les artisans réduisent l'épaisseur (lathing) pour changer le son. Si on réduit \(h\) de 10%, que devient la fréquence ?

Mini-Cours

En mathématiques, si \(y = k \times x\), alors une variation de \(x\) entraîne la même variation en pourcentage de \(y\). C'est la linéarité. En physique, la raideur de flexion est cubique en épaisseur, mais la masse est linéaire, ce qui au final donne une fréquence linéaire en \(h\).

Remarque Pédagogique

C'est intuitif : enlever de la matière rend la cymbale plus souple, donc elle vibre moins vite (plus grave) et s'ouvre plus vite.

Normes

Les tolérances d'usinage pour les instruments de musique de haute qualité sont typiquement de l'ordre du dixième de millimètre, ce qui influence grandement le son final.

Formule(s)

Relation de proportionnalité

f \propto h

Hypothèses

On suppose que le rayon ne change pas lors du tournage (ce qui est vrai) et que la réduction d'épaisseur est uniforme (cas idéal).

Donnée(s)

Paramètre	Variation
Epaisseur	-10% (donc \(\times 0.9\))

Astuces

Multiplier par 0.9 revient à soustraire 10%. Pas besoin de refaire le calcul avec \(\pi\) et les racines carrées.

Schéma (Avant les calculs)

Processus de Tournage (Lathing)

Calcul(s)

Nouvelle épaisseur

Une réduction de 10% signifie mathématiquement que l'on conserve 90% de l'épaisseur d'origine.

\begin{aligned} h_{\text{new}} &= (1 - 0.10) \times h \\ &= 0.90 \times h \end{aligned}

Nouvelle fréquence

Puisque la fréquence \(f\) est directement proportionnelle à l'épaisseur \(h\), nous appliquons le même coefficient multiplicateur au résultat de la question 3.

\begin{aligned} f_{20,\text{new}} &= 0.9 \times 36 \text{ Hz} \\ &= 32.4 \text{ Hz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison visuelle avant/après.

Glissement de Fréquence

Réflexions

Une variation de 10% est très audible musicalement (presque un ton entier). C'est la différence entre une cymbale "Medium" et "Thin" de même modèle.

Points de vigilance

Ne pas confondre avec le rayon où l'effet serait au carré ! Ici, la relation est linéaire.

Points à retenir

Moins épais = Plus grave.
Plus petit = Plus aigu.

Le saviez-vous ?

Les artisans "accordent" parfois une cymbale en la tournant progressivement jusqu'à ce qu'elle sonne bien à l'oreille, ajustant ainsi l'épaisseur localement.

FAQ

Résultat Final

La fréquence baisse de 10%. 32.4 Hz.

A vous de jouer

Si on réduit plutôt le rayon \(R\) de 10% (en gardant \(h\) constant), la fréquence augmente-t-elle ou baisse-t-elle ? (Indice: \(f \propto 1/R^2\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 : L'épaisseur contrôle linéairement la hauteur.

Simulateur de Fabrication

Modifiez les dimensions de la cymbale pour voir l'impact sur les fréquences des 3 premiers modes.

Paramètres de Fabrication

Rayon \(R\) (cm) 25 cm

Épaisseur \(h\) (mm) 1.2 mm

Fréquences Estimées

Mode (2,0) - Fondamental - Hz

Mode (3,0) - Hz

Glossaire

Mode propre: Une manière spécifique dont un objet vibre naturellement à une fréquence donnée, caractérisée par une forme géométrique de déformation.
Ligne nodale: Ligne sur la surface de la cymbale qui reste immobile pendant la vibration d'un mode spécifique.
Inharmonicité: Caractéristique d'un son dont les fréquences composantes ne sont pas des multiples entiers d'une fondamentale, créant un timbre métallique ou bruiteux.
Idiophone: Famille d'instruments où le son est produit par le corps de l'instrument lui-même (cloche, gong, cymbale).

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