Tenseurs et Propagation d'Ondes dans un Solide

Contexte : Analyse d'une barre en acier sous contrainte et comportement acoustique.

Dans le cadre de l'étude des structures et de l'acoustique fondamentale, il est crucial de comprendre comment une force appliquée se traduit en ContrainteForce appliquée par unité de surface interne. et en DéformationChangement relatif de dimension ou de forme d'un corps.. Nous allons étudier une barre métallique soumise à une force de traction/compression pour déterminer son état de contrainte et la vitesse de propagation des ondes sonores (célérité) à l'intérieur de ce matériau.

Remarque Pédagogique : Cet exercice fait le lien entre la Résistance des Matériaux (RDM) et l'Acoustique Physique. Comprendre le lien entre élasticité et vitesse du son est fondamental pour les ingénieurs.

Objectifs Pédagogiques

Définir et calculer les tenseurs des contraintes et des déformations.
Appliquer la loi de Hooke pour un matériau élastique linéaire.
Calculer la célérité des ondes longitudinales dans un solide.

Données de l'étude

On considère une barre en acier de section carrée, soumise à une force de traction uniforme suivant l'axe \(x\). On néglige les effets de Poisson pour simplifier l'étude unidimensionnelle initiale.

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Symbole	Valeur
Force de traction appliquée	\(F\)	\(50\, \text{kN}\)
Section de la barre	\(S\)	\(0.002\, \text{m}^2\)
Module de YoungMesure de la rigidité d'un matériau élastique.	\(E\)	\(210\, \text{GPa}\)
Masse volumique de l'acier	\(\rho\)	\(7800\, \text{kg/m}^3\)

Schéma du Système

Questions à traiter

Calculer la contrainte normale \(\sigma_{xx}\) dans la barre.
En déduire la déformation longitudinale \(\epsilon_{xx}\) en utilisant la loi de Hooke.
Écrire les matrices représentatives des tenseurs des contraintes et des déformations.
Calculer la célérité \(c_L\) des ondes longitudinales dans ce matériau.

Les bases théoriques

En acoustique des solides, la propagation des ondes est directement liée aux propriétés élastiques du milieu. Voici les lois fondamentales régissant ce comportement.

Définition de la Contrainte
La contrainte représente l'effort interne par unité de surface.

Contrainte Normale Uniaxiale

\sigma = \frac{F}{S}

Où :

\(\sigma\) est la contrainte en Pascals (Pa).
\(F\) est la force en Newtons (N).
\(S\) est la section en mètres carrés (m²).

Loi de Hooke (1D)
Elle relie la contrainte à la déformation élastique.

Relation linéaire

\sigma = E \cdot \epsilon

Où :

\(E\) est le Module de Young (Pa).
\(\epsilon\) est la déformation relative (sans unité).

Célérité des ondes longitudinales
La vitesse du son dans une barre solide dépend de sa rigidité et de sa densité.

Vitesse de l'onde

c_L = \sqrt{\frac{E}{\rho}}

Où :

\(c_L\) est la célérité en m/s.
\(\rho\) est la masse volumique en kg/m³.

Correction : Tenseurs et Propagation d'Ondes dans un Solide

Question 1 : Calcul de la contrainte normale \(\sigma_{xx}\)

Principe

La barre est soumise à une traction pure. La contrainte est supposée uniforme sur toute la section droite de la barre. C'est l'hypothèse fondamentale de la traction simple en Résistance des Matériaux.

Mini-Cours

La Contrainte Normale (\(\sigma\))
Elle traduit l'intensité des forces de cohésion qui s'opposent à la déformation. En traction simple, elle est perpendiculaire à la section droite. Si elle est positive, c'est de la traction ; si elle est négative, c'est de la compression.

Remarque Pédagogique

Il est essentiel de visualiser que cette force interne est répartie sur toute la surface. Imaginez des milliers de petits ressorts qui se tendent en parallèle pour résister à la force extérieure F.

Normes

Les essais de traction pour déterminer ces valeurs suivent la norme ISO 6892-1 pour les matériaux métalliques. Cette norme définit les conditions de température, de vitesse de charge et de géométrie de l'éprouvette.

Formule(s)

Formules utilisées

Contrainte Normale

\sigma = \frac{F}{S}

Hypothèses

Pour ce calcul, nous supposons :

Le matériau est homogène (mêmes propriétés partout) et isotrope (mêmes propriétés dans toutes les directions).
La force est parfaitement axiale (pas de moment de flexion parasite).
La distribution des contraintes est uniforme (principe de Saint-Venant appliqué loin des points d'application de la force).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité SI
Force	\(F\)	\(50\,000\)	\(\text{N}\)
Section	\(S\)	\(0.002\)	\(\text{m}^2\)

Astuces

Pensez toujours en "N" et "m" pour obtenir des "Pa". Une astuce courante en ingénierie : si vous utilisez des Newtons (N) et des millimètres carrés (mm²), vous obtiendrez des Mégapascals (MPa) directement, car \(1 \text{ N/mm}^2 = 1 \text{ MPa}\).

État Initial : Force Appliquée

Conversion(s)

Il faut convertir la force en Newtons pour respecter le système SI, car la formule standard utilise des Pascals (N/m²).

Conversion kN → N

\begin{aligned} F &= 50\, \text{kN} \\ &= 50 \times 10^3 \, \text{N} \\ &= 50\,000\, \text{N} \end{aligned}

Calcul Principal

Application numérique détaillée

Pour obtenir la contrainte, nous divisons la force totale par la surface de la section. Assurons-nous que les unités sont cohérentes (N et m²).

Calcul de \(\sigma_{xx}\)

\begin{aligned} \sigma_{xx} &= \frac{50\,000 \, \text{N}}{0.002 \, \text{m}^2} \\ &= \frac{5 \times 10^4}{2 \times 10^{-3}} \\ &= 2.5 \times 10^{4 - (-3)} \\ &= 2.5 \times 10^7 \, \text{Pa} \\ &= 25 \times 10^6 \, \text{Pa} \\ &= 25 \, \text{MPa} \end{aligned}

Le résultat initial est en Pascals (Pa). Comme ce nombre est très grand, il est standard en ingénierie de le convertir en Mégapascals (MPa) en divisant par \(10^6\).

État Calculé : Contrainte Interne

Réflexions

25 MPa est une contrainte relativement faible pour de l'acier de construction, dont la limite élastique est souvent supérieure à 235 MPa (acier S235). La barre ne subira donc pas de déformation permanente et reviendra à sa longueur initiale si la force est relâchée.

Points de vigilance

Ne confondez pas la pression (dans un fluide, souvent isotrope et compressive) et la contrainte (dans un solide, orientée et pouvant être en traction). Bien qu'elles aient la même unité (Pascal), leur sens physique diffère.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Contrainte = Force / Surface.
L'unité standard est le Pascal (Pa), mais le MPa est plus courant.
1 MPa = \(10^6\) Pa = 1 N/mm².

Le saviez-vous ?

Blaise Pascal, qui a donné son nom à l'unité de contrainte, a principalement travaillé sur la pression atmosphérique et hydraulique. C'est Augustin-Louis Cauchy qui a formalisé bien plus tard la notion de tenseur des contraintes en mécanique des solides.

FAQ

Pourquoi note-t-on \(\sigma_{xx}\) avec deux indices ?

Les indices indiquent la direction de la normale à la face sur laquelle s'exerce la force (premier x) et la direction de la force elle-même (second x). Ici, la force est selon l'axe x et s'applique sur la section perpendiculaire à x.

La contrainte normale est de 25 MPa.

A vous de jouer
Si la force doublait (100 kN), quelle serait la contrainte en MPa ?

📝 Mémo
Une contrainte positive indique une traction (allongement). Une contrainte négative indiquerait une compression (raccourcissement).

Question 2 : Calcul de la déformation \(\epsilon_{xx}\)

Principe

On utilise la loi de Hooke qui relie linéairement la contrainte (\(\sigma\)) et la déformation (\(\epsilon\)) par le biais du module de Young (\(E\)). C'est le domaine de l'élasticité linéaire, valide tant que la contrainte reste faible.

Mini-Cours

La Loi de Hooke
Pour de petites déformations, l'allongement est proportionnel à la force appliquée. Le coefficient de proportionnalité, \(E\), représente la raideur intrinsèque du matériau : plus \(E\) est grand, moins le matériau se déforme.

Remarque Pédagogique

La déformation \(\epsilon\) est une grandeur sans unité (ou en m/m) car elle représente un rapport de deux longueurs : l'allongement \(\Delta L\) divisé par la longueur initiale \(L_0\).

Normes

La détermination du module de Young par extensométrie suit la norme ASTM E111 ou ISO 527 pour les plastiques. Elle garantit la reproductibilité des mesures de rigidité.

Formule(s)

Loi de Hooke (1D)

\epsilon = \frac{\sigma}{E}

Hypothèses

Nous supposons pour l'application de cette loi :

Le matériau reste dans le domaine élastique (contrainte < limite élastique).
La température est constante (pas de dilatation thermique qui s'ajouterait).
Le comportement est linéaire (pas de viscoélasticité).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur SI
Module de Young	\(E\)	\(210 \times 10^9 \, \text{Pa}\)
Contrainte (calculée)	\(\sigma_{xx}\)	\(25 \times 10^6 \, \text{Pa}\)

Astuces

Travaillez toujours avec les puissances de 10 pour éviter les erreurs de zéros. Rappelez-vous que Giga (G) = \(10^9\) et Méga (M) = \(10^6\). Le rapport des deux donne souvent des millièmes (\(10^{-3}\)).

Relation Contrainte / Déformation

Calcul(s)

Calcul Principal

Loi de Hooke inversée détaillée

On cherche \(\epsilon\) tel que \(\epsilon = \sigma / E\). Attention aux unités et puissances de 10 :

\begin{aligned} \epsilon_{xx} &= \frac{25 \, \text{MPa}}{210 \, \text{GPa}} \\ &= \frac{25 \times 10^6 \, \text{Pa}}{210 \times 10^9 \, \text{Pa}} \\ &= \left( \frac{25}{210} \right) \times 10^{6-9} \\ &\approx 0.119 \times 10^{-3} \\ &\approx 1.19 \times 10^{-4} \end{aligned}

On obtient une valeur très petite. Pour l'exprimer en pourcentage, on multiplie par 100, ce qui donne \(0.0119\%\).

Résultat : Allongement

Réflexions

La déformation est de l'ordre de \(10^{-4}\), soit environ 0.012%. C'est tout à fait normal pour de l'acier sous une charge modérée ; c'est un matériau très rigide. Une déformation de 1% serait déjà considérée comme énorme pour une structure métallique en service.

Points de vigilance

Ne pas confondre \(\epsilon\) (déformation relative, sans unité) et \(\Delta L\) (allongement absolu, en mètres). Pour avoir l'allongement réel en mm, il faudrait multiplier \(\epsilon\) par la longueur totale de la barre.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

La loi de Hooke : \(\sigma = E \cdot \epsilon\).
\(\epsilon\) est sans unité (m/m) et souvent très petit (< 1%).

Le saviez-vous ?

Robert Hooke était un contemporain et rival d'Isaac Newton. Il a formulé sa loi sous forme d'anagramme latin "ceiiinosssttuv" (pour Ut tensio, sic vis : "Telle extension, telle force") avant de la publier, pour s'assurer la paternité de la découverte sans la révéler immédiatement.

FAQ

Peut-on utiliser cette formule pour le caoutchouc ?

Non, le caoutchouc a un comportement non-linéaire (hyperélastique) et supporte de très grandes déformations. La loi de Hooke simple \(F=kx\) n'est plus suffisante.

\(\epsilon_{xx} \approx 1.19 \times 10^{-4}\) (sans unité)

📝 Mémo
Rigidité élevée (grand E) implique une faible déformation pour une même force. C'est pourquoi l'acier est utilisé dans les gratte-ciels.

Question 3 : Écriture des Tenseurs

Principe

Les grandeurs physiques dans un matériau 3D ne peuvent pas être décrites par un simple nombre. Elles sont décrites par des tenseurs (matrices 3x3) pour représenter l'état de contrainte ou de déformation dans toutes les directions de l'espace simultanément.

Mini-Cours

Le Tenseur des Contraintes
C'est une matrice symétrique où :
- La diagonale (\(\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}\)) représente les tractions/compressions.
- Les termes hors diagonale (\(\sigma_{xy}, \sigma_{xz}\), etc.) représentent le cisaillement (glissement).

Remarque Pédagogique

Un tenseur est un outil puissant qui permet de calculer la contrainte sur n'importe quelle facette orientée, pas seulement celles alignées avec les axes, par une simple opération de projection matricielle.

Formule(s)

Matrice Générale

\overline{\overline{\sigma}} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}

Hypothèses

Pour construire nos tenseurs dans cet exercice, nous supposons :

Un état de contrainte purement uniaxial (seule la force en X existe, donc \(\sigma_{yy} = \sigma_{zz} = 0\)).
Il n'y a pas de torsion ni de cisaillement (\(\tau_{xy} = 0\), etc.).
Nous négligeons l'effet de Poisson pour la déformation, ce qui implique \(\epsilon_{yy} = \epsilon_{zz} = 0\).

Calcul(s)

Tenseur des Contraintes \(\overline{\overline{\sigma}}\)

Construisons le tenseur des contraintes. Puisque la force est appliquée uniquement selon l'axe X, seule la composante \(\sigma_{xx}\) est non nulle. Les contraintes latérales (\(yy, zz\)) et de cisaillement (\(xy, xz, \dots\)) sont nulles.

\begin{aligned} \overline{\overline{\sigma}} &= \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 25 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \, \text{MPa} \end{aligned}

Cette matrice diagonale confirme que nous sommes dans le repère principal des contraintes.

Tenseur des Déformations \(\overline{\overline{\epsilon}}\)

De même pour les déformations, en négligeant l'effet de Poisson, seule la déformation longitudinale \(\epsilon_{xx}\) existe.

\begin{aligned} \overline{\overline{\epsilon}} &= \begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1.19 \times 10^{-4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

Notez que si l'effet de Poisson était pris en compte, les termes \(\epsilon_{yy}\) et \(\epsilon_{zz}\) seraient négatifs (contraction transversale).

Réflexions

Ces matrices sont diagonales, ce qui signifie que le repère choisi (x, y, z) correspond aux directions principales des contraintes. Il n'y a pas de cisaillement dans ce repère.

Points de vigilance

Attention : Dans un cas réel complet, l'effet de Poisson (coefficient \(\nu \approx 0.3\)) induirait des termes négatifs \(\epsilon_{yy}\) et \(\epsilon_{zz}\) sur la diagonale du tenseur des déformations (la barre s'amincit quand on l'étire).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Un tenseur des contraintes est toujours symétrique (\(\sigma_{xy} = \sigma_{yx}\)) pour respecter l'équilibre des moments.
La trace du tenseur (somme de la diagonale) est liée à la variation de volume (pression hydrostatique).

Le saviez-vous ?

Le mot "tenseur" vient du latin "tensus" (tendu). Il a été introduit initialement pour décrire les tensions dans les muscles et les corps élastiques avant d'être généralisé en mathématiques.

FAQ

Pourquoi des matrices 3x3 ?

Parce que nous vivons dans un espace à 3 dimensions. Chaque face d'un cube élémentaire (3 faces indépendantes) peut subir des forces dans 3 directions (1 normale, 2 tangentielles), ce qui fait 9 composantes.

Les tenseurs sont diagonaux et quasi-vides (cas uniaxial simplifié).

📝 Mémo
Diagonale = Compression/Traction. Hors diagonale = Cisaillement (Torsion/Glissement).

Question 4 : Célérité de l'Onde \(c_L\)

Principe

La vitesse du son (célérité) dans un barreau solide dépend du rapport entre sa rigidité (\(E\), qui agit comme une force de rappel élastique) et son inertie (\(\rho\), la masse volumique qui résiste au mouvement). C'est une compétition entre la force qui veut faire revenir la matière en place et la masse qui veut continuer son mouvement.

Mini-Cours

Ondes dans les solides
Contrairement aux fluides (qui ne supportent que la compression), les solides supportent des ondes longitudinales (compression, P-waves) ET transversales (cisaillement, S-waves). Ici, nous calculons l'onde longitudinale dans une barre mince (1D).

Remarque Pédagogique

Plus un matériau est rigide, plus l'information voyage vite (les atomes sont "liés" fermement). Plus il est lourd, plus elle voyage lentement. C'est pourquoi l'acier transmet le son mieux que le plomb (qui est lourd et mou).

Formule(s)

Vitesse Onde Longitudinale (Barre)

c_L = \sqrt{\frac{E}{\rho}}

Hypothèses

Cette formule est valide sous les hypothèses suivantes :

Approximation "barre mince" : la longueur d'onde est grande devant les dimensions latérales (pas d'effets de dispersion géométrique).
Matériau homogène et élastique linéaire.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité SI
Module de Young	\(E\)	\(210 \times 10^9\)	Pa (\(kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}\))
Masse Volumique	\(\rho\)	\(7800\)	kg/m³

Astuces

Vérifiez les unités sous la racine par analyse dimensionnelle : \(\frac{\text{Pa}}{\text{kg/m}^3} = \frac{\text{N/m}^2}{\text{kg/m}^3} = \frac{(\text{kg}\cdot\text{m/s}^2)/\text{m}^2}{\text{kg/m}^3} = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}}{\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}} = \text{m}^2/\text{s}^2\). La racine carrée donne bien des m/s !

Propagation de l'Onde

Calcul(s)

Calcul Principal

Application numérique pas à pas

La vitesse de l'onde se calcule en prenant la racine carrée du rapport 'Rigidité / Densité'. Calculons d'abord ce rapport sous la racine.

\begin{aligned} c_L &= \sqrt{\frac{E}{\rho}} \\ &= \sqrt{\frac{210 \times 10^9}{7800}} \end{aligned}

Simplifions la fraction avant de prendre la racine. Ce grand nombre représente le carré de la vitesse (\(m^2/s^2\)) :

\frac{210\,000\,000\,000}{7800} \approx 26\,923\,077 \, \text{m}^2/\text{s}^2

Il ne reste plus qu'à extraire la racine carrée pour obtenir la vitesse en m/s :

\begin{aligned} c_L &\approx \sqrt{26\,923\,077} \\ &\approx 5188.7 \, \text{m/s} \end{aligned}

Cette valeur de ~5200 m/s est caractéristique de l'acier et est environ 15 fois supérieure à la vitesse du son dans l'air (340 m/s).

Réflexions

C'est une vitesse très élevée (~5 km/s), typique des métaux durs. Cela explique pourquoi dans les films de western, on écoute le rail pour entendre le train arriver : le son voyage beaucoup plus vite et avec moins d'atténuation dans l'acier du rail que dans l'air.

Points de vigilance

Ne pas confondre avec la vitesse de l'onde dans un milieu infini tridimensionnel (onde de volume), qui fait intervenir le coefficient de Poisson et est légèrement plus élevée que dans une barre fine.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

La formule fondamentale : \(c = \sqrt{E/\rho}\).
La vitesse du son ne dépend PAS de la force appliquée ni de la fréquence (dans cette approximation), mais uniquement des matériaux.

Le saviez-vous ?

Dans le diamant, matériau naturel le plus dur, la vitesse du son peut atteindre 12 000 m/s ! À l'inverse, dans le caoutchouc, elle est très lente (quelques dizaines de m/s).

FAQ

La fréquence change-t-elle la vitesse ?

Dans cette approximation simple (milieu non dispersif), non. En réalité, pour des très hautes fréquences (proches des fréquences atomiques) ou dans des structures complexes, la vitesse peut dépendre de la fréquence (dispersion).

La célérité est d'environ 5189 m/s.

📝 Mémo
Rigidité = Vitesse élevée. Densité = Inertie (Ralentissement).

Schéma Bilan

Synthèse des interactions Force / Matière / Onde

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir

🔑
Point Clé 1 : Contrainte (Stress)
C'est l'intensité de la force interne : \(\sigma = F/S\) (en Pa). Elle représente "ce que le matériau subit".
📐
Point Clé 2 : Déformation (Strain)
C'est l'allongement relatif : \(\epsilon = \sigma / E\). C'est sans unité. Elle représente "la réponse géométrique du matériau".
🌊
Point Clé 3 : Acoustique
Plus le matériau est rigide (E grand) et léger (ρ faible), plus l'onde va vite. La vitesse du son est une propriété intrinsèque du matériau.

"La rigidité transmet l'information, l'inertie la ralentit."

🎛️ Simulateur : Loi de Hooke

Modifiez la force et le module de Young pour voir l'impact sur la déformation et la célérité.

Paramètres

Force Appliquée (kN) : 50

Module de Young (GPa) : 210

Déformation \(\epsilon\) (%): -

Célérité \(c_L\) (m/s): -

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'unité de la déformation \(\epsilon\) ?

Pascal (Pa)
Sans unité (Dimensionless)
Mètre (m)

2. Si la masse volumique du matériau augmente, la vitesse du son...

Diminue
Augmente

📚 Glossaire

Contrainte: Force interne appliquée par unité de surface (exprimée en Pascals).
Déformation: Variation relative de dimension due à une contrainte.
Module de Young: Constante élastique caractérisant la rigidité d'un matériau.
Célérité: Vitesse de propagation d'une onde dans un milieu.
Tenseur: Objet mathématique (ici une matrice) représentant les contraintes ou déformations dans toutes les directions.

Tenseurs et Propagation d’Ondes dans un Solide

BOÎTE À OUTILS

Titre Outil

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma du Système

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Tenseurs et Propagation d'Ondes dans un Solide

Question 1 : Calcul de la contrainte normale \(\sigma_{xx}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

État Initial : Force Appliquée

Conversion(s)

Calcul Principal

État Calculé : Contrainte Interne

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Calcul de la déformation \(\epsilon_{xx}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Relation Contrainte / Déformation

Calcul(s)

Calcul Principal

Résultat : Allongement

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Écriture des Tenseurs

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Formule(s)

Hypothèses

Calcul(s)

Tenseur des Contraintes \(\overline{\overline{\sigma}}\)

Tenseur des Déformations \(\overline{\overline{\epsilon}}\)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Célérité de l'Onde \(c_L\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Propagation de l'Onde

Calcul(s)

Calcul Principal

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Schéma Bilan

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir

🎛️ Simulateur : Loi de Hooke