Résolution de l’équation d’onde

Acoustique : Résolution de l'équation d'onde en coordonnées sphériques

Résolution de l'équation d'onde en coordonnées sphériques

Contexte : L'Anatomie d'une Onde Sonore

L'équation d'onde est l'équation fondamentale qui régit la propagation de tout type d'onde, y compris le son. Pour une source ponctuelleSource sonore considérée comme un point unique, rayonnant l'énergie de manière égale dans toutes les directions (ondes sphériques). Ex: un haut-parleur seul. qui émet un son de manière isotrope (également dans toutes les directions), il est naturel d'utiliser les coordonnées sphériques. La résolution de cette équation montre que l'amplitude de la pression acoustiqueVariation de pression locale dans un milieu due au passage d'une onde sonore. C'est la grandeur physique que notre oreille détecte. ne diminue pas de la même manière que l'intensité sonore. Alors que l'intensité (l'énergie) se dilue avec le carré de la distance ($1/r^2$), l'amplitude de la pression, elle, diminue simplement avec la distance ($1/r$).

Remarque Pédagogique : Cet exercice est plus théorique que les précédents, mais il est au cœur de la compréhension de la propagation sonore. Il permet de justifier mathématiquement la loi de décroissance de 6 dB par doublement de distance pour le niveau sonore, en reliant les concepts de pression, d'intensité et de puissance acoustique.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la forme de la solution de l'équation d'onde pour une onde sphérique sortante.
Distinguer l'amplitude de pression $P(r)$ de l'intensité sonore $I(r)$.
Calculer la constante d'amplitude d'une source à partir d'une mesure de pression.
Prédire l'amplitude de pression et le niveau de pression sonore à différentes distances.
Valider la loi de décroissance en -6 dB par doublement de distance.

Données de l'étude

Une petite source sonore ponctuelle émet un son sinusoïdal dans l'air. À une distance $r_1 = 2 \, \text{m}$ de la source, on mesure une amplitude de pression acoustique efficace de $p_1 = 0.5 \, \text{Pa}$ (Pascals).

On rappelle la pression de référence dans l'air : $p_{\text{ref}} = 2 \times 10^{-5} \, \text{Pa}$.

Propagation d'une Onde Sphérique

Questions à traiter

La solution de l'équation d'onde pour une onde sphérique sortante s'écrit $p(r,t) = \frac{A}{r} \cos(\omega t - kr)$. Déterminer la valeur de la constante d'amplitude $A$.
Calculer l'amplitude de la pression acoustique $p_2$ à une distance $r_2 = 8 \, \text{m}$ de la source.
Calculer le niveau de pression sonore $L_{p1}$ à 2m, puis le niveau $L_{p2}$ à 8m. Vérifier que la différence correspond bien à la loi de décroissance attendue.

Correction : Résolution de l'équation d'onde en coordonnées sphériques

Question 1 : Détermination de la Constante d'Amplitude A

Principe :

L'amplitude de la pression acoustique $P(r)$ d'une onde sphérique est donnée par $P(r) = A/r$, où $A$ est une constante qui dépend de la puissance de la source. En utilisant une mesure de pression connue ($p_1$) à une distance connue ($r_1$), on peut isoler et calculer cette constante $A$, qui caractérise la "force" intrinsèque de la source.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La constante $A$ a les unités d'une pression multipliée par une distance (en Pa.m). Elle représente la pression qu'on mesurerait à 1 mètre de la source si le modèle était encore valide à si courte distance. C'est une façon de normaliser la puissance de la source.

Formule(s) utilisée(s) :

P(r) = \frac{A}{r}

A = P(r_1) \times r_1

Donnée(s) :

Amplitude de pression à $r_1$ : $p_1 = 0.5 \, \text{Pa}$
Distance initiale : $r_1 = 2 \, \text{m}$

Calcul(s) :

\begin{aligned} A &= p_1 \times r_1 \\ &= 0.5 \, \text{Pa} \times 2 \, \text{m} \\ &= 1 \, \text{Pa} \cdot \text{m} \end{aligned}

Points de vigilance :

Pression efficace ou maximale : L'énoncé précise une pression "efficace". La formule $P(r) = A/r$ s'applique à l'amplitude maximale. Cependant, comme le rapport entre pression efficace et maximale est constant ($P_{max} = P_{eff} \sqrt{2}$), la relation $A = P \times r$ reste valide que l'on utilise les valeurs efficaces ou maximales, tant qu'on reste cohérent.

Le saviez-vous ?

Résultat : La constante d'amplitude de la source est $A = 1 \, \text{Pa} \cdot \text{m}$.

Question 2 : Pression Acoustique à 8 mètres

Principe :

Maintenant que la constante de la source $A$ est connue, on peut utiliser la même relation $P(r) = A/r$ pour prédire l'amplitude de la pression à n'importe quelle autre distance $r_2$. On s'attend à ce que la pression diminue à mesure que la distance augmente.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : On peut aussi utiliser un rapport direct sans calculer $A$. Puisque $p_1 = A/r_1$ et $p_2 = A/r_2$, on a $p_1 r_1 = p_2 r_2$, d'où $p_2 = p_1 (r_1/r_2)$. C'est une méthode plus rapide qui montre bien que la pression est inversement proportionnelle à la distance.

Formule(s) utilisée(s) :

p_2 = \frac{A}{r_2}

Donnée(s) :

Constante d'amplitude : $A = 1 \, \text{Pa} \cdot \text{m}$
Distance finale : $r_2 = 8 \, \text{m}$

Calcul(s) :

\begin{aligned} p_2 &= \frac{1 \, \text{Pa} \cdot \text{m}}{8 \, \text{m}} \\ &= 0.125 \, \text{Pa} \end{aligned}

Points de vigilance :

Ne pas utiliser $r^2$ : L'erreur la plus fréquente est de confondre l'atténuation de la pression (en $1/r$) avec celle de l'intensité (en $1/r^2$). La pression ne diminue pas aussi vite que l'intensité.

Le saviez-vous ?

Résultat : L'amplitude de la pression acoustique à 8 mètres est de $0.125 \, \text{Pa}$.

Question 3 : Calcul des Niveaux Sonores et Vérification

Principe :

Le niveau de pression sonore ($L_p$) est une mesure logarithmique de la pression efficace, exprimée en décibels (dB). Il est défini par rapport à une pression de référence correspondant au seuil de l'audition humaine. On calcule le niveau pour chaque point, puis on vérifie si leur différence correspond à la loi d'atténuation géométrique pour une source ponctuelle.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette question fait le lien entre la solution théorique de l'équation d'onde ($p \propto 1/r$) et la règle pratique utilisée par les ingénieurs du son ($-6\,\text{dB}$ par doublement de distance). C'est la démonstration de cette règle empirique.

Formule(s) utilisée(s) :

L_p = 20 \log_{10}\left(\frac{p}{p_{\text{ref}}}\right)

\Delta L_p = L_{p1} - L_{p2}

Donnée(s) :

$p_1 = 0.5 \, \text{Pa}$ à $r_1 = 2 \, \text{m}$
$p_2 = 0.125 \, \text{Pa}$ à $r_2 = 8 \, \text{m}$
$p_{\text{ref}} = 2 \times 10^{-5} \, \text{Pa}$

Calcul(s) :

\begin{aligned} L_{p1} &= 20 \log\left(\frac{0.5}{2 \times 10^{-5}}\right) \\ &= 20 \log(25000) \\ &\approx 20 \times 4.398 \\ &\approx 87.96 \, \text{dB} \end{aligned}

\begin{aligned} L_{p2} &= 20 \log\left(\frac{0.125}{2 \times 10^{-5}}\right) \\ &= 20 \log(6250) \\ &\approx 20 \times 3.796 \\ &\approx 75.92 \, \text{dB} \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Atténuation} &= L_{p1} - L_{p2} \\ &= 87.96 - 75.92 \\ &= 12.04 \, \text{dB} \end{aligned}

Vérification : La distance a été multipliée par 4 (de 2m à 8m), ce qui correspond à deux doublements de distance. La perte attendue est de $2 \times 6 \, \text{dB} = 12 \, \text{dB}$. Notre résultat de 12.04 dB est cohérent.

Points de vigilance :

Pression de référence : Ne pas oublier la pression de référence dans le calcul du niveau en dB. C'est une valeur standardisée mais essentielle au calcul.

Le saviez-vous ?

Résultat : $L_{p1} \approx 88 \, \text{dB}$, $L_{p2} \approx 76 \, \text{dB}$. La perte est de $12 \, \text{dB}$, ce qui correspond bien à deux doublements de distance pour une source ponctuelle ($2 \times 6\,\text{dB}$).

Simulation de l'Atténuation de la Pression

Ajustez la distance à la source et observez comment l'amplitude de la pression et le niveau sonore en décibels diminuent.

Paramètres de Mesure

Distance à la source (8 m)

Amplitude de Pression

Niveau de Pression Sonore

Décroissance de la Pression

Pour Aller Plus Loin : Le Terme de Champ Proche

Une solution plus complète : La solution complète de l'équation d'onde sphérique contient en réalité un second terme, qui diminue en $1/r^2$. Ce terme, appelé "terme de champ proche", est négligeable loin de la source mais devient important très près. Il explique pourquoi, à quelques centimètres d'un petit haut-parleur, le son semble avoir beaucoup de "basses" : c'est l'effet de ce terme de champ proche, qui est principalement à basse fréquence. C'est aussi ce qu'on appelle l'effet de proximité des microphones cardioïdes.

Le Saviez-Vous ?

L'équation d'onde a été formulée pour la première fois par Jean le Rond d'Alembert au 18ème siècle pour décrire les vibrations d'une corde de violon. Sa résolution a été l'objet de débats intenses entre les plus grands mathématiciens de l'époque, comme Euler, Bernoulli et Lagrange, et a jeté les bases de l'analyse de Fourier.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre pression et intensité ?

La pression acoustique est une variation de pression locale (un scalaire). L'intensité sonore est un flux d'énergie par unité de surface (un vecteur), elle décrit la quantité d'énergie qui traverse une surface et la direction dans laquelle elle se propage. Pour une onde plane, $I = p^2 / (\rho c)$ où $\rho$ est la densité de l'air et $c$ la vitesse du son.

Cette loi s'applique-t-elle à la lumière ?

Oui, parfaitement. L'intensité lumineuse d'une source ponctuelle (comme une ampoule nue ou une étoile) diminue également en $1/r^2$. C'est une loi fondamentale pour toute énergie rayonnée de manière isotrope dans un espace à trois dimensions.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on s'éloigne d'une source ponctuelle de sorte que la distance est multipliée par 10, l'amplitude de la pression acoustique est :

Divisée par 100.
Divisée par 10.
Divisée par 20.

2. Pour la même situation (distance x10), le niveau de pression sonore diminue de :

10 dB
40 dB
20 dB

Glossaire

Équation d'Onde: Équation aux dérivées partielles qui décrit la propagation d'une onde à travers un milieu. Sa solution donne la valeur de la grandeur oscillante (ex: la pression) en tout point et à tout instant.
Onde Sphérique: Onde qui se propage depuis une source ponctuelle, dont les fronts d'onde (surfaces d'égale phase) sont des sphères concentriques.
Pression Acoustique (p): Variation locale de la pression par rapport à la pression atmosphérique ambiante, causée par le passage d'une onde sonore. Unité : Pascal (Pa).
Amplitude de Pression (P): Valeur maximale de la pression acoustique au cours d'un cycle. Elle diminue en $1/r$ pour une onde sphérique.
Niveau de Pression Sonore ($L_p$): Mesure logarithmique de la pression acoustique efficace, exprimée en décibels (dB) par rapport à un seuil de référence.

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

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Questions à traiter

Correction : Résolution de l'équation d'onde en coordonnées sphériques

Question 1 : Détermination de la Constante d'Amplitude A

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 2 : Pression Acoustique à 8 mètres

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Question 3 : Calcul des Niveaux Sonores et Vérification

Principe :

Remarque Pédagogique :

Formule(s) utilisée(s) :

Donnée(s) :

Calcul(s) :

Points de vigilance :

Le saviez-vous ?

FAQ en rapport avec la question :

Simulation de l'Atténuation de la Pression

Paramètres de Mesure

Décroissance de la Pression

Pour Aller Plus Loin : Le Terme de Champ Proche

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Quiz Final : Testez vos connaissances

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